6.4用二次函数解决问题（分层作业，16大题型）数学新教材苏科版九年级下册

分层作业 6.4 用二次函数解决问题 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 拱桥问题 题型02 隧道问题 题型03 销售问题 题型04 跳跃问题 题型05 实物模型问题 题型06 建立二次函数模型求生活中的最值问题 B组 能力进阶 题型01 图形问题 题型02 投球问题 题型03 喷水问题 题型04 增长率问题 题型05 抛物线形问题 题型06 图表问题 C组 思维拔高 题型01 动点问题 题型02 拱门问题 题型03 行程问题 题型04 情境问题 拱桥问题题型01 1．如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（    ） A．2m B．2m C．m D．m 【答案】A 【详解】建立如图所示直角坐标系： 可设这条抛物线为y=ax2，把点（2，–2）代入，得–2=a×22，解得：a=–， ∴y=–x2，当y=–3时，–x2=–3．解得：x=±，∴水面下降1m，水面宽度为2m．故选A． 2．如图，抛物线形的拱桥在正常水位时，水面的宽为．涨水时水面上升了．达到了警戒水位，这时水面宽．当水位继续以每小时的速度上升时，再经过几小时就到达拱顶？ 【答案】5小时 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出抛物线的解析式是解题关键．以直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设轴与交于点，抛物线的顶点为点，则可得，利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点的坐标，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，以直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设轴与交于点，抛物线的顶点为点， 由题意得：，，， ∴， 设抛物线形的拱桥所在的函数解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵水位继续以每小时的速度上升， ∴（小时）， 答：再经过5小时就到达拱顶． 隧道问题题型02 1．如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安装电子显示屏．已知隧道截面为抛物线型，水平路面宽为16米，抛物线顶点C到距离为12米．根据计划，安装矩形显示屏的高为1米，为了确保行车安全，显示屏底部距离地面至少8米，若距离左右墙壁各留至少1.5米的空间，则该矩形显示屏的宽的最大长度为___________米． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意建立平面直角坐标系，结合顶点为设出抛物线解析式为，代入得出抛物线解析式为，由显示屏底部距离地面至少8米，则可令，求出的值判断即可，正确建立平面直角坐标系是解此题的关键． 【详解】解：由题意建立平面直角坐标系如图所示： 此时顶点为， 可设抛物线解析式为， ， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 显示屏底部距离地面至少8米， 令，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 距离左右墙壁各留至少1.5米的维修空间， （米）， 故答案为：5． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽米，矩形部分高米，抛物线的最高点离地面米，按如图建立以所在直线为轴，所在直线为轴的直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高米、宽米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理由． (3)在（）的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，为弧的中点，其余条件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2) 解：这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由如下： 当时，， ∴这辆货运卡车能顺利通过隧道； (3) 解：这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由如下： 如图，设圆弧所在圆的圆心为点，则点在上，连接，在圆上取点，作于点，使得，设与相交于点，圆弧所在圆的半径为，连接， ∵为弧的中点， ∴，， 又由题意可得，， ∴， ∵， ， 解得， ∴， ，， ， ∴这辆货运卡车能顺利通过隧道． 【分析】（）设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； （）把代入（）所得函数解析式求出，与卡车高比较即可判断求解； （）设圆弧所在圆的圆心为点，则点在上，连接，在圆上取点，作于点，使得，设与相交于点，圆弧所在圆的半径为，利用勾股定理求得r的长，进而求出和的长度，得到的长度，再与卡车高比较即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，根据题意正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题意得，点坐标为，点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）略 （3）略 销售问题题型03 1．某商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能，那么一周可获得最大利润是（    ） A．1554 B．1556 C．1558 D．1560 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，根据一周利润（元）与每件销售价（元）之间的关系满足可知，抛物线开口向下，且对称轴为，根据二次函数的性质结合价格只能，可得出当时，一周可获得最大利润． 【详解】解：一周利润（元）与每件销售价（元）之间的关系满足， ∵，抛物线开口向下，且对称轴为， ∴x的取值越接近20，所对应的值越大． ∵， ∴当时， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 45 55 65 日销售量y/件 55 45 35 (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）． (2)求当每件售价为多少元时，日销售额最大？最大日销售额为多少元？ 【答案】(1) (2)每件售价为50元时，日销售额最大，最大日销售额为2500元 【分析】本题考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出函数关系式． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）设该商品日销售额为w元，利用销售额每件售价销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：设该商品日销售额为w元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为2500， 即每件售价为50元时，日销售额最大，最大日销售额为2500元． 3．某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元．当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆．根据以上材料解答下列问题：设公司每日租出x辆车时，日收益为y元（日收益＝日租金收入-平均每日各项支出）． (1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金收入为多少元？（用含x的代数式表示）； (2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ 【答案】(1)（，为整数） (2)当日租出15辆时， 租赁公司的日收益最大，最大值为5000元 【分析】（1）由题意可得，每辆车的日租金收入为：500+（20-x）×50，从而可以解答本题； （2）根据日收益=日租金收入-平均每日各项支出，可以得出租赁公司日收益，然后根据二次函数的性质，即可求问题的答案． 【详解】（1）解：（，为整数）． （2）解∶根据题意得：日租金收入为元． ∴ ． ∵租赁公司拥有20辆小型汽车， ∴． ∴当＝15时，有最大值5000． ∴当日租出15辆时， 租赁公司的日收益最大，最大值为5000元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意可以列出相应的函数关系式． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． (1)直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） (2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? (3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 【答案】(1) (2)53元 (3)900元 【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，根据已知条件列出函数表达式是解题的关键． （1）根据销售数量与销售单价之间的关系建立等式，得到y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出方程，解方程，从而确定当天的售价； （3）先根据单价确定的取值范围，再列出利润的二次函数表达式，根据二次函数的单调性求解最大值即可． 【详解】（1）解：设每罐降价x元，则平均每天多销售罐， 因此每天的销售量y与x之间的关系式为：， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得或， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 为了让消费者获得更多实惠， 则每罐排骨藕汤的定价为元； （3）解：根据题意得：， 解得， 设商店销售排骨藕汤的总利润为w元， 则， 由于， 则抛物线开口向下， 由于对称轴为直线，且x为整数， 当或时，w取最大，w的最大值为元， 则该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润为900元． 跳跃问题题型04 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）在2024年巴黎奥运会男子跳远决赛中，中国选手张溟鲲以8.07米的成绩获得亚洲第一，张溟鲲起跳后与地面的高度h（单位：m）与他起跳后的运动时间（单位：s）之间的关系式大致是，则张溟鲲从起跳到落地需要______s． 【答案】1 【分析】根据题目给出的运动方程，张溟鲲的跳远运动可以看作一个抛体运动，其运动方程是高度关于时间的二次函数，形式为．要求解张溟鲲从起跳到落地所需的时间，即求解当时，即抛体落地时的时间． 本题考查二次函数关系式，该题的关键在于理解抛体运动中高度关于时间的二次函数关系，并能熟练运用方程求解技巧．本题通过设定高度为零来求解时间，实际上是求抛体从起始点出发并最终回到起始点的总时间，即抛体的飞行时间．此题不仅考察了学生对物理概念的理解，也检验了其数学解题能力，特别是对方程求解的掌握． 【详解】将代入方程中，得到． 将方程简化，得到，进一步得到． 解得（起跳时刻，舍去），． 所以张溟鲲从起跳到落地需要的时间是1秒． 故答案为：1． 2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图所示， (1)求演员弹跳离地面的最大高度； (2)已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 【答案】(1)4.5米 (2) 解：能成功表演．理由是： 当时，， 即点在抛物线上， 因此，能表演成功． 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用． （1）将二次函数化简为，即可解出演员弹跳离地面的最大高度； （2）当时代入二次函数可得点的坐标在抛物线上． 【详解】（1）解：将二次函数化成， 当时，有最大值，最大值为， 因此，演员弹跳离地面的最大高度是4.5米； （2）略 3．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出数据为已知条件）在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，此时距离点O的水平距离为米，运动员在距水面高度为5米前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． (1)求这条抛物线解析式； (2)求入水点B距池边的距离； (3)在某次跳水中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)会失误；理由 解：已知运动员调整姿势时距池边水平距离为米， 因此运动员此时横坐标为， 将代入抛物线解析式得：， 此时运动员距水面高度为， 即调整姿势时距水面高度已经低于5米， 因此，此次跳水会失误． 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件得到二次函数的图象是解题的关键． （1）根据题意，设抛物线顶点式为，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据题意求出点B的纵坐标为，将代入抛物线解析式，据此求出入水点B距池边的距离即可； （3）运动员此时横坐标为，将代入抛物线解析式得到，此时运动员距水面高度为，据此判断是否会发生失误． 【详解】（1）解：根据题意得：原点是起跳点，抛物线顶点（最高处）距水面米，跳台原点距水面10米，因此顶点纵坐标为， 则抛物线顶点坐标为， 设抛物线顶点式为， 将代入得：， 解得， 因此，这条抛物线解析式为； （2）解：根据题意得：点B的纵坐标为， 当时，， 解得或（舍去）， 因此，入水点B距池边的距离为米； （3）略 实物模型问题题型05 1．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离（　　） A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题． 以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时x的值的即可得出答案． 【详解】解：如图所示，以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 方法一：， 点B与点D关于对称轴对称， ； 方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点B代入得， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得（舍）或， 所以茶几到灯柱的距离为3.2米， 故选：A． 2．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半， 则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，将已知点坐标代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可． 【详解】①由题可知，AB=15－（﹣15）=30m，则①错误； ②对称轴为y轴，交y轴于点(0，﹣5)，设函数解析式为 ,将点(15,0)代入解析式得，解得，池底所在抛物线解析式为，则②正确； ③将代入解析式得 ，解得，则池塘最深处到水面CD的距离为m,则③错误； ④设原宽度为时最深处到水面的距离为m，宽度减少为原来的一半时距离为m，故④正确， 所以①、③错误，②、④正确， 选项B正确，符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法求解． 3．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）学校组织“一班一品绘风韵，一墙一景绽芳华”班级布置大赛，初三（1）班计划购买一款矩形镜面，如图，镜子长与宽之比为，镜子四周镶有边框（镜框的宽度忽略不计）．已知镜面的价格是120元，边框的价格是30元，加工费为45元． (1)求总费用（元）与镜面宽之间的函数关系式； (2)如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽． 【答案】(1) (2)这面镜子的长是，宽是 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题，准确找到等量关系是解题的关键． （1）根据题意设这面镜子的宽为x米，则长为米，由边框的钱数加上玻璃的钱数加上加工费等于总费用求解即可； （2）令，得到，进而求解即可． 【详解】（1）设这面镜子的宽为x米，则长为米， 根据题意得，； （2）当时， 整理得， 解得：，（舍去）， ∴（m）， 答：这面镜子的长是，宽是． 建立二次函数模型求生活中的最值问题题型06 1．加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中，乙种蔬菜的种植成本为50元．    (1)求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x之间的函数解析式； (2)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 【答案】(1) (2)甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植，W最小为42000元 【分析】本题考查二次函数、一次函数的实际应用： （1）根据函数图象分段求解，时为一次函数，利用待定系数法；时，； （2）分段求出W与x的函数关系式，利用二次函数、一次函数的性质求出最值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：当时，设， 由图象经过点和可得：， 解得； ∴； 当时，； ∴； （2）解：①当时， ∴抛物线对称轴为直线， ∴当时，W取最小值42000元； ②当时，， ∴当时，W取最小值为（元）； ∵， ∴甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植，W最小为42000元． 2．（25-26九年级下·山西·学情自测）综合与实践玉米是重要的粮食作物，科学合理施肥能有效提高玉米产量与种植收益．某农作物种植研究团队对玉米产量与钾肥施用量的关系进行试验研究，综合实践小组的同学收集相关数据，运用数学知识探究玉米种植、销售过程中的实际问题，活动报告如下： 活动主题 探究玉米种植、销售过程中的实际问题 收集信息 信息1：该试验中每亩钾肥施用量（公斤）的范围是 信息2：玉米每亩销售收入（元）与每亩钾肥施用量（公斤）之间的关系如下表所示： 每亩钾肥施用量（公斤） 0 5 10 15 玉米每亩销售收入（元） 信息3：经市场调查，玉米每亩种植成本（元）与每亩钾肥施用量（公斤）满足一次函数关系，如果不施用钾肥，那么玉米每亩种植成本为元；如果每亩钾肥施用量为15公斤，那么玉米每亩种植成本为300元． 信息4：每亩玉米的利润为（元）， 解决问题 …… 根据活动报告中的信息解决下列问题； (1)根据活动报告中的信息可知，玉米每亩销售收入（元）与每亩钾肥施用量（公斤）之间的关系的变化规律可用我们学习过二次函数刻画，则其函数表达式为____________； (2)当时，解决下列问题： ①请直接写出玉米每亩种植成本（元）与每亩钾肥施用量（公斤）之间的函数表达式为___________； ②若玉米每亩的利润为678元，求每亩钾肥的施用量； (3)若每亩钾肥施用量为12公斤时，每亩玉米的利润最大．请通过计算确定相应的的值． 【答案】(1) (2)①；②每亩钾肥的施用量6公斤 (3)120 【分析】（1）利用待定系数法进行求解二次函数解析式即可； （2）①利用待定系数法进行求解一次函数解析式即可； ②利用，得出，将代入求解，并验根即可； （3）先利用待定系数法进行求出与的函数表达式为，那么可得，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意设， 将，，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：①由题意设， 因为如果不施用钾肥，那么玉米每亩种植成本为元；如果每亩钾肥施用量为15公斤，那么玉米每亩种植成本为300元，， ∴的图象过点，， 代入，得， 解得， ∴； ②由题可知， 即， 将代入中， 得， 解得，， ∵， ∴． 答：每亩钾肥的施用量为6公斤时玉米每亩的利润为678元； （3）解：由题可设， 将和分别代入中， 得，解得， 所以玉米每亩种植成本与每亩钾肥施用量之间的函数表达式为， 那么， 对称轴为直线， ∵， 当时， ∵， ∴当时，取最大值， 即，解得； 当时， ∵， ∴当时，取最大值，与题意时取最大值不符； 综上，． 图形问题题型01 1．用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算．设窗的高度为，宽为，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可． 【详解】解：设窗的高度为，宽为， 故， ∴． ∴当时，S最大值为． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线的顶点为A，过点A作y轴平行线交抛物线于点B，连接、，则的面积为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据已知条件得到抛物线的顶点的坐标为，求得点的横坐标为2，把代入得，，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：抛物线的顶点的坐标为， 轴， 点的横坐标为2， 把代入得，， ， ， 的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的计算，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·山西大同·期中）将一条长为的铁丝剪成两段，并分别围成正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据题意得出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：设其中一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，两个正方形的边长分别为，． 设两个正方形的面积之和为，则． ∵， ∴当时，取得最小值，为． 故答案为：． 4．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃．    (1)设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为 ； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积为最大？最大面积多少平方米？ 【答案】(1) (2)当的长是米时，围成的花圃面积为最大，最大面积为平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键； （1）根据图形可知，用篱笆的周长减去3个长即可； （2）设围成的花圃面积为y，根据长方形的面积求出二次函数的解析式，再根据求出x的范围，再根据二次函数的图象和性质求最值即可． 【详解】（1）解：的长可用含的代数式表示为． 故答案为：； （2）解：设围成的花圃面积为y， 依题意，得， ， ， ， 当时，y有最大值，y最大． 即当的长是米时，围成的花圃面积为最大，最大面积为平方米 投球问题题型02 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：，这个函数图象如图所示．则小球从第到第的运动路径长为（    ） A．20m B．30m C．40m D．50m 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，读懂题目是解题的关键．根据第时小球达到最高点处，再利用函数关系式求出和的函数值，分别求出小球上升和下降的高度，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，当时，小球到达最高点处， 当时，， 即小球从第到第上升的高度为； 当时，， 即小球从第到第下降的高度为； 小球从第到第的运动路径长为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）每一次投篮，篮球在空中划出的轨迹都是一条优美的抛物线．如图，这是一次投篮时篮球的运动轨迹，它满足二次函数，其中y（米）代表篮球飞行的高度，x（米）代表篮球飞行的水平距离，则这次投篮时，篮球出手点的高度为________米． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数与实际问题．把代入函数解析式，即可解答． 【详解】解：令，则， ∴篮球出手点的高度为2米． 故答案为：2． 3．（2025·河南·二模）篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离5m的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为3.05m．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．    小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 竖直高度y/m 1.8 3.05 3.8 4.05 3.8 (1)直接写出篮球的竖直高度的最大值______； (2)篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，求a的值； (3)小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3) 小华本次投篮能将篮球投进篮筐，理由： 由（2）知，与满足的函数解析式为 当时，， 小华本次投篮能将篮球投进篮筐． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据对称性确定顶点坐标，即可得出结果； （2）待定系数法求出的值即可； （3）求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】（1）由表格可知：和的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵抛物线的开口向下， ∴篮球的竖直高度的最大值是； （2）∵， 把点代入得，解得； （3）略 4．（24-25九年级下·河南洛阳·联考）乒乓球是我国国球．球台长为，中间处球网的高度为．现有一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线．从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．乒乓球第一次接触 台面在球网左侧，越过球网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右 侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在球台左端时，通过测量得 到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x （单位：） 的相关数据，如表所示： x（） 0 2 4 6 8 14 16 18 … y（）                     0 3      3 … (1)直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的范围） (2)求乒乓球第二次接触台面时与发球器的出口的水平距离． (3)发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用．理解发球口最多平移的距离是球台的一半长减去刚好擦网时得到的距离发球器出口的水平距离是解决本题的难点． （1）利用待定系数法，将两点坐标代入一次函数解析式求出和的值． （2）先根据抛物线的对称性求出对称轴，再利用待定系数法求出抛物线解析式，最后令求出水平距离． （3）取，代入抛物线解析式，求得对应的的值；根据题意得球台长，那么球台的一半长，取球台的一半长减去较小的的值，即为平移的距离；比较平移的距离和未移动前球台剩余的长度可得最多平移的距离． 【详解】（1）解：设球从发球器出口到第一次接触台面时关于的函数解析式， 把，代入得， 解得， 所以． （2）解：设乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为． 因为抛物线过点，，， 设抛物线解析式为， 则， 把，代入得，， 又因为抛物线过， 所以，即， 联立方程组， 解得， 所以抛物线解析式为． 令，则， 解得：，（舍去）， 所以乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为． （3）解：∵． ∴球台的一半长． 当时，． 整理得：． 解得：（舍去），． ， ，符合题意， ∴发球口最多向右平移． 喷水问题题型03 1．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（　　） A．2 B．4 C．6 D．2+ 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可． 【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6， ∵a=-1＜0 ∴当x=2时，水柱的最大高度是：6． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的解析式得到抛物线顶点坐标是解决此类问题的关键． 2．小北在公园进行摄影学习，发现某广场有一喷水池所喷出的水流形状像一条抛物线，他将其拍下来，发现水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系满足，当水流喷出的高度为时，喷出水流的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；将代入抛物线方程，得到关于x的一元二次方程，求解后得到两个解，但水平距离不能为负，因此舍去负值解，选择正值解，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可把代入得：， 解得：（负根舍去）； 故选C． 3．如图，在斜坡底部点O处设置一个可移动的自动喷水装置，喷水装置的高度为米，喷水装置从A点喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为6米时，达到最大高度5米．以点O为原点，喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．斜坡上距离O水平距离为8米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且M点到水平地面的距离为米．如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，请求出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左平移）______米．    【答案】2 【分析】根据当喷射出的水流距离喷水头6米时，达到最大高度5米，设水流形成的抛物线为，将点）代入解得得到抛物线解析式；设喷射架向后平移了米，设出平移后的函数解析式，代入点N的坐标即可求解． 【详解】解：由题可知：当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米， 则可设水流形成的抛物线为， 将点代入，得， 解得，， ∴抛物线解析为； 由题意可知，与地面的距离为：米， 故点坐标为， 设喷射架向后平移了米，则平移后的抛物线解析可表示为，， 将点代入得：， 解得或（舍去）， ∴喷射架应向后移动米， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键． 4．（25-26九年级上·河南信阳·联考）某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，距y轴． (1)直接写出点P的坐标__________； (2)若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分的距离为，求水龙头直立部分的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）根据点到坐标轴的距离，写出点P的坐标即可； （2）根据题意得到抛物线与轴的交点坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式，求出抛物线与轴的交点即可得出结果。 【详解】（1）解：∵点P距x轴，距y轴，且点在第一象限， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，设抛物线解析式为，且抛物线经过点， ∴，解得， 因此， 当时，， ∴水龙头直立部分的长度为． 增长率问题题型04 1．（2025·上海·模拟） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 2．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 【答案】(1)含的代数式为，二次函数一般形式为 (2)该市参加健身运动人数的年平均增长率为 【分析】（1）初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则满足等量关系，再化为一般式即可； （2）令，则，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x， 由题意得：2023年参加健身运动的人数， ∴二次函数一般形式为 （2）解：由题意得：，则， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该市参加健身运动人数的年平均增长率为． 抛物线形问题题型05 1．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 2．（2025·陕西·模拟）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求解即可． （2）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求出解析式，再令，即可求解． 【详解】（1）解：∵米，灯带的最低点距离钢丝米， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． （2）解：∵米，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同）， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． 令，则， ∴O与C的距离是． 3．根据以下素材，探索完成任务． 如何探测弹射飞机的轨道设计 素材1：图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集发现飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：）随飞行时间t（单位：）的变化满足一次函数关系；飞行高度y（单位：）随飞行时间t（单位：）的变化满足二次函数关系．数据如下表所示． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行的水平距离 0 8 16 24 32 … 飞行高度 0 18 32 42 48 … 素材2：图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为飞机回收区域，已知．． 问题解决： 任务1：确定函数表达式． ①直接写出x关于t的函数表达式：_______． ②求出y关于t的函数表达式． 任务2：探究飞行距离．当飞机落地（高度为）时，求飞行的水平距离． 任务3：确定弹射口高度h．当飞机落到回收区域内（不包括端点A，B）时，请写出发射台弹射口高度h的变化范围：________． 【答案】任务1：①；②y关于t的函数表达式为；任务2：飞机落地时，飞行的水平距离为；任务3：． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 任务1：根据表格数据，利用待定系数法求两函数的表达式即可； 任务2：令，解方程即可求解； 任务3：设发射台弹射口高度为h，则此时抛物线的表达式为，分别求得落地A点和点B时的h值，进而可得h的取值范围． 【详解】解：任务1：①设，将，代入得： ， 解得：， ∴x关于t的函数表达式为， 故答案为：； ②设y关于t的函数表达式为，将、、代入得： ， 解得：， 故y关于t的函数表达式为； 任务2：当飞机落地时，即， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∵， ∴时，， 故飞机落地时，飞行的水平距离为； 任务3：由和得：， 设发射台弹射口高度为h，则此时抛物线的表达式为， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 即， 故答案为：． 图表问题题型06 1．心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（　　） A．8min B．13min C．20min D．25min 【答案】B 【分析】先利用条件求出解析式，再变式求出最值即可解答. 【详解】解：已知满足函数关系s＝at2＋bt＋c（a≠0）， 根据图像可知经过（0,43），（20,55），（30,31）， 将已知点代入解析式得s＝－0.1＋2.6t＋43, 根据函数性质得t＝－＝13时，s最大， 故选B. 【点睛】本题主要考查求函数最值，可利用配方法，公式法等. 2．（26-27九年级上·浙江杭州·月考）我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一，是中国制造的一张“亮丽名片”．某企业测试一款新型电动汽车的电池续航性能，在匀速行驶等理想条件下，测得部分数据如下： 行驶速度（公里小时） 基础能耗（千瓦时百公里） 该款电动汽车的电池容量为千瓦时，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的倍． （单位：公里）． (1)请你根据表格数据在图的坐标系中画出相应的点． (2)结合中所描点的分布特征，从一次函数、二次函数中选择最符合基础能耗与行驶速度之间关系的函数，并求出该函数表达式． (3)当汽车匀速行驶且速度介于公里小时到公里小时之间（含与）时，求实际续航里程的最小值． 【答案】(1)如图， ； (2)最符合的是二次函数，函数表达式为； (3)实际续航里程的最小值为千米． 【分析】根据表格描点即可； 根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征，再根据待定系数法解答即可； 根据题意求出实际续航里程，从而得当最大时，取最小值，求出二次函数在范围内的最大值即可解答． 【详解】（1）解：结合题干，根据表格描点即可， 图略； （2）解：根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征，数据先降后升，且和，和均关于直线对称，符合二次函数的抛物线特征，因此最符合的是二次函数， 由可知，二次函数的对称轴为直线，顶点为， 设函数表达式为， 将点代入得:， 解得， 验证其余点均满足该式， ∴函数表达式为， ∴最符合的是二次函数，函数表达式为； （3）解：根据题意得实际能耗为，代入续航里程公式得实际续航里程， ∴随的增大而减小， ∴当最大时，取最小值， 由二次函数得抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在范围内，随增大而减小， 当时，有最大值，最大值为， 在范围内，随增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴在范围内的最大值为， ∴， 故实际续航里程的最小值为千米． 3．（2026·山西运城·二模）2026年山西省人民政府办公厅印发的《山西省加快能源绿色低碳转型发展实施方案》，文件明确提出：“立足就近接人、就近消纳，推动新能源与煤炭、交通、建筑、农业等多领域融合发展．有序推动风电、光伏发电项目改造升级，提升风光资源和土地利用效率．” 【数据收集】高平某农业园区积极响应政策，建成农光互补示范基地．以下是有关光伏板设置参数分析． 信息1：经实测，该地区大棚的每150平方米光伏板，在春秋两季，光伏板倾斜角x（单位：度）与日发电量y（单位：千瓦时）可近似满足下列函数关系： x/度 18 22 24 28 30 32 36 42 y/千瓦时 70 80 83.5 87.5 88 87.5 83.5 70 信息2：受季节变化影响，在春秋两季日发电量y的基础上： ①夏季太阳高度角偏大，日发电量函数图象整体向左平移2个单位长度； ②冬季太阳高度角偏小，日发电量函数图象整体向右平移2个单位长度． 【模型建立】 (1)求春秋两季时，日发电量y关于光伏板倾斜角x的函数解析式，分析题意，直接写出该园区光伏板夏季发电量最大时光伏板的倾斜角． (2)若园区预计升级新一代高效光伏组件，升级后的光伏板每150平方米的日发电量增加36千瓦时，直接写出该园区冬季升级后的光伏板日发电量与光伏板倾斜角x之间的函数解析式． 【问题解决】 (3)园区升级光伏板后，记夏季与冬季发电量差值为k，为保证全年发电量均衡，避免季节性发电波动明显． ①当发电量差值为0时，光伏板倾斜角x的度数为______； ②若要求每150平方米光伏板日发电量差值不超过5千瓦时，求光伏板倾斜角x的取值范围． 【答案】(1)春秋两季函数解析式为，夏季发电量最大时倾斜角为； (2) (3)①；② 【分析】（1）观察表格数据可知，y是关于x的二次函数，且顶点坐标为，利用待定系数法即可求出春秋两季函数解析式，再根据夏季太阳高度角偏大，日发电量函数图象整体向左平移2个单位长度，可得顶点坐标，即可得到夏季发电量最大时光伏板的倾斜角； （2）根据题意，利用二次函数的平移规律即可解答； （3）先求出，①令，求解即可得出结果；②令求解即可得出结果． 【详解】（1）解：观察表格数据可知，y是关于x的二次函数，且顶点坐标为， 设函数解析式为 ， 代入点得 解得 ∴春秋两季函数解析式为， 夏季函数图象向左平移2个单位，顶点横坐标变为， 因此夏季发电量最大时倾斜角为； （2）解：冬季太阳高度角偏小，日发电量函数图象整体向右平移2个单位长度，再整体增加发电量36千瓦时（向上平移36个单位）， ∴； （3）解：同理（2）得升级后夏季函数解析式为， ①当差值，即时，则， 化简得， 解得， 则光伏板倾斜角x的度数为； ②由题意得，则， 即， 解得， 即光伏板倾斜角的取值范围为． 动点问题题型01 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果分别从同时出发，当的面积最大时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用．设运动时间为，先用含的代数式表示出、，再根据三角形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设运动时间为， 根据题意得，， ∴， ∴当时，的面积最大为． 故选：B． 2．如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C移动，点Q在边上，从点C向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的几何应用、勾股定理，设运动时间为，理解题意，列出与时间的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则，， 根据题意， ， ∵，， ∴当时，有最小值，最小值为， 故选：C． 3．如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够表示y与x之间函数关系的图象大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分别讨论点在上运动的情况即可求解． 【详解】解：①当点在上运动时，即： ； ②当点在上运动时，即： ； ③当点在上运动时，即： ； 综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查函数图象与面积问题．分类讨论是解决本题的思路． 4．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D是第三象限抛物线上一动点，连接，，，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)当时，最大，最大面积为． 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式、二次函数的应用－面积问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的表达式，设，则，求得的长，利用三角形的面积公式得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点D作轴于点F，交于点E，令，得， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入， 得，解得， ∴直线的表达式为， 设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，最大面积为． 拱门问题题型02 1．（24-25九年级上·浙江·质检）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所建坐标系及图形特点，结合，可得，设抛物线的解析式为，根据题意可求出点的坐标为，代入，即可求出抛物线解析式，令，求出，即为门高的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴点，， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴门高为， 故选：B． 2．如图，是某个抛物线型的大门示意图，该抛物线的函数表达式为． (1)求该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴方程； (2)为庆祝元旦，在该大门离地面3米高的点A、B处安装两盏大红灯笼，求这两盏灯笼的水平距离． 【答案】(1)抛物线的开口向下，顶点坐标，对称轴方程是直线 (2)2米 【分析】（1）化为顶点式求解即可； （2）把代入即可求解． 【详解】（1）∵， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标，对称轴方程是直线； （2）当时，， 解得， ∴米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 3．南阳月季甲天下，“三顾之城”受追捧．位于南阳市北郊的中国月季园在一年一度的开园仪式上，搭建了一个抛物线形花墙拱门，负责人在设计时利用了数学中抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后在点B处横竖分别放两根长度为3.2米的木棒，末端恰好落在点A和拱门内壁C处．据此，他在纸上画出图形，如图1，以点O为原点，所在直线为x轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系、（忽略拱门厚度） (1)请求出拱门最高点距地面的高度； (2)若要在花墙拱门内搭建一个矩形“支架”（由三根钢管组成）、使E、F两点在抛物线上，D、G两点在地面上（如图2所示），请你计算一下最多需准备多少米该种钢管； (3)若身高都为1.8米的仪仗队穿过拱门，仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，头和肩的宽度差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排6人，当每两人间的距离为d米时，队伍能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）．直接写出d的取值范围． 【答案】(1)拱门最高点距地面的高度为米 (2)最多需准备米该种钢管 (3) 【分析】（1）由题意可得，，利用待定系数法求出抛物线形花墙拱门的解析式为，再将抛物线解析式化为顶点式，即可得出结果； （2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，设点的横坐标为，那么，则点的横坐标为，求出，，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果； （3）令，则，求得，，再结合题意计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：米，米， ∴，米， ∴， 设抛物线形花墙拱门的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线形花墙拱门的解析式为， ∵， ∴拱门最高点距地面的高度为米； （2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线， 设点的横坐标为，那么， 由题意可得，点和点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最大，为米， 故最多需准备米该种钢管； （3）解：令，则， 解得：，， ∴（米）， ∵仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，负责人准备将队形设计成每排6人， ∴（米）， ∵当每两人间的距离为d米，每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门， ∴d的取值范围． 行程问题题型03 1．在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝gt2．其中g取值为9.8m/s2．小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（   ） A．98m B．78.4m C．49m D．36.2m 【答案】B 【分析】把t=4代入h＝gt2可得答案． 【详解】解：把t=4代入h＝gt2得， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意把t=4代入是解题关键 2．太原地铁2号线开通两年多以来，极大地便利了人们的生活．小明早晨从小店区西桥站出发，乘坐一段地铁后，换骑共享单车去学校，经过多次乘坐发现，骑共享单车的时间与乘坐地铁路程之间满足二次函数，几个地铁站点与出发站之间的距离如下表： 地铁站点 … … … 8 9 10 13 … 若小明骑共享单车所需的时间最少，则他乘坐地铁应到达的站点为________站点． 【答案】D 【分析】利用配方求得顶点坐标，求得当时，y取得最小值，找到接近的站点即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，y取得最小值， ∵C站点，而D站点， ∴D站点更接近最小值点， 故他乘坐地铁应到达的站点为D站点． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到更接近的站点． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过）进行测试，测得数据如表： 车速 刹车距离 (1)以车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)若车速和刹车距离的函数关系近似看作二次函数，请求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)若该型汽车某次测试的刹车距离为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计该车的速度． 【答案】(1) 如图所示： (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握描点、连线画函数图象，待定系数法求解析式，根据函数值求自变量值的方法是解题的关键． （1）根据坐标画图即可； （2）根据待定系数法求出解析式； （3）由（2）解析式，再把代入可得车速． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，设与的关系式为， 把和代入得 ， ∴， ∴与的关系式为． （3）解：由题意，由（2）得，， 令，则， 解得或（负值舍去）， ∴该型汽车某次测试的刹车距离为，估计该车的速度约为． 4．甲船从A处起以的速度向正北方向航行，这时乙船从A的正东方向的B处起以的速度向西航行，多长时间后，两船的距离最小？最小距离是多少？ 【答案】后，两船的距离最小，最小距离是12． 【分析】可设x小时后，两船相距y，写出y2于x的二次函数关系式，再把关系式配方可得到多长时间后，两船的距离最小；并求出最小距离即可． 【详解】解：根据题意画出示意图如下： 设x小时后，两船相距y，根据题意，得： y2＝（15x）2＋（20−20x）2 ＝225x2＋400−800x＋400x2 ＝（25x−16）2＋144 ∴当x＝=时，y2有最小值144，则y的最小值为12， 答：后，两船的距离最小，最小距离是12．    【点睛】本题考查了二次函数在行程问题中的应用及勾股定理在实际问题中的应用，根据题意正确地列出函数关系式并配方是解题的关键． 情境问题题型04 1．某企业有效做好常态化防控，有序推进复工复产，扩大内需，经市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在一次函数关系：；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：，如果企业同时对A、B两种产品共投资20万元，能获得的最大利润_____． 【答案】14万元 【分析】本题主要考查实际问题与二次函数；设投资A产品a万元，投资B产品万元，利润为W万元，根据题意列出二次函数，求出二次函数的最大值即可． 【详解】解：设投资A产品a万元，投资B产品万元，利润为W万元， 则 ； ∴当时，能获得的最大利润； 故最大利润为14万元． 故答案为：14万元． 2．距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意，得-45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可． 【详解】根据题意，得-45+3m+n=0，， ∴ ， ∴ ， 解得m=50，m=10， 当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴n＞0， ∴， ∵对称轴为t==1，a=-5＜0， ∴时，h随t的增大而增大， 当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）； ∴w=， ∴w的取值范围是， 故答案为：． 当时，的取值范围是 ∵对称轴为t==1，a=-5＜0， ∴时，h随t的增大而减小， 当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）； ∴w=，w=， ∴w的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键． 3．当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度; (1)列表表示I与v的关系. (2)当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？ 【答案】（1）见解析 （2）4倍 【详解】解：（1）如下表 （2）I=2•（2v）2=4×2v2． 当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的4倍． 4．为促进米粉经济，某市举办了“中国米粉节”展销会活动．参加这次米粉展销会的每两家公司之间都签订了一份合同，若所有家公司共签订了份合同． (1)写出与的关系式； (2)当所有公司共签订了份合同时，求参加此次展销会的公司的数量． 【答案】(1) (2)参加此次展销会的公司共有家 【分析】根据每家公司与其他家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，得出总合同数与的函数解析式； 令中的，得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：每家公司与其他家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同， 所以所有公司共签订了份合同， 与的关系式为； （2）解：当时，则， 解得，舍去， ， 答：参加此次展销会的公司共有家． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，解题关键是找到等量关系列出函数解析式． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.4 用二次函数解决问题 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 拱桥问题 题型02 隧道问题 题型03 销售问题 题型04 跳跃问题 题型05 实物模型问题 题型06 建立二次函数模型求生活中的最值问题 B组 能力进阶 题型01 图形问题 题型02 投球问题 题型03 喷水问题 题型04 增长率问题 题型05 抛物线形问题 题型06 图表问题 C组 思维拔高 题型01 动点问题 题型02 拱门问题 题型03 行程问题 题型04 情境问题 拱桥问题题型01 1．如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（    ） A．2m B．2m C．m D．m 2．如图，抛物线形的拱桥在正常水位时，水面的宽为．涨水时水面上升了．达到了警戒水位，这时水面宽．当水位继续以每小时的速度上升时，再经过几小时就到达拱顶？ 隧道问题题型02 1．如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安装电子显示屏．已知隧道截面为抛物线型，水平路面宽为16米，抛物线顶点C到距离为12米．根据计划，安装矩形显示屏的高为1米，为了确保行车安全，显示屏底部距离地面至少8米，若距离左右墙壁各留至少1.5米的空间，则该矩形显示屏的宽的最大长度为___________米． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽米，矩形部分高米，抛物线的最高点离地面米，按如图建立以所在直线为轴，所在直线为轴的直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高米、宽米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理由． (3)在（）的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，为弧的中点，其余条件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由． 销售问题题型03 1．某商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能，那么一周可获得最大利润是（    ） A．1554 B．1556 C．1558 D．1560 2．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 45 55 65 日销售量y/件 55 45 35 (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）． (2)求当每件售价为多少元时，日销售额最大？最大日销售额为多少元？ 3．某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元．当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆．根据以上材料解答下列问题：设公司每日租出x辆车时，日收益为y元（日收益＝日租金收入-平均每日各项支出）． (1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金收入为多少元？（用含x的代数式表示）； (2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． (1)直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） (2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? (3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 跳跃问题题型04 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）在2024年巴黎奥运会男子跳远决赛中，中国选手张溟鲲以8.07米的成绩获得亚洲第一，张溟鲲起跳后与地面的高度h（单位：m）与他起跳后的运动时间（单位：s）之间的关系式大致是，则张溟鲲从起跳到落地需要______s． 2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图所示， (1)求演员弹跳离地面的最大高度； (2)已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 3．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出数据为已知条件）在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，此时距离点O的水平距离为米，运动员在距水面高度为5米前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． (1)求这条抛物线解析式； (2)求入水点B距池边的距离； (3)在某次跳水中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由． 实物模型问题题型05 1．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离（　　） A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6 2．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半， 则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 3．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）学校组织“一班一品绘风韵，一墙一景绽芳华”班级布置大赛，初三（1）班计划购买一款矩形镜面，如图，镜子长与宽之比为，镜子四周镶有边框（镜框的宽度忽略不计）．已知镜面的价格是120元，边框的价格是30元，加工费为45元． (1)求总费用（元）与镜面宽之间的函数关系式； (2)如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽． 建立二次函数模型求生活中的最值问题题型06 1．加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中，乙种蔬菜的种植成本为50元．    (1)求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x之间的函数解析式； (2)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 2．（25-26九年级下·山西·学情自测）综合与实践玉米是重要的粮食作物，科学合理施肥能有效提高玉米产量与种植收益．某农作物种植研究团队对玉米产量与钾肥施用量的关系进行试验研究，综合实践小组的同学收集相关数据，运用数学知识探究玉米种植、销售过程中的实际问题，活动报告如下： 活动主题 探究玉米种植、销售过程中的实际问题 收集信息 信息1：该试验中每亩钾肥施用量（公斤）的范围是 信息2：玉米每亩销售收入（元）与每亩钾肥施用量（公斤）之间的关系如下表所示： 每亩钾肥施用量（公斤） 0 5 10 15 玉米每亩销售收入（元） 信息3：经市场调查，玉米每亩种植成本（元）与每亩钾肥施用量（公斤）满足一次函数关系，如果不施用钾肥，那么玉米每亩种植成本为元；如果每亩钾肥施用量为15公斤，那么玉米每亩种植成本为300元． 信息4：每亩玉米的利润为（元）， 解决问题 …… 根据活动报告中的信息解决下列问题； (1)根据活动报告中的信息可知，玉米每亩销售收入（元）与每亩钾肥施用量（公斤）之间的关系的变化规律可用我们学习过二次函数刻画，则其函数表达式为____________； (2)当时，解决下列问题： ①请直接写出玉米每亩种植成本（元）与每亩钾肥施用量（公斤）之间的函数表达式为___________； ②若玉米每亩的利润为678元，求每亩钾肥的施用量； (3)若每亩钾肥施用量为12公斤时，每亩玉米的利润最大．请通过计算确定相应的的值． 图形问题题型01 1．用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线的顶点为A，过点A作y轴平行线交抛物线于点B，连接、，则的面积为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25九年级上·山西大同·期中）将一条长为的铁丝剪成两段，并分别围成正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为________． 4．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃．    (1)设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为 ； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积为最大？最大面积多少平方米？ 投球问题题型02 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：，这个函数图象如图所示．则小球从第到第的运动路径长为（    ） A．20m B．30m C．40m D．50m 2．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）每一次投篮，篮球在空中划出的轨迹都是一条优美的抛物线．如图，这是一次投篮时篮球的运动轨迹，它满足二次函数，其中y（米）代表篮球飞行的高度，x（米）代表篮球飞行的水平距离，则这次投篮时，篮球出手点的高度为________米． 3．（2025·河南·二模）篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离5m的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为3.05m．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．    小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 竖直高度y/m 1.8 3.05 3.8 4.05 3.8 (1)直接写出篮球的竖直高度的最大值______； (2)篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，求a的值； (3)小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； 4．（24-25九年级下·河南洛阳·联考）乒乓球是我国国球．球台长为，中间处球网的高度为．现有一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线．从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．乒乓球第一次接触 台面在球网左侧，越过球网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右 侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在球台左端时，通过测量得 到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x （单位：） 的相关数据，如表所示： x（） 0 2 4 6 8 14 16 18 … y（）                     0 3      3 … (1)直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的范围） (2)求乒乓球第二次接触台面时与发球器的出口的水平距离． (3)发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少？ 喷水问题题型03 1．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（　　） A．2 B．4 C．6 D．2+ 2．小北在公园进行摄影学习，发现某广场有一喷水池所喷出的水流形状像一条抛物线，他将其拍下来，发现水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系满足，当水流喷出的高度为时，喷出水流的水平距离为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在斜坡底部点O处设置一个可移动的自动喷水装置，喷水装置的高度为米，喷水装置从A点喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为6米时，达到最大高度5米．以点O为原点，喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．斜坡上距离O水平距离为8米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且M点到水平地面的距离为米．如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，请求出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左平移）______米．    4．（25-26九年级上·河南信阳·联考）某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，距y轴． (1)直接写出点P的坐标__________； (2)若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分的距离为，求水龙头直立部分的长度． 增长率问题题型04 1．（2025·上海·模拟） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 2．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 抛物线形问题题型05 1．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 2．（2025·陕西·模拟）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 3．根据以下素材，探索完成任务． 如何探测弹射飞机的轨道设计 素材1：图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集发现飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：）随飞行时间t（单位：）的变化满足一次函数关系；飞行高度y（单位：）随飞行时间t（单位：）的变化满足二次函数关系．数据如下表所示． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行的水平距离 0 8 16 24 32 … 飞行高度 0 18 32 42 48 … 素材2：图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为飞机回收区域，已知．． 问题解决： 任务1：确定函数表达式． ①直接写出x关于t的函数表达式：_______． ②求出y关于t的函数表达式． 任务2：探究飞行距离．当飞机落地（高度为）时，求飞行的水平距离． 任务3：确定弹射口高度h．当飞机落到回收区域内（不包括端点A，B）时，请写出发射台弹射口高度h的变化范围：________． 图表问题题型06 1．心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（　　） A．8min B．13min C．20min D．25min 2．（26-27九年级上·浙江杭州·月考）我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一，是中国制造的一张“亮丽名片”．某企业测试一款新型电动汽车的电池续航性能，在匀速行驶等理想条件下，测得部分数据如下： 行驶速度（公里小时） 基础能耗（千瓦时百公里） 该款电动汽车的电池容量为千瓦时，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的倍． （单位：公里）． (1)请你根据表格数据在图的坐标系中画出相应的点． (2)结合中所描点的分布特征，从一次函数、二次函数中选择最符合基础能耗与行驶速度之间关系的函数，并求出该函数表达式． (3)当汽车匀速行驶且速度介于公里小时到公里小时之间（含与）时，求实际续航里程的最小值． 3．（2026·山西运城·二模）2026年山西省人民政府办公厅印发的《山西省加快能源绿色低碳转型发展实施方案》，文件明确提出：“立足就近接人、就近消纳，推动新能源与煤炭、交通、建筑、农业等多领域融合发展．有序推动风电、光伏发电项目改造升级，提升风光资源和土地利用效率．” 【数据收集】高平某农业园区积极响应政策，建成农光互补示范基地．以下是有关光伏板设置参数分析． 信息1：经实测，该地区大棚的每150平方米光伏板，在春秋两季，光伏板倾斜角x（单位：度）与日发电量y（单位：千瓦时）可近似满足下列函数关系： x/度 18 22 24 28 30 32 36 42 y/千瓦时 70 80 83.5 87.5 88 87.5 83.5 70 信息2：受季节变化影响，在春秋两季日发电量y的基础上： ①夏季太阳高度角偏大，日发电量函数图象整体向左平移2个单位长度； ②冬季太阳高度角偏小，日发电量函数图象整体向右平移2个单位长度． 【模型建立】 (1)求春秋两季时，日发电量y关于光伏板倾斜角x的函数解析式，分析题意，直接写出该园区光伏板夏季发电量最大时光伏板的倾斜角． (2)若园区预计升级新一代高效光伏组件，升级后的光伏板每150平方米的日发电量增加36千瓦时，直接写出该园区冬季升级后的光伏板日发电量与光伏板倾斜角x之间的函数解析式． 【问题解决】 (3)园区升级光伏板后，记夏季与冬季发电量差值为k，为保证全年发电量均衡，避免季节性发电波动明显． ①当发电量差值为0时，光伏板倾斜角x的度数为______； ②若要求每150平方米光伏板日发电量差值不超过5千瓦时，求光伏板倾斜角x的取值范围． 动点问题题型01 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果分别从同时出发，当的面积最大时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C移动，点Q在边上，从点C向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够表示y与x之间函数关系的图象大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   4．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D是第三象限抛物线上一动点，连接，，，求面积的最大值． 拱门问题题型02 1．（24-25九年级上·浙江·质检）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 2．如图，是某个抛物线型的大门示意图，该抛物线的函数表达式为． (1)求该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴方程； (2)为庆祝元旦，在该大门离地面3米高的点A、B处安装两盏大红灯笼，求这两盏灯笼的水平距离． 3．南阳月季甲天下，“三顾之城”受追捧．位于南阳市北郊的中国月季园在一年一度的开园仪式上，搭建了一个抛物线形花墙拱门，负责人在设计时利用了数学中抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后在点B处横竖分别放两根长度为3.2米的木棒，末端恰好落在点A和拱门内壁C处．据此，他在纸上画出图形，如图1，以点O为原点，所在直线为x轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系、（忽略拱门厚度） (1)请求出拱门最高点距地面的高度； (2)若要在花墙拱门内搭建一个矩形“支架”（由三根钢管组成）、使E、F两点在抛物线上，D、G两点在地面上（如图2所示），请你计算一下最多需准备多少米该种钢管； (3)若身高都为1.8米的仪仗队穿过拱门，仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，头和肩的宽度差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排6人，当每两人间的距离为d米时，队伍能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）．直接写出d的取值范围． 行程问题题型03 1．在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝gt2．其中g取值为9.8m/s2．小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（   ） A．98m B．78.4m C．49m D．36.2m 2．太原地铁2号线开通两年多以来，极大地便利了人们的生活．小明早晨从小店区西桥站出发，乘坐一段地铁后，换骑共享单车去学校，经过多次乘坐发现，骑共享单车的时间与乘坐地铁路程之间满足二次函数，几个地铁站点与出发站之间的距离如下表： 地铁站点 … … … 8 9 10 13 … 若小明骑共享单车所需的时间最少，则他乘坐地铁应到达的站点为________站点． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过）进行测试，测得数据如表： 车速 刹车距离 (1)以车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)若车速和刹车距离的函数关系近似看作二次函数，请求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)若该型汽车某次测试的刹车距离为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计该车的速度． 4．甲船从A处起以的速度向正北方向航行，这时乙船从A的正东方向的B处起以的速度向西航行，多长时间后，两船的距离最小？最小距离是多少？ 情境问题题型04 1．某企业有效做好常态化防控，有序推进复工复产，扩大内需，经市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在一次函数关系：；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：，如果企业同时对A、B两种产品共投资20万元，能获得的最大利润_____． 2．距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________． 3．当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度; (1)列表表示I与v的关系. (2)当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？ 4．为促进米粉经济，某市举办了“中国米粉节”展销会活动．参加这次米粉展销会的每两家公司之间都签订了一份合同，若所有家公司共签订了份合同． (1)写出与的关系式； (2)当所有公司共签订了份合同时，求参加此次展销会的公司的数量． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $