6.2二次函数的图象与性质（分层作业·思维拔高）数学新教材苏科版九年级下册

分层作业 6.2 二次函数的图象与性质 C组|运用层级|思维拔高 目 录 C组 思维拔高 题型01 根据二次函数的对称性求最短路径 题型02 构造二次函数求最值 题型03 二次函数的几何变换综合 题型04 二次函数图象与几何的综合应用 根据二次函数的对称性求最短路径题型01 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴为，且经过点A（2，1），点是抛物线上的动点，的横坐标为，过点作轴，垂足为，交于点，点关于直线的对称点为，连接，，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，则当（    ）时，的周长最小. A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 2．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是______．    3．如图，抛物线y＝﹣4x+4与y轴交于点A，B是OA的中点，一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A，则点G走过的最短路程为____． 4．（25-26九年级上·江西上饶·月考）在图1，2所示抛物线中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点平行于轴的直线是它的对称轴，点在对称轴上运动．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图1中作出点，使线段最小； (2)在图2中作出点，使点与点关于对称轴对称． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 构造二次函数求最值题型02 1．已知实数，满足，当______时，代数式的值最大． 2．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t﹣4＝0的两实数根，则（m+3）（n+3）的最小值是 ___． 3．如图，矩形中，，，为的平分线，F为上一动点，点M为的中点，连接，则的最小值是______． 4．在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据，，…，，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为______． 5．（25-26九年级上·福建·期中）如图，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图像的一部分．王师傅想利用这块边角料截取一个矩形，其中在上（点在点左侧），点在线段上，点在曲线段上．测量发现：，，，，且和之间的距离为4．若以所在直线为轴，以中点为原点构建直角坐标系． (1)求曲线和直线的表达式； (2)设点的纵坐标为，请用含的式子表示矩形的面积，并求出最大值． 二次函数的几何变换综合题型03 1．（24-25九年级上·山东青岛·期末）将二次函数的图象先向上平移2个单位，再把所得图象进行x轴对称变换，所得图象的表达式为（   ） A． B． C． D． 2．将函数向上平移3个单位后，再绕新函数图像的顶点旋转180°所得图像的函数解析式为__________． 3．如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是________． 4．如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为______． 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线，三个顶点的坐标分别为，，．平移得到，当有两个顶点在抛物线上时，的长为________． 二次函数图象与几何的综合应用题型04 1．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 2．（26-27九年级·山东·质检）如图，在抛物线 的内部依次画正方形，使对角线在 y 轴上，另两个顶点落在抛 物线上．按此规律类推，第2027 个正方形的边长是 __________． 3．已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标； (2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积． 4．（24-25九年级上·上海·期末）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 5．（26-27八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.2 二次函数的图象与性质 C组|运用层级|思维拔高 目 录 C组 思维拔高 题型01 根据二次函数的对称性求最短路径 题型02 构造二次函数求最值 题型03 二次函数的几何变换综合 题型04 二次函数图象与几何的综合应用 根据二次函数的对称性求最短路径题型01 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴为，且经过点A（2，1），点是抛物线上的动点，的横坐标为，过点作轴，垂足为，交于点，点关于直线的对称点为，连接，，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，则当（    ）时，的周长最小. A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO+AD，AO=，所以当AD最小时，△ACD的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1． 【详解】∵O与D关于直线PB的对称， ∴PB垂直平分OD， ∴CO=CD， ∵△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO+AD，AO=， ∴当AD最小时，△ACD的周长最小； ∴此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1． 故选A. 【点睛】此题考查中心对称，垂直平分线的性质，垂线的性质，解题关键在于掌握运算法则. 2．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是______．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 3．如图，抛物线y＝﹣4x+4与y轴交于点A，B是OA的中点，一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A，则点G走过的最短路程为____． 【答案】10． 【分析】作点A关于抛物线y＝﹣4x+4的对称轴的对称点A',作点B关于x轴的对称点B',连接A'B',分别交x轴、抛物线对称轴于点M、N,则BM+MN+NA就是点G运动的最短路径,由对称的性质得AN＝A'N,BM＝B'M,得出点G运动的最短路径＝BM+MN+NA＝A'B',求出抛物线y＝﹣4x+4的对称轴为直线x＝4,点A的坐标为（0,4）,A'的坐标为（8,4）,B的坐标为（0，2），B'的坐标为（0,﹣2）,得出AB'＝6,AA'＝8,由勾股定理求出A'B'＝＝10即可． 【详解】解:作点A关于抛物线y＝﹣4x+4的对称轴的对称点A',作点B关于x轴的对称点B',连接A'B',分别交x轴、抛物线对称轴于点M、N,如图所示: 则BM+MN+NA就是点G运动的最短路径,由对称的性质得:AN＝A'N,BM＝B'M, ∴点G运动的最短路径＝BM+MN+NA＝A'B', ∵抛物线y＝﹣4x+4＝（x﹣4）2﹣4, ∴抛物线y＝﹣4x+4的对称轴为直线x＝4, 当x＝0时,y＝4,即点A的坐标为（0,4）, ∴点A'的坐标为（8,4）, ∵B是OA的中点, ∴B的坐标为（0,2）, ∴B'的坐标为（0,﹣2）, ∴AB'＝4+2＝6,AA'＝8, ∴A'B'＝＝＝10, 即点G走过的最短路程为10; 故答案为:10． 【点睛】本题考查了点的轨迹,二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,轴对称的性质,勾股定理,最短路径等知识,熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质是解题的关键． 4．（25-26九年级上·江西上饶·月考）在图1，2所示抛物线中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点平行于轴的直线是它的对称轴，点在对称轴上运动．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图1中作出点，使线段最小； (2)在图2中作出点，使点与点关于对称轴对称． 【答案】(1) 点即为所求： (2) 点即为所求： 【分析】本题考查了使用无刻度直尺作图，轴对称的性质，二次函数的图象与性质． （1）连接与抛物线的对称轴的交点即为点，连接，由抛物线的对称性可得，那么的最小值即为的最小值，再由两点之间线段最短求解； （2）在（1）作图的基础上，连接并延长与抛物线交点即为点，根据抛物线的对称性即可说理． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) 证明：点是在该抛物线上的动点， 设点P的坐标为， ， ； ，直线的解析式是， ， ； (2)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等： （1）设点P的坐标为，根据两点间距离公式求出，可证； （2）由可得，当E，P，N共线时，等号成立． 【详解】（1）略 （2）解：， 点在抛物线的上方， 由（1）知， ，当E，P，N共线时，等号成立，如图： ，当时，， 的最小值为，此时点的坐标为． 构造二次函数求最值题型02 1．已知实数，满足，当______时，代数式的值最大． 【答案】1 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 设 ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值，最大值为4， 故答案为：1． 2．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t﹣4＝0的两实数根，则（m+3）（n+3）的最小值是 ___． 【答案】1 【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系可得出m+n＝2t，m•n＝t2﹣2t﹣4，将其代入（m+3）（n+3）＝mn+3（m+n）+9中，即可求出结论． 【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t﹣4＝0的两实数根， ∴m+n＝2t，m•n＝t2﹣2t﹣4， ∴（m+3）（n+3）＝mn+3（m+n）+9＝t2﹣2t﹣4+6t+9＝t2+4t+5＝（t+2）2+1， ∴（m+3）（n+3）的最小值是1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和配方法求二次函数的最值，解题的关键是牢记一元二次方程根与系数的关系． 3．如图，矩形中，，，为的平分线，F为上一动点，点M为的中点，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出的解析式，设点，求点坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求的最小值； 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ∵，， ∴点，，， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入可得， ，解得：， ∴， 设， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最小， ， 故答案为：； 【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识，建立平面直角坐标系是本题的关键． 4．在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据，，…，，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为______． 【答案】 【分析】根据题意，这些青稞穗的最佳近似长度可以取使函数为最小值的的值，整理上式，并求出青稞穗长的最佳近似长度． 【详解】解：由题意，a与各个测量数据的差的平方和 ， 时，有最小值， 青稞穗长的最佳近似长度为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·福建·期中）如图，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图像的一部分．王师傅想利用这块边角料截取一个矩形，其中在上（点在点左侧），点在线段上，点在曲线段上．测量发现：，，，，且和之间的距离为4．若以所在直线为轴，以中点为原点构建直角坐标系． (1)求曲线和直线的表达式； (2)设点的纵坐标为，请用含的式子表示矩形的面积，并求出最大值． 【答案】(1)曲线的表达式为，直线的表达式为 (2)矩形的面积为，最大值为 【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质，一次函数的图像和性质，矩形的面积，二次函数的最值，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意求出点的坐标，代入点的坐标到，求出曲线的表达式，得到点的坐标，进而得到点的坐标，再利用两点确定一次函数的方法即可求出直线的表达式； （2）根据题意得到，，代入到直线的不等式求出，再利用矩形的面积公式和二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵点为中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 代入到，得， ∴曲线的表达式为， ∵和之间的距离为4， ∴点的纵坐标为4， 代入到，得，解得， ∴， ∵， ∴， 设直线的表达式为， 代入和，得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：由题意得，，， 代入到，得，解得， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ， ∵， ∴当时，矩形的面积有最大值，最大值为． 二次函数的几何变换综合题型03 1．（24-25九年级上·山东青岛·期末）将二次函数的图象先向上平移2个单位，再把所得图象进行x轴对称变换，所得图象的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移，轴对称的性质．根据二次函数平移的规律，得到平移后的解析式，然后根据二次函数图象关于x轴对称变换的规律，即可求解． 【详解】解：把二次函数图象先向上平移2个单位 所以，得到的函数的解析式为：． 再把所得图象进行x轴对称变换后的解析式为：， 所以，所得图象的函数解析式为． 故选：C． 2．将函数向上平移3个单位后，再绕新函数图像的顶点旋转180°所得图像的函数解析式为__________． 【答案】 【分析】根据“上加下减”得到平移后函数解析式，再根据绕顶点旋转180°则a变为-a，即可求解． 【详解】解：将函数向上平移3个单位后，得到函数解析式为，新函数图像绕顶点旋转180°所得图像形状不变，开口向上，所以a变为相反数-a，所以函数解析式为． 故答案为： 【点睛】本题考查了函数图象的变换，函数的平移按照“左加右减，上加下减”法则进行，二次函数解析式中a的符号决定函数图象开口方向，a的绝对值决定函数图象开口大小． 3．如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【分析】画出图象，根据图象即可判断． 【详解】解：如图所示， ①图形关于y轴成轴对称，故正确； ②由图象可知，图形有最小值，且最小值为0；，故正确； ③当时，图形与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误； ④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 4．如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为______． 【答案】（9.5，﹣0.25） 【详解】试题分析：y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）， OA1=A1A2=1，P2P4=P1P3=2， P2（1.5，﹣0.25） P10的横坐标是1.5+2×[（10﹣2）÷2]=9.5， P10的纵坐标是﹣0.25， 故答案为（9.5，﹣0.25）． 考点：1、规律题；2、二次函数图象的几何变换 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线，三个顶点的坐标分别为，，．平移得到，当有两个顶点在抛物线上时，的长为________． 【答案】2或6或 【分析】根据已知点和抛物线的相对位置和点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”分情况求解即可． 【详解】解： ∵，，，， ∴要使平移后的三角形有两个顶点在抛物线上，只需将水平向左平移、竖直向上平移， 设将水平向左平移a个单位长度，竖直向上平移b个单位长度， 则，，， 若点、在抛物线上，如图1，则， 解得， 此时； 若点、在抛物线上，如图2，则， 解得， 此时； 若点、在抛物线上，如图3，则， 解得， 此时； 综上，的长为2或6或，    故答案为：2或6或． 【点睛】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征、坐标与图形-平移变换，熟知点的坐标平移规律是解答的关键． 二次函数图象与几何的综合应用题型04 1．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：    当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键． 2．（26-27九年级·山东·质检）如图，在抛物线 的内部依次画正方形，使对角线在 y 轴上，另两个顶点落在抛 物线上．按此规律类推，第2027 个正方形的边长是 __________． 【答案】 【分析】先求出直线的关系式，再联立并求出解，然后根据勾股定理求出，即可得出第1个正方形的边长，同理得出第2，3个正方形的边长，最后按此规律类推得出答案． 【详解】解：根据题意，， 即直线是第一象限的角平分线，则关系式为， 联立，得， 解得或，故点， ∴，即第1个正方形边长为； ∵， ∴直线的关系式中x的系数与直线的关系式中x的系数相同，且经过点， ∴直线的关系式为， 联立，得， 解得或，故点， ∴，即第2个正方形边长为； ∵， ∴直线的关系式中x的系数与直线的关系式中x的系数相同，且经过点， ∴直线的关系式为， 联立，得， 解得或，故点， ∴，即第3个正方形边长为， 按此规律类推，第n个正方形的边长为， ∴第2027个正方形的边长为． 3．已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标； (2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积． 【答案】(1)对称轴为轴，开口向上，顶点坐标为 (2) 【分析】（1）由抛物线的性质可得答案； （2）由、，顶点P坐标为；可得的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的开口方向向上、对称轴为直线、顶点P坐标为； （2）解：如图，    ∵、，顶点P坐标为； ∴． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，坐标与图形面积，熟记抛物线的性质是解本题的关键． 4．（24-25九年级上·上海·期末）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 证明：∵抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 即为直角三角形． 【分析】本题考查二次函数的性质、两点距离公式、勾股定理逆定理等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由表格找出值相等的两个点，再根据对称关系求出对称轴和顶点坐标，进而在观察开口方向； （2）利用两点距离公式求出、、的长度，再根据勾股定理逆定理证明即可． 【详解】（1）解：由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为， 根据表格可知，顶点坐标为， ∵顶点纵坐标比两侧数值小， ∴开口向上， ∴抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）略 5．（26-27八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)①；②或． 【分析】（1）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再将分别代入对应的函数中求出解，找出正确的答案即可； ②“相关函数”的图象是轴对称图形，得到当时，两个函数的值相等，从而求出答案； （2）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，根据当时，，与原函数图像关于轴对称，当时，，与原函数一致，所以要使二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，需的图像与四边形始终有2个公共点，根据图像找出特殊情况的值求解； ②转化为，然后根据“相关函数”的定义将分段函数表示出来，根据图像找出端点位置，根据图像判断的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，当时，，当时，， 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 故答案为：，； ②一次函数是关于“相关函数”， ∴当时，，当时，， ∴时，，， ∵“相关函数”的图象是轴对称图形， ∴当时，两个函数的值相等，即， 解得； （2）解：①已知，，，，如图所示， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，与原函数图像关于轴对称， 当时，，与原函数一致， ∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点， 需的图像与四边形始终有2个公共点， 结合图形得到，， 令，， 解得，， ∴如图所示，与四边形只有一个交点， 二次函数与四边形始终有2个交点， 则，解得， ∴的取值范围为； ②， 由题意得，当时，， 当时，， 作二次函数与的图像如下图， 情况一：当时的图象与线段有两个交点，时的图象与线段没有交点，如图， ∴， 解得， 情况二：当时的图象与线段有一个交点，时的图象与线段有一个交点，如图， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为或． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $