6.4 用二次函数解决问题（分层作业·练题型）数学新教材苏科版九年级下册

分层作业 6.4 用二次函数解决问题 目 录 A组 巩固过关 题型01 图形问题 题型02 拱桥问题 题型03 投球问题 题型04 喷水问题 题型05 销售问题 题型06 增长率问题 题型07 面积问题 题型08 角度问题 题型09 图形运动问题 题型10 特殊图形存在性问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 D组 链接中考 图形问题题型01 1．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字形窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是______． 【答案】 【详解】解：设，窗户的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴窗户的最大面积为． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植： A．郁金香      B．月季      C．菊花       D．玉兰花 (1)求这块场地中种植月季的面积关于场地的长的函数表达式，并求出自变量的取值范围． (2)当是多少时，种植月季的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；自变量的取值范围是；(2)当时，种植月季的面积最大，最大面积为 【详解】（1）解：由题可得：场地的宽度为：， ∴， 当时，即， 解得：，， ∴函数与x轴的交点坐标为：和，自变量的取值范围为：； （2）解：由（1）知，， ∴当时，种植月季的面积最大，最大面积为． 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为，矩形花圃的面积为S． (1)用含有的代数式表示为____； (2)当矩形花圃的面积S最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【答案】(1)；(2)，矩形花圃面积的最大值为 【详解】（1）解：由题意，； 故答案为：； （2）由题意，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为32； 答：，矩形花圃面积的最大值为． 4．（九年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【答案】 【详解】解：如图， 设， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，， ∴四边形的面积最大值为． 拱桥问题题型02 1．（九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降______米时，水面宽度为米．        【答案】 【详解】解：如图所示，建立如下平面直角坐标系：    设抛物线的解析式为， 将代入解析式得到，解得， ， 根据题意，当时，， 此时，水面下降（米）， 故答案为：． 2．如图1是某地公园的一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽______米．    【答案】 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升5米时，， 把代入得，， 解得， 此时水面宽米， 故答案为：． 3．如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为，此时拱桥的最高点到水面的距离为． (1)把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式； (2)当水面宽时，达到警戒水位，如果水位以的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？ 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系． 设拱桥所在的二次函数的图象对应的表达式为，由题意，可知图象的顶点坐标为 ∵ ∴点坐标为 ∴ ∴ ∴所求函数表达式为； （2）当水面宽 时， ∴当时， ， ∴函数图象经过（5，3）， ． 答：当达到警戒水位后，再过此桥孔将被淹没． 4．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，有一座抛物线型拱桥．在正常水位时，水面宽；当水位上升时，水面宽． (1)请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？ (3)在正常水位情况下，一艘宽为，高的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)不能 【详解】（1）解：由题意得，设抛物线的解析式为， ∵正常水位时，水面宽， ∴、， 代入得：， ∵水位上升后，水面宽， ∴、，， 代入得：， ∴ 解得， ∵， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，，即正常水位在处， ∵水面宽8米， ∴当时，， ∴水位上升高度为； （3）解：由题意得，正常水位下，船宽，即船的左右边缘在处， ∴当时，， ∴桥在处的高度为：， ∵， ∴船不能安全通过此桥． 投球问题题型03 1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则他将铅球推出的水平距离为______． 【答案】 【详解】解：当时，， 解得（不合，舍去），， ∴他将铅球推出的水平距离为， 故答案为：． 2．掷实心球是我市初中学业水平体育考试项目之一，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作抛物线．在一次模拟测试中，小明掷出的实心球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，则该次测试小明的成绩为_______m． 【答案】10 【详解】解：把代入得：， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：10． 3．（25-26九年级上·江苏·课后作业）某学生推铅球，铅球出手点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线弧（如图）运行，当运行到最高时，水平距离是． (1)试求铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式； (2)如果将轴平移至直线，轴平移至直线，原抛物线不动，在新的坐标系下，求原抛物线弧的函数表达式． 【答案】(1)（）；(2) 【详解】（1）解：由已知可设抛物线的函数表达式是（其中． 抛物线经过了点 解之，得． 故所求的函数表达式为， 令，得或．不合题意，舍去）． 自变量的取值范围是． （2）解：原抛物线的顶点在坐标原点，开口向下，且过点， 所以设抛物线的表达式为， 则解得：， 故所求抛物线弧的函数表达式是． 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）在投掷铅球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，铅球从出手到落地的过程中，它的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系，记出手点与落地点的水平距离为投掷距离．小亮投掷铅球时，记录部分数据如下表． 1 2 4 6 7 … 3 … (1)求与的函数表达式； (2)当铅球的投掷距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小亮在此次投掷中是否得满分． 【答案】(1)；(2)小亮在此次投掷中没有得满分 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点为， 可设抛物线的解析式为， 根据表格中的数据，将代入，得， 解得， ， 即与的函数表达式为； （2）解：由（1）可得与的函数表达式为， 将代入， ， 则， 解得（不合题意，舍去）， 当铅球的投掷距离超过时，得分为满分，而， 小亮在此次投掷中没有得满分． 喷水问题题型04 1．某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离与水流喷出的高度之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ∴当时，y取得最大值4， ∴水流喷出的最大高度是． 故选：D． 2．市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷泉管喷出的抛物线形水柱在与喷泉管的水平距离为处达到最高，高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉管喷出的抛物线形水柱的函数关系式是______． 【答案】 【详解】解：喷水管喷水的最大高度为，此时喷水水平距离为， 顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 而抛物线还经过， ， ， 抛物线的解析式为：， 故答案为：． 3．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的有关系如图所示，D为该水流的最高点，，垂足为A．已知，，则该水流距水平面的最大高度AD的为______m． 【答案】9 【详解】解：根据题意，设抛物线解析式为， 将点C（0，8）、B（8，0）代入得：， 解得， ∴抛物线解析式为 ∴m， 故答案为：9． 销售问题题型05 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（    ）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 【答案】B 【详解】解：设销售价格定为元/千克，日销售利润为元， ∵每千克利润为元， 售价较35元上涨了元，每涨元日销量减少15千克，故日销量减少千克， ∴实际日销售量为千克， 则， 展开整理得， ∵二次项系数，函数图象开口向下，存在最大值， ∴当时，取得最大值． 即销售价格应定为40元/千克． 故选：B． 2．（2026·江苏盐城·三模）某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： (1)设商品售价x元，则一天可以卖出________件； (2)当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 【答案】(1)；(2)当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元 【详解】（1）解：设商品售价x元，则由题意可得， 即一天可以卖出件； （2）解：由题意可得， 解得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线，x为正整数， ∴根据抛物线对称性可知，当或时，取得最大值， 此时最大值为, 即当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． (1)设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； (2)当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)；(2)售价元时，利润最大，最大利润元 【详解】（1）解：根据题意可得：， 将代入，得， 整理得， 故与之间的函数解析式为． （2）解： ， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为． 故售价元时，利润最大，最大利润元． 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）某商家计划在暑期销售一款非遗文创产品，根据市场分析，该产品的单价将随销售周期的变化而变化．设该产品在第为正整数）天的单价为元，与之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的一次函数关系式． (2)设该产品在第天的销售数量为，与的关系可以用 来描述．那么，哪天的销售额最大？此时该产品的单价是多少元？ 【答案】(1)；(2)第1天的销售额最大，此时该产品的单价是67元 【详解】（1）解：设与的一次函数关系式为， 将和代入函数关系式， 得，解得， 与的一次函数关系式为． （2）解：设该产品第天的销售额为元，根据题意，得， ． 抛物线的对称轴为，， 当时，随的增大而减小． 当时，销售额最大，此时该产品的单价为67元． 即第1天的销售额最大，此时该产品的单价是67元． 增长率问题题型06 1．某商品价格是元，准备进行两次降价，若每次降价百分率都是，两次降价后价格（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则与之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：商品原价为元，第一次降价百分率为， 第一次降价后的价格为元， 第二次降价百分率仍为，降价基数为第一次降价后的价格， 两次降价后的价格． 2．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 【答案】(1)含的代数式为，二次函数一般形式为；(2)该市参加健身运动人数的年平均增长率为 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x， 由题意得：2023年参加健身运动的人数， ∴二次函数一般形式为 （2）解：由题意得：，则， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该市参加健身运动人数的年平均增长率为． 3．在数学课上学习一元二次方程应用——变化率问题时，小雨同学发现若两种商品原价相同，分别经过两轮涨价之后的价格也相同，其中一种商品第一轮涨价，在第一次涨价后的价格基础上，第二轮涨价的百分率为，另一种商品两轮涨价的百分率均为（），则与存在函数关系，试写出与的函数解析式． 【答案】 【详解】解：根据两种商品两轮涨价后的最终价格相等，得， 去括号，得， 移项得， 系数化为1，得． 面积问题题型07 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点，该二次函数图象的顶点为，连接． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标公式为， 在二次函数中，，，， 故， ， 点的坐标为． （2）解：联立两个函数表达式得： ， 即， 整理得：， 解得：，， 将，代入函数， 得，， ，． 设函数为，图像与轴交于点， 将点，代入函数得 ， 解得：， ， 令， ， 解得：， ， ， ， 即． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，O为原点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上的一点，连接，，若，求符合要求的点P的坐标． 【答案】(1)；(2)或或或 【详解】（1）∵， ∴， ∴将，代入得， 解得 ∴； （2）当时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 当时， 解得或 ∴点P的坐标为或； 当时， 解得或， ∴点P的坐标为或； 综上所述，符合要求的点P的坐标为或或或． 3．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线与轴交于两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线在第一象限内的一点，连接．设点的横坐标为的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值． 【答案】(1)；(2)；． 【详解】（1）解：抛物线过，代入得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：由解析式得， 设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 点在第一象限抛物线上， ， 过作轴交于，交轴于点，如图所示， ， ， ， ， ，当时，． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知抛物线经过、两点，D是抛物线的顶点 (1)求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)P为抛物线上一点，若使得，求出点的坐标． 【答案】(1)，；(2)或 【详解】（1）解：将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； （2）解： ，， ， 设点，则， ， 当时，， 解得，， 此时或； 当时，， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为或． 角度问题题型08 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是______． 【答案】或 【详解】解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 联立得， 解得：（舍去）或； 关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， 联立得， 解得：（舍去）或；， 综上：点横坐标是或. 故答案为：或. 2．（2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵与y轴相交于点， ∴， ∴； （2）解：设对称轴与直线的交点为M，连接，则， 当时，解得或， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得， ∴， ∴， 设， ∴， 解得， ∴． 3．已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．M为x轴下方抛物线上横坐标为m的点，连接． (1)求该抛物线的解析式和点B的坐标； (2)当时，求m的值． 【答案】(1)抛物线解析式为，点B的坐标为；(2) 【详解】（1）解∶由过点和可得： ． 解得． ∴抛物线解析式为． 令，得． 解得． ∴点B的坐标为． （2）解：如图1，过点C作交直线于点D，过D作轴于点H． ∵， ∴为等腰直角三角形，． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，． ∵坐标为， ∴D点坐标为． 设直线的解析式为，代入和得 解得 即直线解析式为． 联立直线与抛物线方程得： ． 解得， ． ∴． 4．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，顶点是，抛物线的对称轴是直线．点，连接，将直线沿轴向右平移得到直线，使直线经过点，同时直线与抛物线交于另一点． (1)填空：点的横坐标是___________； (2)如图，若线段恰好与线段重合，是上一点，连接，，求点的坐标． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点是， ∴抛物线的对称轴为直线，即的横坐标为； （2）解：∵点，将直线沿轴向右平移得到直线，使直线经过点， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ 又∵是抛物线的对称轴，关于直线对称 ∴ ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ 设， ∵，， ∴ 解得： ∴ 根据对称性，可知：也符合题意 图形运动问题题型09 1．（九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．点F是抛物线上的一动点，设，对应的点F有且只有两个，则m的取值范围是____． 【答案】 【详解】解：由知点，点， 将，代入， 可得， 解得， ， 由题意得，当点在直线的下方的抛物线上时，一定有两个对应的点满足，所以当点在直线的上方的抛物线上时，此时无点满足才符合题意，故只需讨论当点在直线的上方的情况， 如图，过点作轴的垂线交于点，如图所示， 设点， 则点， 当时，的最大值为， 当取大于时，在上方无法找到点， 综上所述：当时，对应的点有且只有两个． 故答案为： 2．如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ______，当时，x的值为 ______． 【答案】9 4或11 【详解】解：由图象可知：当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分， 当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，则梯形的高为定值， 即：高为， ∴， ∴当时，，则， ∵等腰直角， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积：， 当时，， 解得：（舍去）； 当时，，， ∴， 当时，， ∴（舍去）； 当时，则：， ∴， 当时，， 解得：或（舍掉）； 故答案为：9；4或11． 3．如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 【答案】(1)；(2)当秒时，S有最小值． 【详解】（1）解：第t秒钟时，，故，， 故． ∵． ∴； （2）解：， ∵， ∴当秒时，S有最小值． 特殊图形存在性问题题型10 1．（九年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点B，连接．在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，或或或． 【详解】解：抛物线经过两点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 ∵ ∴抛物线对称轴为， 设点，而点， 则，,， ①当是斜边时， 解得：； ②当是斜边时， 解得，； ③当是斜边时， 同理可得：或； 综上，点M的坐标为：或或或． 2．如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)若为抛物线上一点，连接，是否存在以为底的等腰？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；(2)存在，点的坐标为或 【详解】（1）解：∵已知抛物线（）与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，解得：， ∴； （2）存在， ∵， ∴， 若存在以为底的等腰，则，点在的垂直平分线上， 如图，设的垂直平分线交轴于点，交于点，连接， 则，设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， ∵为的中点， ∴， 设直线得到的解析式为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得：， ∴点的坐标为：或 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，﹣3)，动点P在抛物线上． （1）= ，c= （直接填写结果） （2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】（1）-2，-3；（2）存在， 【详解】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得： ， 故抛物线的表达式为： 故答案为：-2，-3，； （2）存在， 理由：如图1所示： ①当∠ACP是直角时，而， 设 整理得： 解得： （不合题意舍去）， 当   故点P（1，-4）； ②当为直角时， 同理可得：点的坐标为：（-2，5）； 综上所述，P的坐标是（1，-4）或（-2，5）． 4．如图，已知抛物线（a，b为常数，且）与x轴交于两点，且，与y轴交于点C，点D为第四象限内抛物线上的动点，轴交所在直线于点E． (1)求抛物线的函数表达式和点C'的坐标； (2)若点F为y轴上一点，是否存在点D，使得以点C，D，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，点C的坐标为；(2)存在点D，使得以点C，D，E，F为顶点的四边形是菱形，点D的坐标为或 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵抛物线经过A，B两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 令，得， ∴点C的坐标为． （2）解：存在，理由如下： ∵ ∴，， 设所在直线的函数表达式为， ∴， 解得， ∴所在直线的函数表达式为， 设，则， ①如图1所示:当为菱形的对角线时， ∵，四边形是菱形， ∴. ∴菱形为正方形． ∴， ∴，解得或0（舍去）． ∴． ∴当为菱形的对角线时，点D的坐标为； ②当为菱形的一条边时，如图2所示．过点E作轴于点I， ∵，四边形是菱形， ∴， ∴. ∴，， ∴， 解得或0（舍去）． ∴当为菱形的一条边时，点D的坐标为． 综上可知，存在点D，使得以点C，D，E，F为顶点的四边形是菱形，其中点D的坐标为或． 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得，把，，代入得， ，解得：， ∴， ∵, ∴ 当时，P有最大值为， ∴最佳的洒水量， 故选：． 2．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）某种型号飞机在跑道上刹车后滑行的距离S（米）与滑行的时间x（秒）的函数解析式是，则飞机滑行________秒停止，飞机停止前最后2秒滑行的距离为________米． 【答案】 【详解】解：飞机刹车后停止时不再滑行，此时滑行距离取得最大值， 该二次函数中，开口向下，最大值在顶点处， ∵顶点横坐标为，其中，， ∴，即飞机滑行秒停止． 对函数配方得： ， 当时，最大滑行距离米． 停止前最后秒，即求到滑行的距离，将代入得： ， ∴最后秒滑行距离为米． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 【答案】 【详解】解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，，， ∵， ∴， 作于点H，作轴于点N，交于点M， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当取最大值时，P点到直线的距离有最大值， 设，． ∴． ∴． ∵， ∴当时，． ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）某商场销售杭州亚运会吉祥物“宸宸”，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件． (1)当销售价格上涨4元时，每天对应的销售量为________件．请直接写出y与x的函数关系式________； (2)设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)260，；(2)每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元 【详解】（1）解：∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件． ∴（件）， ∴当销售价格上涨4元时，每天对应的销售量为260件； ∵设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件， ∴， （2）解：依题意，设每天的销售利润为w元， ∴ ∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线 ∵x为偶数 ∴当或时，有最大值， ∵为了让利于顾客， ∴舍去， ∴把代入， 得， 则（元）， ∴每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元． 5．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． (1)用含的式子表示： ； ； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是． 解决问题：运动时间为何值时，四边形的面积最小？ 【答案】(1)；；(2)或；(3)四边形的面积不能等于；理由见解析；(4)运动时间时，四边形的面积最小． 【详解】（1）解：设运动时间为， 由题意可知：，， 到用时：，到用时：，所以 ． ， ． ， ； （2）解：令； 解得：，，和都满足 ． 运动时间为或． （3）解：四边形的面积不能等于；理由如下： 由（1）得，， 当四边形的面积等于，， 解得：，（舍）， ， 四边形的面积不能等于； （4）解：， ， ， 运动时间时，四边形的面积最小． 6．一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径，碗底直径，面碗的边沿上一点B到桌面的距离，碗足高．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以碗的中轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线）m为y轴的平面直角坐标系（如图3）． (1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数解析式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面与桌面的距离为时，求此时面碗中水面的宽度． 【答案】(1)；(2)此时面碗中水面的宽度为 【详解】（1）解：由题意，可知点、点． 设抛物线的表达式为， ，解得； 抛物线的函数解析式为． （2）解：∵， ∴当与桌面的距离为时，则． 当时，，解得． ． 答：此时面碗中水面的宽度为． 1．已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)当时，函数的最小值为0． ①求的值； ②点，是二次函数图象上的两个动点，若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)该二次函数图象的对称轴是直线；(2)①，②． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∴该二次函数图象的对称轴是直线． （2）解：①∵二次函数图象的对称轴是直线，，开口向下， 而，距离对称轴较远， ∴当时，函数在处取得最小值． 由（1），知， ∴， 当时，，即， 解得， ②． 由题意，得二次函数的表达式为， ∴，， ， 当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的取值范围是． 2．（2026·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（、为常数）的图象经过点，．点是该抛物线上一点（点不在轴上），过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，以为边，以点为对称中心作．设点的横坐标为． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当点在抛物线对称轴右侧，且被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形时，求的长； (3)当线段与该抛物线恰好有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)；(2)或；(3) 【详解】（1）解：∵抛物线（、为常数）的图象经过点，， ∴． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为，当时，， ∴抛物线与x轴与y轴交于点， 点在抛物线对称轴右侧，点的横坐标为，且点A不在x轴上， ，且， ， 过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，则， ， 四边形是以点为对称中心的平行四边形， 点与点、点与点分别关于原点对称， ，， 被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形， 分两种情况： ① 当在轴上方，对称轴右侧的图形为等腰直角三角形时，过点D作延长线于点M，则平行于直线，， ∵点在直线的直线上，且关于原点成中心对称的点为点D， ∴点D在直线的直线上， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴，， ∴， 整理得，， 解得（舍去），， 此时； ② 当在轴下方，对称轴右侧的图形为等腰直角三角形时， 同理，，，，，， ∴， 整理得， ， 解得（舍去），， 此时； 综上，的长为或； （3）解：由（2）知，， ∴线段平行于轴，纵坐标为， 线段与抛物线恰好有两个公共点，需满足以下临界情况： ① 当与抛物线顶点相切时，此时为上临界值， 此时的纵坐标， 整理得，， 解得，（舍去）； ② 当点刚好在抛物线上时，此时为下临界值， 将代入抛物线解析式：， 整理得，， 解得，（舍去）； 结合图形位置关系，线段与抛物线恰好有两个公共点时，的取值范围为：. 3．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D． (1)此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________； (2)点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________； (3)将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①求m的值； ②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围． 【答案】(1)，，，；(2)；(3)①；② 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，点， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，， ∴， ∵，交抛物线于点D， ∴C、D关于直线对称， ∴， ∵抛物线交x轴于点，点， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 过E作于F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； （3）解：①由（1）知， ∵抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， 综上，； ②设直线解析式为， 则， 解得， ∴， ∵点M为线段上一动点， M的横坐标为t， ∴M的纵坐标为，， 由①知：， ∵轴， ∴， ∴ ， ∴当时，随t的增大而减小， 又， ∴， 即当时，点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小． 4．（2026·江苏镇江·二模）如图，抛物线：（是常数，）与轴交于点，，点在点的左侧，与轴交于点． (1)求的值及直线的表达式； (2)如图，将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方的抛物线上的一动点，点关于直线的对应点为点，连接交于点．在点的运动过程中，求线段长度的最大值； (3)若抛物线与直线在第三象限的图象组成新的图象，图象上有两个动点，，（点在点的左侧），、两点之间的图象（含，两点）的最高点和最低点的纵坐标的差为，直接写出与之间的函数解析式并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)；；(2)；(3) 【详解】（1）解：∵与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得： ， ∴点， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：由（1）得：抛物线的解析式为， ∵点，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，过点P作轴于N，交于点M，则， 设点P的坐标为，则点M的坐标为， ∴， ∵点关于直线的对应点为点， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 对于，当时，， 根据题意得：图象W由时的抛物线和第三象限的直线部分组成， ∵点，，（点在点的左侧）， ∴，即， 当时，如图2，点M在直线上，点N在抛物线上M、N两点（含M，N两点）之间的图象的最低点为点，最高点为， ∵， ∴； 当时，如图3，图4，点M在直线上或在抛物线段上，点N在抛物线上，M、N两点（含M，N两点）之间的图象的最低点为抛物线的顶点，最高点为， ∵， ∴； 当时，如图5，点M在抛物线上，点N在抛物线上，M、N两点（含M，N两点）之间的图象的最低点为，最高点为， ∵， ∴； 综上所述，． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，点B在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以为对角线作矩形，垂直于y轴． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； (3)当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； (4)当矩形为正方形时，直接写出m的值． 【答案】(1)，；(2)且；(3)或或或；(4)或 【详解】（1）解：抛物线经过原点O，点B在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m， 又以为对角线作矩形，垂直于y轴，且抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，如图： 则当M在C上方时满足条件， 当点重合时，为满足题干条件的临界点， 当时，有， 解得， 此时，， 当且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升； （3）解：点M横坐标为m， ， 当点在点的上方时， 矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， ， 解得或； 当点在点的下方时， 矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， ， 解得或； 综上，当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，m的值为或或或； （4）解：由（3）可知， 矩形为正方形， ， ，即 或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）， 综上，当矩形为正方形时， m的值为或． 6．（2026·江苏镇江·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点在抛物线上，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在第一象限，连接交于点．记的面积为，的面积为．当时，则点的横坐标的取值范围是______； (3)如图2，直线交抛物线于另一点． ①若点、点的横坐标分别是、，则______； ②连接、，记的面积为，求的最小值． 【答案】(1)；(2)；(3)①；②的最小值为8． 【详解】（1）解：由题意，抛物线经过点和， 将代入，得， 将代入，得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：先求解抛物线与x轴的另一个交点A， 令，即， 解得或， 结合A在B左侧得； ∵， ∴， ∴， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，整理得， ∵点在第一象限， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 联立直线与抛物线方程得，， 整理得：， 该方程的两个根为点P、Q的横坐标m、n， 由一元二次方程根与系数的关系得； ②∵点，， ∴， ∵， ∴m、n异号，设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（当且仅当，即时取等号）， ∴， 答：的最小值为8． 1．（2026·江苏盐城·中考真题）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． (1)如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ (2)火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 【答案】(1)火箭点火后降落伞将打开；(2)不存在经过恰好上升的情形． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， ， 当时，函数取得最大值， 故火箭点火后降落伞将打开． (2)解：火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形；理由如下： 当时，得， 整理，得， ， 故方程的两个不相等的实数根为：， 根据题意，火箭上升阶段的时间范围为：， ， 不在范围内，舍去； ， 在时间范围内， ， 故火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形． 2．（2026·江苏淮安·中考真题）“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 【答案】(1)抛物线表达式为；(2)拱顶到水面的距离为 【详解】（1）解：以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，， 则， 设抛物线表达式为， 代入，可得 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为， 将代入，可得， ∴此时拱顶到水面的距离为 答：拱顶到水面的距离为． 3．（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得： ， 解得． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∵当时，铅球处于下落状态， ∴抛物线的对称轴直线，且当时，， 解得：． （3）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况： （1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， （2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） （3）当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得(舍)或（舍）． 综上：或． 4．（2026·江苏常州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)__________． (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． (3)连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值． 【答案】(1)；(2)的取值范围为或．；(3)的值为． 【详解】（1）解：将点的坐标代入，得 ， 解得． （2）解：由（1）知，二次函数表达式为． 令，得． 令，得， 解得或． 令，得， 解得或． 如图，结合函数图像可知，当时，函数值介于与5之间，对应的自变量分为两段，当点，在抛物线上，且时，的取值范围为或． （3）解：如图 令，得， 解得或． ． 令，得， ． 设直线的函数表达式为． 将点，的坐标分别代入． 得 解得 直线的函数表达式为． ， ． 由题意可知，，，，，且点在点上方，点在点上方， ，， ， ，抛物线开口向下，二次函数在处取得最大值． 又，满足题设条件， 当时，取得最大值，即当最大时，的值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.4 用二次函数解决问题 目 录 A组 巩固过关 题型01 图形问题 题型02 拱桥问题 题型03 投球问题 题型04 喷水问题 题型05 销售问题 题型06 增长率问题 题型07 面积问题 题型08 角度问题 题型09 图形运动问题 题型10 特殊图形存在性问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 D组 链接中考 图形问题题型01 1． 2．(1)；自变量的取值范围是；(2)当时，种植月季的面积最大，最大面积为 3．(1)；(2)，矩形花圃面积的最大值为 4． 拱桥问题题型02 1． 2． 3．(1)；(2) 4．(1)；(2)；(3)不能 投球问题题型03 1． 2．10 3．(1)（）；(2) 4．(1)；(2)小亮在此次投掷中没有得满分 喷水问题题型04 1．D 2． 3．9 销售问题题型05 1．B 2．(1)；(2)当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元 3．(1)；(2)售价元时，利润最大，最大利润元 4．(1)；(2)第1天的销售额最大，此时该产品的单价是67元 增长率问题题型06 1．B 2．(1)含的代数式为，二次函数一般形式为；(2)该市参加健身运动人数的年平均增长率为 3． 面积问题题型07 1．(1)；(2) 2．(1)；(2)或或或 3．(1)；(2)；． 4．(1)，；(2)或 角度问题题型08 1．或 2．(1)；(2)． 3．(1)抛物线解析式为，点B的坐标为；(2) 4．(1)(2)或 图形运动问题题型09 1． 2．9 4或11 3．(1)；(2)当秒时，S有最小值． 特殊图形存在性问题题型10 1．存在，或或或． 2．(1)；；(2)存在，点的坐标为或 3．（1）-2，-3；（2）存在， 4．(1)抛物线的函数表达式为，点C的坐标为；(2)存在点D，使得以点C，D，E，F为顶点的四边形是菱形，点D的坐标为或 1．B 2． 3． 4．(1)260，；(2)每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元 5．(1)；；(2)或；(3)四边形的面积不能等于；理由见解析；(4)运动时间时，四边形的面积最小． 6．(1)；(2)此时面碗中水面的宽度为 1．(1)该二次函数图象的对称轴是直线；(2)①，②． 2．(1)；(2)或；(3) 3．(1)，，，；(2)；(3)①；② 4．(1)；；(2)；(3) 5．(1)，；(2)且；(3)或或或；(4)或 6．(1)；(2)；(3)①；②的最小值为8． 1．(1)火箭点火后降落伞将打开；(2)不存在经过恰好上升的情形． 2．(1)抛物线表达式为；(2)拱顶到水面的距离为 3．(1)；(2)；(3)或 4．(1)；(2)的取值范围为或．；(3)的值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.4 用二次函数解决问题 目 录 A组 巩固过关 题型01 图形问题 题型02 拱桥问题 题型03 投球问题 题型04 喷水问题 题型05 销售问题 题型06 增长率问题 题型07 面积问题 题型08 角度问题 题型09 图形运动问题 题型10 特殊图形存在性问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 D组 链接中考 图形问题题型01 1．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字形窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是______． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植： A．郁金香      B．月季      C．菊花       D．玉兰花 (1)求这块场地中种植月季的面积关于场地的长的函数表达式，并求出自变量的取值范围． (2)当是多少时，种植月季的面积最大？最大面积是多少？ 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为，矩形花圃的面积为S． (1)用含有的代数式表示为____； (2)当矩形花圃的面积S最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 4．（九年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 拱桥问题题型02 1．（九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降______米时，水面宽度为米．        2．如图1是某地公园的一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽______米．    3．如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为，此时拱桥的最高点到水面的距离为． (1)把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式； (2)当水面宽时，达到警戒水位，如果水位以的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？ 4．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，有一座抛物线型拱桥．在正常水位时，水面宽；当水位上升时，水面宽． (1)请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？ (3)在正常水位情况下，一艘宽为，高的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由． 投球问题题型03 1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则他将铅球推出的水平距离为______． 2．掷实心球是我市初中学业水平体育考试项目之一，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作抛物线．在一次模拟测试中，小明掷出的实心球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，则该次测试小明的成绩为_______m． 3．（25-26九年级上·江苏·课后作业）某学生推铅球，铅球出手点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线弧（如图）运行，当运行到最高时，水平距离是． (1)试求铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式； (2)如果将轴平移至直线，轴平移至直线，原抛物线不动，在新的坐标系下，求原抛物线弧的函数表达式． 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）在投掷铅球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，铅球从出手到落地的过程中，它的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系，记出手点与落地点的水平距离为投掷距离．小亮投掷铅球时，记录部分数据如下表． 1 2 4 6 7 … 3 … (1)求与的函数表达式； (2)当铅球的投掷距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小亮在此次投掷中是否得满分． 喷水问题题型04 1．某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离与水流喷出的高度之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（    ）    A． B． C． D． 2．市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷泉管喷出的抛物线形水柱在与喷泉管的水平距离为处达到最高，高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉管喷出的抛物线形水柱的函数关系式是______． 3．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的有关系如图所示，D为该水流的最高点，，垂足为A．已知，，则该水流距水平面的最大高度AD的为______m． 销售问题题型05 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（    ）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 2．（2026·江苏盐城·三模）某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： (1)设商品售价x元，则一天可以卖出________件； (2)当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． (1)设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； (2)当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）某商家计划在暑期销售一款非遗文创产品，根据市场分析，该产品的单价将随销售周期的变化而变化．设该产品在第为正整数）天的单价为元，与之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的一次函数关系式． (2)设该产品在第天的销售数量为，与的关系可以用 来描述．那么，哪天的销售额最大？此时该产品的单价是多少元？ 增长率问题题型06 1．某商品价格是元，准备进行两次降价，若每次降价百分率都是，两次降价后价格（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则与之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 2．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 3．在数学课上学习一元二次方程应用——变化率问题时，小雨同学发现若两种商品原价相同，分别经过两轮涨价之后的价格也相同，其中一种商品第一轮涨价，在第一次涨价后的价格基础上，第二轮涨价的百分率为，另一种商品两轮涨价的百分率均为（），则与存在函数关系，试写出与的函数解析式． 面积问题题型07 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点，该二次函数图象的顶点为，连接． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，O为原点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上的一点，连接，，若，求符合要求的点P的坐标． 3．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线与轴交于两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线在第一象限内的一点，连接．设点的横坐标为的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知抛物线经过、两点，D是抛物线的顶点 (1)求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)P为抛物线上一点，若使得，求出点的坐标． 角度问题题型08 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是______． 2．（2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 3．已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．M为x轴下方抛物线上横坐标为m的点，连接． (1)求该抛物线的解析式和点B的坐标； (2)当时，求m的值． 4．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，顶点是，抛物线的对称轴是直线．点，连接，将直线沿轴向右平移得到直线，使直线经过点，同时直线与抛物线交于另一点． (1)填空：点的横坐标是___________； (2)如图，若线段恰好与线段重合，是上一点，连接，，求点的坐标． 图形运动问题题型09 1．（九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．点F是抛物线上的一动点，设，对应的点F有且只有两个，则m的取值范围是____． 2．如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ______，当时，x的值为 ______． 3．如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 特殊图形存在性问题题型10 1．（九年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点B，连接．在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)若为抛物线上一点，连接，是否存在以为底的等腰？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，﹣3)，动点P在抛物线上． （1）= ，c= （直接填写结果） （2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； 4．如图，已知抛物线（a，b为常数，且）与x轴交于两点，且，与y轴交于点C，点D为第四象限内抛物线上的动点，轴交所在直线于点E． (1)求抛物线的函数表达式和点C'的坐标； (2)若点F为y轴上一点，是否存在点D，使得以点C，D，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标：若不存在，请说明理由． 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）某种型号飞机在跑道上刹车后滑行的距离S（米）与滑行的时间x（秒）的函数解析式是，则飞机滑行________秒停止，飞机停止前最后2秒滑行的距离为________米． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）某商场销售杭州亚运会吉祥物“宸宸”，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件． (1)当销售价格上涨4元时，每天对应的销售量为________件．请直接写出y与x的函数关系式________； (2)设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 5．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． (1)用含的式子表示： ； ； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是． 解决问题：运动时间为何值时，四边形的面积最小？ 6．一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径，碗底直径，面碗的边沿上一点B到桌面的距离，碗足高．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以碗的中轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线）m为y轴的平面直角坐标系（如图3）． (1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数解析式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面与桌面的距离为时，求此时面碗中水面的宽度． 1．已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)当时，函数的最小值为0． ①求的值； ②点，是二次函数图象上的两个动点，若，请直接写出的取值范围． 2．（2026·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（、为常数）的图象经过点，．点是该抛物线上一点（点不在轴上），过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，以为边，以点为对称中心作．设点的横坐标为． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当点在抛物线对称轴右侧，且被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形时，求的长； (3)当线段与该抛物线恰好有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 3．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D． (1)此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________； (2)点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________； (3)将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①求m的值； ②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围． 4．（2026·江苏镇江·二模）如图，抛物线：（是常数，）与轴交于点，，点在点的左侧，与轴交于点． (1)求的值及直线的表达式； (2)如图，将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方的抛物线上的一动点，点关于直线的对应点为点，连接交于点．在点的运动过程中，求线段长度的最大值； (3)若抛物线与直线在第三象限的图象组成新的图象，图象上有两个动点，，（点在点的左侧），、两点之间的图象（含，两点）的最高点和最低点的纵坐标的差为，直接写出与之间的函数解析式并写出自变量的取值范围． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，点B在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以为对角线作矩形，垂直于y轴． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； (3)当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； (4)当矩形为正方形时，直接写出m的值． 6．（2026·江苏镇江·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点在抛物线上，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在第一象限，连接交于点．记的面积为，的面积为．当时，则点的横坐标的取值范围是______； (3)如图2，直线交抛物线于另一点． ①若点、点的横坐标分别是、，则______； ②连接、，记的面积为，求的最小值． 1．（2026·江苏盐城·中考真题）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． (1)如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ (2)火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 2．（2026·江苏淮安·中考真题）“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 3．（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 4．（2026·江苏常州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)__________． (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． (3)连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $