6.3确定二次函数的表达式（分层作业，10大题型）数学新教材苏科版九年级下册

分层作业 6.3 确定二次函数的表达式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 一点一参数代入求二次函数的表达式 题型02 两点两参数代入求二次函数的表达式 题型03 三点三参数代入求二次函数的表达式 题型04 利用顶点式求二次函数的解析式 题型05 利用交点式求二次函数的解析式 题型06 一点一对称轴求二次函数的表达式 题型07 利用图象信息确定二次函数解析式 题型08 待定系数法求二次函数表达式 B组 能力进阶 题型 利用几何图形的性质确定二次函数解析式 C组 思维拔高 题型 与二次函数表达式有关的综合题 一点一参数代入求二次函数的表达式题型01 1．（25-26九年级上·广西崇左·月考）已知点在抛物线上，则a的值为（    ） A． B． C．2 D． 2．（25-26九年级上·海南·期末）已知抛物线与y轴的交点坐标为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．已知二次函数的图象经过点，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 4．（25-26九年级上·四川·期末）关于x的函数图象经过原点，则m的值为_____． 5．（25-26九年级上·广西防城港·期中）抛物线的图象过点． (1)求抛物线解析式； (2)将该二次函数的解析式化为的形式； (3)x取什么值时，y的值随着x的增大而增大？ 两点两参数代入求二次函数的表达式题型02 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A．0 B．4 C．8 D． 2．二次函数的图象交x轴于，两点，则二次函数的解析式为________． 3．已知二次函数的图象经过点和点．求b，c的值． 4．抛物线经过（﹣1，3），（2，6）两点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求这条抛物线的顶点坐标； （3）将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C1，写出抛物线C1的解析式． 5．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 三点三参数代入求二次函数的表达式题型03 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（　　） x … 0 1 2 … y … -5 5 … A． B． C． D． 2．已知一条抛物线经过四点，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．已知一个二次函数的图象经过，和三点，那么这个函数的解析式是________． 4．（2025·江苏·一模）已知二次函数和中，函数，与自变量x的部分对应值分别如表1，表2： 表1                      表2 x 1 2 3 x 1 2 3 m n 则____．（填“”“”或“”） 5．二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式． 利用顶点式求二次函数的解析式题型04 1．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于，则抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·月考）若二次函数的图象过点和，且顶点为，则_______ 3．抛物线经过点A（2，0），该抛物线顶点在直线上，则该抛物线解析式为______． 4．（26-27九年级上·安徽阜阳·月考）已知抛物线的顶点坐标是，且经过点，求该抛物线的函数表达式． 5．（25-26九年级上·天津·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，且）与轴的一个交点坐标是，顶点坐标是． (1)求该抛物线解析式中，，的值； (2)直接写出当时，函数值的取值范围． 利用交点式求二次函数的解析式题型05 1．已知抛物线经过点，，，则抛物线的解析式________________________． 2．（25-26九年级上·天津·月考）二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为_______． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式． 4．已知二次函数经过求二次函数的表达式． 5．（25-26九年级上·天津·月考）如图，过点的抛物线与直线交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积． 一点一对称轴求二次函数的表达式题型06 1．如果抛物线的对称轴是x＝－3，且开口方向与形状与抛物线y= -2 x2相同，又过原点，那么a＝_______，b＝ ______，c＝_________． 2．（24-25八年级下·北京·期末）已知抛物线经过点，它的对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 3．已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1， 求该抛物线的解析式． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·联考）已知抛物线的对称轴是直线，且经过点和，求抛物线的函数表达式． 利用图象信息确定二次函数解析式题型07 1．（25-26九年级上·福建厦门·月考）二次函数的图象如图，则它的解析式是______． 2．（25-26九年级上·江西赣州·月考）已知二次函数的部分图象如图所示． (1)求该抛物线与轴的另外一个交点坐标和的值． (2)将该抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，直接写出平移后抛物线的解析式并说明点是否在平移后的抛物线上． 待定系数法求二次函数表达式题型08 1．（2025·陕西·模拟）将二次函数为常数，且的图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的二次函数图象经过点，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（2025·陕西西安·一模）大棚果蔬产业的大力发展使得蔬菜产业逐步向科学化种植、规模化发展、产业化经营模式转变．某种植户建设蔬菜大棚，该大棚一边靠保温墙，其塑料棚横截面可近似看作抛物线，保温墙的高度为，大棚的跨径为，现对塑料棚横截面建立如图所示的平面直角坐标系，已知大棚上某处离地面AB的高度与到保温墙AC的水平距离之间的关系满足． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)现要使得高度为的机械农具在不碰到大棚的情况下工作（农具宽度忽略不计），则农具活动范围的宽度是多少？ 3．【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 … 运动速度（） … 滑行距离 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出关于的函数关系式和关于的函数关系式． 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离． 4．（2025·河南漯河·一模）研究小组进行跨学科主题学习活动，研究某种化学试剂的挥发情况．研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．场景A实验中试剂剩余质量随时间变化的过程可以用一次函数表示．场景B的实验可看作抛物线的一部分．小东结合实际实验和计算得到场景B的数据，如表所示： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） 21 19.5 16 10.5 3 请根据以上信息，解决下列问题： (1)在网格中建立平面直角坐标系，一次函数的图象已画出，请你根据表格中已知数据描点，并用平滑的曲线画出场景B的关系图象． (2)求场景B中与的函数表达式． (3)当时，上述函数关系仍然成立，通过计算说明化学试剂在哪个场景下挥发所用的时间更长． 利用几何图形的性质确定二次函数解析式题型 1．如图，二次函数的图象经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则_______． 2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接．点P是抛物线的对称轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形，则点P的纵坐标是______． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知抛物线经过点． (1)求a的值． (2)过y轴上一点A，作y轴的垂线，交该抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点．求点A的坐标． 4．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，二次函数的图象交轴于，两点，已知抛物线的对称轴为轴，． (1)求的值； (2)若点在抛物线上，且点的横坐标为，连接，求的面积． 与二次函数表达式有关的综合题题型 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线开口向下，过，两点，且．甲同学认为：若点，在抛物线上，，且，则．乙同学认为：当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，以下对两位同学的看法判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 2．如图，一组x轴正半轴上的点满足条件，抛物线的顶点依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以为顶点且过点O和；第二条抛物线以为顶点且经过点和；…第n条抛物线以为顶点且经过点，．依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成、、…、．若三角形是一个直角三角形，则它相对应的抛物线的函数表达式为 _____． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 4．已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将点向下平移6个单位，向左平移m个单位后恰好落在抛物线上，求m的值； (3)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 5．（24-25九年级上·山东日照·月考）定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． (1)有下列函数：①；②；③．其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是_______（填序号）． (2)已知抛物线（m，n均为常数） 与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数解析式． (3)若抛物线（a，b是常数，）上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.3 确定二次函数的表达式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 一点一参数代入求二次函数的表达式 题型02 两点两参数代入求二次函数的表达式 题型03 三点三参数代入求二次函数的表达式 题型04 利用顶点式求二次函数的解析式 题型05 利用交点式求二次函数的解析式 题型06 一点一对称轴求二次函数的表达式 题型07 利用图象信息确定二次函数解析式 题型08 待定系数法求二次函数表达式 B组 能力进阶 题型 利用几何图形的性质确定二次函数解析式 C组 思维拔高 题型 与二次函数表达式有关的综合题 一点一参数代入求二次函数的表达式题型01 1．（25-26九年级上·广西崇左·月考）已知点在抛物线上，则a的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与函数的关系，用待定系数法，将点坐标代入抛物线方程求解 a 的值 【详解】解：∵ 点在抛物线上， ∴ 当时，，代入得， ∴， 故选：C. 2．（25-26九年级上·海南·期末）已知抛物线与y轴的交点坐标为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数解析式，把代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线与y轴的交点坐标为， ∴把代入得， ∴， 故选：A． 3．已知二次函数的图象经过点，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确将已知点代入解析式是解题关键． 直接将已知点代入函数解析式，进而求出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点 ∴ ∴   ∴ 故选：A. 4．（25-26九年级上·四川·期末）关于x的函数图象经过原点，则m的值为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，根据函数图象经过原点，把原点的坐标代入函数解析式中计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数图象经过原点， ∴， ∴， 解得或， 当时，原函数为，符合题意， 当时，原函数为，符合题意， 综上所述，m的值为或， 故答案为：或． 5．（25-26九年级上·广西防城港·期中）抛物线的图象过点． (1)求抛物线解析式； (2)将该二次函数的解析式化为的形式； (3)x取什么值时，y的值随着x的增大而增大？ 【答案】(1) (2) (3)当时，y的值随着x的增大而增大 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，将一般式化为顶点式，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法即可将一般式化为顶点式； （3）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴解析式为； （2）解： ； （3）解：∵， ∴对称轴为直线 ∵， ∴当时，y的值随着x的增大而增大． 两点两参数代入求二次函数的表达式题型02 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A．0 B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 根据待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得：． 故选：C． 2．二次函数的图象交x轴于，两点，则二次函数的解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式． 将，两点坐标代入得到关于的方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：把，代入得 解得： 所以二次函数的解析式为． 故答案为：． 3．已知二次函数的图象经过点和点．求b，c的值． 【答案】， 【分析】把点和点分别代入，即可作答 【详解】解：由题意知，把点和点分别代入， 得， 解得， 所以b，c的值分别为和． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的b，c的值，难度较小． 4．抛物线经过（﹣1，3），（2，6）两点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求这条抛物线的顶点坐标； （3）将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C1，写出抛物线C1的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将两点代入即可求解； （2）由二次函数的性质可得出顶点坐标； （3）利用二次函数的性质“左加右减，上加下减”即可求解； 【详解】解：（1）∵抛物线经过（﹣1，3），（2，6）两点， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的解析式为：， （2）由（1）知对称轴为 即y轴， ∴当时， ， ∴抛物线的顶点坐标为 ， （3）向上平移1个单位长得到： ， 再向左平移2个单位长得到： ， 化简得： ， ∴抛物线C1的解析式为. 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法，掌握二次函数的图象与性质，待定系数法是解题关键． 5．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 【答案】(1)二次函数的表达式为，对称轴为直线 (2)最大值为8，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质； （1）先将和分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可； （2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：二次函数经过和， ， 解得， 二次函数的表达式为， 对称轴为直线； （2）解：由（1）可知的开口向上， 二次函数的对称轴为直线在内， 当时，有最小值； 直线距直线最远， 当时，有最大值． 三点三参数代入求二次函数的表达式题型03 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（　　） x … 0 1 2 … y … -5 5 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确列出方程组求解是关键． 将点，，代入解析式解方程组即可确定答案． 【详解】解：将点，，代入， 得， 解得， ， 故选：B． 2．已知一条抛物线经过四点，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出抛物线的解析式，然后利用点A的坐标求出常数项，利用纵坐标相同的点B与点C ，求出对称轴进而得知抛物线一次项系数与二次项系数的关系式，点D带入解析式即可求出. 【详解】解：设抛物线的解析式为 将点A(0,10)代入解析式得 ， 得， 故解析式为； 点B()和C()的纵坐标相同， 即点B与点C关于抛物线的对称轴对称。 对称轴为两点横坐标的中点为 已知抛物线的对称轴公式为， 将D(3,1)代入解析式： 整理得 又 解得； . 故抛物线的解析式为. 故选：C. 【点睛】本题考查了抛物线的对称性及已知点坐标求抛物线的解析式，熟练掌握抛物线的性质是解答本题的关键. 3．已知一个二次函数的图象经过，和三点，那么这个函数的解析式是________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题干给出的点选择合适的解析式来进行假设求解是解题的关键. 【详解】解：设二次函数解析式为 将三个点代入函数解析式得 解得 则二次函数解析式为 故答案为： ． 4．（2025·江苏·一模）已知二次函数和中，函数，与自变量x的部分对应值分别如表1，表2： 表1                      表2 x 1 2 3 x 1 2 3 m n 则____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的图象上点的坐标特征． 利用待定系数法求得系数的值，即可得到结论． 【详解】解：∵二次函数过点， ， 解得：， 过点， ， 解得：，   ， 故答案为：． 5．二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式． 【答案】y＝2x2﹣4x﹣6 【分析】利用待定系数法求解即可. 【详解】解：根据题意可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 将点（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，解得：a＝2， ∴该二次函数解析式为y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，属于基本题型，熟练掌握求解的方法是关键. 利用顶点式求二次函数的解析式题型04 1．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于，则抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 设抛物线解析式为，将点代入，即可求解． 【详解】解：设抛物线解析式为，将点代入，得 解得： ∴解析式为， 故选：D． 2．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·月考）若二次函数的图象过点和，且顶点为，则_______ 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，正确设出二次函数的解析是解题的关键．根据题意可设二次函数的顶点式，再用待定系数法即可求得． 【详解】解：设二次函数顶点式， 顶点为， 二次函数的图象过点， ． 故答案为：． 3．抛物线经过点A（2，0），该抛物线顶点在直线上，则该抛物线解析式为______． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称性求出点顶点的横坐标，再代入直线y=-x+2，再将A及顶点坐标代入解析式y=ax2+bx，据此即可求出抛物线的解析式 【详解】∵抛物线经过点 ，A（2，0）， ∴顶点横坐标为1， ∵顶点在直线y=-x+2上， ∴y=-1+2=1， ∴顶点坐标（1，1）， ∵y=ax2+bx过点A（2，0），（1，1）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】考查了用待定系数法求抛物线的解析式，根据抛物线的对称性求出顶点的坐标是解题的关键． 4．（26-27九年级上·安徽阜阳·月考）已知抛物线的顶点坐标是，且经过点，求该抛物线的函数表达式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解． 【详解】解：设抛物线表达式为 将代入得， 解得 ∴该抛物线的函数表达式为． 5．（25-26九年级上·天津·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，且）与轴的一个交点坐标是，顶点坐标是． (1)求该抛物线解析式中，，的值； (2)直接写出当时，函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据顶点坐标是设出抛物线的解析式为：，然后代入求出a的值即可得出函数解析式，然后变为一般式即可得出b、c的值； （2）根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴； （2）解：由（1）可得，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 把代入得：， 把代入得：， ∴当时，． 利用交点式求二次函数的解析式题型05 1．已知抛物线经过点，，，则抛物线的解析式________________________． 【答案】 【分析】本题考查求抛物线解析式．掌握交点式和利用待定系数法求解析式是解题关键．根据题意可设抛物线的解析式为：，再将点代入，求出a的值，最后化为一般式即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，， 故可设该抛物线的解析式为：， ∵该抛物线又经过点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， 整理，得：． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·天津·月考）二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，由表格可知二次函数的图象与轴交于和两点，故设解析式为，再代入点求出的值，最后展开得一般式即可求解，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由表可知，当和时，， ∴二次函数的图象与轴交于点和， 设二次函数解析式为，把点代入，得， 解得， ，即， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，设出合适的解析式是解本题的关键，根据题意设，再代入即可得到函数解析式． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于，， ∴设抛物线为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 4．已知二次函数经过求二次函数的表达式． 【答案】y=-x2+2x+3 【分析】运用待定系数法求这个二次函数的表达式． 【详解】解：∵二次函数经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）， 设y=a（x+1）（x-3）， 把（0，3）代入得3=-3a， ∴a=-1， ∴该二次函数的解析式是y=-x2+2x+3． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是将点坐标正确代入计算． 5．（25-26九年级上·天津·月考）如图，过点的抛物线与直线交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了求一次函数与二次函数的解析式，掌握两种函数的图象与性质是关键． （1）把点A的坐标代入一次函数式中求得b，进而得到一次函数解析式，再令，即可求得点C的坐标，设二次函数解析式为交点式，把点A的坐标代入，即可求解； （2）由题意知，由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入一次函数式中，得， 即， 令，得， ∴， 设，把点A的坐标代入得：， ∴， ∴， 化为一般式为：； （2）解：由题意知， ∴． 一点一对称轴求二次函数的表达式题型06 1．如果抛物线的对称轴是x＝－3，且开口方向与形状与抛物线y= -2 x2相同，又过原点，那么a＝_______，b＝ ______，c＝_________． 【答案】 -2 -12 0 【分析】先根据抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，形状与抛物线y=-2x2相同求出a的值，再由对称轴为直线x=-3求出b的值，根据抛物线过原点可求出c的值即可． 【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，形状与抛物线y=-2x2相同， ∴a=-2， ∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-3， ∴-=-3，即-=-3，解得b=-12； ∵抛物线过原点， ∴c=0． 故答案为：-2，-12；0． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，熟知抛物线的对称轴为直线x=-是解答此题的关键． 2．（24-25八年级下·北京·期末）已知抛物线经过点，它的对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴． 3．已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1， 求该抛物线的解析式． 【答案】y=-2(x-1)²+8 【详解】试题分析：设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+b，将点A（－1，0），B（0，6）代入求得a、b的值，即可求得该抛物线的解析式. 试题解析： 设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+b将A，B点坐标带入得， 解得a=-2，b=8， 则y=-2(x-1)²+8. 4．（24-25九年级上·安徽合肥·联考）已知抛物线的对称轴是直线，且经过点和，求抛物线的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由抛物线性质设抛物线的函数表达式为，再将和代入二次函数表达式解二元一次方程组即可得到答案，熟练掌握待定系数法确定二次函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 设抛物线的函数表达式为， 抛物线经过点和， ， 解得， 抛物线的函数表达式为． 利用图象信息确定二次函数解析式题型07 1．（25-26九年级上·福建厦门·月考）二次函数的图象如图，则它的解析式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解图象；由图象易得顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，然后根据待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：由图象得顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，则二次函数解析式为， ∴， 解得：； ∴二次函数的解析式为； 故答案为． 2．（25-26九年级上·江西赣州·月考）已知二次函数的部分图象如图所示． (1)求该抛物线与轴的另外一个交点坐标和的值． (2)将该抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，直接写出平移后抛物线的解析式并说明点是否在平移后的抛物线上． 【答案】(1)； (2)；点在平移后的抛物线上 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的对称性，二次函数图象的平移问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得对称轴和与x轴的一个交点坐标，则由对称性可求出与x轴的另一个交点坐标，再利用待定系数法可求出c的值； （2）根据（1）所求可得平移前的抛物线解析式，进而根据平移方式可得平移后的抛物线解析式，再求出当时，平移后抛物线所对应的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，该抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴该抛物线与轴的另外一个交点坐标为，即， 把代入中得，解得； （2）解：由（1）得该抛物线解析式为， ∴将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点在抛物线上，即点在平移后的抛物线上． 待定系数法求二次函数表达式题型08 1．（2025·陕西·模拟）将二次函数为常数，且的图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的二次函数图象经过点，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数平移的性质是解决此题的关键． 先求出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可， 【详解】解：二次函数，化成顶点式为 ． ∵图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴平移后的二次函数解析式为． ∵平移后的二次函数图象经过点， 将，代入平移后的函数解析式中，得 ． ． ． 解得或． ∵， ∴的值为． 故选：D 2．（2025·陕西西安·一模）大棚果蔬产业的大力发展使得蔬菜产业逐步向科学化种植、规模化发展、产业化经营模式转变．某种植户建设蔬菜大棚，该大棚一边靠保温墙，其塑料棚横截面可近似看作抛物线，保温墙的高度为，大棚的跨径为，现对塑料棚横截面建立如图所示的平面直角坐标系，已知大棚上某处离地面AB的高度与到保温墙AC的水平距离之间的关系满足． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)现要使得高度为的机械农具在不碰到大棚的情况下工作（农具宽度忽略不计），则农具活动范围的宽度是多少？ 【答案】(1) (2)9米 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，由函数值求自变量的值，是解题的关键． （1）把代入，解方程组即得； （2）把代入，解应用题即得． 【详解】（1）解：∵高度为，大棚的跨径为， ∴， 代入，得， 解得， ∴； （2）当时， ， 解得或（舍去）． 故农具活动范围的宽度是9米． 3．【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 … 运动速度（） … 滑行距离 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出关于的函数关系式和关于的函数关系式． 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离． 【答案】任务二：观察分析: ； ； 任务三：问题解决： 滑行距离为. 【分析】任务二: 观察分析: 待定系数法求解析式, 即可求解； 任务三: 问题解决: 先求得速度为时, , 将代入二次函数解析式, 即可求解； 本题主要考查了二次函数的应用, 解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法解题是关键． 【详解】解: 任务二: 观察分析: 设, 将点, 代入得, , ， ， 设由题意可得， , 解得, ， 任务三: 问题解决: 由题意, , 当时, 即. , 当时, ， 滑动距离为． 4．（2025·河南漯河·一模）研究小组进行跨学科主题学习活动，研究某种化学试剂的挥发情况．研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．场景A实验中试剂剩余质量随时间变化的过程可以用一次函数表示．场景B的实验可看作抛物线的一部分．小东结合实际实验和计算得到场景B的数据，如表所示： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） 21 19.5 16 10.5 3 请根据以上信息，解决下列问题： (1)在网格中建立平面直角坐标系，一次函数的图象已画出，请你根据表格中已知数据描点，并用平滑的曲线画出场景B的关系图象． (2)求场景B中与的函数表达式． (3)当时，上述函数关系仍然成立，通过计算说明化学试剂在哪个场景下挥发所用的时间更长． 【答案】(1) 解：如图所示： (2)与的函数关系式为； (3)化学试剂在场景B下挥发所用的时间更长． 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，涉及到一次函数图象和二次函数图象的绘制，熟练掌握相关函数内容是解题的关键． （1）直接根据表格中已知数据描点，并用平滑的曲线画出即可； （2）设与的函数关系式为， 把代入，解得的值即可； （3）通过计算时，场景A和场景B的所用的时间进行判断． 【详解】（1）略 （2）场景B中，由表可知，当时，， ∴ 设与的函数关系式为， 把代入， 得， 解得， ∴与的函数关系式为． （3）场景A中，令， ∴，解得， 场景B中，当时，， ∴ 化学试剂在场景B下挥发所用的时间更长． 利用几何图形的性质确定二次函数解析式题型 1．如图，二次函数的图象经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则_______． 【答案】 【分析】如图，由题意易得点A、B关于y轴对称，点，进而根据正方形的性质可得点，然后代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：如图， ∴A、B关于y轴对称， ∵四边形AOBC是正方形， ∴，AB与OC相互平分， 令x=0时，则有， ∴点， ∴， ∴点， 把点A代入得：，解得：， ∵， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与正方形的性质是解题的关键． 2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接．点P是抛物线的对称轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形，则点P的纵坐标是______． 【答案】或或4 【分析】由题意可求得抛物线的解析式，从而得对称轴及点D的坐标，得长度；设点P的坐标，则由勾股定理可求得；分两种情况讨论即可． 【详解】解：∵抛物线过点C、B， ∴， 解得：， ∴； ∴抛物线的对称轴为直线； ∴， ∴； 设，则，； ①当时，则有， ∴， ∴； 即点P的纵坐标为或； ②当时，则有， ∴， 解得：或（舍去）； 即点P的纵坐标为4； 综上，点P的纵坐标为或或4． 故答案为：或或4． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解一元二次方程等知识；熟悉这些知识是关键，注意分类讨论． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知抛物线经过点． (1)求a的值． (2)过y轴上一点A，作y轴的垂线，交该抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点．求点A的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图象的性质， 对于（1），将代入关系式可得答案； 对于（2），先求出抛物线的对称轴，再根据题意可得，进而求出，然后根据关系式求出答案． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得； （2）解：由（1）得该抛物线的对称轴为， ∵B为线段的中点， ∴， 解得， 即， 把代入， 得． ∴点A的坐标是． 4．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，二次函数的图象交轴于，两点，已知抛物线的对称轴为轴，． (1)求的值； (2)若点在抛物线上，且点的横坐标为，连接，求的面积． 【答案】(1)1 (2)6 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据轴对称的性质，得出，，把点代入，求出即可； （2）先求出点，作于点，则，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于，两点，抛物线的对称轴为轴， ∴A、B关于y轴对称， ∵， ∴，， 把点代入，得， 解得：． （2）解：由（1）知， 当时，， 点， 如图，作于点，则， ． 与二次函数表达式有关的综合题题型 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线开口向下，过，两点，且．甲同学认为：若点，在抛物线上，，且，则．乙同学认为：当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，以下对两位同学的看法判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数解析式，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意得，，，由点，在抛物线上，可得，根据，可判断甲的正误；令，整理得，，根据，可判断乙的正误．                【详解】解：∵抛物线开口向下，过，两点， ∴，， ∵点，在抛物线上， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴，甲正确，故符合要求； 令， 整理得，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，乙正确，故符合要求； 故选：A．                      2．如图，一组x轴正半轴上的点满足条件，抛物线的顶点依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以为顶点且过点O和；第二条抛物线以为顶点且经过点和；…第n条抛物线以为顶点且经过点，．依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成、、…、．若三角形是一个直角三角形，则它相对应的抛物线的函数表达式为 _____． 【答案】 【分析】根据题意得三角形为等腰三角形，根据可得到点，，，，根据抛物线的顶点依次是反比例函数图象上的点，设点，根据建立等式，化简后得到，因此可以得到点，再根据等腰直角三角形的性质可以得到，从而求出n的值，从而得到三角形三个点的坐标值，再根据待定系数法解求出二次函数的解析式． 【详解】解：由题意得，、、…、均为等腰三角形， ∵， ∴点，，， 设点， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴点， ∵是直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴n＝5， ∴ ∴， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，得， ∴， ∴抛物线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形、反比例函数的性质、二次函数的性质，解题的关键是根据题意得到三角形为等腰三角形，根据腰长相等建立等式，从而求出n的值． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数图象的平移问题： （1）设点M的坐标为，可设二次函数的表达式为，再把点，代入，求出a，m的值，即可； （2）根据由平移的性质可得，从而得到四边形为平行四边形，即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点在函数的图象上， ∴可设点M的坐标为， ∴可设二次函数的表达式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得：点M到x轴的距离为2， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． 4．已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将点向下平移6个单位，向左平移m个单位后恰好落在抛物线上，求m的值； (3)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2)m的值为； (3)． 【分析】（1）先根据对称轴求得b，然后将点代入求得c的值即可； （2）先求出点平移后的坐标，然后代入函数解析求得m的值； （3）根据二次函数的开口方向，对称轴分、、三种情况求函数的最值，再根据该二次函数的最大值与最小值的差为求n的范围即可． 【详解】（1）解：已知二次函数为常数的图象经过点，对称轴为直线， ， ， 将点A的坐标代入得： ， ， 该二次函数的表达式为； （2）解：根据题意，点平移后的点的坐标为， 点平移后恰好落在抛物线上， ， 解得：舍去或， 即m的值为； （3）解：抛物线开口向下且对称轴为直线， 当时，分三种情况求最值： ①当时， 当时，， 当时，函数取得最小值， 此时最大值与最小值的差为符合题意， ②当时， 时，函数取得最小值， ， 不合题意，舍去； ③当时， 时，， 时，函数取得最小值， 该二次函数的最大值与最小值的差为， ， ∴ 解得，不合题意，舍去， 综上所述，n的取值范围为当 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 5．（24-25九年级上·山东日照·月考）定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． (1)有下列函数：①；②；③．其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是_______（填序号）． (2)已知抛物线（m，n均为常数） 与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数解析式． (3)若抛物线（a，b是常数，）上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③ (2) (3)或3 【分析】（1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可； （2）根据定义可得“纵三倍点”为，代入得出①，联立根据题意得出②，联立①②，即可求解； （3）联立 ，依题意得出得出 ，当时， 的最小值为1，根据题意，即可求解． 本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图象上． 【详解】（1）解：①联立，解得：， ∴一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意； ②联立， 解得：，， 故②不合题意； ③联立，解得：， ∴二次函数的图象上只有一个“纵三倍点”，故③正确； 综上分析可知，正确的是①③． 故答案为：①③． （2）解： 解得： 依题意经过，则① 联立 ∴ ∵抛物线（均为常数）与直线只有一个交点， ∴② 联立①②得 解得： ∴抛物线解析式为； (3) 存在. ∵抛物线 (a,b是常数,a>0)上有且只有一个“纵三倍点”, ∴易得方程 ，即 有且只有一个实数根. ∴ ∴ ∴ ∵当 时， 的最小值恰好等于 , ∴分情况讨论. 若 ，即 ，则当 时， 有最小值. ∴ ，即 ，解得 ，(不合题意，舍去). 若 ，即 ，则 的最小值为 1. ∵ , ∴不符合题意. 若 ，则当 时， 有最小值, ∴ ，即 ，解得 (不合题意，舍去)， 综上所述，存在常数 ，使得当 时， 的最小值恰好等于 ， 的值为 1 或 3. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $