6.3 确定二次函数的表达式（分层作业·练题型）数学新教材苏科版九年级下册

分层作业 6.3 确定二次函数的表达式 目 录 A组 巩固过关 题型01用待定系数法求二次函数的表达式 题型02用“顶点式”求二次函数的表达式 题型03用“交点式”求二次函数的表达式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 D组 链接中考 ( 题型 0 1 )用待定系数法求二次函数的表达式 1．(1)；(2) 2．(1)二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为；(2)当时，的取值范围为． 3．(1)，；(2)①；②；(3)， 4．(1)；顶点坐标是；(2)；(3)． 5．(1)；(2)；(3) ( 题型 0 2 )用“顶点式”求二次函数的表达式 1． 2． 3．(1)；(2) 4．(1)，；(2) ( 题型 0 3 )用“交点式”求二次函数的表达式 1．C 2． 3． 4．(1)该二次函数的表达式为；(2)当时，的取值范围是 1．B 2．A 3．D 4．(1)2；(2)或 5．(1)①1；②；(2)4 6．(1)；(2)5；(3)或 7．(1)；(2)；(3)或 8．(1)；；(2)；(3)当点E运动到点时，有最大值，最大值为2 1．(1)；(2)该函数有最小值，最小值为1；(3) 2．(1)点的横坐标为；(2)证明略；(3)或 3．(1)抛物线的表达式为；(2)，最大面积为4；(3)最小值为 4．(1)；(2)；(3)或或 5．(1)；(2)是直角三角形；(3)当时，有最大值，最大值为 6．(1)；(2)①；②或 7．(1)；(2)；(3)或 8．(1)，1，；(2)①的值为或；②或 1．C 2．A 3．(1)对称轴是直线；(2) ； ， 4．(1)3；(2)；(3)或 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.3 确定二次函数的表达式 目 录 A组 巩固过关 题型01用待定系数法求二次函数的表达式 题型02用“顶点式”求二次函数的表达式 题型03用“交点式”求二次函数的表达式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 D组 链接中考 ( 题型 0 1 )用待定系数法求二次函数的表达式 1．已知二次函数图象过、、三点． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 根据题意得 解得 ∴二次函数解析式为； （2）解：将解析式化为顶点式：，顶点为， 当 时，； 当 时，； 当 时，； ∴． 2．已知二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)当时，写出的取值范围． 【答案】(1)二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为；(2)当时，的取值范围为． 【详解】（1）解：将，代入二次函数， 得， 解得， 二次函数解析式为， 二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数解析式为，对称轴为直线， 又二次项系数， 该二次函数在时取最大值，离对称轴越远值越小， 在这个范围内， 时，取最大值， 又， 时，， 故当时，的取值范围为． 3．（2026·江苏盐城·二模）已知二次函数（，为常数，），且满足． (1)若函数图象经过点，求函数的表达式及其顶点坐标； (2)①对称轴为直线________．（用含的式子表示） ②若当时，随的增大而增大，请求出的取值范围． (3)对于任意的，该二次函数的图象都必过的定点坐标为________．（直接给出答案即可） 【答案】(1)，；(2)①；②；(3)， 【详解】（1）将代入得，， 整理得， 联立和得，， 解得， ∴， 顶点横坐标为：， 当时：， ∴顶点坐标为； （2）①二次函数的对称轴为直线：； ②∵当时，随的增大而增大， ∴且， 解得； （3）∵， ∴， 将上面式子代入解析式得，， 整理得，， 当时，，对于任意的，二次函数图象都必过点； 当时，，对于任意的，二次函数图象都必过点； 综上所述，对于任意的，二次函数图象都必过点和． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的关系式及顶点； (2)当时；直接写出的取值范围________； (3)将该函数图像沿轴翻折，所得图像的函数表达式为________． 【答案】(1)；顶点坐标是；(2)；(3)． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点． ∴ 解得 ∴， ∴抛物线的顶点坐标是， （2）解：由图像可得当时， 时，函数有最小值， 时，函数有最大值， 所以的取值范围为：； （3）解：图像沿翻折，开口大小不变，顶点坐标变为， 所以表达式为：． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过两点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、为该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由； (3)点、为该二次函数图象上不同的两点，且满足，请写出、之间的数量关系，并写出推理过程． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过、两点， ∴代入得，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）， 理由：∵点、为该二次函数图象上的两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）， 推理如下：∵点、为该二次函数图象上不同的两点， ∴，， ∵， ∴，，，， ∵，即， ∴，即， 将代入， 得， ∴． ( 题型 0 2 )用“顶点式”求二次函数的表达式 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数的最小值为，图象的顶点在直线上，并且图象经过点，则此二次函数的解析式是________． 【答案】 【详解】解：设二次函数解析式为， ∵二次函数的最小值为， ∴， ∵图象顶点在直线上， ∴把代入，得，解得， ∴二次函数顶点坐标为， ∴解析式可写为， 把点代入解析式得 ， 计算得，解得， ∴二次函数的解析式为． 2．（九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，开口相反，且它的顶点坐标是，则这个二次函数的解析式为_______________． 【答案】 【详解】解：图象顶点坐标为， 可以设函数解析式是， 又形状与抛物线相同，开口相反， 即二次项系数互为相反数， ， 这个函数解析式是：， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到， 即平移后的抛物线的解析式为． 4．抛物线的图像如图所示，其中点为顶点． (1)写出点，的坐标； (2)求出抛物线的解析式． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）解：根据图像可知，，； （2）设抛物线的解析式为， 将点代入， 可得，解得， 所以抛物线的解析式为． ( 题型 0 3 )用“交点式”求二次函数的表达式 1．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若抛物线经过，，三点，则抛物线对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴设解析式为， 将代入得：， 解得， ∴． 2．二次函数图象经过，求二次函数解析式．__________________ 【答案】 【详解】解：∵二次函数图象经过和 ∴设二次函数解析式为，其中 把代入解析式得： 解得 ∴二次函数解析式为 展开整理得． 3．已知二次函数中的x、y满足下表： x 1 3 4 5 y 0 4 0 m 则m的值为________． 【答案】 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴二次函数的对称轴为直线， 设函数解析式为， 代入，得：， 解得， ∴， 验证得时，，符合表格；时，，符合表格， 当时，， ∴． 4．已知二次函数的图象交x轴于点和，与y轴交于点． (1)试求该二次函数的表达式； (2)当时，求出y的取值范围． 【答案】(1)该二次函数的表达式为；(2)当时，的取值范围是 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于点和， ∴设该二次函数的表达式为； 将代入表达式，得， 解得， ∴二次函数的表达式为，即． （2）解：∵二次函数的图象交x轴于点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，取得最大值. 将代入，得； 当时，； 当时，； ∴在范围内，的取值范围是． 1．已知二次函数的图象过点和．若此抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数过点和， ∴ ， 整理得， ∵抛物线顶点在第一象限，且过和， ∴抛物线的开口向下，即，顶点横坐标为， ∴， ∴， 即，综上得 ， ∵，代入，得：， ∵， ∴， ∴，即. 2．（2026·江苏泰州·二模）平面直角坐标系中有点，点，过点作直线轴，点为抛物线（）上任意一点，若点到直线的距离与相等，则的值为（） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：由题意可得，直线轴且过，因此直线的方程为． 设抛物线上任意一点， ∵点到直线的距离与相等， ∴点到直线的距离，由两点间距离公式得 ∵，， ∴， 由，两边同时平方得： 展开得： 整理得：， 该等式对任意恒成立， 因此， 解得． 3．已知二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故选：D． 4．已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)若该函数图像上有两个点,，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2；(2)或 【详解】（1）解：∵点在该函数图像上， ∴， 整理得：， 解得：． （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴为：，开口向上， ∴点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：， ∵， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，即， 解得：或， ∴p的取值范围为：或． 5．（2026·江苏南京·一模）已知二次函数（，，均为常数，且）的图象经过，顶点为． (1)若顶点的坐标为， ①求的值； ②当时，的取值范围为__________． (2)当时，顶点的纵坐标的最大值为__________． 【答案】(1)①1；②；(2)4 【详解】（1）解：因为抛物线的顶点P坐标为， 所以抛物线的解析式为． 将点代入得，， 解得； ②由①知，抛物线的解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线且开口向上． 又因为， 则当时，y取得最小值为3， 当时，y取得最大值7， 所以； （2）解：将点代入得，， 所以， 因为抛物线顶点的纵坐标为， 则． 因为， 则， 所以， 则当时，顶点P的纵坐标取得最大值为4． 6．（九年级下·江苏南京·开学考试）已知抛物线C：经过和两点，将抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N． (1)求抛物线C的表达式； (2)请直接写出四边形的面积； (3)将抛物线C平移到抛物线，点A的对应点为点、点B的对应点为点且在x轴上，如果四边形的面积为9，求抛物线的表达式． 【答案】(1)；(2)5；(3)或 【详解】（1）解：抛物线C：经过和， ，解得， 抛物线C的表达式为； （2）， ， 四边形的面积为：． （3）将抛物线C平移到抛物线，点A的对应点为点、点B的对应点为点， ，且， 四边形为平行四边形， ， ，即， ， 当在左下方时，如下图： ， 此时将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度即可得到抛物线， ； 当在右下方时，如下图： ， 此时将抛物线C向右平移4个单位，再向下平移3个单位长度即可得到抛物线， ； 的解析式为或． 7．（2025·江苏南通·一模）已知关于x的二次函数 (1)若时，求该函数的解析式； (2)当时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值； (3)若是该函数图象上的两点，且对于都有，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【详解】（1）解： ， 当时，， ， ． 该函数的解析式为． （2）解：依题意，， 图象的对称轴为直线． 又． 当时，最小， ∵ ∴当时，， ∴． ． ； （3）解：①若，则函数图象开口向上． 又对称轴为直线， 当时，随的增大而增大． ∴点在对称轴的右侧． 又对于，都有， ， ． ②若，则函数图象开口向下， ∴点在对称轴的左侧． 对称轴为直线 当或时函数值相等． 又对于，都有， ， ． 综上：或． 8．（九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知抛物线与轴相交于A、B两点，并与直线交于B、C两点，其中点是直线与轴的交点，连接． (1)点的坐标是______，点的坐标是______． (2)求抛物线的解析式； (3)设点是线段上的一个动点（不与点B、C重合），直线轴，交抛物线与点，问点运动到何处时，线段的长最大？并求出的长的最大值， 【答案】(1)；；(2)；(3)当点E运动到点时，有最大值，最大值为2 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴，； （2）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （3）解：设， ∵直线轴， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为2， ∴此时点E的坐标为， ∴当点E运动到点时，有最大值，最大值为2． 1．如下表格是抛物线上部分点的横、纵坐标信息． … 0 1 2 3 … … 1 … (1)若，请求出抛物线的表达式； (2)若，且，该函数有最大值还是最小值？请作出判断并写出最值； (3)若，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，求的值． 【答案】(1)；(2)该函数有最小值，最小值为1；(3) 【详解】（1）解：若，则抛物线与x轴的交点坐标为，， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式，即； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为，且过点， 设， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 解得， ∴抛物线开口向上，该函数有最小值，最小值为1； （3）解：当时，抛物线经过点和， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵点关于该对称轴对称的点的坐标是，点关于该对称轴对称的点的坐标是，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足， ∴时与时，y的符号相同，与时y的符号相反 ∴该抛物线经过点和， 设该抛物线的函数表达式为 ， 代入，得 ， 解得 ． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)点的横坐标为；(2)证明略；(3)或 【详解】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴， ∴点的横坐标为. （2）证明：∵点和在函数图象上， ∴，， ∵， ， ∴. （3）解：在函数中， 当时，， ∴， ∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点 ∴，， ∴，，， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，∴，，则和重合，舍去， 当时，则， 解得：（舍去），，， 综上：或. 3．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求拋物线解析式： (2)点为直线下方拋物线上一点，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标和面积的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求的最小值． 【答案】(1)抛物线的表达式为；(2)，最大面积为4；(3)最小值为 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大为：， ∴，最大面积为4； （3）解：∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点B向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上，最小值为． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．          (1)求抛物线的解析式； (2)点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (3)若直线交抛物线另一个交点为，连接、，当点在轴上运动时，是否存在点，使得面积为？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)或或 【详解】（1）解：∵将两点在抛物线的解析式上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ， ∴， ∵，点在轴负半轴， ， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的关系表达式为， 设，则，其中， ， ， 如图，连接， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：（舍去）， 故当四边形是平行四边形时，． （3）解：联立和，可得， 解得：， 则， 如图，连接， ∵，，， ∴ ， 整理得：或， 解得或， 解得， 综上，或或． 5．如图，二次函数的图象与轴交于点、点，点是该函数与轴的交点，且，连接、． (1)求二次函数的表达式； (2)判断的形状并说明理由； (3)若是此二次函数图象上第一象限内的点（如图），设点横坐标为，记的面积为，写出关于的函数关系式，有没有最大值?如果有，求出的最大值． 【答案】(1)；(2)是直角三角形；(3)当时，有最大值，最大值为 【详解】（1）点是该函数与轴的交点，且， 点的坐标为， 抛物线的图像过点和， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）令，则， 解得，， 点的坐标为， ，，， ， 是直角三角形； （3）设直线的解析式为， ，， ， 解得， ， 过点作轴交于点， 则点的纵坐标为，点的纵坐标为， ， ， ，， 当时，有最大值，最大值为． 6．（九年级下·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点，与轴交点坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为，将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象． ①当点在轴上方，图象的最高与最低点的纵坐标差为4时，求的值； ②在①的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)；(2)①；②或 【详解】（1）解：∵抛物线（、为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点，与轴交点坐标为 ∴， 解得： 则抛物线的函数表达式为： （2）解：①由（1）可知抛物线为， ∴抛物线对称轴为，顶点为， ∵点A在点B的左侧， ∴，即， ∵线段的中点的横坐标为， ∴点A距离对称轴更近， ∵抛物线开口向下， ∴点A的纵坐标大于点B的纵坐标． 当时，抛物线对称轴位于A，B两点之间，则图象G的最高点为抛物线的顶点，最低点为点B， ∵最高与最低点的纵坐标差为4， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）； 当时，A，B两点都在对称轴右侧（包含对称轴），图象G的最高点为A，最低点为B， ∵最高与最低点的纵坐标差为4， ∴， 解得：； 综上所述：； ②由得到，，则 ， 根据平移的性质，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度． ∵抛物线为， ∴平移后的抛物线为， 对称轴为． 设点M的坐标为， 当点A、B、M三点构成直角三角形时，以点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形． ∵， ， ， （Ⅰ）当为矩形的对角线时，， ∴， 整理得， ∵， ∴该方程无解； （Ⅱ）当为矩形的对角线时，， ∴，解得， ∴； ∵矩形的对角线互相平分， ∴，， 即，， ∴，， ∴； （Ⅲ）当为矩形的对角线时，， ∴，解得， ∴； ∵矩形的对角线互相平分， ∴，， 即，， ∴，， ∴； 综上所述，点N的坐标为或． 7．（2026·江苏苏州·一模）如图①，已知抛物线的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，是第四象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式： (2)当为何值时，的面积有最大值，并求出此时的最大值； (3)作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【详解】（1）解：将，代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式：； （2）解：设直线的解析式将，代入得 ，解得， 直线的解析式为， 点，， ， 的面积减去的面积得出的面积， ， ，二次函数开口向下， 当时，有最大值是； （3）解：点位于第四象限， ， ，即点位于点右侧， 矩形与抛物线有三个交点， 点位于抛物线对称轴左侧， ， 点的对称点为， 则必有， 即， ， 由题意得，，， ①当中点位于上时，如图， 中点坐标为，， 又中点在抛物线上， ， ， 解得：（舍去），； ②当中点位于上时，如图， 同理可得，中点坐标为， 代入抛物线解析式得，， 解得：（舍去），（舍去）； ③当中点位于上时，如图， 同理可得，中点坐标为， 代入抛物线解析式得，， 解得：（舍去），； 综上所述，或． 8．（2026·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线顶点D的横坐标为1． (1)点，________，点； (2)P、Q是该抛物线上的两个动点（不与点B、C重合），横坐标分别为m、． ①设抛物线在P、Q两点之间的部分（含P、Q两点）为图像W，当且时，若图像W的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值； ②当且和3时，若的面积等于的面积，求m的值． 【答案】(1)，1，；(2)①的值为或；②或 【详解】（1）解：对于抛物线，令，得， ∴； ∵抛物线顶点D的横坐标为1， ∴， 解得：； ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴； （2）解：①抛物线的解析式为，对称轴为， ∵图像W是抛物线在P、Q两点之间的部分，且P、Q的横坐标分别为m、， ∴图像W对应的自变量的取值范围是， ∵且， ∴，即对称轴在此范围内， ∴图像W的最低点为顶点， ∴当时，Q到对称轴的距离比P远； 最低点为顶点，最高点为, 即， ∴最高点与最低点的纵坐标之差为， 整理得， 解得， ∵， ∴ 当时，P到对称轴的距离比Q远； ∴最高点， ∴， 解得：或（舍去） 综上，的值为或； ②设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 过作轴交于，则： ， ∴的面积， 同理，过, 即作轴交于，则： ， ∴的面积， ∵， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，整理得， 解得， ∵， ∴， 综上，或． 1．（2026·四川成都·中考真题）已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C． D． 【答案】C 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴函数图象的开口向下，则选项A正确； 将二次函数化成顶点式为， ∴函数图象的对称轴是直线，则选项B正确； 又∵， ∴，则选项C错误； ，则选项D正确． 2．（2026·山东东营·中考真题）在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ，结论①正确； ，， ∴，结论②正确； 二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， 又∵， ∴在这个二次函数的图象上，横坐标为、的两个点关于对称轴对称， ∴， ∴，结论③正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∵点在二次函数的图象上， ∴由二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等，即点也在这个二次函数的图象上， 又∵点在二次函数的图象上，且， ∴，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③． 3．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】(1)对称轴是直线；(2) ； ， 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得， ，即， 所以， 故所求抛物线的对称轴是直线． （2）解：①由（1）可知，当时，， 抛物线的解析式为． ∵， ∴ ， ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴， ， 故． ②由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，． 故，即． 于是． 依题意知，是与无关的定值． 则，解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． 所以，． 4．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)3；(2)；(3)或 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上， ∴点向下平移个单位， ∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同， ∵点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为； ∵点在线段上，即点在直线上， ∴当时，， ∴； （3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C． ∴，把代入，得：， ∴， ∴， ∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上， ∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为， ∵对于满足的任意实数，总成立， ∴或， ∴或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.3 确定二次函数的表达式 目 录 A组 巩固过关 题型01用待定系数法求二次函数的表达式 题型02用“顶点式”求二次函数的表达式 题型03用“交点式”求二次函数的表达式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 D组 链接中考 ( 题型 0 1 )用待定系数法求二次函数的表达式 1．已知二次函数图象过、、三点． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 2．已知二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)当时，写出的取值范围． 3．（2026·江苏盐城·二模）已知二次函数（，为常数，），且满足． (1)若函数图象经过点，求函数的表达式及其顶点坐标； (2)①对称轴为直线________．（用含的式子表示） ②若当时，随的增大而增大，请求出的取值范围． (3)对于任意的，该二次函数的图象都必过的定点坐标为________．（直接给出答案即可） 4．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的关系式及顶点； (2)当时；直接写出的取值范围________； (3)将该函数图像沿轴翻折，所得图像的函数表达式为________． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过两点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、为该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由； (3)点、为该二次函数图象上不同的两点，且满足，请写出、之间的数量关系，并写出推理过程． ( 题型 0 2 )用“顶点式”求二次函数的表达式 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数的最小值为，图象的顶点在直线上，并且图象经过点，则此二次函数的解析式是________． 2．（九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，开口相反，且它的顶点坐标是，则这个二次函数的解析式为_______________． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式． 4．抛物线的图像如图所示，其中点为顶点． (1)写出点，的坐标； (2)求出抛物线的解析式． ( 题型 0 3 )用“交点式”求二次函数的表达式 1．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若抛物线经过，，三点，则抛物线对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 2．二次函数图象经过，求二次函数解析式．__________________ 3．已知二次函数中的x、y满足下表： x 1 3 4 5 y 0 4 0 m 则m的值为________． 4．已知二次函数的图象交x轴于点和，与y轴交于点． (1)试求该二次函数的表达式； (2)当时，求出y的取值范围． 1．已知二次函数的图象过点和．若此抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏泰州·二模）平面直角坐标系中有点，点，过点作直线轴，点为抛物线（）上任意一点，若点到直线的距离与相等，则的值为（） A． B． C．1 D．2 3．已知二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)若该函数图像上有两个点,，当时，直接写出p的取值范围． 5．（2026·江苏南京·一模）已知二次函数（，，均为常数，且）的图象经过，顶点为． (1)若顶点的坐标为， ①求的值； ②当时，的取值范围为__________． (2)当时，顶点的纵坐标的最大值为__________． 6．（九年级下·江苏南京·开学考试）已知抛物线C：经过和两点，将抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N． (1)求抛物线C的表达式； (2)请直接写出四边形的面积； (3)将抛物线C平移到抛物线，点A的对应点为点、点B的对应点为点且在x轴上，如果四边形的面积为9，求抛物线的表达式． 7．（2025·江苏南通·一模）已知关于x的二次函数 (1)若时，求该函数的解析式； (2)当时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值； (3)若是该函数图象上的两点，且对于都有，求a的取值范围． 8．（九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知抛物线与轴相交于A、B两点，并与直线交于B、C两点，其中点是直线与轴的交点，连接． (1)点的坐标是______，点的坐标是______． (2)求抛物线的解析式； (3)设点是线段上的一个动点（不与点B、C重合），直线轴，交抛物线与点，问点运动到何处时，线段的长最大？并求出的长的最大值， 1．如下表格是抛物线上部分点的横、纵坐标信息． … 0 1 2 3 … … 1 … (1)若，请求出抛物线的表达式； (2)若，且，该函数有最大值还是最小值？请作出判断并写出最值； (3)若，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，求的值． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 3．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求拋物线解析式： (2)点为直线下方拋物线上一点，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标和面积的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求的最小值． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．          (1)求抛物线的解析式； (2)点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (3)若直线交抛物线另一个交点为，连接、，当点在轴上运动时，是否存在点，使得面积为？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，二次函数的图象与轴交于点、点，点是该函数与轴的交点，且，连接、． (1)求二次函数的表达式； (2)判断的形状并说明理由； (3)若是此二次函数图象上第一象限内的点（如图），设点横坐标为，记的面积为，写出关于的函数关系式，有没有最大值?如果有，求出的最大值． 6．（九年级下·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点，与轴交点坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为，将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象． ①当点在轴上方，图象的最高与最低点的纵坐标差为4时，求的值； ②在①的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 7．（2026·江苏苏州·一模）如图①，已知抛物线的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，是第四象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式： (2)当为何值时，的面积有最大值，并求出此时的最大值； (3)作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求的值． 8．（2026·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线顶点D的横坐标为1． (1)点，________，点； (2)P、Q是该抛物线上的两个动点（不与点B、C重合），横坐标分别为m、． ①设抛物线在P、Q两点之间的部分（含P、Q两点）为图像W，当且时，若图像W的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值； ②当且和3时，若的面积等于的面积，求m的值． 1．（2026·四川成都·中考真题）已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C． D． 2．（2026·山东东营·中考真题）在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 4．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $