6.2二次函数的图象与性质（分层作业·巩固过关）数学新教材苏科版九年级下册

分层作业 6.2 二次函数的图象与性质 A组|理解层级|巩固过关 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数的图象 题型02 二次函数的性质 题型03 五点法绘二次函数的图象 题型04 二次函数的顶点式与一般式的互化 题型05 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小 题型06 二次函数图象的平移 题型07 二次函数的图象上点的坐标特征 题型08 二次函数的最值 二次函数的图象题型01 1．下列图象中，是二次函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象的特点即可得到结论． 【详解】解：二次函数的图象是开口向上，顶点在原点的一条抛物线， 故A符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟练正确二次函数的图象的特点是解题的关键． 2．（24-25九年级上·山西大同·联考）函数与的图象的关系是（    ） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；对于，其对称轴为y轴，顶点为坐标原点；当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下，由此即可作出判断． 【详解】解：函数与的图象顶点为原点，对称轴为y轴；而函数中二次项系数为正，故开口向上，中二次项系数为负，故开口向下；除A选项外，其它选项均不正确； 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，该函数图象的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，由图象可得，该图象的解析式经过点，再逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该图象的解析式经过点， A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故不符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故符合题意； 故选：D． 4．如图，已知矩形中，，，动点在边上从点向点运动，速度为．同时动点从点出发，沿折线运动，速度为，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点运动的时间为，的面积为()，则描述为()与时间的函数关系的图象大致是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意可以写出各段对应的函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：当时，点在上， ， 时，随着的增大而增大，函数图象的开口向上，是抛物线的一部分，故选项A，D错误， 当时，点在线段上， ， 时，随的增大而增大，当时取得最大值，此时，函数图象是一条线段，故选项C正确，选项B错误， 故选：C． 5．在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 从图象对比，说出解析式中二次项系数对抛物线的形状有什么影响？ 【答案】 列表如下： 0 1 2 4 1 0 1 4 8 2 0 2 8 0 0 描点：见表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出， 连线：用平滑的线连接，如图所示： 的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；越大，开口越小 【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，解题的关键是正确的作图．根据描点法，可得函数图象，观察图象即可得出二次项系数对抛物线的形状有什么影响． 【详解】解：由图象可知：的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；越大，开口越小． 二次函数的性质题型02 1．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标． 【详解】因为是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（5，2）． 故选A 2．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而增大 D．对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握顶点式及抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，开口向上，故A说法正确，不合题意； B、顶点坐标为，故B说法正确，不合题意； C、当时，抛物线右侧部分，随的增大而增大，故C说法正确，不合题意； D、抛物线对称轴为，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 3．抛物线与抛物线相比较，其不同点是（     ） A．对称轴不同 B．开口方向不同 C．顶点坐标不同 D．形状不同 【答案】C 【分析】根据二次函数与的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、抛物线与抛物线的对称轴都是y轴，两者相同，故本选项不合题意； B、抛物线与抛物线的开口方向都向上，两者相同，故本选项不合题意； C、抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标是，两者不同，故本选项符合题意； D、抛物线可以由抛物线平移得到，故两者形状相同，故本选项不合题意． 4．已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．若，，是该图象上的三个点，则 【答案】D 【详解】解：由得，，抛物线开口向下，故A错误． 对称轴为直线，故B错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， 则当时，随增大而增大，故C错误． 点、、到对称轴直线的距离分别为、、， ∵抛物线开口向下，点到对称轴的距离越近，函数值越大， ∴，故D正确． 5．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，根据二次函数性质求出结果即可． 【详解】解：∵ ∵开口向上，对称轴为直线， ∴时，函数值y随x的增大而增大． 故答案为：． 五点法绘二次函数的图象题型03 1．画出函数的图象并说明开口方向、对称轴． 【答案】 解：由列表为： 描点、作图为： 如图所示，函数的图象开口方向向上，对称轴为直线，即轴． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，通过描点法画出函数图象是解题的关键．建立平面直角坐标系，然后利用五点法作出大致函数图象即可． 【详解】略 2．（25-26九年级上·福建·月考）已知二次函数 (1)写出二次函数图象的顶点坐标、对称轴及开口方向； (2)请在所给的坐标系中画出此二次函数的图象． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线，开口向上 (2) 解：， 列表如下： 0 2 4 6 0      0 图象如下： 【分析】本题考查二次函数的图象性质，画二次函数图象，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）结合的图象性质进行作答即可； （2）利用列表，描点，连线画出函数图象即可。 【详解】（1）解：∵，且 ∴二次函数的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线； （2）略 3．（25-26九年级上·山西大同·月考）已知二次函数． (1)请把下面的表格补充完整： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 2 ．．． (2)根据上表，在下图中画出这个二次函数的图象． (3)根据图象回答问题： ①当时，随x的增大而___________ ②当时，的取值范围是___________ 【答案】(1) 补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 2 3 2 ．．． (2) 二次函数的图象如下： (3)①增大；② 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、画二次函数图象，正确画出函数图象是解题的关键． （1）分别求出当，，时对应的值，即可补全表格； （2）利用描点法画出二次函数图象即可； （3）①观察二次函数的图象即可解答；②观察二次函数的图象即可解答． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； （2）略 （3）解：①观察图象可知，当时，随x的增大而增大； 故答案为：增大； ②观察图象可知，当时，的取值范围是 故答案为：． 4．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)建立平面直角坐标系，用五点法画出这个二次函数的图像； (3)当时，结合图像直接写出函数的取值范围． 【答案】(1) (2) 解：列表： 0 1 2 3 0 0 (3) 【分析】（1）将函数进行配方，即可得； （2）列表，描点，连线即可得； （3）根据x的取值范围和二次函数的最低点，即可得． 【详解】（1）解：； （2）略 （3）解：当时，， 即当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质． 5．（25-26九年级上·河南周口·期中）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 0 ．．． (1)表中___________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图像； (3)当时，，则___________． 【答案】(1)5 (2) 如图： (3)或1 【分析】本题考查了二次函数的对称性、图象绘制及函数值的取值范围，解题的关键是利用二次函数的轴对称性确定函数值，结合图像分析取值范围． （1）利用二次函数的轴对称性，确定对应的对称点的函数值得到； （2）根据表格对应值描点后用平滑曲线连接； （3）结合函数值的范围，确定长度为1的区间，进而得的值． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线， 因为与时的点关于直线对称，且时， 故． 故答案为： （2）根据表格中与的对应值描点，再用平滑的曲线连接各点，即可得到二次函数的图像． （3）解：由表格知，时或，时或； 要使时，观察图象可得， 当时，在内，从到，符合条件； 当时，在内，从到，符合条件． 故答案为：或． 二次函数的顶点式与一般式的互化题型04 1．将二次函数化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把解析式配方即可． 【详解】解： ， 故选：． 【点睛】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，掌握配方法是关键． 2．二次函数化成的形式是_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．二次函数的一般形式是________________，二次项系数和常数项的和是________． 【答案】 1 【分析】本题考查二次函数的定义，正确记忆二次函数一般式的特点是解题关键． 将二次函数的顶点式化为一般式，再求二次项系数与常数项之和。 【详解】解：将二次函数化为一般式得：， 其中二次项系数为，常数项为，它们的和为， 故答案为 ：，． 4．（24-25九年级上·江西南昌·质检）已知抛物线． (1)将 化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)； (2)抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数．解决本题的关键是利用配方法把二次函数的一般形式转化成顶点式，根据二次函数的顶点式解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． （1）利用配方法将抛物线解析式化成； （2）根据二次函数顶点式解析式可求抛物线的开口方向、对称轴、抛物线顶点坐标． 【详解】（1）解：， 整理得：, ； （2）解：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 5．嘉嘉同学用配方法推导二次函数（）的顶点坐标，她是这样做的：由于．解析式变形为 ，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)嘉嘉的解法从第______步开始出现错误；事实上，抛物线（）的顶点坐标是______． (2)用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴 【答案】(1)四， (2)顶点坐标为，对称轴为直线x＝1 【分析】（1）根据计算可得出第四步中括号外符号错误，改正后即可直接得出顶点坐标； （2）用配方法求解即可． 【详解】（1）嘉嘉的解法从第四步开始出现错误，应为， 故顶点坐标为． 故答案为：四，； （2） ∴顶点坐标为，对称轴为直线x＝1． 【点睛】本题考查将二次函数一般式改为顶点式与二次函数的性质．熟练掌握配方法是解题关键． 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小题型05 1．（25-26九年级上·北京·期末）若点在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握代入求值的方法是解题的关键．将各点横坐标代入抛物线解析式，计算出对应的纵坐标值，再比较大小． 【详解】解：∵点，，在抛物线上， ∴，，， ∴， 故选：． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数的对称轴为，图象上有四点，，，，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．先分析二次函数的图像性质，然后根据点到对称轴的距离来判断函数值大小即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，有最大值，对称轴处函数值最大，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江台州·月考）若点，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先得出二次函数的开口向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的所对应函数值越小，再结合，，为二次函数图象上的三点，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的所对应函数值越小， ∵点，，为二次函数图象上的三点， ∴， ∵， ∴， 故选：D 4．已知点为抛物线（a为常数，）上的两点，当时，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及根据二次函数的对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 当时，，则点、均为对称轴的右侧，再根据二次函数的增减性即可判定A；若，则点、在对称轴异侧或左侧，再分类求解即可判定B；当时，此时，即可判定C；若，则点、在对称轴异侧或左侧，即可判定D．灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． 【详解】解：由(为常数，)知，其开口向上，对称轴为，当时，，且， A．当时，，则点、均在对称轴的右侧，故，故A错误，不符合题意； B．若，则点、在对称轴异侧或左侧， 当、在对称轴异侧时，则，解得：； 当、在对称轴左侧时，则，解得：， 综上，，故B错误，不符合题意； C．当时，则，此时，， ，故C错误，不符合题意； D．当时，，则点、均为对称轴的右侧，故，故D正确，符合题意； 故选：D． 5．如果点和都在抛物线上，求的大小关系．（完成下面的解答过程） 解：由题意可知，抛物线的对称轴为直线， 则点在对称轴的________侧，点在对称轴的________侧， 点与对称轴的距离分别为________，________，________． 抛物线开口向上，画草图如下图： 方法一——直接由距离判断：观察图象可知，离对称轴越近的点的纵坐标越________． ________． 方法二——异侧转同侧，利用增减性判断：易知点关于对称轴的对称点的坐标为________，则点都在对称轴的________侧，且横坐标的大小排序为________． 在对称轴左侧，随的增大而________，________． 方法三——结合增减性和距离判断：在对称轴左侧，随的增大而________，________． 的纵坐标也介于的纵坐标之间，________． 思考：如果本题中未指明的正负，三个纵坐标的大小关系如何呢？（提示：需分类讨论） 【答案】左，右，， 方法一：小，， 方法二：，左，，减小，， 方法三：减小，横坐标越大，纵坐标越小，． 思考（未指明的正负）： 当时，抛物线开口向上，离对称轴越近，纵坐标越小，此时：； 当时，抛物线开口向下，离对称轴越近，纵坐标越大，此时：． 【分析】本题根据二次函数的对称性、二次函数的增减性，通过分析点到对称轴的距离，结合开口方向和增减性，即可解决比较抛物线上点的纵坐标大小的问题． 【详解】解：由题意可知，抛物线的对称轴为直线， 则点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， 点与对称轴的距离分别为，，． 抛物线开口向上，画草图如下图： 方法一——直接由距离判断： 观察图象可知，离对称轴越近的点的纵坐标越小， ， ． 方法二——异侧转同侧，利用增减性判断： 易知点关于对称轴的对称点的坐标为， 则点都在对称轴的左侧，且横坐标的大小排序为， 在对称轴左侧，随的增大而减小， ． 方法三——结合增减性和距离判断： 在对称轴左侧，随的增大而减小， 横坐标越大，纵坐标越小， ， 点的纵坐标也介于的纵坐标之间， ． 思考（未指明的正负）： 当时，抛物线开口向上，离对称轴越近，纵坐标越小，此时：； 当时，抛物线开口向下，离对称轴越近，纵坐标越大，此时：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，具体包括二次函数的对称性以及增减性，掌握二次函数的增减性与点到对称轴距离的关系是解题的关键． 二次函数图象的平移题型06 1．抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得到的抛物线解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像的平移规律即可解答． 掌握函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后， 得到的新的抛物线的解析式为：． 故选：B． 2．将某抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线，则原抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可． 【详解】解：∵将某抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线， ∴原抛物线解析式为，即， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 3．将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 4．（2026·上海·一模）我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移的性质，运用勾股定理求出两点之间的距离，先把一般式化为顶点式，找出抛物线的顶点坐标，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标为， ， 则抛物线的顶点坐标为， 依题意，， 即平移的距离至少是． 故答案为：， 5．已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移： （1）将抛物线写成顶点式，根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，即可求解； （2）求出原抛物线与x轴的交点为，再根据平移的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：令得，， 解得． 所以原抛物线与x轴的交点为， 又因为将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点， 所以， 解得． 故m的值为3． 二次函数的图象上点的坐标特征题型07 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）表格列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，其中，a的值为（   ） x 0 y 4 0 0 a A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的对称性．掌握二次函数图象关于其对称轴对称是解题关键．根据表格可求出该抛物线的对称轴为，从而得出当时，y的值和当时，y的值相等，即得出a的值为4． 【详解】解：∵时，；时，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∴当时，y的值和当时，y的值相等． ∵当时，， ∴当时，， ∴a的值为4． 故选：A． 2．观察下列等式：，，，…，运用你发现的规律解决以下问题：如图，分别过点作x轴的垂线，交抛物线的图象于点，交直线于点，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数表达式求点的坐标、一次函数表达式求点的坐标、平行于y轴的直线上的两点间的距离、数字规律等知识点，观察规律、理解规律是解题的关键． 先求出的坐标，然后求出的长．运用观察到的规律求出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，； ，； ，； ，， ∴ ． 故选D． 3．（24-25九年级下·福建·期中）设二次函数（a，c为实数，）的图象过点，，，，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．将四个点的坐标代入解析式，根据对每个选项解不等式即可解答． 【详解】解： ， ， A、，，则， 或， 即或， 当时，或， 当时，， 当时，，故A错误； B．，，则， 或， 即或， 当时， 当时，， 当时，，故B错误； C．，，则， 或， 即或， 当时，无解， 当时，无解， 当时，， ，故选项C错误； D、，，则， 或， 即或， 当时，， 当时，无解， 当时，无解， ，故D正确； ，故选项D正确； 故选：D． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·联考）已知点在抛物线上，则的值为___________． 【答案】18 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将点的横坐标代入抛物线解析式求解． 【详解】解：将代入抛物线， 得：． 故答案为：18． 5．若二次函数的图象经过点，则________． 【答案】2025 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，将点代入可得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 即：， ， 故答案为：2025． 二次函数的最值题型08 1．（26-27九年级上·广东汕头·联考）二次函数的最大值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将二次函数化为顶点式，判断出函数图像开口向下，再求出最大值即可 【详解】解：，开口向下， 则当时y有最大值4 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为； ∴； 故选C． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 由题意可知，点在二次函数（m为常数）的图象上，且，代入解得或（舍去），因为抛物线的对称轴为直线，当时，二次函数有最小值，当时，二次函数有最大值，即二次函数的最大值与最小值的差为． 【详解】解：将代入得： ， ， ， 解得：或（舍去） ， 即， ， ∴， 抛物线的对称轴为直线， 当时，二次函数有最小值， 当时，二次函数有最大值， 即二次函数的最大值与最小值的差为． 故选D． 4．对于二次函数，当________时，函数取得最________（填“大”或“小”）值，为________． 【答案】 3 大 5 【分析】已知二次函数为顶点式，根据二次项系数的符号判断开口方向，即可直接从顶点式得到顶点坐标，进而得到结果． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下，函数在顶点处取得最大值，顶点坐标为， ∴当时，函数取得最大值，最大值为． 5．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣12t2．飞机着陆后滑行 ___米才能停下来． 【答案】75 【分析】将函数解析式配方成顶点式，根据顶点坐标的实际意义解题． 【详解】解：s＝60t﹣12t2 = 当t=2.5时，s取最大值， 即飞机着陆后滑行75 m后才能停下来 故答案为：75． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是理解飞机滑行的最远距离即为函数的最大值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.2 二次函数的图象与性质 A组|理解层级|巩固过关 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数的图象 题型02 二次函数的性质 题型03 五点法绘二次函数的图象 题型04 二次函数的顶点式与一般式的互化 题型05 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小 题型06 二次函数图象的平移 题型07 二次函数的图象上点的坐标特征 题型08 二次函数的最值 二次函数的图象题型01 1．下列图象中，是二次函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西大同·联考）函数与的图象的关系是（    ） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 3．如图，在平面直角坐标系中，该函数图象的解析式是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知矩形中，，，动点在边上从点向点运动，速度为．同时动点从点出发，沿折线运动，速度为，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点运动的时间为，的面积为()，则描述为()与时间的函数关系的图象大致是(    ) A． B． C． D． 5．在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 从图象对比，说出解析式中二次项系数对抛物线的形状有什么影响？ 二次函数的性质题型02 1．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而增大 D．对称轴是直线 3．抛物线与抛物线相比较，其不同点是（     ） A．对称轴不同 B．开口方向不同 C．顶点坐标不同 D．形状不同 4．已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．若，，是该图象上的三个点，则 5．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是__________． 五点法绘二次函数的图象题型03 1．画出函数的图象并说明开口方向、对称轴． 2．（25-26九年级上·福建·月考）已知二次函数 (1)写出二次函数图象的顶点坐标、对称轴及开口方向； (2)请在所给的坐标系中画出此二次函数的图象． 3．（25-26九年级上·山西大同·月考）已知二次函数． (1)请把下面的表格补充完整： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 2 ．．． (2)根据上表，在下图中画出这个二次函数的图象． (3)根据图象回答问题： ①当时，随x的增大而___________ ②当时，的取值范围是___________ 4．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)建立平面直角坐标系，用五点法画出这个二次函数的图像； (3)当时，结合图像直接写出函数的取值范围． 5．（25-26九年级上·河南周口·期中）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 0 ．．． (1)表中___________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图像； (3)当时，，则___________． 二次函数的顶点式与一般式的互化题型04 1．将二次函数化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数化成的形式是_________． 3．二次函数的一般形式是________________，二次项系数和常数项的和是________． 4．（24-25九年级上·江西南昌·质检）已知抛物线． (1)将 化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 5．嘉嘉同学用配方法推导二次函数（）的顶点坐标，她是这样做的：由于．解析式变形为 ，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)嘉嘉的解法从第______步开始出现错误；事实上，抛物线（）的顶点坐标是______． (2)用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小题型05 1．（25-26九年级上·北京·期末）若点在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数的对称轴为，图象上有四点，，，，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江台州·月考）若点，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知点为抛物线（a为常数，）上的两点，当时，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．如果点和都在抛物线上，求的大小关系．（完成下面的解答过程） 解：由题意可知，抛物线的对称轴为直线， 则点在对称轴的________侧，点在对称轴的________侧， 点与对称轴的距离分别为________，________，________． 抛物线开口向上，画草图如下图： 方法一——直接由距离判断：观察图象可知，离对称轴越近的点的纵坐标越________． ________． 方法二——异侧转同侧，利用增减性判断：易知点关于对称轴的对称点的坐标为________，则点都在对称轴的________侧，且横坐标的大小排序为________． 在对称轴左侧，随的增大而________，________． 方法三——结合增减性和距离判断：在对称轴左侧，随的增大而________，________． 的纵坐标也介于的纵坐标之间，________． 思考：如果本题中未指明的正负，三个纵坐标的大小关系如何呢？（提示：需分类讨论） 二次函数图象的平移题型06 1．抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得到的抛物线解析式为（  ） A． B． C． D． 2．将某抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线，则原抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海·一模）我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________． 5．已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值． 二次函数的图象上点的坐标特征题型07 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）表格列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，其中，a的值为（   ） x 0 y 4 0 0 a A．4 B．3 C．2 D．1 2．观察下列等式：，，，…，运用你发现的规律解决以下问题：如图，分别过点作x轴的垂线，交抛物线的图象于点，交直线于点，则的值为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·福建·期中）设二次函数（a，c为实数，）的图象过点，，，，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·联考）已知点在抛物线上，则的值为___________． 5．若二次函数的图象经过点，则________． 二次函数的最值题型08 1．（26-27九年级上·广东汕头·联考）二次函数的最大值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C．4 D． 4．对于二次函数，当________时，函数取得最________（填“大”或“小”）值，为________． 5．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣12t2．飞机着陆后滑行 ___米才能停下来． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $