6.2二次函数的图象与性质（分层作业·能力进阶）数学新教材苏科版九年级下册

分层作业 6.2 二次函数的图象与性质 B组|掌握层级|能力进阶 目 录 B组 能力进阶 题型01 一次函数与二次函数的图象共存问题 题型02 利用二次函数的增减性求参数范围 题型03 二次函数图象的对称变换 题型04 二次函数的对称性的运用 题型05 根据二次函数的对称性求参数 题型06 利用二次函数的对称轴、最值求参数 题型07 二次函数图象与系数的关系 题型08 根据二次函数的图象和性质求参 题型09 根据二次函数的最值求参 题型10 根据规定范围内二次函数的最值求参数的值 题型11 根据二次函数的最值分类讨论求参 题型12 二次函数的图象和性质综合 一次函数与二次函数的图象共存问题题型01 1．（24-25九年级上·福建·月考）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·河南商丘·学情自测）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 3．如图，平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于的二次函数的图象的顶点在轴的正半轴上，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 利用二次函数的增减性求参数范围题型02 1．二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（    ） A．10 B．14 C．12 D．8 2．（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 3．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是________． 4．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求t的值； (2)若对于，都有，求t的取值范围． 5．（2026·安徽安庆·模拟）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线经过两个不同点、． ①当时，若，求的值； ②当，时，总有，求满足条件的的取值范围． 二次函数图象的对称变换题型03 1．（26-27九年级上·上海·月考）已知抛物线和，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是（     ） A．这两个抛物线的开口方向不同 B．这两个抛物线的对称轴相同 C．这两个抛物线的顶点相同 D．这两个抛物线关于轴对称 2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数解析式为___________． 3．抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为____． 4．若抛物线（为常数）与抛物线（为常数）关于直线对称，则的值为___________． 5．为了研究抛物线与在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现与的位置特征，你的发现是：__________；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是：__________． 二次函数的对称性的运用题型04 1．（26-27九年级上·广东江门·月考）二次函数的图象经过点和，则该二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 则当时，二次函数对应的函数值为（   ） A．0 B． C． D． 3．如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 4．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）若，是抛物线上的两点，则____________． 5．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，求t的值； (2)点在该抛物线上，若对于都有，求t的取值范围． 根据二次函数的对称性求参数题型05 1．（24-25九年级上·天津·月考）若抛物线的对称轴是直线，则b的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．点都在二次函数的图像上．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·月考）已知抛物线经过和两点，则h的值为________． 4．（2025·辽宁·模拟）已知直线与抛物线存在两个交点，横坐标分别为，，与交点的横坐标为，并且，若，则m的值为___________． 5．（25-26九年级上·安徽安庆·联考）已知二次函数，函数值和自变量的部分对应取值如表： 请观察表格，解决下列问题． (1)填空：_______，_______ (2)已知，，若线段与抛物线有交点，求的取值范围． 利用二次函数的对称轴、最值求参数题型06 1．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（    ） A． B．2 C．0 D． 2．已知抛物线的对称轴是直线x=4，则m=_____． 3．（25-26九年级上·天津·月考）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为__________． 4．若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第二象限，则m的取值范围为_____． 5．（25-26九年级上·福建漳州·期中）已知二次函数，其图象上有不同的两点坐标分别，记y的最小值为p． (1)若，请求出该二次函数图象的顶点坐标． (2)若，求m的值． 二次函数图象与系数的关系题型07 1．（25-26九年级上·浙江舟山·期末）若二次函数，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 1 … … 0 0 … 其中，．有下列结论：①；②；③；④当时，有最大值为，最小值为，此时的取值范围是．其中，正确结论的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．二次函数的图象如图所示，那么______（填“>”“<”或“=”）． 4．（24-25九年级上·北京·期中）抛物线如图所示，现有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有_____． 5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点在第四象限，且开口向上，判断 与的符号． 根据二次函数的图象和性质求参题型08 1．若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（    ） A．0 B．2 C．4 D． 2．已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（    ） A． B．1 C． D．2或 3．二次函数的图象经过平面内的四个象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．若抛物线的顶点在轴的下方，则实数的取值范围是______． 5．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 根据二次函数的最值求参题型09 1．（25-26九年级上·浙江温州·月考）二次函数的最小值是，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 2．（25-26九年级上·湖北咸宁·月考）抛物线的图象全部在x轴的上方，则b的一个值可为_________（只需写出符合条件的一个b的值）． 根据规定范围内二次函数的最值求参数的值题型10 1．（26-27九年级上·浙江杭州·月考）二次函数在范围内的最小值为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为（　　） A． B． C．或 D．﹣1或 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）已知点是二次函数图象上的点． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的最大值与最小值的和； (3)当时，若函数的最大值与最小值的和为10，求的值． 5．在平面直角坐标系中，已知函数（a为常数）． （1）若， ①当时，y的取值范围是______； ②若时，，则b的取值范围是______； （2）当时，此函数的最大值与最小值的差是4，求a的值． （3）设此函数图象与y轴交点为点M，过点M作y轴的垂线l，将函数图象在直线l上方部分沿直线l翻折后的图象记为，原函数图象未翻折部分记为，与组成的图象记为G，当G在直线与直线之间所夹的图象y随x增大而减小时，直接写出a的取值范围． 根据二次函数的最值分类讨论求参题型11 1．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 2．二次函数，当取值为时，有最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．以上都不对 3．二次函数当自变量在范围内有最小值，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东德州·联考）已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为__________． 5．在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)求该二次函数图象顶点的坐标（用含b的代数式表示）； (2)若该二次函数的图象经过点，求b的值； (3)当时，函数值y的最大值为M，最小值为m，若，结合函数图象，求b的取值范围． 二次函数的图象和性质综合题型12 1．关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．开口向上 B．与x轴有一个交点 C．对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小 2．定义：，若函数，则该函数的最小值为（    ） A． B．0 C． D．3 3．已知二次函数． (1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值； (2)若点，在该二次函数的图象上，且，试比较与的大小； (3)抛物线可以由抛物线平移得到吗？如果可以，写出平移的方法；如果不可以，请说明理由． 4．设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 5．如果一个函数的图象由两分支组成，且每分支都满足y随x的增大而增大，那么称这个函数为“双赢函数”．例如我们学过的反比例函数就是一个双赢函数． (1)已知双赢函数的图象经过和，求该双赢函数的解析式； (2)若关于x的函数是双赢函数（k为整数）与直线（d为常数）有两个交点A、B，且A、B两点间的距离为定值9，求d的取值范围； (3)若关于x的函数是双赢函数．当时，函数的图象关于原点对称．当时，y的最大值为P，最小值为Q，且，求的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 6.2二次函数的图象与性质 B组|掌握层级能力进阶 目录 B组能力进阶 题型01一次函数与二次函数的图象共存问题 题型02利用二次函数的增减性求参数范围 题型03二次函数图象的对称变换 题型04二次函数的对称性的运用 题型05根据二次函数的对称性求参数 题型06利用二次函数的对称轴、最值求参数 题型07二次函数图象与系数的关系 题型08根据二次函数的图象和性质求参 题型09根据二次函数的最值求参 题型10根据规定范围内二次函数的最值求参数的值 题型11根据二次函数的最值分类讨论求参 题型12二次函数的图象和性质综合 1/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 题型01 一次函数与二次函数的图象共存问题 1.(2425九年级上-福建月考)函数'=-2a>0)与”=a>0 在同一平面直角坐标系中的图象可 能是() 【答案】A 【分析】本题主要是二次函数图象与一次函数图象的问题，根据α>0确定一次函数图象经过的象限和二 次函数图象的开口方向即可判断. 【】:0>0时。一淡延数=瓜一2的图象华过，三，因象限，三次系数= 的开口向上， 故选A。 2.(26-27九年级上河南商丘·学情自测)在同一平面直角坐标系内，一次函数y=x+b与二次函数 y=kx2+6x+b 的图象可能是() 2/54 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 【答案】A 【分析】两条图象都经过点(0，b),且开口方向与直线的倾斜方向由同一个k决定. 【详解】解：一次函数'=+b 与二次函 y=x+6x+b中k,b相同， 两图象都经过y轴上的点(0，b): 当k>0时，直线从左到右上升，抛物线开口向上， 此时抛物线的对称轴为一六=一<0，在v轴左侧，选项A符合题意 当k<0时，直线从左到右下降，抛物线开口向下，选项B,C,D均不符合题意. 3.如图，平面直角坐标系 中，抛物线"=r+c+C与直线'=交于M,N两点，则二次函数 xOy y=ax2+(b-k)x+c 的图象可能是() 3/54 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，结合二次函数与一元二次方程的关系求解是解题的 关键。 y=ax2+bx+ 根据抛物线 与直线'=“交于M,N两点，可得方程r+r+c= 有两个不等的负实数根， 从而可判断， y=ax2+bx+ 【详解】解：·抛物线 与直线少=： 交于M,N两点，点MN在第二象限， ,∴，方程ax+bx+C=x有两个不等的实数根，且两个根都是负数， 即方程r+(b-)x+c=0 两个不等的负实数根， y=ax2+(b-k)x+c .二次函数 的图象与x轴有两个交点，且交于x轴的负半轴。 故选：A 4.已知关于x的二次函数 =ax2+bx+c 的图象的顶点在轴的正半轴上，则一次函数'= y=bx+c 和 的图象可能是() 【答案】D b 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，根据题意可得-2a之 、4ac-b2 ->0 24a =0,即可求得 a.b.c 之间的关系，再判断一次函数的图象即可解答，熟知二次函数相关的性质是解题的关键 4/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b70 【详解】解：根据题意可得2 ac-b2 4a 0 当a>0时，b<0, .4ac-b2=0 .4ac=b2>0 .c>0, 则y=中，y随x的增大而增大，且直线经过原点， y=br+C中，y随x的增大而减小，且与y轴交于正半轴，没有选项与之相符： 当a<0时，b>0,c<0, 则y=中，'随x的增大而减小，且直线经过原点， y=bx+c y 中，随的增大而增大，且与轴交于负半轴，只有D选项与之相符， 故选：D 5.二次函数P=ar+bx+ 的图象如图所示，则一次函数'=r+C 的图象不经过第 象限. 【答案】四 【分析】本题考查一次函数与二次函数图象的综合：根据二次函数的图象确定b,℃的符号，即可确定一 次函数不经过的象限。 【详解】解：由二次函数图象知，a<0,c>0, b 又抛物线的对称轴在y轴右边，即2a>0,则b>0, 一次函数图象过一、二、三象限，不过第四象限， 故答案为：四 5/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型02 利用二次函数的增减性求参数范围 y=x2-(12-k)x+12 1.二次函数 当t 时，y随若x的增大而增大，当X<时，y随着x的增大而减 小，则k的值应取() A.10 B.14 C.12 D.8 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的对称轴和增减性，熟练掌握二次函数的对称轴和增减性是解答本题的关 键，由“当x>1时，y随着x的增大而增大，当x<1时，y随着x的增大而减小”，可知二次函数的对称 轴为x=1,再利用二次函数对称轴的计算公式列方程计算，即得答案 【详解】：当x>1时，y随着x的增大而增大，当x<1时，y随着x的增大而减小， ∴·二次函数的对称轴为x=1 -02-0=1 2 解得k=10 故选：A 2。（24-25九年级上上海期中)如果二次函数”=a(-1 的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a 的取值范围是 【答案】a<0 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线在它对称轴左侧部分是上升的，得到抛物线的开 口向下，即可得出结果 y=a(x-1)2 【详解】解：·二次函数 的图象在它对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线的开口向下， .a<0: 故答案为：a<0 3.已知二次函数)=5(x-a,当x>4时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 【答案】a≤4 【分析】根据二次函数顶点式y=5(x- ，可得到图象的对称轴为x=,由二次项系数大于0可知图象 6/54 。学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 开口向上，开口向上的二次函数在对称轴右侧'随x的增大而增大，结合题目条件可得对称轴位置，进而 求出a的取值范围 【详解】解：：二次函数的解析式为’=5(x-, ∴，二次函数图象的对称轴为直线x=(,函数图象开口向上， ∴.在对称轴x=Q的右侧，函数值y随x的增大而增大， ,当x>4时，V随x的增大而增大， ∴.要使此条件成立，则对称轴x=a必须在x=4的左侧或与x=4重合，即a≤4， ∴.a的取值范围为a≤4 4.在平面直角坐标系0中，M(,).N(s,) 是抛物线 y=ax'+bx+c(a>0) 上任意两点，设抛物 线的对称轴为x=1. (1)若对于 =3，%4，有=%，求2的值， 2<x<3,3<x2< (2)若对于 4,都有片<%，求的取值范围。 【答案】()2 ②1≤2 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键. (1)根据二次函数的性质求得对称轴即可求解： (2)根据题意可得Xy,）离对称轴更近，<，则化y)与X,）的中点在对称轴的右侧，根据对 称性求得七+ +>t,即可求解。 <2<2,进而根据2 【详解】(1)解：对于=35=4有1=⅓ 有 心抛物线的对称轴为直线x=5=了 22 ,抛物线的对称轴为x=t. 7 :.1=2 7/54 。学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2<x<3,3<x2<4 (2)解：，当 x+x27 .2 22，x<x2 az0 :Xy）离对称轴更近，<，则Xy)与xy)的中点在对称轴的右侧， x+2>t. .2 即ts 2· 5.（2026安徽安庆模拟)已知抛物线'=r+2ar-8a(a≠0) (1)求该抛物线的对称轴： ②若抛物线经过两个不同点P(,）Q(,y) a(x-2_a-5 ①当片=为2≠0时，若片x+4，求a的值： ②当1<2，=m 时，总有>，求满足条件的”的取值范围 【答案】(1)x=-1 (2)①a=-4:②当a>0时，-3≤m≤1：当a<0时，m≥2或m≤-4 b 【分析】(1)根据x=-2a解答即可： a(x-2}=a-x (2)①将原关系式整理为y=a(x-2)(x+4),再代入可得a(x-2)(x+4)x+4,进而得出 a=x+x2-2 ，然后根据 八”，可得 +x2=-2 ，即可求出a; ∴.a=-2-2=-4: ②先求出抛物线的对称轴为直线x=-1,再分两种情况：当a>0时和当a<0时，根据抛物线增减性得出 答案. 8/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：该抛物线的对称轴是直线x= 2a (2)解：①抛物线经过 P,）和点（西） ∴.y1=ax2+2ax-8a=a(x-2)(x+4) a(x-2}_a-x a(x-22 把上式代入片一x+4中，得：a(G-2):+4)x+4, .x1-2=a-x2 .a=x+x2-2 又片为 .x+x2=-2 a=-2-2=-4: ②由(1)可知抛物线的对称轴为直线x=-1, 1<x<2, P(G,)在对称轴右侧， 点 当a>0时， 函数图象在对称轴右侧'随x增大而增大，在对称轴左侧随x增大而减小， 对于 1<x<2x2=m y>y2 时，有 ∴当(：，少)不在对称轴左侧时，则有1≤m≤1， 当(， 在对称轴左侧时，则有3≤m≤-， 所以-3≤m≤1： 当a<0时， 函数图象在对称轴右侧少随x增大而减小，在对称轴左侧'随x增大而增大， 9/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1<x<2x2=m “对于 月>y2 时，有 ∴当(：，少)不在对称轴左侧时，则有m之2： 当(，y 在对称轴左侧时，则有m≤-4； 综上所述，当a>0时，-3≤m≤1. 当a<0时，m≥2或m≤-4. 题型03 二次函数图象的对称变换 1.(26-27九年级上·上海月考)已知抛物线y=2x2和y= ,下列关于这两个抛物线的说法中不正 确的是() A.这两个抛物线的开口方向不同 B.这两个抛物线的对称轴相同 C.这两个抛物线的顶点相同 D.这两个抛物线关于x轴对称 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可. 1 【详解】解：抛物线y=2x的开口向上，抛物线少=一2的开口向下，故选项A正确： 1 抛物线y=2和少=一2的对称轴均为y轴，故选项B正确，两个图像的开口大小不一样，不对称，选 项D错误； 抛物线y=2x2和y= 2的顶点均为(0,0)，故选项C正确： 故选项D符合题意 =x2-5 2.在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数解析式为 y=-x2+5 【答案】 【分析】根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数，解答即可. m,n 【详解】解：设新抛物线上一个点的坐标为 ”,根据题意， 得m,-）-定在y=-5 的图象上， 10/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.-n=m2-5 ∴.n=-m2+5 所得抛物线相应的函数解析式为'=-？+5 3.抛物线"=2r2-12r+16 于原点对称的抛物线的解析式为一· 【答案】y=-2r2-12x-16 【分析】本题考查了抛物线关于原点对称的抛物线解析式求法.求出顶点坐标关于原点对称的坐标，然 后利用顶点式解析式写出，再整理成一般形式即可 【详解】解：)=22-12x+16=2(x-3}-2 (3,-2) 顶点坐标为： 又顶点8- 关于原点对称的点的坐标为(3,2)， 所以，抛物线为y=-2(x+3)+2=-2x2-12x-16 y=-2x2-12x-16 故答案为： 4.若抛物线 :y=+6-)r-3(b为%数)与抛物线：)=-10x+3c(C为常数)关于直线x=2 对称，则b-c的值为 【答案】-4 【分析】两条抛物线关于直线x=2对称，则L上任意点关于直线x=2的对称点都在L'上，利用对称点的 坐标关系得到等式，对应系数相等求出b和C,即可得到b-的值. 【详解】解：设任意点)在抛物线L上， :点：，川关于直线x=2的对称点为4-川，且L与关于直线=2对称， 点(4- 在抛物线卫'上， 11/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷y=(4--10(4-)+3c 展开整理右侧得：y=r+2x-24+3c 又y=r+6-1)x-3 ,多项式相等对应系数相等， 可得b-1=2,-3=-24+3c, 解得b=3,c=7, .b-c=3-7=-4 5.为了研究抛物线4：y=r+c+C与：y=-+x-C在同-平面直角坐标系中的位置特征，我们 L 可以先取字母常数、6C的一些特殊值，试者画出相应的抛物线，通过观察来发现与的位置特征， 你的发现是： ；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的， 那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧.理由是： 【答案】 顶点关于原点对称 顶点的横纵坐标都互为相反数 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质.根据题意画出相应的图象，得出顶点关于原点对称：分别 求得抛物线和的顶点坐标，据此即可求解. 【详解】解：取a=b=C=l时，则抛物线 :y=x2+x+1L2:y=-x2+x-1 与 取0=c=1,b=-2时，则抛物线 y=x2-2x+12:y=-x2-2x-1 与 12/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 观察图象，发现与的位置特征是：抛物线的形状相同，开口方向相反，顶点关于原点对称： b 4ac-b2 抛物线L:y=ax2+bx+c的顶点坐标为2a’4a b 4×(-a)×(-c)-b2 b 4ac-b2 L2:y=-ax2+bx-c的顶点坐标为 2×(-a) 4×(-a) 即2a 4a .顶点关于原点对称，理由是：顶点的横纵坐标都互为相反数 故答案为：顶点关于原点对称：顶点的横纵坐标都互为相反数. 颗型04 二次函数的对称性的运用 1.(2627九年级上广东江门月考)二次函数=ar+r+C的图象经过点1.0)和3,0) 则该二次函 数的对称轴是() A.直线x=-1 B.直线x=1 C.直线x=3 D.直线x=2 【答案】B 【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质求解. 【详解】解：”二次函数=++C的图象经过点1,0)和（民，0)， ∴两点为抛物线上纵坐标相等的点，关于对称轴对称， 31 ·对称轴为直线x=2 y=ax+bx+c 2.(24-25九年级上河北唐山期末)二次函数 的部分对应值如下表： 13/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0-8-9 51 则当=2 y=ax-+bx+c 时，二次函数 对应的函数值为() A.0 B.-8 C.-9 D.-5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称性.通过表格确定二次函数的对称轴，是解题的关键.根据表格可知， x=-3和x=5的函数值相等，可以得到抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性，找到表格中与x=2关 于对称轴对称的x对应的函数值，即为所求. 【详解】解：由表格可知，x=-3和x=5的函数值相等， ÷抛物线的对称轴为：X=3+5。 =1 2 ∴，x=2与x=0的函数值相等， 即：当x=2时，y=-8 故选：B 3.如果抛物线'=r--6上的点 A(-3,n) 和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是 【答案】 (4,6) 【分析】首先确定抛物线的对称轴，再求出点A的坐标，最后根据对称点的性质求解即可： 【详解】解：“抛物线'=-x-6 中，a=1b=-1 -11 ∴.抛物线的对称轴为X=一 2×12 将=-3代入抛物线解析式，得”=(3)-(-3)-6=6 ·点A的坐标为 -3,6) ~点A和点B关于抛物线对称轴对称，对称点纵坐标相等，点A,点B到对称轴的距离相等， -3+x1 设点B的横坐标为x,可得2=2： 解得x=4, 14/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·点B的坐标为 4,6) 4.(2425九年级上内蒙古呼和浩待月考)若1(m-2,川），B(m+2,川）是抛物线=-(x-+2026上 的两点，则n= 【答案】2022 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式得出抛物 线的对称轴=h,根据抛物线的对称性得出m=力，故1h-2,m）,B(h+2,m ,将点B的坐标代入解析 式即可求解 【详解】解：抛物线'=-(x-h)+2026 的对称轴为x=h, :1(m-2,0川，B(m+2,川小是抛物线y=-(x-+2026上的两点， m-2+m+2=h 故 2 即m=h, A(h-2,n)B(h+2,n) 故 将Bh+2,n川代入y=-(-+2026, 得"=-(h+2-h+2026=2022 故答案为：2022 5.在平面直角坐标系0y中，点1(3m）,点(5川)在抛物线'=r++ca>0)上. 设抛物线的对称 轴为直线x=t, (I)若m=n,求t的值： C(,P)在该抛物线上，若对于 (2)点 0<x<1 都有m<n<P,求t的取值范围。 【答案】(1)t=4 (2)3≤t<4 15/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=ax2+bx+c(a≠0) 【分析】本题考查了二次函数 性质，熟悉相关结论是解题关键。 (1)由题意得5-t=t-3,据此即可求解： (2)分类讨论①当m<n时，②当n<P时，两种情况即可求解： 【详解】(1)解：“点 A(3,m)_B(5,n) y=ax2+bx+c(a>0) ，点 在抛物线 上 且m=n,抛物线的对称轴为x=t, .5-t=t-3, .t=4 (2)解：“点46m,点B5,川，点CP刊在抛物线=+br+a>0上 ,点 ..m=9a+3b+c n=25a+5b+c p=axo+bxo+c .m<n<p .m<n且n<p. ①当m<n时，有9a+3b+c<25a+5b+c, ∴.9a+3b<25a+5b ..8a+b>0 .b>-8a .'a>0 .∴.-a<0. b<4 -2a b=t 2a .t<4 ②当”<P时，有 5a+5b+c<axo+bxo+c .5b-bx<ax,2-25a .b(5-x)<a(x+5)(x-5) 16/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :0<x。<1 .b<-a(x+5) -b>+5 2a2 t≥3 综上：3≤t<4, 题型05 根据二次函数的对称性求参数 1.（2425九年级上天津月考)若抛物线=2r-r+ 的对称轴是直线=1，则b的值为() A.2 B.-2 C.4 D.-4 【答案】C b 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线y=ax2+hx+c(a≠0)的对称轴是直线x=一2a是解题 的关键. 根据抛物线的对称轴公式即可求解。 【详解】解：·y=2r-bx+3 对称轴是直线x=1 b 1,即车山，解得6=4 .2a 故选：C 点4(m-1),B(m,)都在二次函数'=(x-少的图像上.若片<片，则m的取值范围为() 2. 3 3 A.m>2 B.m>2 C.m<1 D.2<m<2 【答案】B +>对称轴， 【分析】根据=次高数图像与性质。由当y=片时。士=对称镇，可知当y<片时。宁兰 列不等式求解即可得到答案。 【详解】解：“二次函数 =(x-1)2 17/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·抛物线的开口向上，对称轴为x=1, (m-1,y),B(m,2 点 都在二次函数”任-少的图像上，且<乃 a-+m>1,即2m>3解得m 3 2 故选：B。 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，理解利用二次函数图像与性质比较大小的方法是解决问题的关 键. 3.(25-26九年级上北京月考)己蜘知抛物线'=(x-h+4经过(3，m)和5，m）两点，则h的值为 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴=力，观察点-3，m)和5，m）,它们关于对称轴x=力 对称，据此即可作答， 【详解】解：抛物线'=(-)+4经过点(3，叫)和（5，m）两点，且3，m）和(5，m）两点的纵坐标相等， 点3m)知，m 和 关于对称轴x=h对称， 即h=345-1 2 故答案为：1. 4。(2025-辽宁模拟)已知直线=m与抛物线)=r-2x-3 存在两个交点，横坐标分别为，。，与 > y=-x交点的横坐标为x,并且x<x<x,若+名+=2，则m的值为 3 【答案】-2 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握抛物线的对称性是解题的关键. 根据二次函数的性质可得抛物线的对称轴为x=1,由抛物线的对称性可得2 得十龙=1，得到x+=2,再 3 由+五+名=2得到=2，代入y=m到y=-x得，x=-m:再根据直线y=m与y=-x交点的横坐标 18/54 。学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为，列出关于m的方程，即可求解m的值。 【详解】解：：抛物线y=x-2x-3=(c-1)2-4 ∴.抛物线的对称轴为x=1, y=m y=x2-2x-3 ,直线“与抛物线 存在两个交点， ∴，这两个交点关于抛物线的对称轴对称， 5 :考+52 7 又，为+x3+x3=。 29 1 522= 3 2, 代入y=m到少=一x得，m=-x,解得x=-m, :直线少=m与y=-x 与 X3 交点的横坐标为， 3 .-m=3= 2 3 解得m= 2 3 故答案为：一2· 5.（25-26九年级上安徽安庆联考)已知二次函数'=-2r+8x-2 函数值和自变量的部分对应取 值如表： 0 3 4 … -2 b 请观察表格，解决下列问题 (1)填空：b=一，c=氵 19/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知 M(n,4)N(n+l,4) 若线段MW与抛物线有交点，求”的取值范围。 【答案】(1)4，-2 (2)当0≤n≤1或2≤n≤3时，线段MN与抛物线有交点 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键： （分别把=3和=4代入二次函数”=-2+8x-2 行求解即可： (②)令y=4时，则有2x+8x-2=4,则有抛物线与直线'=4的交点坐标 为4和8 ,然后可得 n≤1≤n+1或n≤3≤n+1,进而求解即可. 【详解】(1)解：当x=3时，则有b=-2×32+8×3-2=4: 当x=4时，则有c=-2×42+8×4-2=-2; 故答案为4，-2； (2)解：令y=4时，则有-2x2+8x-2=4, x=1,x2=3 解得： “抛物线与直线少=4 的交点坐标为 4刊)和8,4) :线段MN与抛物线有交点， ÷点么4到B4 或 需在线段MN上， M(n,4)N(n+1,4) ,点 ∴，n≤1≤n+1或n≤3≤n+1, 解得：0≤n≤1或2≤n≤3： ∴.当0≤n≤1或2≤n≤3时，线段MN与抛物线有交点. 颗型06 利用二次函数的对称轴、最值求参数 1.(2425九年级上浙江期中)已知二次函数》=-+x+C. 当>1 时，函数的最大值为2：当≤1 20/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时，函数的最大值为1，则bC=() A.-2 B.2 C.0 D.-8 【答案】D b 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到该抛物线的开口向下，对称轴为直线x= h 得到对称轴只能在y轴右侧，则b>0·由当x=2时函数的最大值为2，当x=1时，y=1,求出b、C,即 可得到答案. 【详解】解：由y=-x+bx+c= 2 b 2 +C b 4+C得该抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2 ,当x>1时，函数的最大值为2：当x≤1时，函数的最大值为1， ,根据二次函数图象的特点可知，抛物线的对称轴只能在y轴右侧，则b>0, 由当x=1时，y=-1+b+c=1,则c=2-b, b2 由4+c=2得4+2-b=2,解得6=4或6=0（含去）： ∴.c=2-4=-2, c=4×(-2)=-8 则 故选：D 2。已知抛物线=-m 的对称轴是直线x=4,则m= 【答案】4 y=a(x-h)2 【分析】根据抛物线 的性质确定对称轴，结合已知即可求解 【详解】解：抛物 y=(x-m)2 对称轴是直线m, y=(x-m)2 ,抛物线 的对称轴是直线二4， .∴.m=4 故答案为：4 21/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【点睛】本题考查了抛物线 y=a(x-h)2 的性质，熟知抛物线 y=a(x-h)2 的对称轴为直线是解题关键， 3。（25-26九年级上天津月考)已知二次函数”-+ ,当<-3 时，y随x的增大而增大，当>-3时， y随x的增大而减小，则的值为 【答案】3 【分析】本思考查二次函数的图象与性质.-+矿，a<0 时，对称轴为=h,当<-3时，’随 的增大而增大，当x>-3时，'随x的增大而减小，可知对称轴为x=-3,进而可得h的值. 【详解1解：：二次西数仁+，当<-3时，》胎的增大而增大，当了时’随的增大而减 小， y=-(x+h)月 ∴抛物线 的对称轴为直线=-3 故h=3, 故答案是：3 4.若抛物线y=(x-)+(+1)的顶点在第二象限，则的取值范围为一， 【答案】-1<m<0 【分析】求出函数的顶点坐标为(m,叶1)，再由第二象限点的坐标特点的得到：m<0,+1>0即可 求解 【详解】，y=(x-m)2+(+1), ∴.顶点为(m,叶1)， ,顶点在第二象限， ∴.1<0，+1>0， .∴.-1<m<0, 故答案为-1<m<0 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x-)+k中， 对称轴为直线h,顶点坐标为(h,k). y=ax'+bx+c(a>0) 5.(25-26九年级上福建漳州期中)已知二次函数 其图象上有不同的两点坐标 22/54 。学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分别m,n),(2-m,n),记y的最小值为p. (1)若p=一4，请求出该二次函数图象的顶点坐标. (2)若n-p=9a,求m的值. 【答案】4) ②%=4%-2 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键： (1)根据题意求得对称轴为直线x=1,进而根据抛物线开口向上，结合题意，当x=1,最小值p=-4, 可得顶点坐标： (2)由山可得抛物线的解折式为”=x-少+P,代入《 m,n). 出”=a(m-l+P,根据a0, 得出 n-p=9a 得出方程 (m-1)2=9 ,解方程，即可求解： 【详解】(1)解：：二次函数yr+r+ca>0) (m,n) ,其图像上有不同的两点坐标分别为 (2-m,n） 对称轴为直线x=。二三1，抛物线开口高 2 .当x=1,最小值p=-4, 1,-4) 该二次函数图像的顶点坐标 (2) :(m,m）在y=ax-+P的函数图像上， 在 ∴.n=a(m-1)2+p .n-p=a(m-1)2=9a a≠0， 23/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .(m-1)2=9 六m=4m,=-2 题型07 二次函数图象与系数的关系 1.(25-26九年级上浙江舟山期末)若二次函数”=r+r+c(ab(0,c0）, 则这个函数图象可能是 八 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键 利用排除法，由c>0可以排除人选项：由的<0得对称轴=一名 b ,>0,可以排除B和C选项；即可得出 结果 【详解】解：对于二次函数'=ar+br+c(ab<0,c>0) 令x=0,则y=C, 0,c) ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ,c>0, ∴，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， 可以排除A选项； ,ab<0, 六抛物线的对称轴x=一 b ->0 2a .可以排除B和C选项： 故选：D 24/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.二次函数 =r++c,b,C是常数，a≠0 )的自变量与函数值的部分对应值如下表： -3 x: -1 X2 m 0 0 m c-m=3,④当 其中-3<x<-1<0<:<x<1,m<m·有下列结论：①bc<0:②3a+c>0:③ t≤x≤1 y m -3≤t≤-1 时，有最大值为”，最小值为，此时的取值范围是 其中，正确结论的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分析】利用表格所给信息得出对称轴=一1，由 3<x<-1<0<x,<名<1，n<m,可判断对称轴 x=-1右侧，y随x增大而增大，进而可知a>0,m>0,c<0,进而可判断①②③；由对称轴x=-1可 知最小值为k,即x=-1时，当t≤x≤1时，最大值在x=t或x=1时产生，根据当x=-3时，y=m,当 x=1时，y=m,即可判断t的取值范围，进而可对④进行判断. 【详解】解：当x=-3时，y=m,当x=1时，y=m 立函数)y=ar+bc+c的对称轴为：x=)1- 2 b 即：2 =-1,亦即b=2a>0' :-1<0<<g< ,且当=时，y=,当=l时，=m=++e x=X 又，n<m, ∴函数y=ar+bx+ C在对称轴X=-右侧，'随产增大而增大， .a>0,则m>0, .a+b+c=3a+c>0,故②正确： 则c-m=c-（a+b+C--3a=-3,故8正确： a 当x=0时，y=c,则c<0, 25/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .abc<0,故①正确： 又：函数少=ar+br+ 的最小值为当=-时，y= ∴，当t≤x≤1时，y有最小值为k,即x能取-1， .t≤-1， 又，当x=-3时，y=m,当x=1时，y=m 由在对称轴x=-1左侧，y随x增大而减小，知：当x<-3时，y>m .当t≤x≤1时，y最大值为m, :.-3≤t≤-1：故④正确： 故选：D 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质：熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息 确定出对称轴是解题的关键， 3.二次函数y=ar+bx+ 的图象如图所示，那么abc (填“><”或“=”). 【答案】> 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题 的关键，此题运用了数形结合思想.首先根据开口方向确定α的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即 可判断b的符号，然后根据与'轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，代入即可判断abC的正负. 【详解】解：，图象开口方向向上， .a>0. ,图象的对称轴在x轴的正半轴上， .2a >0 ,a>0, 26/54 。学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .b<0, ,图象与y轴交点在y轴的负半轴上， .c<0, ∴.abc>0, 故答案为：>. 4.（2425九年级上北京期中)抛物线'=ar+r+c(a≠0) 图所示，现有下列四个结论： ①abc>0: ②3a+c>0； ③2a+b>0: ④b>a+C.其中正确的结论有 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系。根据二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标 得出c>0:再夜察香数，得出0<-品<1，多理得b2a故2a6>0·观系西数图象，当x-1时， 则y=a-b+c>0,得a+c>b,又因为-b<2a,a+c>b,故3a+c>0,即可作答. y=ax+bx+c(a≠0) 【详解】解：观察函数图象，得出函数 的开口向上， 故a>0. 函数”=ar+br+ca≠0)与'"轴交于负半轴， .c<0 函数少=ar+r+c(a≠0) 的对称轴位于x轴的正半轴， 27/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b20 .2a .2a a>0, .b<0, 即abc>0, 故①是正确的： 图象对称轴为直线x= 2a,观察函数，得出0<-力<1 2a a>0, ∴.-b<2a, ∴0<2a+b, 故③是正确的： 观察函数图象，当x=-1时，则y>0, 即y=a-b+c>0 ..a+c>b, 故④是错误的： -b<2a, ∴.2a>-b, .a+c>b, a+c+2a>b+(-b), 即3a+c>0, 故②是正确的： 故答案为：①②③ 5.在平面直角坐标系中，二次函数"=ar+bx+c(a≠0 的图象顶点在第四象限，且开口向上，判断 分-ac与ac- 的符号 28/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】4ac-b2<0,b2-4ac>0 4ac-b2 【分析】考查二次函数图象性质，利用顶点纵坐标公式和开口方向判断符号.关键是掌握4和 与a的 符号关系，易错点是符号判断失误， 4ac-b2 设二次函数y=ax+br+c,开口向上则a>0'顶点在第四象限则顶点纵坐标4a<0.因a>0’故 4ac-b2<0 b2-4ac>0 ,进而 【详解】对于二次函数'=ar+hr+c(a≠0) 开口向上则>0：顶点在第四象限，说明顶点的横坐标 b 4ac-b2 >0,纵坐标 <0 2a Aa 4ac-b2 由 Aa <0且a>0可得4ac-b<0:因此b2-4ac>0 题型08 根据二次函数的图象和性质求参 1.若抛物线 y=(m-2)x2 的开口向上，则的值可能是下面的() A.0 B.2 C.4 D.-2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线开口向上时，二次项系数需大于零，据此求解即可， 【详解】解：：抛物线'=(m-2) 开口向上， ∴.m-2>0,即m>2 .选项中只有m=4满足条件。 故选：C y=ax2-3x+a2-4 2.已知开口向下的抛物线 经过坐标原点，那么a等于（) A.-1 B.1 C.-2 D.2或-2 【答案】C (0,0) 【分析】本题考查二次函数的图象性质.将 代入抛物线解析式，再结合抛物线开口方向即可得到a 29/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的值. 【详解】解：y=ar2-3x+a2-4(0,0) 过 ∴，a2-4=0, 又，抛物线开口向下， .a<0, .a=-2, 故选：C 3.二次函数y=r-2x-a 的图象经过平面内的四个象限，则“的取值范围为() A.a>0 B.a>-1 C.-1<a<0 D.a<2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质.根据题目中的解析式和二次函数的性质可以求得α的取值范 围，本题得以解决」 y=x2-2x-a=(x-1)2-1-a 【详解】解： ∴二次函数的图象开口向上，对称轴是直线x=1,顶点为，-1-， “二次函数'=r-2x- 的图象经过平面内的四个象限， ·顶点在x轴的下方，与'轴的交点在负半轴， -a<0 -l-a<0, ..a>0 故选：A 4.若抛物线”=一+4红-”的顶点在”轴的下方，则实数”的取值范用是 【答案】n>4或4<n 【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在x轴下方，即可求出的范围. 【详解】解： y=-x2+4x-n 30/54 。学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 化为顶点式为：y=-(x-2+4-n .4-n<0, n>4, 故答案为：n>4. 【点睛】本题考查了抛物线的项点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于O时，顶点位于x轴下方. 5.(24-25九年级上：北京期中)在平面直角坐标系*0中，已知抛物线'ar-2ax+20 xOy (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)已知点 P(x,）Q(x, 是抛物线上的两点.若对于a≤无≤2-a,6=a-1,都有<片，求a 的取值范围。 【答案】①该抛物线的顶点坐标为a,0) 1 (2②a<0或2<a<1 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键： (1)根据配方法配成顶点式，然后问题可求解： (2)由题意可分①当a<0和a>0进行分类讨论，然后结合二次函数的性质可进行求解. y=ax2-2a'x+2a 【详解】(1)解：由 配成顶点式可得： y=a(x2-2ax+a2)+a=a(x-a)+a ÷该抛物线的顶点坐标为a,) (2)解：由题意可知a≠0，则可分： ①当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为直线x=a, .1-a>1,a-1<-1. 要使<，则需满足点P到对称轴的距离要比点Q到对称轴的距离更远， :海0到对称轴的面为一6-》，古对将轴的施离为-”。可小-205-s2-2a 31/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .1-2a>1,解得：a<0: @当>0时，抛物线开口向上，要使”<片，则需满足点P到对称轴的距离要比点Q到对称轴的距离更 近， a-(a-1)=1 ,点Q到对称轴的距离为 点P到对称轴的距离为片-叫 1 当x>a时，需满足1-a>a,即a<2 1-2a≤x-a≤2-2a 2-2a<1解得：a> 1 >2(与a<2相矛盾，故不符合思意)： <0时，需满足2-a<0,即a>1 2a-2≤a-x≤2a-1 ∴.2a-1<1,解得：a<1(与a>1相矛盾，故不符合题意)： 1 当1-a<a<2-a时，解得：2a<1,此时0<2a-1<10<2-2a<1,所以此种情况始终满足片<： 1 综上所述：当a<0或2<a<1时，都有y<片： 题型09 根据二次函数的最值求参 1.（25-26九年级上浙江温州月考)二次函数)=+2x+ 的最小值是2，则的值是() A.1 B.-1 C.3 D.-3 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握若开口向上，则函数在对称轴上取得最小值，若开口向下， 则函数在对称轴上取得最大值是解题的关键， 由题知，a=1>0,二次函数开口向上，又对称轴x=-1,接着代入求解即可. y=x+2x+c 【详解】二次函数 a=1>0,二次函数开口向上，对称轴方程为x=-1, 32/54 。学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以x=-1时，二次函数取得最小值， 则-+2×()+c=-2,解得c=-1. 故选：B 2。(25-26九年级上湖北咸宁月考)抛物线”=+b 的图象全部在x轴的上方，则b的一个值可为 (只需写出符合条件的一个b的值). 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数'=r+ a,k为常数，a≠0的性质，a决定抛物线的形状和开口方向， 其顶点是(0，)，对称轴是y轴. 根据抛物线开口向上，图象全部在x轴上方则最小值大于零，据此求解即可. 【详解】解：：抛物线=r+ +力的二次项系数为1>0， ∴抛物线开口向上，其顶点坐标为(0，)，最小值为b. ,图象全部在x轴上方， .b>0, .b可取任意正数，如1（答案不唯一）· 故答案为1（答案不唯一）. 题型10 根据规定范围内二次函数的最值求参数的值 1,(2627九年级上浙江杭州月考)=次函数'=r-4+m在1≤x≤3范国内的最小值为，则m的 值为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【分析】找出二次函数的对称轴，根据在-1≤x≤3的范围内有最小值得出答案. 【详解】解：对少=r-4+m 配方，得 =(x-2)2+m-4 ,函数图象开口向上，对称轴为直线x=2,且-1<2<3， ∴，当x=2时，y取得最小值m-4, 33/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,在-1≤x≤3范围内的最小值为-1， .m-4=-1, 解得m=3. 2.已知函数y=t-2x+3 在闭区间 ,网上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（） A.m≥1 B.0≤m≤2 C.1≤m≤2 D.m≤2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的解析式可得出抛物线开口向上，对称轴为x=1,顶 ,3) 点坐标为 2),与'轴的交点为 可画出大致图象，由函数y=-2x+3在闭区间0，m上有最大 值3，最小值2，结合图象即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关 键。 【详解】解：：二次函数y=r-2x+3=(x-+2 :抛物线开口向上，对称轴为x=1,顶点坐标为 1,2) 当x=0时，y=3, ·与》轴的交点为 0,3) 其大致图象如图所示： 12x 由对称性可知，当y=3时，x=0或x=2, :=次函数=-2x+3在闭区同0网上有最大值3最小值2 .1≤m≤2. 故选：C 34/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.已知抛物线y=x2+(2a-1)x-3,当-1s≤3时，函数最大值为1，则a值为() 1 11 1 A.2 B.3 C.2或3 D.-1或3 【答案】D 【分析】根据项点的位置分两种情况讨论即可. y=x2+(2a-1)x-3 【详解】解： :图象开口向上，对称轴为直线x= 2a-1 2 .-13, 2a-1 1 :当2,1时，即a一2x=3时有最大值1， ∴.9+(2a-1)×3-3=1 1 .∴.a=- 3 当2小时，即X=-1时有最大值1 1 .1+(2a-1)×(-1）-3=1 a=-1, a=-1或3， 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键。 4.（25-26九年级上浙江绍兴月考)已知点4(2，-3)是二次函数’=+(2m-)r-2m 图象上的点 (1)求二次函数图象的顶点坐标： (2)当-1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的和； (3)当-1≤x≤t时，若函数的最大值与最小值的和为10，求t的值. 【答案】8-4) (2)8 3-2$3+35 或 35/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握 二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键 (1)把已知点的坐标代入解析式求出参数，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标： (2根超二次盛数图象上点的华标特征，即可得到当=3时。4，当=-时。m=2 ，从而 求得结论： -1,12) (3)先求出点 关于对称轴的对称点 为，12），分三种情况讨论：当1<3时；当3≤1<7时，当 t之7时.分别求出最大值和最小值，根据最大值与最小值的和为10，列方程求解即可. 【详解】少解：已知4亿-》是=次面数=+(2m-r-2m 图象上的点， .4+4m-2-2m=-3, 解得m、」 2 心此二次函数的解析式为：y=r-6x+5 y=x-6x+5=(x-3)2-4 3,-4) ∴顶点坐标为 3,-4) (2)解：，抛物线开口向上，顶点坐标为 当1≤x≤4时，H1-3>4-3到 ÷当=3时，有最小值4，当x=-时，有最大值1-3-4=12 ∴当-1≤x≤4时，函数的最大值与最小值的和为-4+12=8： (3)解：当x=-1时，y=12, 当=1时，y=-6+5 y=x2-6x+5=(x-3}2-4 36/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :抛物线的对称轴为直线X=3,抛物线开口向上，顶点坐标为 3,-4).（-1,12) ,点 关于对称轴的对称点为 (7,12) 分以下三种情况讨论： 当<3时，当15x51时，》随‘的增大而减小，当=时，有最小值=-6+5，当=-时，有最 大值12， 2-6t+5+12=10, 解得=3土V2 :3-V2 当3≤t<7时，当x=3时，有最小值-4，当x=1时，有最大值12， 12+(-4)=8 ,不符合题意： 当≥7时，当=1时，有最大信=-6+5，当=3时，有最小值4， .t2-6t+5-4=10, 解得=3+32 t=3-3V2 或 (舍去)， 综上所述，的值为 -V23+32 或 5.在平面直角坐标系中，已知函数'=r-2ar+2a (a为常数). (1)若a=1, ①当0≤x≤3时，y的取值范围是 ②若-2≤x≤b时，1≤y≤10，则b的取值范围是一 (2)当0≤x≤ 2a+2时，此函数的最大值与最小值的差是4，求a的值. (3)设此函数图象与y轴交点为点M,过点M作y轴的垂线1，将函数图象在直线1上方部分沿直线I翻 37/54 。学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 折后的图象记为G,原函数图象未翻折部分记为G,G,与G,组成的图象记为G,当G在直线x=)+1 2 与直线x=2a+2之间所夹的图象y随x增大而减小时，直接写出a的取值范围. 8 1 【答案】(1)①1≤y≤5：②1≤b≤4：（②）a的值为0或3或2，(3)a5-2或4≤a<1或1<a≤2 【分析】（山）①根据题意可得’=-2x+2=(x-+1 据自变量的范围求解即可： ②根据'=r-2x+2(x-旷+1，-2≤x≤b时，1≤y≤10，此时抛物线的顶点横坐标在自变量的取值范 围内，即b≥1，再根据在x>1时，y随x增大而增大，当x<1时，y随x增大而减小，得到当x=b时， y≤10 再利用二次函数的对称性求解即可： 44 (2)分-4≤a≤0,0<a≤3和3<a≤4三种情况求解即可： (3)画出对应的函数图像，分当a≥0时和当a<0时，利用数形结合的思想求解即可 【详解】解：(1)①由题意得，y=r-2x+2=(c-1+1 :0≤x≤3，当=1时，y有最小值为1， .1≤y≤5， ②：y=r-2x+2-(x-旷+1,2≤x≤b时，1≤y≤10， ∴.此时抛物线的顶点横坐标在自变量的取值范围内，即b≥1， 又，在x>1时，y随x增大而增大，当x<1时，y随x增大而减小， .当x=b时，y≤10， 又：x=-2时，y=(-2-°+1=10 由对称性可知x=4时，y=10, .∴.b≤4 .1≤b≤4： 38/54 。学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)0sa+2 2 ..a≥-4 当-45a0时，最低点a2山，录高古50+20+4 (1 a+4-2a=4, 8 ∴4=0，a=-3 点是顶点a+2刘.最商《0+2-子d个 当0<as】 4 02+4a2+2@)=4 :90 (舍)，4=8 (舍)· 4 当写<a≤4时，最低点是顶点(a,-a2+2),最高点(0,2a), 2a-(←2+2a）4,4=2,4=-2(合). 当a>4时，不合题意. 8 综上，4的值为0或3或2. (3)当a之0时，如图所示， 由图像可知此时满足y随x增大而减小的自变量取值范围为：0≤x≤a或x≥2a, ax- 当 时，解得a>1 0s3a+12a士2三2 a-2 1 不成立： 39/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、1 4 当 时，解得 a<1 13 a≤-2 0≤2a+ 2 a+1≤a ,不成立： 3 1 [a≤2 2a≤2a+1<2a+ 2时，解得a>1 ∴，此时1<a≤2： 2a≤2a+ 1.3 22a+1时，解得a<1 ∴此时0≤a<1: 所以0≤a<1或1<a≤2 y x=a 当a<0时，由图像可知此时满足y随x增大而减小的自变量取值范围为：x≥0或2a≤x<0, 同理可以求得 40/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 <a<0」 a≤-2或4 1 “综上所述，a≤-2或4a<1或1<a≤2 x=《 2a 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合，二次函数的对称性，二次函数的增减性等等，解题的关键在于能够采 用数形结合的思想进行求解 题型11 根据二次函数的最值分类讨论求参 y=a(x-2)2-a(a≠0) 1.已知二次函数 当≤xs4 时，y的最小值为4，则a的值为() 1 4 14 A.或4 B.4或2 C.3或4 D.-2或3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数 的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键. 41/54 。学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分两种情况讨论：当a>0时，a=-4:解得。=4：当a<0时，在-15水≤4：91-4=4，解得a=月 2 【详解】解：y=a(x-2-0的对称轴为直线x=2, 顶点坐标为 2,-a) 当a>0时，在-1≤x≤4，函数有最小值-a, y的最小值为-4， .-a=-4, .a=4: 当a<0时，在-1≤x≤4，当x=-1时，函数有最小值， ∴.9a-a=-4, 1 解得a=一2： 1 综上所述：a的值为4或2， 故选：B 2.二次函数)=-+6x-7,当x取值为-2≤x≤1时，有最大值”=-《-3犷+2，则1的取值范国为 () A.t≤0 B.t≥3 C.t≤3 D.以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值.先把二次函数化为顶点式，然后对函数图像的对称轴位置进行分 类讨论，即可. 【详解】解：y=-+6x-7=-(x-3}+2 ∴.二次函数图象的对称轴为x=3, .-1<0 ,该函数的最大值为2， 当t-2≤3≤t时，即3≤t≤5时，函数在x=3处取得最大值，最大值为y=2,根据题意，最大值为 -亿-3+2，则《-3)+2=2，解得=3.1=3在3≤1≤5范国内，故1=3是符合题意的一个解： 42/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当≤3时，此时当=（时，函数取得最大值，最大值为y=--3+2 符合题意： 些-2≥3时，此时当x=1-2时，函数取得最大值，最大值为”=--2-3)+2=-(-5)+2，不符 合题意： 六当取值为-2≤x≤1时，有最大值=-《-3)+2，‘的取值范围为≤3. 故选：C 3.二次函数'=-2x+2 当自变量在1≤r≤ 范围内有最小值”，则”的最大值为() A.-3 B.0 c.1 D.2 【答案】C 【分析】将二次函数化为顶点式，结合开口方向，按对称轴与区间-1≤x≤2的位置关系分类讨论最小值 n的表达式，再求解n的最大值. 【详解】解：将二次函数配方得)=(x-)-+2h ,图象开口向上，对称轴为直线x=h, 当h<-l时，在-1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大， ÷当x=-1时 n=(-1-h)2-h2+2h=1+4h .h<-1, .n<-3, 当-1≤h≤2时， 当=h时， n=-h2+2h=-(h-1)2+1 ,-1≤h≤2. ,当h=l时，n取得最大值l: 当h>2时，在-1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小， 当术2 n=(2-h)2-h2+2h=4-2h 时， :h>2, .n<0; 43/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上，n的最大值为l。 4.(2425九年级上山东德州联考)已知二次函数'=-红+(“为常数，当2≤x≤5时，西数的 最大值为-l,则h的值为 【答案】-1或6 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题. 先判断出二次函数'=(+ 的图象开口向下，对称轴为=h,当x<一时，y随x的增大而增大， 当x>-h时，y随x的增大而减小，然后分-h<2,2≤-h≤5和-h>5三种情况，分别根据二次函数的最 值列式求解。 【罪解】解：”二次硒数”一任+矿的图象开门响下，对袋萄为=力】 ∴，当x<-h时，y随x的增大而增大，当x>一h时，y随x的增大而减小， 若h<2,即>2时，则当x=2时，函数y取最大值，即1=-(2+ 解得：h=-l或h=-3(舍去)， 若2≤-h≤5，即-5≤h≤-2，则当x=-h时，函数y取最大值0，不符合题意： 若>5，即<-5时，则当=5时，函数y取最大值，即1=-(5+， 解得：h=-4(舍去)或h=6, 综上，h的值为1或6， 故答案为：-1或6. 5.在平面直角坐标系0中，已知二次函数”=-2r+-2 xOy (1)求该二次函数图象顶点的坐标（用含b的代数式表示）： B(0,7) (2)若该二次函数的图象经过点 ,求b的值： (3)当b-3≤x≤2b时，函数值y的最大值为M,最小值为m,若5<M-m≤9，结合函数图象，求b的取 值范围. 【答案】6，-2) (2)b=±3： 44/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)-2<b≤3 【分析】(1)化成顶点式即可： (2)代入点的坐标计算即可： (3)用b表示函数的最大值和最小值，再求范围. 【详解】(1)解；y=-2x+-2=(k-b}-2 b,-2) ,该二次函数的顶点坐标为 B(0,7) (2)解：将 代入二次函数得：b-2=7 b=3: (3)解：抛物线开口向上，对称轴为直线x=b,b-3≤x≤2b, 当b-3≤b≤2b,即b≥0时， ,当x=b时，函数有最小值-2， ∴.m=-2, 若-（亿-3）22b-b即b53时，当x=h-3时，函数有最大值， M=(b-3-b)-2=7 M-m=7-(-2)=9 此时 ,符合题意： 当6-（亿-3）20-b,即b>3时，当=2b时，函数有最大值， 此时M=(2h-b}-2=b2-2 5<M-m≤9， 5<b2-2-(-2)≤9 :5<h≤3或3≤h<-5 .b>3, ∴不合题意，舍去： ∴0≤b≤3符合题意： 45/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当b>2b,即b<0时， ,抛物线开口向上，对称轴是直线x=b, ∴，当b-3≤x≤2b时，y随x的增大而减小， ∴，当x=2b时，函数有最小值=b2-2, 当x=b-3时函数有最大值(6-3-b-2=7 .M=7,m=b2-2, .5<7-b2+2≤9， b2<4b2≥0 且 ,-2<b<2, b<0 .-2<b<0, 综上：-2<b≤3 颗型12 二次函数的图象和性质综合 1.关于抛物线少=-2x+1 下列说法错误的是() A.开口向上 B.与x轴有一个交点 C.对称轴是直线x=1 D.当x>1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解题的关键. 由a=1>0得到抛物线开口向上，配方成)=-2x+1=(-1少，得到对称轴x=1,顶点坐标为L,0), 进而逐项判断即可 【详解】解：，a=1>0 抛物线开口向上，故A正确： y=r2-2x+1=(x-12 46/54 。学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴对称轴x=1, (1,0 顶点坐标为 ,故C正确： ∴抛物线的顶点在x轴上， ∴抛物线与x轴有一个交点，故B正确： ,当x>1时，y随x的增大而增大，故D错误. 故选：D a(azb) 2.定义： max a,b= b(a<b),若函数y=max{x-3,x2-2x-3},则该函数的最小值为() A.-3 B.0 c.-1 D.3 【答案】A 【分析】分两种情况讨论：当x-3≥x2-2x-3,即0≤x≤3时，当x-3<x2-2x-3,即x<0或x>3时， 并结合一次函数和二次函数的图象和性质解答，即可. 【详解】解：当x-3≥x2-2x-3,即0≤x≤3时， y=max{x-3,x2-2x-3}=x-3 1>0 ,当x=0时，该函数的值最小，最小值为3： 当x-3<x2-2x-3,即即x<0或x>3时， y=max{x-3,x2-2x-3}=x2-2x-3=(x-1)-4 1>0 ,抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大， 0-1<3-1, ∴，当x=0时，该函数的值最小，最小值为-3： 综上所述，该函数的最小值为-3. 故选：A 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键. 47/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.已知二次函数y= 3+5 (1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值： ②若点X少），(X,少2)在该二次函数的图象上，且>名>0，试比较”与的大小 (3)抛物线y= -1可以由抛物线y=一 8 8+5平移得到吗？如果可以，写出平移的方法：如果不可必以 请说明理由. 【答案】（①）它的图象的开口向下，对称轴为'轴，顶点坐标为 0,5)y最大值=5 ,没有最小值 (g)少5 (3) 抛物线y= 3 8 2-1可以由抛物线y= 。+5平移得到：其平移方法是将抛物线y=+5向下平移6 8 8 个单位长度 【分析】(1)根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的表达式解析式可以确定其对称轴和项点 的坐标以及最值； >x2>0 (2)首先判定出二次函数的增减性，然后根据 求解即可： (3)根据二次函数的平移规律求解即可. 【详解】山a三80 “它的图象的开口向下，对称轴为'轴，顶点坐标为 0,5) 当x=0时， y最大值=5 ，没有最小值 (2)抛物线的开口向下，对称轴为y轴， ∴当x>0时，y随x的增大而减小， 放当>>0时，片<5 时， (3)略 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质以及平移规律，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性 48/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 质。 4.设二次函数=ar+br+c,为=++a4,b,c是实数，ac<0). ()若a=-1,函数”的对称轴为直线x=1,且函数”的图象经过 点L0,求b,c的值 (2)设函数 的最大值为m,函数”的最小值为”，若a+©=0，求证：m+m=0 (3)若函数 的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：b<0. 【答案】(1)b为2，c为-1 (2) 证明：：函数的最大值为m, 4ac-b2 六a<0’m= 4a, :函数的最小值为”， 4ac-b2 六c>0'm= 4c, mtac acb(dae-b )(a+e) 一十 4a 4c ，4ac ,a+c=0, ∴.m+n=0: (3) 证明：：函数”的图象与函数”的图象的两个交点分别在二、四象限，且QC<0, ①若a<0,c>0, bb 则2a<-2c, b(a-c<0. 即2aC ac<0(a-c)<0 49/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .b<0, ②若a>0,c<0, bb 则2a2c' -> b(a-c>0, 即2ac :ac<0.(a-c)>0 .b<0. 综上可知，b<0. 【分析】（④）根据“=-，对称轴=l,求出5的值，再把点，O)代入函数=r+x+C即可求出c 的值： (2)根据顶点坐标公式得出m和n,再利用a+c=0得出m+n=0: (3)分情况根据对称轴的位置推出结论即可. 【详解】()解：“函数的对称轴为直线=1，a=-】 6 =1 2×(-), .b=2, :函数”的图象经过点 1,0) :（0x1P+2+c=0 ,c=-1: (2)略 (3)略 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是解 题的关键。 5.如果一个函数的图象由两分支组成，且每分支都满足y随x的增大而增大，那么称这个函数为“双赢 50/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 函数”.例如我们学过的反比例函数y=一x就是一个双赢函数。 (①已知双赢面数y一兰的图象经过机-b)和14-b),求该双赢面数的解折式。 (k-4)x+2c(x≥0) (②若关于x的函数'=(-k+6)x-c(x<0)是双赢函数(k为整数)与直线y=d(d为常数)有两个交点 A、B,且A、B两点间的距离为定值9，求d的取值范围： x2+m(x>0) (6)若关于x的函数'x+m-2(x≤0)是双赢函数.当x≠0时，函数的图象关于原点对称.当 t≤x≤t+1 P+Q=10 时，y的最大值为，最小值为Q,且 ，求的值. 【答案】（①y=-2 (2)-6≤d<3 -1+15 (3)2 【分析】(1)根据反比例函数经过亿-b)和（1,4-) 和 列方程即可解答； (2)根据双赢函数的定义求出k的值，再根据函数与'=有两个交点并且交点距离是一个定值即可解答： (3)根据题意求出双赢函数的解析式，再利用函数的性质分三种情况分别得到t的值。 a 【详解】(1)解：：双赢函数y=x的图象经过(L,-b)和(-1,4-b), :a=-bx1=-1x(4-b) 解得：b=2,a=-2, ÷该双赢函数的解析式为少= k-4>0 (2)解：根据题意得：-k+6>0, 解得：4<k<6, 51/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,k为整数， k=5, x+2c(x≥0) y= ∴.该双赢函数的解析式为x-c(x<0), 当c≥0时，如图， 2c 此时该双赢函数的图象与直线y=没有交点： 当c<0时，如图， B 2c y=x+2c x=d-2c 由y=d得：y=d A(d-2c,d) ∴点 [y=x-c y=d+c 由y=d得： y=d, B(d+c,d) 点 ,A、B两点间的距离为定值9， .d-2c)-(d+c=9, .c=-3或3（舍去）， 52/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 观察图象得：当2c≤d<-c时，该双赢函数的图象与直线y=d有2个交点， ∴.-6≤d<3, 综上所述，d的取值范围为6≤d<3: (3)解：：当x≠0时，函数的图象关于原点对称， x,)是函数 =x2+m(x>0) 设点 的图象上一点，则点x-八在函数”=-+m-2(≤0 的图象上 一点， y=x2+m -y=(-x}+m-2,解得： m=1 x2+1(x>0) :双赢函数的解析式为'=仁x-1(s0), 如图， 当t>0时， 当x=时，y取最小值，为0=+1：当x=+1时，y取最大值，为P=+旷+1， P+2=10, :+1++1+1=10 -1+15-1-15 解得：12或2（合去）， 当t≤0<t+1,即-1<t≤0时， 当x=时，y取最小值，为2=-：当=t+1时，y取最大值，为P=+少+1， 53/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P+Q=10 -2-1++1+1=10 9 解得：1=2，不符合题意，舍去： 当t+1≤0，即t≤-1时， 当x=1时，v取最小值，为Q=--1:当x=1+1时，y取最大值，为P=-(+旷-1 P+0=10, ÷--1-+1-1=10 此方程无解； -1+V15 综上所述，t的值为2. 【点睛】本题考查了新定义双赢函数，一次函数性质和图象，反比例函数的性质和图象，二次函数的性 质和图象，理解双赢函数定义和性质是解的关键. 54/54