6.1二次函数的概念（分层作业，9大题型）数学新教材苏科版九年级下册

分层作业 6.1 二次函数的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 列二次函数关系式 题型02 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 题型03 实际问题中自变量的取值范围 题型04 识别二次函数 题型05 二次函数的一般形式 题型06 求二次函数的值 B组 能力进阶 题型01 根据二次函数的定义求参数 题型02 根据二次函数的定义求参数取值范围 C组 思维拔高 题型 二次函数的概念·创新性问题 列二次函数关系式题型01 1．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 2．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 3．某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ________________． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数，掌握二次变化的关系式是解决本题的关键．两年后的产值=本年度的产值增长率，把相关数值代入即可． 【详解】解：第一年度的产值为， ∴第二年度的产值为， ∴． 故答案为： 4．如图，用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD，设AB为x米，则菜园的面积y（平方米）与x（米）的关系式为_____．（不要求写出自变量x的取值范围）    【答案】y＝﹣2x2+20x 【分析】根据AB的长为x米可以得出BC的长为（20﹣2x）米，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式． 【详解】∵AB的边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园， ∴BC＝20﹣2x， ∵菜园的面积＝AB×BC＝x•（20﹣2x）， ∴y＝﹣2x2+20x． 故填空答案：y＝﹣2x2+20x． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确分析，找准各量间的数量关系列出函数关系式是解题的关键. 5．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加场比赛，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）题型02 1．（24-25九年级上·陕西渭南·月考）已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二次函数关系式．根据正方形的面积=边长边长即可求得． 【详解】解：由正方形面积公式得：． 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北秦皇岛·月考）若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据正方形的面积公式正确列出函数解析式是解题的关键． 根据x和y表示的含义，利用正方形的面积公式列出函数关系式即可． 【详解】解：∵原正方形的边长是6，面积是， ∴增加后的边长是，面积是， ∴增加的面积， 故选：C． 3．已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 4．设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 【答案】(1)、、 (2)关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 【分析】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是熟悉圆的面积公式、周长公式以及圆柱的体积公式． （1）根据圆的周长公式和圆柱的体积公式来列函数关系式； （2）根据二次函数的定义进行解答． 【详解】（1）解： 圆柱的底面半径为，底面周长为， ； 又圆柱的高为，底面半径为，圆柱的体积为， ． 设圆柱的高为，底面周长为，圆柱的体积为， ． 综上所述，关于、关于、关于的函数关系式分别是：、、． （2）解：根据二次函数的定义知，关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 5．如图，在中，，，，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，的面积为S，求： （1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当时，求线段PQ的长； （3）当t为何值时，？ 【答案】（1）；（2）；（3）当t为2或3时，． 【分析】（1）由点P点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解即可； （2）当时，代入（1）中公式可得PC，CQ的长，再由勾股定理即可求出PQ； （3）结合（1）得到的关系式，代入条件，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）由条件可得：，， ∴， ∴，； （2）当时，，， ∴； （3）由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∴当t为2或3时，． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，方程思想是解决本题的关键． 实际问题中自变量的取值范围题型03 1．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可． 【详解】由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x， 矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）． 故选：C． 【点睛】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键． 2．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为： 3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 4．用的篱笆围成一个矩形的花圃，设垂直于墙的一边长为，矩形的面积为（墙足够长）． (1)写出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当时，矩形的面积为多少? 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）篱笆只围三边，垂直墙的两边长度都是，平行于墙的边长为；矩形面积长宽，由此列出二次函数，再根据边长大于0求自变量范围； （2）直接代入第一问解析式求值． 【详解】（1）解：垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 矩形面积：， 又矩形边长必须大于0， ， 解得：， 函数解析式：，自变量取值范围． （2）解：把代入解析式： ， 当时，矩形面积为． 5．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)23米 【分析】本题考查列二次函数关系式、一元一次不等式组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）先用x表示出矩形养殖场的长为米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式； （2）由列方程求解即可． 【详解】（1）解：设养殖场的宽为x米，则养殖场的长为米， 根据题意，养殖场的面积， ∵墙长45米，宽长， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时，由得， 解得，（舍去）， 答：养殖场的宽为23米． 识别二次函数题型04 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数定义，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 根据二次函数的定义：形如，其中，逐项判断每个选项即可得到答案． 【详解】解：A：是一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意； B：是分式，不是整式，不满足二次函数定义，不符合题意； C：，满足二次函数定义，符合题意； D：是一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·天津·月考）下列变量间具有二次函数关系的是（   ） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义（形如，其中），逐一分析各选项变量间的关系式，判断是否为二次函数即可． 【详解】解：A．正方形的周长与边长的关系为，是一次函数，不符合题意； B．正方形的面积与边长的关系为，符合二次函数形式，符合题意； C．三角形的高一定时，面积与底边的关系为（为定值），是一次函数，不符合题意； D．速度一定时，路程与时间的关系为（为定值），是一次函数，不符合题意； 故选：B． 3．（26-27九年级上·河北·月考）对于任意实数k，下列y关于x的函数一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是判断各选项中的系数对任意实数是否恒不为0． 【详解】解：二次函数的二次项系数不能为0． 选项A：当时，二次项系数为0，不是二次函数． 选项B：当时，，二次项系数为0，不是二次函数． 选项C：当时，，二次项系数为0，不是二次函数． 选项D：∵，∴，即对任意实数，二次项系数恒不为0，一定是二次函数． 4．（2026·甘肃兰州·一模）如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（   ） A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数 B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 【答案】D 【分析】分别表示出与正方形的周长之和，面积之积，然后得出，进而得出，，，然后再根据函数的定义判断即可． 【详解】解：∵的半径为，正方形的边长为， ∴与正方形的周长之和为， 与正方形的面积之积为， 阴影部分的面积为， ∴，，， ∴若与正方形的周长之和即L为定值时，y关于x的函数关系式为∶ ，为一次函数，选项A不符合题意， S关于x的函数关系为∶为二次函数，选项B不符合题意， 若与正方形的面积之积即为定值， y关于x的函数关系为∶ ，为反比例函数，选项C不符合题意 S关于x的函数关系为∶，不是反比例函数，选项D符合题意． 5．判断下列函数是不是二次函数．如果是二次函数，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是； (2)不是二次函数； (3)是二次函数，二次项系数是、一次项系数是3，常数项是； (4)不是二次函数． 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． （1）（2）（3）（4）根据二次函数定义进行解答即可． 【详解】（1）解：，是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是； （2）解：不是二次函数，是一次函数； （3）解：，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是3，常数项是； （4）解：不是二次函数． 二次函数的一般形式题型05 1．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，-4，3 D．0，-4，3 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做二次函数．其中x，y是变量，是常量， a是二次项系数， b是一次项系数， c是常数项作答． 【详解】解：解:二次函数的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是3． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数， 一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 2．关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（　　） A．y是x的二次函数          B．二次项系数是﹣10         C．一次项是100       D．常数项是20000 【答案】C 【分析】先化简，整理成一般式，然后对每个选项判断即可. 【详解】∵y=（500﹣10x）（40+x） =-10x2+100x+20000， ∴y是x的二次函数，二次项系数是-10，一次项系数是100，常数项是20000， ∴A、B、D正确，C错误. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此求解即可. 3．（26-27九年级上·江西·质检）二次函数 的一次项系数为_________． 【答案】 【详解】解：二次函数 的一次项系数为． 4．二次函数 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 【答案】 -2x , 1 【分析】函数化简为一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】∵y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 ∴ 中，二次项系数为，一次项是-2x，常数项是1. 故答案是：; -2x;1. 【点睛】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 5．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)二次项系数是，一次项系数是，常数项是 (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是 (3)二次项系数是，一次项系数是，常数项是 (4)二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【详解】（1）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是； （2）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是； （3）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是； （4）解：， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 求二次函数的值题型06 1．（25-26九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握由已知条件确定函数关系式的方法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 2．（25-26九年级下·河北廊坊·学情自测）某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 【答案】D 【分析】先根据正比例函数和二次函数的性质，结合已知条件求出基础硬度和强化硬度关于厚度x的表达式，再求出总硬度y关于x的表达式，最后将代入表达式求出总硬度． 【详解】解：∵基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比，总硬度， ∴设，，其中，均不为0， 将，，分别代入得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴总硬度是95． 3．已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【详解】解：将代入，得． 根据二次函数的定义求参数题型01 1．（25-26九年级上·云南昆明·质检）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：B． 2．函数y=（m-n）x 2 +mx+n是二次函数的条件是（       ） A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数 【答案】B 【详解】试题分析：根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 解：根据二次函数的定义可得：m﹣n≠0， 即m≠n． 故选B． 考点：二次函数的定义． 3．已知函数是二次函数，则等于（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（a、b、c是常数，）也叫做二次函数的一般形式．根据二次函数的定义，令且，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 且， ． 故选：B． 4．（25-26九年级上·安徽六安·期中）若函数是关于的二次函数，则一次函数的图像不经过第__________象限． 【答案】一 【分析】本题考查了根据二次函数的定义求参数，根据二次函数的定义，指数部分必须为2且系数不为零，解出k的值，再代入一次函数解析式，分析其图像所经过的象限． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， ∴一次函数为， ∵， ， 图像经过第二、第三和第四象限，不经过第一象限， 故答案为：一． 5．（26-27九年级上·广东江门·月考）已知二次函数的常数项为零，则的值为________． 【答案】 【分析】根据常数项为零得到关于的方程，再结合二次函数定义要求二次项系数不为零，舍去不符合条件的解，得到最终结果． 【详解】解：∵二次函数 的常数项为零， ∴，解得 或 ， ∵该函数是二次函数，二次项系数不能为零， ∴， ∴， ∴． 根据二次函数的定义求参数取值范围题型02 1．（24-25九年级·期中）已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数.据此进行解答即可. 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：D 2．已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 【答案】 ， 【分析】根据二次函数与一次函数的定义，分别对二次项系数和一次项系数列条件不等式求解，即可得到和的取值． 【详解】解：（1）根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不为， 因此 ， 解得． （2）根据一次函数的定义，一次函数的二次项系数为且一次项系数不为， 因此 ， 解得且． 3．（24-25九年级上·天津·月考）已知函数． （1）当______时，该函数为一次函数： （2）当______时，该函数为二次函数． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一次函数的定义，利用函数的定义建立方程或不等式是解本题的关键． （1）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出k的值； （2）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出k的取值范围． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数， ∴，且， 解得：且， ∴； （ 2 ）∵函数为二次函数， ∴， ∴． 故答案为：；． 4．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m. (1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？ 【答案】(1). m≠0且m≠1.(2). m＝0.(3). 不可能 【详解】试题分析：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案； （2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案； （3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数． 试题解析： (1)∵这个函数是二次函数， ∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0， ∴m≠0且m≠1.(2)∵这个函数是一次函数， ∴∴m＝0.(3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2， ∴不可能是正比例函数． 5．（25-26九年级上·期末）已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案； （）根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当，即时，原函数为，是一次函数； 当即时，原函数为，也是一次函数， 综上所述，当或时，是一次函数． 二次函数的概念·创新性问题题型 1．如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】中，，且，可得；再由平行线的性质得出，即，进而证明，最后根据三角形的面积公式，求出与之间的函数关系式． 【详解】解：如图所示， ∵中，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系． 2．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先证明，可说明四边形是正方形，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形. ∵， ∴. 在中，， ∴， 即. 故选：D. 3．（25-26九年级上·青海·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 4．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是________，它是________函数． 【答案】 二次 【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发现规律是解题的关键． 先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可． 【详解】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是，因此，它是二次函数． 故答案为：，二次． 5．（2026·广东惠州·二模）已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式确定二次项、一次项、常数项系数，代入新运算等式求出特征值关于的表达式，再根据特征值的取值范围列出一元一次不等式组，求解得到的取值范围，即可得出的最小值． 【详解】解：二次函数中二次项系数，一次项系数，常数项系数， 将代入等式得：， 整理得， 解得， ∵特征值满足， ∴， ∴， ∴的最小值是． 6．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是______． 【答案】 【分析】图（1）中只有一层，有个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有个，图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有，依此类推出第n层正方形的个数，即可推出当有n层时总的正方形个数． 【详解】解：经分析，可知：第一层的正方形个数为， 第二层的正方形个数为， 第三层的正方形个数为， …… 第n层的个数为：， 第n个叠放的图形中，小正方体木块总数为： ， 即． 7．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）(1)计算：． (2)若是关于的二次函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算以及二次函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用二次根式的运算乘法法则进行计算，最后化为最简二次根式，进行加减计算即可； （2）根据二次函数的定义，由求出的取值，结合，得出k最终的取值． 【详解】（1）解：原式 （2）解：∵是关于的二次函数 ∴，且， 由，解出或； 由，解得； 综上，满足要求的的取值为． 8．物体的动能E（单位：J）与它的质量m（单位：）、运动速度v（单位：）之间的关系可以用公式表示．一辆小轿车的质量为，行驶速度为．设该车行驶速度增加时，它的动能增加． (1)写出y与x之间的关系式； (2)当该车行驶速度分别增加时，它的动能各增加多少？ 【答案】(1)（） (2)速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加． 【分析】（1）根据增加的动能等于速度增加后的动能减去原来的动能列函数关系式即可； （2）把，，分别代入（1）中的函数关系式计算即可． 【详解】（1）解：设该车行驶速度增加时，它的动能增加， ∴（）． （2）解：当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.1 二次函数的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 列二次函数关系式 题型02 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 题型03 实际问题中自变量的取值范围 题型04 识别二次函数 题型05 二次函数的一般形式 题型06 求二次函数的值 B组 能力进阶 题型01 根据二次函数的定义求参数 题型02 根据二次函数的定义求参数取值范围 C组 思维拔高 题型 二次函数的概念·创新性问题 列二次函数关系式题型01 1．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 3．某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ________________． 4．如图，用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD，设AB为x米，则菜园的面积y（平方米）与x（米）的关系式为_____．（不要求写出自变量x的取值范围）    5．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）题型02 1．（24-25九年级上·陕西渭南·月考）已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北秦皇岛·月考）若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 4．设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 5．如图，在中，，，，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，的面积为S，求： （1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当时，求线段PQ的长； （3）当t为何值时，？ 实际问题中自变量的取值范围题型03 1．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为_______． 3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 4．用的篱笆围成一个矩形的花圃，设垂直于墙的一边长为，矩形的面积为（墙足够长）． (1)写出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当时，矩形的面积为多少? 5．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 识别二次函数题型04 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·天津·月考）下列变量间具有二次函数关系的是（   ） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 3．（26-27九年级上·河北·月考）对于任意实数k，下列y关于x的函数一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·甘肃兰州·一模）如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（   ） A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数 B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 5．判断下列函数是不是二次函数．如果是二次函数，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． (4)． 二次函数的一般形式题型05 1．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，-4，3 D．0，-4，3 2．关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（　　） A．y是x的二次函数          B．二次项系数是﹣10         C．一次项是100       D．常数项是20000 3．（26-27九年级上·江西·质检）二次函数 的一次项系数为_________． 4．二次函数 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 5．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 求二次函数的值题型06 1．（25-26九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 2．（25-26九年级下·河北廊坊·学情自测）某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 3．已知二次函数，当时，求函数的值． 根据二次函数的定义求参数题型01 1．（25-26九年级上·云南昆明·质检）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．函数y=（m-n）x 2 +mx+n是二次函数的条件是（       ） A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数 3．已知函数是二次函数，则等于（    ） A． B．2 C． D．6 4．（25-26九年级上·安徽六安·期中）若函数是关于的二次函数，则一次函数的图像不经过第__________象限． 5．（26-27九年级上·广东江门·月考）已知二次函数的常数项为零，则的值为________． 根据二次函数的定义求参数取值范围题型02 1．（24-25九年级·期中）已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 2．已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 3．（24-25九年级上·天津·月考）已知函数． （1）当______时，该函数为一次函数： （2）当______时，该函数为二次函数． 4．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m. (1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？ 5．（25-26九年级上·期末）已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 二次函数的概念·创新性问题题型 1．如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·青海·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 4．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是________，它是________函数． 5．（2026·广东惠州·二模）已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 6．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是______． 7．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）(1)计算：． (2)若是关于的二次函数，求的值． 8．物体的动能E（单位：J）与它的质量m（单位：）、运动速度v（单位：）之间的关系可以用公式表示．一辆小轿车的质量为，行驶速度为．设该车行驶速度增加时，它的动能增加． (1)写出y与x之间的关系式； (2)当该车行驶速度分别增加时，它的动能各增加多少？ 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $