2.3用反比例函数解决问题（分层作业，9大题型）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 本同步练以三级分层设计（A/B/C组）实现反比例函数应用从基础理解到综合运用的进阶，题量配比合理，场景丰富，强化模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|反比例函数关系式、图象及工程/行程/物理应用|以基础计算与图象判断为主，强化抽象能力，适配新授课巩固| |B组|经济生活、表格数据、方案设计类应用|通过表格分析与实际方案设计，发展数据意识与推理能力| |C组|一次函数与反比例函数综合应用|聚焦函数综合求解，提升综合思维与创新意识|

分层作业 2.3 用反比例函数解决问题 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 用反比例函数解决问题——实际问题中的反比例函数关系式 题型02 用反比例函数解决问题——实际问题中的反比例函数图象 题型03 用反比例函数解决问题——工程/工作类反比例函数应用 题型04 用反比例函数解决问题——行程类反比例函数应用 题型05 用反比例函数解决问题——物理类反比例函数应用 B组 能力进阶 题型01 用反比例函数解决问题——经济生活类反比例函数应用 题型02 用反比例函数解决问题——表格类反比例函数应用 题型03 用反比例函数解决问题——方案设计类反比例函数应用 C组 思维拔高 题型 用反比例函数解决问题——一次函数与反比例函数的实际应用 用反比例函数解决问题——实际问题中的反比例函数关系式题型01 1．若等腰三角形的面积为6，底边长为x，底边上的高为y，则y与x之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·江苏常州·月考）为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南南阳·学情诊断）一个等腰三角形的面积为，设它底边上的高为x），底边长为y（），则y关于x的函数关系式是________． 4．（2025·湖南邵阳·三模）已知电磁波的频率、波长满足关系：为常数）．某种电磁波的频率为时，波长为．若将该电磁波的波长调谐为，则其频率为___________． 5．已知某品牌显示器的寿命大约为． （1）这种显示器可工作的天数d与平均每日工作的小时数t之间具有怎样的函数关系？ （2）如果平均每天工作，那么这种显示器大约可使用多长时间？ 用反比例函数解决问题——实际问题中的反比例函数图象题型02 1．某地资源总量Q一定，该地人均资源享有量与人口数y的函数关系图象是(    ) A．A B．B C．C D．D 2．（25-26九年级上·河北邢台·质检）一定质量的氧气，其密度与体积是反比例函数关系．当时，，则ρ与V之间的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．收音机刻度盘上的频率f（kHz）是波长λ（m）的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该频道的频率为_______kHz． 4．（2026·湖南郴州·一模）已知远视眼镜片的度数yx（米）满足如图所示的反比例关系．某远视眼镜片的度数是200度，则镜片焦距为________米． 5．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)当气球的体积为时，气球内气体的气压是多少？ 用反比例函数解决问题——工程/工作类反比例函数应用题型03 1．某智能空调的制冷功率yx（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数k可能是（     ） A．3 B．1 C．0 D． 2．建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图2，求所在图象的函数表达式． (2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 用反比例函数解决问题——行程类反比例函数应用题型04 1．已知老李家距离鱼菜共生田地米，骑自行车从老李家匀速骑行到田地的速度（分钟）的函数图象为（    ） A． B． C． D． 2．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度vt之间的函数关系式为_______． 3．（2025·浙江杭州·三模）如图，该款载物机器狗的最快移动速度v）与载重后总质量M （）成反比例．已知该款机器狗载重后总质量M为时，它的最快移动速度v为7；若其最快移动速度v大于14，则其载重后总质量M的取值范围是______kg． 4．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（　　） A．v=320t B．v= C．v=20t D．v= 5．若以30升/分钟的速度向一个空水池内注水，40分钟可以注满水池，设注水的速度为升/分钟，注满水池需要分钟． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若小明的爸爸用24分钟就将这个空水池注满水，求注水的速度． 用反比例函数解决问题——物理类反比例函数应用题型05 1．压力F、压强p、受力面积S之间的关系为：，当压力F一定时，另外两个变量的函数图像能是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25九年级上·广西贵港·期中）某闭合电路的电压，则其电流与电路的电阻之间的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 3．跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P 越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·内蒙古包头·三模）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流IR（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为_________A． 5．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 用反比例函数解决问题——经济生活类反比例函数应用题型01 1．（2025·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 用反比例函数解决问题——表格类反比例函数应用题型02 1．我国传统的计重工具叫秤杆，也称杆秤，杆秤的木杆上面镶有计量的金属秤星，如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O将其吊起来，在中点O的左侧，距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，如果把弹簧秤与中点O的距离L（单位：）记作x，弹簧秤的示数F（单位：）记作y，如表几对数值中不能满足y与x的函数关系式的是（　　） 序号 A B C D 5 10 35 40 49 A． B． C． D． 2．（2025·山西太原·二模）密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量．如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的函数，其函数关系的部分对应值如下表： 密度 1 2 3 4 … 高度 18 9 6 4.5 … 当液体密度时，浸在液体中的高度______． 3．在中，BC的长为x，BC边上的高为y，的面积为2． (1)y关于x的函数关系式是_______，x的取值范围是______． (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)直线与y轴交于D，与（1）中的函数交于E、F（E的横坐标小于F的横坐标）两点，点P是y轴上的点，的面积等于的面积，求点P的坐标． 4．（2025·浙江湖州·一模）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式． (2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？ 5．（24-25九年级上·江西南昌·月考）如图，在左边托盘AB（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．托盘B中的砝码质量m随着托盘B与点O的距离d变化而变化，已知m与d是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 托盘B与点O的距离d/厘米 5 10 16 20 托盘B中的砝码质量m/克 40 20 12.5 10 (1)根据表格中的数据求出m关于d的函数解析式．（不需要写出自变量d的取值范围） (2)当砝码质量为25克时，求托盘B与点O的距离． 用反比例函数解决问题——方案设计类反比例函数应用题型03 1．心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示，点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 2．（24-25九年级上·广西来宾·期中）心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间、分别为线段，为双曲线的一部分）： (1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 用反比例函数解决问题——一次函数与反比例函数的实际应用题型 1．小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 2．若一个数a小于它的倒数，结合和的图像，可知a的取值范围为______． 3．（2025·陕西西安·一模）点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为_____ 4．将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ______ ． 5．如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称． (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3 用反比例函数解决问题 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 用反比例函数解决问题——实际问题中的反比例函数关系式 题型02 用反比例函数解决问题——实际问题中的反比例函数图象 题型03 用反比例函数解决问题——工程/工作类反比例函数应用 题型04 用反比例函数解决问题——行程类反比例函数应用 题型05 用反比例函数解决问题——物理类反比例函数应用 B组 能力进阶 题型01 用反比例函数解决问题——经济生活类反比例函数应用 题型02 用反比例函数解决问题——表格类反比例函数应用 题型03 用反比例函数解决问题——方案设计类反比例函数应用 C组 思维拔高 题型 用反比例函数解决问题——一次函数与反比例函数的实际应用 用反比例函数解决问题——实际问题中的反比例函数关系式题型01 1．若等腰三角形的面积为6，底边长为x，底边上的高为y，则y与x之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，解题的关键是根据已知得出．利用三角形面积公式得出，进而得出答案． 【详解】∵等腰三角形的面积为6，底边长为x，底边上的高为y， ∴ ∴y与x之间的函数关系式为． 故选：A． 2．（24-25九年级下·江苏常州·月考）为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】解：依题意得， 即：． 故选：B． 3．（25-26八年级下·河南南阳·学情诊断）一个等腰三角形的面积为，设它底边上的高为x），底边长为y（），则y关于x的函数关系式是________． 【答案】（） 【详解】由三角形的面积公式底高，得，即（）． 4．（2025·湖南邵阳·三模）已知电磁波的频率、波长满足关系：为常数）．某种电磁波的频率为时，波长为．若将该电磁波的波长调谐为，则其频率为___________． 【答案】15 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先根据已知求出常数，再求出时，的值即可． 【详解】解：∵某种电磁波的频率为时，波长为， ∴， ∴当时，， 故答案为：15． 5．已知某品牌显示器的寿命大约为． （1）这种显示器可工作的天数d与平均每日工作的小时数t之间具有怎样的函数关系？ （2）如果平均每天工作，那么这种显示器大约可使用多长时间？ 【答案】（1）；（2）天 【分析】（1）根据日工作时间乘以天数＝总寿命列式即可； （2）将t＝10代入求得的函数解析式即可求得使用时间； 【详解】解：（1）∵dt＝，d＝ ； （2）当t＝10时，＝， ∴这种显示器大约可使用天． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，能根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键． 用反比例函数解决问题——实际问题中的反比例函数图象题型02 1．某地资源总量Q一定，该地人均资源享有量与人口数y的函数关系图象是(    ) A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．直接根据题意判断即可． 【详解】根据题意可得：Q为一定值，所以该地人均资源享有量 与人口数y与之间是反比例函数关系，函数图象是双曲线，因应大于0，其图象在第一象限， 故选B． 2．（25-26九年级上·河北邢台·质检）一定质量的氧气，其密度与体积是反比例函数关系．当时，，则ρ与V之间的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题列反比例函数解析式，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 首先根据题意，一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案． 【详解】解：设，当时，， 所以，即， 所以ρ与V的函数关系式是， 当时，，选项A不符合题意； 当时，，选项B不符合题意； 当时，，选项C不符合题意； 当时，，选项D符合题意； 故选：D． 3．收音机刻度盘上的频率f（kHz）是波长λ（m）的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该频道的频率为_______kHz． 【答案】 【分析】本题考查了实际问题与反比例函数，设，将图像上的点代入求得解析式即可． 【详解】解：∵频率f（kHz）是波长λ（m）的反比例函数， ∴设 由图像可得： ∴ ∴ 当时， 故答案为： 4．（2026·湖南郴州·一模）已知远视眼镜片的度数yx（米）满足如图所示的反比例关系．某远视眼镜片的度数是200度，则镜片焦距为________米． 【答案】0.5## 【分析】先设反比例函数的解析式为，根据图象代入对应点求得k的值，从而得出反比例函数的解析式，再将代入反比例函数解析式即可求得结果． 【详解】设反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数中， 得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 解得， ∴镜片焦距为0.5米． 5．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)当气球的体积为时，气球内气体的气压是多少？ 【答案】(1) (2)当气球的体积为时，气球内气体的气压是 【分析】此题考查实际问题与反比例函数． （1）设p与V的函数关系式为，把代入，然后即可求解； （2）把代入，然后即可求解； 【详解】（1）解：设p与V的函数关系式为， 由题可得：把代入， 则， 解得， 函数关系式为． （2）解：当时，把代入， ． 当气球的体积为时，气球内气体的气压是． 用反比例函数解决问题——工程/工作类反比例函数应用题型03 1．某智能空调的制冷功率yx（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数k可能是（     ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据y随x的变化趋势确定比例系数的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：∵x是设定温度，故，又x增大时y随之减小，对于反比例函数，当时，y随x增大而减小. 本题中比例系数， ∴， 解得， 选项中只有，符合要求． 2．建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图2，求所在图象的函数表达式． (2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据题意可得，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出所在直线解析式为，再根据反比例函数图像轴对称的性质，可得曲线关于直线轴对称，然后联立，即可求解． 【详解】（1）解：，，，为中点，， ， 设所在双曲线的表达式为， 将点坐标代入表达式中，得： 解得：， 抛物线表达式为； （2）解：根据题意得：点与点坐标分别为，， 设所在直线解析式为， 将、两点坐标代入得：， 解得，， 所在直线解析式为， 根据反比例函数图像轴对称的性质，曲线关于直线轴对称， 联立， 解得， ∴， 联立， 解得：， ∴， ． 【点睛】本题主要查了反比例函数的实际应用，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． 用反比例函数解决问题——行程类反比例函数应用题型04 1．已知老李家距离鱼菜共生田地米，骑自行车从老李家匀速骑行到田地的速度（分钟）的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象的判断，正确得出函数表达式是解题关键．根据题意得出，可判断速度（米/分钟）关于骑车时间（分钟）的函数图象为反比例函数图像，即为双曲线，根据A、D选项中点的坐标即可得答案． 【详解】解：∵老李家距离鱼菜共生田地米， ∴，即， ∴速度（米/分钟）关于骑车时间（分钟）的函数图象为反比例函数图像，即为双曲线， ∴B、C选项不符合题意， 在A选项中，时，，则，故不符合题意， 在D选项中，时，，则，故符合题意， 故选：D． 2．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度vt之间的函数关系式为_______． 【答案】 【分析】先求出货物的总重量，然后根据平均卸货速度v货物总重量卸货时间进行求解即可． 【详解】解：设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得， ∴v关于t的函数关系式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 3．（2025·浙江杭州·三模）如图，该款载物机器狗的最快移动速度v）与载重后总质量M （）成反比例．已知该款机器狗载重后总质量M为时，它的最快移动速度v为7；若其最快移动速度v大于14，则其载重后总质量M的取值范围是______kg． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式是解答本题的关键．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将当代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴M的取值范围是， 故答案为：． 4．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（　　） A．v=320t B．v= C．v=20t D．v= 【答案】B 【详解】由题意vt=80×4， 则v=． 故选B． 5．若以30升/分钟的速度向一个空水池内注水，40分钟可以注满水池，设注水的速度为升/分钟，注满水池需要分钟． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若小明的爸爸用24分钟就将这个空水池注满水，求注水的速度． 【答案】(1) (2)50升/分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据水池容积不变，得到等式，即可求解； （2）将代入（1）所得方程，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 则， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，有， 解得， 注水的速度为50升/分钟． 用反比例函数解决问题——物理类反比例函数应用题型05 1．压力F、压强p、受力面积S之间的关系为：，当压力F一定时，另外两个变量的函数图像能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】压力F一定时，p与S成反比，图像是双曲线，由此可得答案． 本题考查了反比例函数图像的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】压力F一定时，p与S成反比，图像是双曲线，同时自变量是正数． 故选：C． 2．（24-25九年级上·广西贵港·期中）某闭合电路的电压，则其电流与电路的电阻之间的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行解答即可，因为电流等于电压除以电阻，所以设其电流与电路的电阻之间的函数表达式为，因为且某闭合电路的电压，则，即可作答． 【详解】解：∵电流等于电压除以电阻， ∴设其电流与电路的电阻之间的函数表达式为， 因为且某闭合电路的电压， 则， 故选：D 3．跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P 越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据实际意义以及函数的解析式，确定函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：结合物理知识可得， ∴压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，同时自变量是正数． 故选：D． 4．（2025·内蒙古包头·三模）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流IR（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为_________A． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，结合点在函数图象上，利用待定系数法求出这个反比例函数的解析式；再令，求出对应的I的值即可． 【详解】解：设反比例函数式， 把代入反比例函数式， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键． (1)待定系数法求出函数解析式； (2)将代入，求得的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果． 【详解】（1）由题意可设 点在函数的图象上， ，， 电流与电阻之间的函数表达式为； （2）当时，，， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，． 用反比例函数解决问题——经济生活类反比例函数应用题型01 1．（2025·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据题意可得每个点的横纵坐标的乘积表示总价，根据四件商品的位置可得甲的横纵坐标的乘积一定小于反比例函数的比例系数k，乙，丁的横纵坐标的乘积一定等于反比例函数的比例系数k，丙的横纵坐标的乘积一定大于反比例函数的比例系数k，据此可得答案． 【详解】解：∵横坐标表示单价，纵坐标表示数量， ∴每个点的横纵坐标的乘积表示总价， ∵甲在反比例函数图象下方， ∴甲的横纵坐标的乘积一定小于反比例函数的比例系数k， ∵乙，丁在反比例函数图象上， ∴乙，丁的横纵坐标的乘积一定等于反比例函数的比例系数k， ∵丙在反比例函数图象上方， ∴丙的横纵坐标的乘积一定大于反比例函数的比例系数k， ∴四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是丙， 故选：C． 2．某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 【答案】(1)（，为整数） (2) (3)水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、反比例函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，根据表格数据，可得与之间成反比例函数关系，故可设，进而计算可以得解； （2）依据题意，将，代入中，求出，即可得解； （3）依据题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元，从而可得，再结合二次函数的性质进行判断可以得解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，， 与之间成反比例函数关系． 故可设， ． （，为整数）； （2）解：由题意，将，代入中， ． ． ； （3）解：由题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元， 则 ． ， 当时，最大，最大值为1480元． 答：水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元． 用反比例函数解决问题——表格类反比例函数应用题型02 1．我国传统的计重工具叫秤杆，也称杆秤，杆秤的木杆上面镶有计量的金属秤星，如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O将其吊起来，在中点O的左侧，距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，如果把弹簧秤与中点O的距离L（单位：）记作x，弹簧秤的示数F（单位：）记作y，如表几对数值中不能满足y与x的函数关系式的是（　　） 序号 A B C D 5 10 35 40 49 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察表格中的数据可知，，由此确定对应的函数关系式，再分别代入四个选项中的数值求解判断即可． 【详解】解：根据题中数据得：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴四个选项中只有C选项中的数值不满足对应的函数关系式， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确观察表格得到对应的函数关系式是解题的关键． 2．（2025·山西太原·二模）密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量．如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的函数，其函数关系的部分对应值如下表： 密度 1 2 3 4 … 高度 18 9 6 4.5 … 当液体密度时，浸在液体中的高度______． 【答案】##1.5## 【分析】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式和求自变量的值等知识．利用待定系数法求出函数解析式为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵由表格数据可知，浸在液体中的高度h是液体的密度的反比例函数， ∴可设， ∵当密度计悬浮在密度为的水中时，， ∴， 解得 ∴， ∴当时，． 故答案为：． 3．在中，BC的长为x，BC边上的高为y，的面积为2． (1)y关于x的函数关系式是_______，x的取值范围是______． (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)直线与y轴交于D，与（1）中的函数交于E、F（E的横坐标小于F的横坐标）两点，点P是y轴上的点，的面积等于的面积，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 图象如图所示． ； (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的应用，根据三角形的面积公式求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可； （3）求得于D，E，F的坐标，利用割补法求得，根据设点P的坐标为，则，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：在中，BC的长为x，BC边上的高为y，的面积为2， ∴， ∴， ∴y关于x的函数关系式是， x的取值范围为， ∴y关于x的函数关系式是； （2）解：列表得： x 1 2 4 6 y 6 4 2 1 描点，连线，在平面直角坐标系中画出该函数图象 （3）解：联立，即， 解得或， 当时，；时，；时，； ∴，，， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 由题意得，即， 解得或， ∴点P的坐标为或． 4．（2025·浙江湖州·一模）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式． (2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解表格得到与成反比例函数关系是解题的关键． （1）观察表格可得是一个定值，即与成反比例函数关系，据此设出解析式利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的值即可得到答案． 【详解】（1）解；根据表格数据的关系，可得与成反比例函数关系， 设，把代入中得：，解得， ∴． （2）解：当时，， ∴当该电磁波的频率为时，它的波长是． 5．（24-25九年级上·江西南昌·月考）如图，在左边托盘AB（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．托盘B中的砝码质量m随着托盘B与点O的距离d变化而变化，已知m与d是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 托盘B与点O的距离d/厘米 5 10 16 20 托盘B中的砝码质量m/克 40 20 12.5 10 (1)根据表格中的数据求出m关于d的函数解析式．（不需要写出自变量d的取值范围） (2)当砝码质量为25克时，求托盘B与点O的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）设，利用表格中数据结合待定系数法求解，即可解题； （2）将砝码质量为25克代入（1）中解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解： m与d是反比例函数关系， 设， 由表格中数据可知，， 解得， ； （2）解：当砝码质量为25克时，有， 解得， 答：当砝码质量为25克时，托盘B与点O的距离为． 用反比例函数解决问题——方案设计类反比例函数应用题型03 1．心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示，点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1) (2)安排不合理， 理由： 由题意，设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 令， 解得：， 令， ∴， ∵， ∴老师安排不合理． 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质与其图象的性质是解题的关键． （1）设所在反比例函数的解析式为，将代入即可； （2）求出段的直线解析式，先求出指标数为时段和段的时间，再求出指标数不低于的时间长即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，设所在反比例函数的解析式为， ∵点的坐标为， ∴， ∴； （2）略 2．（24-25九年级上·广西来宾·期中）心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间、分别为线段，为双曲线的一部分）： (1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】(1)第分钟注意力更集中 (2)经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得和的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断； （2）分别求出注意力指数为时的两个时间，再将两时间之差和比较，大于则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：设线段所在的直线的解析式为， 把代入得，，解得， ． 设、所在双曲线的解析式为， 把代入得，， 当时，， 当时，，    答：第分钟注意力更集中． （2）令， ， 令， ， ， 答：经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 用反比例函数解决问题——一次函数与反比例函数的实际应用题型 1．小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】结合函数图像的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图像，发现： 当x＜-3或0＜x＜1时，反比例函数图像在一次函数图像的上方， ∴不等式>x+2的解集为x＜-3或0＜x＜1． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函数解析式． 2．若一个数a小于它的倒数，结合和的图像，可知a的取值范围为______． 【答案】或 【分析】求得函数和的图象的交点的横坐标，结合函数的图象即可求得a的取值范围． 【详解】解：令，解得， ∴函数和的图象的交点的横坐标为和1，    由图象可知当或时， 一次函数的图象在反比例函数的下方， ∴根据图象可知a的取值范围是或 故答案为∶ 或． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与正比例函数的图象，数形结合是解题的关键． 3．（2025·陕西西安·一模）点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为_____ 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，关于坐标轴对称的点的特征，一次函数和反比例函数的交点问题， 先求出点关于y轴对称的点的坐标，再将坐标代入一次函数关系式求出a，然后将点P的坐标代入关系式求出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． ∵点在一次函数的图像上， ∴， 解得， ∴点． 将点代入反比例函数关系式，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 4．将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ______ ． 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”得平移后解析式，与一次函数联立方程，由根与系数关系得出与的关系式，套入所求代数式即可得出结果． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立方程得交点坐标，本题的关键是利用了根与系数的关系得出、的关系． 【详解】解：根据题意，平移后反比例函数解析式为：， 和一次函数联立得：， 整理得：， 由根与系数的关系得：， 有一根是，则， ， 当时，， ， ． 故答案为：． 5．如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称． (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)反比例函数的解析式为y=； (2)图中阴影部分的面积为7． 【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线l′的解析式为y=-x+2，再根据图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD求解即可． 【详解】（1）解：∵直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，∴n=-1+4=3， ∴点A的坐标为(-1，3)， ∵反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(-1，3)， ∴k=-1×3=-3， ∴反比例函数的解析式为y=； （2）解：∵直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称， ∴设直线l′的解析式为y=-x+m， 把A(-1，3)代入得3=1+m，解得m=2， ∴直线l′的解析式为y=-x+2， 直线1：y=x+4与x轴的交点坐标为B(-4，0)， 直线l′：y=-x+2与x轴的交点坐标为C(2，0)，与y轴的交点坐标为D(0，2)， ∴图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD=×6×3-×2×2=9-2=7． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $