第5章 导数及其应用全章高频重点题型突破（专项训练）数学苏教版选择性必修第一册

第5章 导数及其应用全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 导数的定义 题型2 切线问题 题型3 单调区间 题型4 求最值问题 题型5 求极值问题 题型6 已知单调性求参数 题型7 构造函数解不等式 题型8 求距离最值 题型9 含参数单调性讨论 题型10 最值极值综合应用 核心提升：重难题型归纳 题型1 公切线问题 题型2 证明不等式 题型3 零点问题 题型4 极值点偏移问题 题型5 恒成立问题 题型6 新定义问题 题型专练：高频重难特训 题型1 导数的定义 1．（2026·高三·河南·阶段检测）已知是定义在R上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高三·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数在处的导数值为1，（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·高二·重庆璧山·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 切线问题 5．（2026·高三·广东肇庆·开学考试）已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·福建漳州·期末）已知曲线在点处的切线为，则（     ） A．2 B．1 C． D． 7．（2026·高二·安徽滁州·阶段检测）若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，若函数在点处的切线过点，则（    ） A．－1 B．1 C． D． 题型3 单调区间 9．（2026·高二·广东广州·阶段检测）函数的单调递增区间为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·高二·河南濮阳·期末）函数的单调递增区间为(    ) A． B． C． D． 11．（2026·高二·广东广州·期中）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 12．已知函数，则单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 题型4 求最值问题 13．（2026·高二·甘肃白银·期末）已知函数的导函数，且，则在上的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 14．（2026·高二·福建福州·期末）函数在区间上（　　） A．有极值 B．有最小值 C．有最大值 D．无最值 15．（2026·高二·四川南充·阶段检测）已知函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 16．（2026·高二·河北张家口·期末）已知函数的最大值为1，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 题型5 求极值问题 17．（2026·高三·浙江·阶段检测）已知函数有两个极值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 18．（2026·高二·甘肃武威·期末）已知函数 ，则 的极大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．（2026·高二·湖南株洲·期末）已知是的导函数，的图象如图所示，则的极小值点是（     ） A． B． C． D． 20．（2026·高三·河南开封·阶段检测）若函数在处取得极大值，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 题型6 已知单调性求参数 21．（2026·高二·吉林·期中）若函数（）在区间上单调递减，则实数a的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 22．（2026·高三·四川眉山·阶段检测）若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 23．（2026·高三·河北·开学考试）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2026·高三·广西·开学考试）若函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7 构造函数解不等式 25．（2026·高二·湖北武汉·期中）已知是函数的导函数，且对任意实数x都有，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 26．（2026·高二·黑龙江鸡西·阶段检测）已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 27．（2026·高二·广东东莞·阶段检测）设是定义在上的可导函数，，对任意实数，有，则的解集为（   ） A． B． C． D． 28．（2026·高二·湖北·期中）已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型8 求距离最值 29．（2026·高二·广西崇左·期中）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为______________． 30．（2026·高三·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为_________． 31．（2026·高三·广东汕头·开学考试）若点与曲线上点距离最小值为，则实数为_______. 32．（2026·高二·江苏扬州·开学考试）已知点P在曲线上，点Q在直线 (其中e为自然对数的底数)上，则PQ长度的最小值为______． 题型9 含参数单调性讨论 33．已知函数，讨论函数的单调性． 34．（2026·高二·重庆·期末）已知函数，且． (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 35．（2026·高二·山东济宁·期末）已知幂函数的定义域和值域相同，是的导函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，讨论的单调性. 36．（2026·高二·河南郑州·期末）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 题型10 最值极值综合应用 37．已知函数． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值． 38．（2026·高三·四川南充·阶段检测）已知函数，其中为常数，且. （1）当时，求的单调区间； （2）若在处取得极值，且在的最大值为1，求的值. 39．（2026·高二·山东青岛·期末）已知函数的一个极值点是. (1)求实数a的值； (2)求函数在上的最值. 40．（2026·高二·黑龙江黑河·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的最大值． 题型1 公切线问题 1．（2026·甘肃金昌·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求在上的值域； (2)证明：曲线与在点处存在公切线. 2．（2026·高二·海南海口·期末）已知函数是曲线和的一条公切线． (1)求实数的值； (2)过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 3．（2026·高二·河南南阳·期中）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知（为自然对数的底数），，若直线是与的公切线，求的方程； 4．（2026·高二·江苏无锡·期中）已知函数和函数. (1)若函数在区间上不单调，求的取值范围； (2)若函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，求该公切线方程. 题型2 证明不等式 5．（2026·高二·贵州毕节·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点的切线方程； (2)求证：当时，． 6．（2026·高二·河北邢台·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)证明：当时，． (3)求的最大值． 7．（2026·高二·安徽宿州·期末）已知函数． (1)求的最小值； (2)若，证明：当时，． 8．（2026·高二·广东惠州·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)当时，求证． 题型3 零点问题 9．（2026·高三·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若有且只有一个零点，求的取值集合. 10．（2026·高二·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有且仅有个零点，求实数的取值范围． 11．（2026·高二·北京·期末）已知和分别是函数的极值点． (1)求，的值及函数的单调区间； (2)若恰有两个不同的零点，求的值． 12．（2026·高二·辽宁辽阳·期末）已知函数在处取极小值2． (1)求的值； (2)求曲线过点的切线方程； (3)若函数，且在上有三个零点，求实数的取值范围． 题型4 极值点偏移问题 13．（2026·高二·河南濮阳·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知函数，有2个不同的零点，且． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 14．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在两个极值点，证明：． 15．（2026·山西晋中·二模）已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 16．（2026·高二·天津静海·期中）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 题型5 恒成立问题 17．（2026·高三·山西·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 18．（2026·高三·陕西榆林·阶段检测）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若直线与曲线相切，求a的值； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围． 19．（2026·高二·湖南邵阳·开学考试）设函数，其中，． (1)若，求函数在处的切线方程（结果用参数a表示）； (2)若，恒成立，求a的最大值； (3)若存在唯一的正数a，使得当时，恒成立，求满足条件的k的值． 20． (1)若，求的取值范围； (2)证明：是中心对称图形； (3)，当且仅当时成立，求的范围． 题型6 新定义问题 21．（2026·高二·江苏南京·期中）设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围. 22．（2026·高二·江西·阶段检测）已知函数的导函数为，的导函数为，对于区间A，若与在区间A上都单调递增或都单调递减，则称为区间A上的自律函数． (1)若是R上的自律函数． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）若a取得最小值时，只有一个实根，求实数t的取值范围； (2)已知函数，判断是否存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数，若存在，求出b与c的关系及b的取值范围；若不存在，请说明理由． 23．（2026·高二·山西太原·阶段检测）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． (1)求曲线在点处的曲率的值； (2)求正弦曲线曲率的最大值． 24．（2026·高二·江西萍乡·期中）定义：如果函数在定义域内存在实数，使成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在上存在1级“平移点”，求的取值范围. 1．（2026·高二·内蒙古赤峰·期中）已知函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知则（   ） A． B． C． D． 4．若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．［1，2） D． 5．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高三·浙江·阶段检测）已知函数在上的最小值为1，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·福建莆田·开学考试）设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高三·福建莆田·阶段检测）已知函数，则（     ） A．在上有两个零点 B．的图象关于直线对称 C．在上单调增 D．在上的最小值为 10．（多选题）（2026·高三·江苏南通·开学考试）设二次函数满足：，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（     ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在处取得极大值 C．导函数在区间上单调递减 D．导函数在处取得极小值 12．（2026·高三·河北·阶段检测）曲线在点处的切线方程为______． 13．（2026·高三·福建福州·阶段检测）若直线是曲线在处的切线，则________． 14．（2026·高二·辽宁沈阳·阶段检测）已知，是的导函数，即，，，，则__． 15．（2026·高二·河北唐山·期末）已知曲线在处的切线与直线平行． (1)求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 16．（2026·高二·北京西城·期末）已知函数，，，且曲线在点处的切线斜率为0． (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，都有恒成立，求的取值范围． 17．（2026·高二·甘肃定西·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恰有1个零点，求的取值范围； (3)若是增函数，求的取值范围． 18．（2026·高二·甘肃兰州·期末）已知函数，其中． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)求的极值； (3)若恒成立，求的取值范围． 19．（2026·高二·广东揭阳·期末）已知函数，. (1)若，求的单调性； (2)若存在两个极值点，求实数的范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 导数及其应用全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 导数的定义 题型2 切线问题 题型3 单调区间 题型4 求最值问题 题型5 求极值问题 题型6 已知单调性求参数 题型7 构造函数解不等式 题型8 求距离最值 题型9 含参数单调性讨论 题型10 最值极值综合应用 核心提升：重难题型归纳 题型1 公切线问题 题型2 证明不等式 题型3 零点问题 题型4 极值点偏移问题 题型5 恒成立问题 题型6 新定义问题 题型专练：高频重难特训 题型1 导数的定义 1．（2026·高三·河南·阶段检测）已知是定义在R上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由导数定义，令， 则，解得． 2．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，设函数的图象上有两点， 经过点的切线分别为， 则直线的斜率依次为， ，， 由图可知直线的倾斜角， 因函数在上单调递增，故， 即. 3．（2026·高三·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数在处的导数值为1，（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题设 . 4．（2026·高二·重庆璧山·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为， 所以函数在区间上的平均变化率为. 题型2 切线问题 5．（2026·高三·广东肇庆·开学考试）已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，又，所以，则切线方程为， 设，则，令，解得，所以. 6．（2026·高二·福建漳州·期末）已知曲线在点处的切线为，则（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 又因为切线方程为：，斜率为， 所以，解得. 7．（2026·高二·安徽滁州·阶段检测）若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知直线整理为，斜率为， 因此曲线在处切线斜率， 对求导，得， 设，则 ，得，即， 所以 ， 因此点坐标为. 8．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，若函数在点处的切线过点，则（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，函数，定义域为， ，，则， 切线方程为， 因为切线过点，代入得，解得. 题型3 单调区间 9．（2026·高二·广东广州·阶段检测）函数的单调递增区间为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为，求导得 ， 根据导数与函数单调性的关系，令 ， 整理得，解得， 因此函数的单调递增区间为. 10．（2026·高二·河南濮阳·期末）函数的单调递增区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为， . 令，由，，得，即. 故函数的单调递增区间为. 11．（2026·高二·广东广州·期中）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为， 求导得， 令，得，解得， 所以函数的单调减区间为. 12．已知函数，则单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为且， 令，解得，所以单调递增区间是. 题型4 求最值问题 13．（2026·高二·甘肃白银·期末）已知函数的导函数，且，则在上的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】因为，故，即， 所以令，由，得， 所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， 所以的最小值为0. 14．（2026·高二·福建福州·期末）函数在区间上（　　） A．有极值 B．有最小值 C．有最大值 D．无最值 【答案】D 【解析】因为，所以在上单调递增，所以无最值． 15．（2026·高二·四川南充·阶段检测）已知函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 令，，则函数转化为，， ， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，最大值为，当时，最小值为0， 故，则， 当，时等号成立， 所以的最小值为：. 16．（2026·高二·河北张家口·期末）已知函数的最大值为1，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【解析】， 设时，有最大值， 所以， 整理得：， 所以或， 所以或， 当时，，不符合题意； 所以，则，， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故是的最大值，符合题意， 综上，． 题型5 求极值问题 17．（2026·高三·浙江·阶段检测）已知函数有两个极值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为R，求导得， 由函数有两个极值点，得方程有两个不等的实数根， 因此，解得，所以的取值范围是. 18．（2026·高二·甘肃武威·期末）已知函数 ，则 的极大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】，， 从而在上单调递增，在上单调递减，则的极大值为. 19．（2026·高二·湖南株洲·期末）已知是的导函数，的图象如图所示，则的极小值点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的图象可知，当或时，，当时，， 所以是的极大值点，是的极小值点. 20．（2026·高三·河南开封·阶段检测）若函数在处取得极大值，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】将原函数求导得：， 因函数在处取得极大值，则，解得. 当时，. 令，得或；令，得. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 满足题意. 故选：A． 题型6 已知单调性求参数 21．（2026·高二·吉林·期中）若函数（）在区间上单调递减，则实数a的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】由函数在上单调递减，得， 则，当时，，因此， 所以实数a的值可能是2. 22．（2026·高三·四川眉山·阶段检测）若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为函数在区间单调递增， 所以在区间恒成立，即在区间恒成立， 即在区间恒成立， 由对勾函数的单调性可得故. 故选：D. 23．（2026·高三·河北·开学考试）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，，当时，，所以在单调递减， 由题意得，解得. 故选：D. 24．（2026·高三·广西·开学考试）若函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得.因为是上的增函数， 所以在上恒成立， 所以，解得. 故选：B. 题型7 构造函数解不等式 25．（2026·高二·湖北武汉·期中）已知是函数的导函数，且对任意实数x都有，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，即， 所以可设， 即，又， 所以，故， 所以不等式可化为， 故， 所以， 所以不等式的解集为. 故选：B. 26．（2026·高二·黑龙江鸡西·阶段检测）已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，联想到积的导数公式，故构造函数， 则，故在上单调递减， 又，所以不等式即的解集为. 故选：B. 27．（2026·高二·广东东莞·阶段检测）设是定义在上的可导函数，，对任意实数，有，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则即求的解集. 由已知得，，故在上单调递减； 又由得，，故，从而. 故选：A. 28．（2026·高二·湖北·期中）已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以令，， 所以为常数. 又因为， 所以，所以， 所以. 原不等式等价于， 即，解得或， 所以解集为. 故选：A. 题型8 求距离最值 29．（2026·高二·广西崇左·期中）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为______________． 【答案】 【解析】令，得，代入曲线， 的最小值即为点到直线的距离， ． 30．（2026·高三·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为_________． 【答案】2 【解析】， 设，则在函数的图象上，在函数的图象上，且与关于直线对称， 所以问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值， ，令，则，由对称性可得最小时，， ， 所以的最小值为. 故答案为：2. 31．（2026·高三·广东汕头·开学考试）若点与曲线上点距离最小值为，则实数为_______. 【答案】 【解析】设点的坐标为，对函数求导得， 由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则， 得， 由两点间的距离公式得， 由于的最小值为，即，，解得， 因此，. 故答案为： 32．（2026·高二·江苏扬州·开学考试）已知点P在曲线上，点Q在直线 (其中e为自然对数的底数)上，则PQ长度的最小值为______． 【答案】 【解析】设与直线平行的直线的方程为， ∴当直线与曲线相切，且点Q为切点时，，两点间的距离最小， 设切点， ，所以，，，， 点， 直线的方程为，即 ，两点间距离的最小值为平行线和间的距离， 两点间距离的最小值为. 故答案为：. 题型9 含参数单调性讨论 33．已知函数，讨论函数的单调性． 【解析】由题意可知函数的定义域为， 且，， 令，得或． ①当时，， 令得， 令得， 可知在内单调递减，在内单调递增； ②当时，， 令得， 令得， 可知在内单调递减，在内单调递增． 综上所述， 当时，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递减，在内单调递增． 34．（2026·高二·重庆·期末）已知函数，且． (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【解析】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2），令，得或， ①当时，恒成立，所以在R上单调递增； ②当时，，由，得或； 由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 综上所述，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，在R上单调递增； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． 35．（2026·高二·山东济宁·期末）已知幂函数的定义域和值域相同，是的导函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，讨论的单调性. 【解析】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，的定义域、值域分别为，不符合题意， 当时，的定义域、值域都为，符合题意， 所以函数的解析式为. （2）由（1）得，函数， 函数的定义域为，求导得， 当时，，由，得或；由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 36．（2026·高二·河南郑州·期末）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【解析】（1）当时，，则， 则， 故函数在处的切线方程为， 即. （2）由得， 当时，，令，则， 当时，，则；当时，，则； 故在单调递增，在单调递减； 当时，令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增； 当时，，当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增； 综合上述可知： 当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增, 题型10 最值极值综合应用 37．已知函数． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值． 【解析】（1）因为，所以，其中． 因为函数在处取得极值，所以，解得． 经检验，符合题意，故． （2）由（1）知，． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值； 当时，，所以函数在上单调递增，无最值； 当时，令，得；令，得； 故在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值，也是最大值为， 无最小值． 综上，当时，函数无最值； 当时，函数的最大值为，无最小值． 38．（2026·高三·四川南充·阶段检测）已知函数，其中为常数，且. （1）当时，求的单调区间； （2）若在处取得极值，且在的最大值为1，求的值. 【解析】（1），，令，得或1，则列表如下： 1 + 0 _ 0 + 增 极大值 减 极小值 增 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）∵， 令，，， 因为在处取得极值， 所以， ①时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上的最大值为，令，解得； ②当，； (i)当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 所以最大值1可能在或处取得，而， ∴， ∴， (ii)当时，在区间上单调递增；上单调递减，上单调递增， 所以最大值1可能在或处取得而， 所以，解得，与矛盾； (iii)当时，在区间上单调递增，在单调递减， 所以最大值1可能在处取得，而，矛盾， 综上所述，或. 39．（2026·高二·山东青岛·期末）已知函数的一个极值点是. (1)求实数a的值； (2)求函数在上的最值. 【解析】（1）因为，则， 由题意可知：，解得， 若，则，， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递减，在，内单调递增， 所以函数的极大值点为，极小值点为，可知符合题意， 综上所述：. （2）因为，由（1）可知：函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在上的最小值为，无最大值. 40．（2026·高二·黑龙江黑河·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的最大值． 【解析】（1）由，得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知当时，在上单调递增，所以在上无最小值； 当时，在处取得最小值，， 所以， 求导得， 当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递减， 所以. 题型1 公切线问题 1．（2026·甘肃金昌·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求在上的值域； (2)证明：曲线与在点处存在公切线. 【解析】（1）若，则，得， 令，解得， 所以当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有最大值，， 当时，，当时，， 故在上的值域为． （2）证明：由，得，则， 又，故在点处的切线方程为． 同理，由，得，则， 又，故在点处的切线方程为， 所以与在处存在公切线． 2．（2026·高二·海南海口·期末）已知函数是曲线和的一条公切线． (1)求实数的值； (2)过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 【解析】（1）设直线与曲线的切点坐标为， ，， 又直线的斜率为，， 且点同时在直线和曲线上， 满足，联立以上两式可得， 故直线的方程为， 联立，可得， 又直线与曲线相切， ，解得． （2）由（1）得，， 设切点为， 则曲线在点的切线方程为， 又切线过点， ， 即方程有两个不相等的实数根，且， ， 解得或或， 所以实数的取值范围为或或． 3．（2026·高二·河南南阳·期中）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知（为自然对数的底数），，若直线是与的公切线，求的方程； 【解析】（1），则， 时，，， 所求切线方程为，即； （2）设与的切点 又 切线方程为：，即① 设与切点为 切线方程为：，即② 由题知，①，②都是的方程，则有 ， 消去得， 即，解得或， 当时切线方程为 ，当时切线方程为， 综上，直线的方程为或. 4．（2026·高二·江苏无锡·期中）已知函数和函数. (1)若函数在区间上不单调，求的取值范围； (2)若函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，求该公切线方程. 【解析】（1）由题意得 ， 则， 因为在上不单调，说明在内有变号零点， 即方程的根落在区间内， 当时，，因此，解得， 即取值范围为. （2）设两函数公共点为，由公共点处函数值相等、切线斜率相等， 得方程组： ， 化简式(2)，两边同乘得，代入式(1)得， 因，则，即， 代入得切点为，切线斜率，则公切线方程. 题型2 证明不等式 5．（2026·高二·贵州毕节·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点的切线方程； (2)求证：当时，． 【解析】（1）当时，， ，切点为 又， 由整理得 曲线在点的切线方程为 （2）当时，，， 令，， ，易知在单调递增， ，， 存在唯一，使得， 即，， 且时，，单调递减， 时，，单调递增， 当时，取得最小值， 最小值为， 恒成立，即. 6．（2026·高二·河北邢台·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)证明：当时，． (3)求的最大值． 【解析】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，不等式， 令函数，求导得， 函数在上单调递减，，因此当时，； 当时，，当且仅当时取等号， 因此当时，，即， 所以当时，. （3）函数的定义域为，， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 则，函数在上单调递减，，而， 则当时，，函数在上单调递增； 令函数，求导得， 令函数，求导得， 当时，，则，函数，即在上单调递减， ，函数，即在上单调递减，， 因此函数在上单调递减，所以函数在处取得最大值. 7．（2026·高二·安徽宿州·期末）已知函数． (1)求的最小值； (2)若，证明：当时，． 【解析】（1），则当时；当时； 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为； （2）令，则， 则， 由（1）可知，则在上单调递增， 则，则在上单调递增， 则，则， 若，，则，得证. 8．（2026·高二·广东惠州·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)当时，求证． 【解析】（1）当时，，则， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，，则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，而， 则时，，时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）当时，， 故只需证明当时，. 当时，，， 则在上单调递增. 又， 故在上有唯一实根，且. 当时，；当时，， 从而当时，取得最小值. 由，得， 故当时，的最小值， 综上所述，当时，. 题型3 零点问题 9．（2026·高三·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若有且只有一个零点，求的取值集合. 【解析】（1）当时，，故， ，故， 故切线方程为，即 （2）由于的定义域为， 令，则，即， 令，则， 当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增，故在取到最大值， 由于，且， 因此只有一个交点时，， 故的取值集合为. 10．（2026·高二·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有且仅有个零点，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，， 由得，由得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）令得， 令，其中， 则函数有且仅有个零点等价于函数与的图象有个交点， ，由得，由得， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数的极大值为， 当时，，当时，且， 所以的取值范围是. 11．（2026·高二·北京·期末）已知和分别是函数的极值点． (1)求，的值及函数的单调区间； (2)若恰有两个不同的零点，求的值． 【解析】（1），，． ，分别为函数的极值点．且． 即 ，． ． ∴当，时，，单调递增； 当时，，单调递减． 则，分别为函数的极大极值点和极小值点． 的单调递增区间为，，的单调递减区间为． （2）当或时，至多有一个零点． 当，即．此时且， ∴在区间内存在唯一零点，此时恰有两个不同的零点． 当，即．此时且 ∴在区间内存在唯一零点，此时恰有两个不同的零点． 当且时，即．此时，． 在区间，，内分别存在唯一零点． 综上所述，当且仅当或有两个不同的零点． 12．（2026·高二·辽宁辽阳·期末）已知函数在处取极小值2． (1)求的值； (2)求曲线过点的切线方程； (3)若函数，且在上有三个零点，求实数的取值范围． 【解析】（1），，解得或， 当时，可得， 令，可得，令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取极大值，不符合题意， 当时，可得， 令，可得，令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取极小值，在处取极大值，符合题意，. （2）设切点为，得到， 而，， 可得， 代入点，得到， 化简得，解得或者， 切线斜率为0时，切线方程为， 在切线斜率为1时，切线方程为， 综上可得，切线方程为或者. （3）函数，且在上有三个零点， 方程在上有三个不等的实根， 函数与的图象在上有三个不同的交点， 由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则在处取极小值2，在处取得极大值， 又，，，解得. 题型4 极值点偏移问题 13．（2026·高二·河南濮阳·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知函数，有2个不同的零点，且． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 【解析】（1）由，得的定义域为，， 当时，，则在区间上单调递增； 当时，， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）（ⅰ）由题知，，定义域为，则， 当时，，则在区间上单调递增， 所以在区间上最多有一个零点，不符合题意； 当时，， 当时，；当时，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又有2个不同的零点，且当时，，当时，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （ii）由是的2个不同的零点，且， 则，， 即，， 所以，即， 要证，只需证， 由（ⅰ）知，，， 所以即证，即证． 设，则，只需证． 设，， 则，则在区间上单调递增， 所以，即，即． 14．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在两个极值点，证明：． 【解析】（1）当时，，，所以，， 所以切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即． （2）由，即，因为，所以不等式可变形为． 令，则“存在，使得成立”等价于大于等于在上的最小值， ． 令，，则． 当时，，故，所以在上单调递增． 因此，故，所以在上单调递增． 所以，因此的取值范围为． （3）因为的极值点满足，即，即． 因为存在两个极值点等价于方程有两个不同的实根． 令，则的定义域为，， 当时，，则在上单调递减，且； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故在处取得极小值，且． 又当时，，当时，， 所以当，即时，方程有两个不同的实根，且， 故． 由，变形得． 令，则，代入上式得， 两边同时取自然对数，得，因此． 要证，即证，只需证，即. 令，，则， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，即恒成立， 即，得证． 15．（2026·山西晋中·二模）已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【解析】（1）由题意可知:的定义域为，且， 若，则， 当，则;当，则; 可知在内单调递减，在内单调递增; 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 当，即时，则 ， 可知在内单调递增; 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 综上所述:若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. （2）①有两个不同的零点， 即有两个不同实根， 若，则，只有一个实数根，不符合题意， 故，得， 令， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，， 当时，可得 可得不等式：. 先解，即，解得或. 再解，移项通分得， 等价于，即 . 因为，故不等式等价于 ， 解得， 结合或，取交集得. 所以实数的取值范围为. ②当时，有两个不同的零点. 两根满足， 两式相加得:，两式相减得:， 上述两式相除得， 不妨设，要证:，只需证: ， 即证， 设，令 ， 则 ， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 16．（2026·高二·天津静海·期中）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 【解析】（1）当时，， 则 ， ，切线方程为 ，即. （2）（ⅰ）当时，若函数有个不同的零点，， ∴恰有个正实根，，即方程恰有个正实根，， 令，则与有两个不同交点， ∴， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，又， 当从的右侧无限趋近于时，趋近于； 当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于， 则图象如下图所示， ∴当时，与有两个不同交点， ∴实数a的取值范围为． （ⅱ）略 题型5 恒成立问题 17．（2026·高三·山西·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，， 则，， 所以所求切线方程为，即． （2）令，得． 令，则有且仅有一个零点等价于直线与曲线有且仅有一个交点． ，则当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以．又当时，，当时，，且，作出的大致图象，如图所示： 由图可得，实数的取值范围为． （3）由，得． 令，，由，可得． 当时，，易知． 令，得． 因为，，所以，． 故，即在上单调递增，． 所以在上单调递增．所以，不等式恒成立． 综上，实数的取值范围为． 18．（2026·高三·陕西榆林·阶段检测）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若直线与曲线相切，求a的值； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值． （2）直线与曲线相切，设切点为， 因为，所以， 所以，解得，① 因为切点在上， 所以，即，② 由②-①并整理得：． 令，则，令，解得， 则当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，，且， 则方程有唯一解为，将代入①式，可得． （3），， 因为对任意的恒成立， 所以， 因为，所以， 即， 即恒成立，则， 解得． 则， 令，则， 设， 则在恒成立，则在上单调递增， 又，则由，由， 所以在上单调递减， 在上单调递增，所以， 即恒成立，所以的取值范围是． 19．（2026·高二·湖南邵阳·开学考试）设函数，其中，． (1)若，求函数在处的切线方程（结果用参数a表示）； (2)若，恒成立，求a的最大值； (3)若存在唯一的正数a，使得当时，恒成立，求满足条件的k的值． 【解析】（1）由题可知，， ，则， 故函数在处的切线方程为； （2）当时，，，， 可知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则恒成立， 设，，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，， 又，可知当时，， 所以的最大值为； （3），令，由题可知，故， 又，令，则， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， ， 设，， 欲存在唯一的正数a，使得， 可知只需使得（且取得最小值的a值唯一）， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，解得， 当时，，则在上单调递减， 欲使满足题意，则，即，解得，故； 若且给定，显然满足的a值不唯一； 若，则满足的a的值为1； 若不存在其他满足题意的a，即可保证时，有唯一的a满足题意，此时； 但当时，， 由（2）知，当时，均可使得，故a的值不唯一； 综上所述，时，可保证存在唯一的a满足题意． 20． (1)若，求的取值范围； (2)证明：是中心对称图形； (3)，当且仅当时成立，求的范围． 【解析】（1）由，解得，所以函数的定义域为， 当时，， 所以，对恒成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立，即， 所以只需，即，故． （2）根据对称性质，且关于点对称， 令，则 ，故关于成中心对称. （3）法1（零点分区间）： 当时，时，且为对称中心， 故，可得， 当时，即，有， 令，，函数最大值趋近于， 当时恒成立，单调递增，符合题意； 当时，, 令，单调递增，，故在恒成立， 而，故存在，使， 当时，，此时，，矛盾； 综上，. 法2（端点效应+矛盾取点）： ，且有（证明见法1）， 故只需满足即可， ，，令， ，，令 ，，令， ，，，故在上单调递增， 当时，，因为在上单调递增， 所以，在上单调递增，， 所以，在上单调递增，， 所以，在上单调递增，，符合题意； 当时，，取， ，使， 当时，， 所以，在上单调递减，， 所以，在上单调递减，， 所以，在上单调递减，，与题意不符； 综上： 题型6 新定义问题 21．（2026·高二·江苏南京·期中）设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围. 【解析】（1）函数在上是“上凸函数”，理由如下： 由题意，， 令，则， 当时，， 即此时， 所以即单调递减， 从而由定义可知函数在上是“上凸函数”； （2）因为， 所以， 设，则， 由题意函数是其定义域上的“上凸函数”， 所以单调递减， 从而当时，恒成立，即当时，恒成立， 因为一元二次函数的对称轴为， 当，即时，恒成立，只需即可，解得，即； 当，即时，恒成立，只需，即，解得； 综上所述，的取值范围为. 22．（2026·高二·江西·阶段检测）已知函数的导函数为，的导函数为，对于区间A，若与在区间A上都单调递增或都单调递减，则称为区间A上的自律函数． (1)若是R上的自律函数． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）若a取得最小值时，只有一个实根，求实数t的取值范围； (2)已知函数，判断是否存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数，若存在，求出b与c的关系及b的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）（ⅰ）因为， 所以，， 因为是R上的自律函数， 所以恒成立，恒成立， 所以 解得，所以a的取值范围是． （ⅱ）当时，， 设，则， 所以当时，，单调递减， 当或时，，单调递增， 因为，，， 所以若只有一个实根，t的取值范围是． （2）由得，， 令得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由在上不单调，且是及上的自律函数， 得， 则，，     所以时， ， 在上单调递增，与已知矛盾， 所以不存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数． 23．（2026·高二·山西太原·阶段检测）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． (1)求曲线在点处的曲率的值； (2)求正弦曲线曲率的最大值． 【解析】（1）由得，， 故， 所以曲线在点处的曲率； （2）由题意得， 故， 令，则， 令，则， 故在上单调递减， 则，即的最大值为1， 由题意知曲线在点处的曲率，即， 故的最大值为1. 24．（2026·高二·江西萍乡·期中）定义：如果函数在定义域内存在实数，使成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在上存在1级“平移点”，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，. ，. 故曲线在处的切线方程为 （2）因为在上存在1级“平移点”， 所以存在，使. 由， 得， 即， 即与图象有公共点， 令， 则， 所以在上单调递增，所以， 因为，所以，，所以， 所以，所以. 1．（2026·高二·内蒙古赤峰·期中）已知函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】定义域为，. 令，结合，可得，即的单调递减区间为. 2．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设得的定义域为，. 令，则，解得. 又因为，所以. 所以的单调递减区间是. 3．已知则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，不妨设函数，则， 令，得，令，得， 因此在上单调递增，在上单调递减. 又，则，即． 4．若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．［1，2） D． 【答案】B 【解析】由题意知，函数的定义域为 令，解得（舍去）或， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 因为，且在上不单调， 所以解得， 故实数的取值范围是． 5．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 所以在上单调递增． 由，得，解得． 6．已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为存在实数，使得成立，所以当时， ， 当时，令得或或， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 - 0 + 0 0 ↘ 极小值 ↗ 由表可知当时，取到时的极小值也是在区间上的最小值，且，故． 7．（2026·高三·浙江·阶段检测）已知函数在上的最小值为1，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，由题意函数在上的最小值为1， 等价于对任意，都有恒成立． 由于时，，若分母， 则，与条件矛盾， 因此必须满足对所有恒成立， 即在上恒成立，令， 由幂函数性质得在上单调递减， 当时，，所以． 因为函数在上的最小值为1， 则恒成立，且存在，使得， 因为，故只需恒成立，即成立， 令．则，，， 令，则， 所以，所以解得， 因为当时，，所以， 令，则， 故在上单调递增，又， 所以当时，，即， 所以在上递增，所以，故成立， 综上，的取值范围是． 8．（2026·高二·福建莆田·开学考试）设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 由，得，等价于①或②. 由②得，即，所以. 因为对任意，恒有，所以不等式不成立，因此不等式组无解. 由①得，即（）. 令，则，令，解得. 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 所以当时，函数有最大值. 要使恒成立，所以. 再令，则，令，解得. 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 所以当时，函数的最小值. 要使恒成立，所以. 综上所述，的取值范围为. 9．（多选题）（2026·高三·福建莆田·阶段检测）已知函数，则（     ） A．在上有两个零点 B．的图象关于直线对称 C．在上单调增 D．在上的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A， . 令，即， 因为恒成立，所以，即. 又，则，所以或，解得或. 故在上有两个零点，A正确. 对于B，若的图象关于直线对称，则. 而， ， 故，B错误. 对于C，. 当时，，，， 此时，故在上单调增，C正确. 对于D，当时，，，， 此时，故在上单调减， 所以当时，在处取得最小值，为， 所以在上的最小值为，D正确. 10．（多选题）（2026·高三·江苏南通·开学考试）设二次函数满足：，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A选项，令得，故，A正确； B选项，设， 由得，解得， 故，， 由得， 由①得，显然，且， 即，解得， 由②得，即，，显然成立， 故，，所以， ，，B正确； C选项，，C错误； D选项，恒成立，D正确 11．（多选题）（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（     ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在处取得极大值 C．导函数在区间上单调递减 D．导函数在处取得极小值 【答案】ABC 【解析】由函数的导函数的图象， 对于A，当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减，所以A错误； 对于B，当时，，在区间上单调递增， 其中，所以在两侧的单调性相同， 则不是函数的极值点，所以B错误； 对于C，由导函数的图象知，在区间上单调递增，所以C错误； 对于D，由导函数的图象知， 在区间上单调递减， 在区间上单调递增，所以是函数的极小值点， 即导函数在处取得极小值，所以D正确. 12．（2026·高三·河北·阶段检测）曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】因为，所以， 当时，，， 所以曲线的切线方程为，解得. 13．（2026·高三·福建福州·阶段检测）若直线是曲线在处的切线，则________． 【答案】0 【解析】由得， 由题意得在处的切线斜率为，故，解得， 又切点坐标为，代入切线方程得，解得， 因此． 14．（2026·高二·辽宁沈阳·阶段检测）已知，是的导函数，即，，，，则__． 【答案】2025 【解析】因为， 则， ， ， ， 设，是的导函数， 则，可得； 设，是的导函数， 则，，，， 可得，所以； 则， 所以. 15．（2026·高二·河北唐山·期末）已知曲线在处的切线与直线平行． (1)求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为，对求导得：， 由直线化为斜截式得：，所以该直线的斜率为2， 因为函数的曲线在处的切线与直线平行，故切线斜率等于2， 即，代入得：，解得； （2），得：， 由于，故， 当，则在上单调递增， 当，则在上单调递减, 所以在上单调递减，在上单调递增； （3）由（2）可知，在处取得极小值，也是定义域内的最小值， 计算得：， 当时，，故， 当时，，由于二次函数增长速度大于对数函数增长速度，故， 则有两个零点，需最小值小于0，即，解得， 即b得取值范围为. 16．（2026·高二·北京西城·期末）已知函数，，，且曲线在点处的切线斜率为0． (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，都有恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）， 因为曲线在点处的切线斜率为0， 所以； （2）函数的定义域为全体正实数， 由（1）可知：， 当时，解得，所以函数在上单调递增； 当时，解得，所以函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由（2）可知：函数单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的最小值为， 要想对任意，都有恒成立， 只需， 所以的取值范围为. 17．（2026·高二·甘肃定西·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恰有1个零点，求的取值范围； (3)若是增函数，求的取值范围． 【解析】（1）对求导得， 又，， 所以切线方程为，即. （2），显然是的一个零点. 要使恰有1个零点，需二次方程无实根， 所以，解得. 故的取值范围为. （3）若是增函数，则对任意，恒成立. 二次函数开口向上，故对应方程 ， 解得. 故的取值范围为. 18．（2026·高二·甘肃兰州·期末）已知函数，其中． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)求的极值； (3)若恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）当时，函数，定义域为， . 所以， 所以函数的图象在处的切线方程为； （2）因为，所以函数的定义域为， . 令，得. 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得极小值，极小值为. 故的极小值为，无极大值. （3）由（2）得的最小值为的极小值，为. 若恒成立，则，， 解得. 故的取值范围是． 19．（2026·高二·广东揭阳·期末）已知函数，. (1)若，求的单调性； (2)若存在两个极值点，求实数的范围. 【解析】（1）若，则函数，定义域为. 恒成立， 所以在上单调递增. （2）函数的定义域为. . 若存在两个极值点，有两个变号零点， 因为，所以方程有两个不等的正实数根，记为. 所以，解得. 故实数的范围是. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $