专题06 利用导数研究不等式能成立（有解）问题（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 专题06利用导数研究不等式能成立 内容概览 目常考题型精准突破 题型1分离变量法+导数求最值（重） (高频) 题型2分离变量法+隐零点求最值（重） 题型3分离变量法+切线放缩求最值（难） 题型4同构法（难) 题型5分类讨论法（难） 题型6最值定位法解决双参不等式问题（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1分离变量法+导数求最值 1. (2526高二下河南南阳期未)己知西数f)=m+r在x=1和 (1)求实数a,b的值： 使不等式f(x)≤c成立，求实数的取值范围。 1/15 上好每一堂课 (有解)问题 2处取得极值。 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26高二下福建三明期末)己知函数f(x)=xe. (1)求f(x)的极值： e若存在xe[ 使得f(x)sax2成立，求实数。的取值范围 3.(24-25高二下江苏徐州期末)已知函数f()=x+:(a为常数)， (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2》处的切线方程： 包不等式了≥1在x上有解，求实数a的取位范用 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4. (2526商二下河北衡水期中)已知函数f)=血x+名xa,beR,且f句)在-1和x=2处取得 极值. (1)求a,b的值： 使得不等式f()≤c成立，求实数c的最小值：参考数据：1n2≈0.69 5.(25-26高二下湖北荆州期中)已知函数f(x)=ae-x-4. (1)若f(x)在[0，刂上单调递增，求a的取值范围： (2)若关于x的不等式f(x)<x-l有解，求a的取值范围. 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2分离变量法+隐零点求最值 6.(25-26高二下山东泰安阶段检测)己知函数f(x)=ar+x(a∈R) (1)求函数8(x)=f()-(x-)x的极值： (2)当a=2时，不等式k(x-)>f(x)在x∈(L,+o)上能成立，求整数k的最小值. 7.(2425高三下河商阶段校)已知a0:函数问=：+h(低+刊在=1。处取得极值。 (1)求a: (2)证明：对任意的，n∈(0，+o),都有f(m+n)>f(m)+f(n): 3)若存在实数x>0,使得(k-2)x-1>f(x)成立，求k的最小整数值. 4/15 品学科网·上好课 www.zxxk.com 8.(24-25高三上贵州阶段检测)函数f(x)=ln(2x+)-4sinr」 (1)求f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： 2若存在x0引，使得似2a成立，求。的取值范国。 9.(24-25高三上·重庆开学考试)已知函数f()=xnx+ax+b在x (1)求函数f(x)的解析式： (2)若存在实数x>0,使得x>f(x+)成立，求整数k的最小值. 5/15 上好每一堂课 e3时取得极值，且满足f()=1. 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3分高变量法+切线放缩求最值 10.(25-26高二下·吉林长春期中)己知函数f(x)=e-a-1. (1)当a=1时，求f(x)在点(f()处的切线方程 (2)若f(x)≤x在x∈(0，+o)上有解，求实数a的取值范围. 11.(24-25高二下·安徽滁州阶段检测)已知函数f(x)=e-r-1. (1)当f(x)在(0,0)处的切线是y=0时，求f(x)的单调区间与极值： (2)若f(x)≤x在x∈(0，+o)上有解，求实数a的取值范围. 6115 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4同构法 12.(26-27高三上：陕西西安阶段检测)若方程c=aln(x-2)+alha-2a在xe(2,+o)上有解，则实数a 的取值范围是一 13.(25-26高二下安徽蚌埠阶段检测)已知函数f(x)=e-m-(2a+l)x-a.若存在x>-1,使得 f(x)<2成立，则a的取值范围为， 14.(2026四川遂宁·模拟预测)函数f(x)=e-nr+x2-ax(aeR) 1 ()当a=e+1时，求函数f(:)在2+的单调区间： (2)若存在x∈(0，+oo),使得f(x)≤0成立，求a的取值范围. 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5分类讨论法 15,(25-26高三下广东汕头·期中)已知函数/(x)=x+x-anx,meR (1)求函数f(x)的单调区间： 冈法在区同e=2718上存在点使得气+<an气 成立，求a的取值范围 16.(25-26高二下江西吉安期末)已知函数f(x)=x+alhx+1二 xa∈R' (1)当a=-1时，求函数f(x)的极值： 2)若f(x)在区间，©]上单调，且存在∈山，e,使得f(x)≤0，求实数a的取值范围. 17,(2425高三上陕西期中)已知函数f(x)=血r+4-L, (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点（山f(》处的切线方程： (2)若a>0,且存在∈(0，e],使得f(x)<-l成立，求a的取值范围. 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 18.(25-26高三上江苏宿迁·期末)己知函数f(x)=2-lnx (1)若x=1是f(x)的极小值点，求a: (2)若存在x∈(0，+o）,使f(x<x,求a的取值范围. ◆题型6最值定位法解决双参不等式问题 9115 上好每一堂课 a∈R. 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(26-27高三上重庆沙坪坝开学考试)已知函数f(x)=3-lnx,g(x)=x3-x2. (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)若，∈[2,3]满足f(x)>g(:),求实数a的取值范围. 20.(25-26高二下·云南文山阶段检测)已知函数f(x)=e-x-1,g(x)=alnx-x. (1)求f(x)的极值： (2)若h(x)=f(x)-8(x)在山，5]上单调递增，求实数a的取值范围； 当。o时若对流的，总衣在5，使行代)5g6求实致。的服检范回。 10/15 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.己知函数f()=ae-4,g()=lhx-x-l,其中e为自然对数的底数，aeR,若对任意的∈(0，， 总存在x∈(0，刂，使得f(G)≥g(),求a的取值范围 22.(25-26高三上北京阶段检测)己知函数f(x)=cr+lhx(a∈R). (1)若a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率： (2)求f(x)的单调区间： 3)设8()=2-2x+2,若对任意x∈(0，+∞），均存在∈[0，，使得f()<8(),求a的取值范围。 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(2526高三上宁复吴忠阶段检)测已知函数f()-r+(a-x-hx.acR. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(，f()处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性： 设>1西数8()=hx+子，对于xe小d,,2,使得f产5求实数的取值范 围 综合攻坚：知能拔高 1.(25-26高二下全国课后作业)已知函数f()=XCOSX-sinx,若存在实数x∈[0,2π]，使得f(x)<t成 立，则实数的取值范围是() A.（o,-π) B.（-元，+o) C.（-π，2π) D.(2π，to) 2.(26-27高三·全国一轮复习)己知函数f)=xhx+a,存在x∈(0，+o),使得f()≤0能成立，则a 的取值范围为() A.asl B.a≤0 C.a≤e D.asl e 3.(25-26高二下安徽安庆期未)已知函数f(x)=nx+3-x-} 4x42,g(x)=x2-4x+1,若对任意的 -x- 12/15 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x∈(0,2]，存在x2∈[0,2]，使f:)≥g(),则实数t的取值范围是() A.（-0,4] B.(-o,1] C.（-o,0] D.（-0,-川 4.(2026-江苏扬州-模拟预测)已知函数f(x)=x之-(a+2)x+hx,其中aeR.若存在x∈[l,+o),使 f(x)<a成立，则a的取值范围是() c.( （9o 5.（2526有二下重庆期中)已知函数f)=8mx+a,g(冈=x+nr,若∈0，eLd使得 f(x)≥g(x),则实数a的取值范围为 6.(2025高三下甘肃白银学业考试)己知函数f()=mr-e,若存在x∈R,使得f(x)≥x成立，则m 的取值范围为 7. (24-25高二下河南南阳期末)已知函数f()=xe,g(x)=alnr-x(a<0),若对任意的x∈[l,3], 总在[ 使得f(x)sg(),则。的取值范围是 8.(24-25高二下河北石家庄阶段检测)设函数f)=3-4+ ,函数g(x)=x2-2br+1,若对于 x∈[山，2]，3x,∈[0，，使f(:)≥g(:)成立，则实数b的取值范围是 9.(24-25高二下江西宜春期中)若不等式x2-2血x+m≤0有解，则实数m的取值范围为 10.(25-26高二下黑龙江齐齐哈尔阶段检测)已知存在x∈(0，+o)使不等式e-x≤lnx+2m+3成立， 则m的取值范围为 11.(2026辽宁·模拟预测)已知函数f(x)=e"cosx,g(x)=sinr+1. a求f问在Q)内的单调性， 2若存在x名0， 使得f(x)-ag(x)≥0，求实数。的取值范围： 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26高三下·甘肃武威阶段检测)已知函数f(x)=2-2(x-)e. (1)若a=e,求f(x)的极值： (2)若a>1,且3，∈(0，+oo),使得f(x)≥2a,求实数a的取值范围. 13.(25-26高二下·黑龙江哈尔滨期中)己知函数f(x)=山x-a(a∈R)」 (1)讨论f(x)的单调性： (2)当a>0时，若关于x的不等式f(x)≥0在x∈(0，+o)有解，求a的取值范围. 14115 函学科网·上好课 www.zxxk.com 14.(25-26高三上重庆开学考试)已知函数f()=e-x. (1)当a=1时，求f(x)在点（，f()处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间： 3)若3x∈[-l,,使f(x)≥3成立，求a的取值范围. 15/15 上好每一堂课 专题06 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 常考题型·精准突破 题型1 分离变量法+导数求最值 （重）（高频） 题型2 分离变量法+隐零点求最值 （重） 题型3 分离变量法+切线放缩求最值 （难） 题型4 同构法（难） 题型5分类讨论法（难） 题型6最值定位法解决双参不等式问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1分离变量法+导数求最值 1．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知函数在和处取得极值． (1)求实数，的值； (2)若，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，根据极值点有列方程组求参数值； （2）问题化为上，利用导数求函数的最小值，即可得. 【详解】（1）函数的定义域为，则， 由在，处取得极值，即，解得； （2）若，使得不等式成立，则只需， ， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 在处取得极小值，即， ， 实数的取值范围是. 2．（25-26高二下·福建三明·期末）已知函数. (1)求的极值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的极值； （2）将不等式进行变形，构造新函数，通过求函数的最值确定实数的取值范围. 【详解】（1），， 令，， ，， ，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）存在，使得成立， 即在上有解， 即在上有解， 令，， ，， ，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值，即最小值为. 因为在上有解，所以， 所以实数的取值范围为. 3．（24-25高二下·江苏徐州·期末）已知函数（a为常数）， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的意义可得； （2）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性和最值可得. 【详解】（1）当时，，， ，，         曲线在点处的切线方程． （2）在上有解在上有解， 在上有解，         令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，     因为，，     所以当时，取最小值，，         所以，故实数a的取值范围是． 4．（25-26高二下·河北衡水·期中）已知函数，且在和处取得极值. (1)求，的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的最小值.参考数据：. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题知，， ，解得 经检验，当，时，，是极值点，符合题意. 所以，. （2）由（1）问知，. 由可解得或， 又因为，所以当和时，，单调递增；当时，，单调递减， 因为存在使得成立，故，且，. 由，可得. 所以在上的最小值为，所以， 即实数的最小值为. 5．（25-26高二下·湖北荆州·期中）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由原函数在区间上单调递增，转化为导函数大于等于0恒成立问题，分离参数后求最值； （2）将不等式有解转化为存在性问题，分离参数后求对应函数的最大值，即可确定参数范围. 【详解】（1）函数，求导得：， 在上单调递增，等价于对任意恒成立， 即，. 由于在上单调递增，所以在上单调递减，所以， 最大值为，则，所以的取值范围为． （2）由有解，即， 化简可得有解． 令，则， 令，得，即； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值： ， 所以，故的取值范围为． ◆题型2分离变量法+隐零点求最值 6．（25-26高二下·山东泰安·阶段检测）已知函数. (1)求函数的极值； (2)当时，不等式在上能成立，求整数k的最小值. 【答案】(1)当时，无极值；当时，极大值为，无极小值. (2)5 【分析】（1）将函数 代入 中，并对 求导，讨论导函数的正负即可得到 的单调性，进一步求函数极值； （2）参变分离，可将不等式转化为 在对任意 能成立，令，则 ，求出 即可. 【详解】（1）依题意可得 ，所以 . ① 若 在 单调递增; ②若 ，令 ，则 ， 当 时， 在 单调递增， 当 时， 在 单调递减， 所以当时，无极值； 当时，存在极大值，无极小值. （2）当 时， . 因为 ，所以原不等式可化为 ， 即 在 能成立. 令 ，要使原不等式能成立，即 ， 则 ，令 . 则 ，所以 在 上单调递增. 因为 ， 所以，使 ，即 ， 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 . 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 由 ，得 ， 得到 所以 ，因为 ，所以 . 7．（24-25高三下·河南·阶段检测）已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 【答案】(1) (2) 对任意的m，，设，则， 由（1）知，则在上单调递增， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故． (3)5． 【分析】（1）先求导，由在处取得极值，得解出验证即可； （2）设，验证的单调递增，即有，即可得证； （3）存在实数，使得成立，即成立．构造函数，即求即可. 【详解】（1）， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得． 经验证当时，在处取得极小值，符合题意， 故． （2）略 （3）存在实数，使得成立，即成立． 令，，则，， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增． 又，， 故存在唯一的，使得，即． 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得， 故k的最小整数值为5． 8．（24-25高三上·贵州·阶段检测）函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义计算可得； （2）求出函数的导函数，令，，利用导数说明函数的单调性，从而得到的单调性，求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 则，又， 所以在处的切线方程为； （2）因为，， 令，，则， 因为在上单调递增，，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， ，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 又，，所以， 所以，即的取值范围为． 9．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数在时取得极值，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若存在实数，使得成立，求整数的最小值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）求出函数的导数，结合题意列出方程，即可求得答案； （2）将原问题转化为恒成立，令，，利用导数求解函数最值，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知的定义域为，， 由于函数在时取得极值，且满足， 故，且， 解得，则， 经验证函数在时取得极小值，适合题意 故； （2）由题意存在实数，使得成立， 即恒成立； 令，，则， 令，则在上恒成立， 故在单调递增， 又， 故存在唯一的使得，即， 则当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得，故整数的最小值为5. ◆题型3分离变量法+切线放缩求最值 10．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导求出切线的斜率，代入函数值，根据点斜式方程求出切线方程； （2）将不等式有解问题转化为求函数最值问题，通过构造函数，对其求导，分析函数的单调性，进而求出函数的最值，从而得出实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， ，， ，即, 所以在点处的切线方程为. （2）若在上有解， 即在上有解，即有解， 令，， 令，， ，, 在上单调递增，， ，，，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在处取得极小值，即最小值， . 所以.实数的取值范围为. 11．（24-25高二下·安徽滁州·阶段检测）已知函数. (1)当在处的切线是时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)减区间，增区间，极小值，无极大值. (2) 【分析】（1）根据切线求得，利用导数求得的单调区间与极值. （2）由不等式分离参数，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】（1）， 若在处的切线是， 则， 则， 令，得，令，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 且在处取得极小值，无极大值. （2）依题意，①在上有解， ①可化为， 设， ， 由（1）知，当且仅当时函数值为， 所以当单调递减； 单调递增； 所以， 所以的取值范围是. ◆题型4同构法 12．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）若方程在上有解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】将方程整理成，利用同构思想，设，求导判断其单调性，推得，设，判断其单调性确定其最小值，即得参数的范围. 【详解】由得， 即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增， 所以，即， 设，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围是. 13．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知函数．若存在，使得成立，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】 ， 若存在，使得成立，则有解， 所以有解， 令，因为，所以，即有解． 令，则有解， ，令 ，则 ， 因为，所以， 当时， ， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以恒成立，与有解矛盾，不符合题意； 当时，令 ，则 ．又在上单调递增， 所以当 时，，所以在上单调递减， 因为，所以在区间上， 因此在上单调递减，又，故存在，使得．综上，． 14．（2026·四川遂宁·模拟预测）函数． (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）求导后，判断导数正负即可得该函数单调区间； （2）由题意可得在上有解，即可构造函数，结合导数得到该函数最小值即可得解. 【详解】（1）当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为， 所以当时，，时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是； （2）由不等式，可得， 故当时，， 因为存在，使得成立， 即在上有解， 令，则有解， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增， 所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. ◆题型5分类讨论法 15．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若在区间上存在一点，使得成立，求a的取值范围. 【答案】(1)当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为 (2) 【分析】 (1)    利用导函数的正负讨论函数的单调性； (2)    先将变形后转化为求函数在区间上的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为. ， ①当，即时， 因为当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 因为当时，，故在上单调递增. 综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为. （2）在上存在一点，使得，即， 也就是在上存在一点，使得， 即函数在上的最小值小于零. 由（1）可知：①当，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由，可得. 因为，所以. ②当，即时，在上单调递增， 所以的最小值为，由，可得. ③当，即时，可得最小值为， 因为，所以， 故，此时，不成立. 综上讨论可得所求的范围是：. 16．（25-26高二下·江西吉安·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)若在区间上单调，且存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）代入参数值，求导求得函数极值； （2）求出导函数并因式分解，转为求更简单的函数值域，利用函数单调性求的初步范围， （3）利用存在性条件和函数最值进一步缩小的范围得出结论. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则，，， 当时，，则，单调递减， 当时，，则，单调递增， 故时，有极小值：，没有极大值. （2）， 在区间上单调，在上不变号，此时，， 令，则在上，恒成立或恒成立， 若在区间上单调递增，则恒成立， 即在上恒成立，即， 若在区间上单调递减，则恒成立， 即在上恒成立，即. 则当时，因在上单调递增，， 令，解得，故得； 当时，因在上单调递减，， 令，即，也即， 比较和大小： ，且，， . 故实数a的取值范围是. 17．（24-25高三上·陕西·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）求导，可得函数的单调性，进而对与的大小讨论，即可分类求解. 【详解】（1）当时，，有，由，有， 故曲线在点处的切线方程为． （2），其中，， 时，，时，, 故在上单调递减，在上单调递增. 若，则时，，不符合题意； 若，则时，， 由题意，有，即， 因为，有，即，得， 故的取值范围是． 18．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知函数，. (1)若是的极小值点，求； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可知，解得，代入并检验即可； （2）法1：将原命题否定可得在恒成立，探求成立的必要条件并证明即可； 法2：将不等式变形为有解的问题，构造函数，并求出在上的最大值为，可得结论； 法3：构造函数并求导，得出的最小值并使其小于零，结合不等式性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 因为是极值点，所以，即，， 此时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以是极小值点， 综上，. （2）法1： 研究命题的否定，即，， 所以，解得（成立的必要条件）， 下面证明：时，在恒成立. 因为， 令，则， 所以在递减，在递增， 所以，即证. 所以，使得，则. 法2： 由题意，有解， 令，所以， 设， 因为，所以在上单调递减，且. 所以，；，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为， 所以. 法3： 由题意，在有解， 令，则， ①当时，则，满足题意； ②当时，因为存在使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值. 因为，所以. 令，所以， 所以在上单调递减，且， 所以的解为. 因为，所以； 综上，. ◆题型6最值定位法解决双参不等式问题 19．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可. （2）满足等价于，根据导数与单调性及最值的关系求出，待求问题化为当时，；结合（1）中导数与单调性及最值的关系列不等式分类讨论计算即可. 【详解】（1）的定义域为，. 当时，，单调递减. 当时，令，则，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）满足等价于. 对于，. 当时，，单调递增，所以. 故原问题可转化为，当时，. 由（1）知，的极值点为. ①当时，，在上单调递增，. 由，得. ②当时，，在上单调递减，. 由，得. 因为，此时无解. ③当时，，在上单调递减，在上单调递增. 则. 若，则，矛盾； 若，则，矛盾，故无解. 综上，实数的取值范围为. 20．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在上单调递增，求实数 的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数 的取值范围． 【答案】(1)极小值0，无极大值 (2) (3) 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【详解】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增． 因为时，，所以在上单调递减． 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得， 由在单调递增，得在上恒成立， 即在上恒成立， 因此，． 设，，， 则在上单调递增，于是， 即， 所以的取值范围为． （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，． 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得． 由，得，函数在上单调递减， 则． 因此，解得， 所以 的取值范围为． 21．已知函数，，其中为自然对数的底数，,若对任意的..，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】 【分析】分析可得，利用导数分析函数在区间上的单调性，求出，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，求出，可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围 【详解】对任意的，总存在，使得，则， 因为， 则对任意的恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 则. 因为， 所以当时，，不满足，故； 当时，在上单调递增， 所以， 即，解得； 当时，在上单调递减， 当x趋于时，趋于, 由,解得,与矛盾，故舍去； 综上，的取值范围为.. 22．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (3) 【分析】（1）根据导数几何意义直接求解即可； （2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到结论； （3）将问题转化为，由二次函数性质可求得，采用参变分离的方式可得，利用导数可求得的最小值，进而得到结果. 【详解】（1）当时，，则， ，在处切线的斜率为. （2）由题意知：的定义域为，， ①当时，，，， 在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 23．（25-26高三上·宁夏吴忠·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设，函数，对于，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 当时，的减区间为，无增区间， 当时，的增区间为，减区间为； (3). 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用分类讨论研究导数区间符号，进而确定单调区间； （3）问题化为在，成立，利用导数分别求出两函数在给定区间内的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）当时，得， 则曲线在点处的切线斜率为且， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）由题设且， 当时在上单调递减； 当时，令， 当时在区间上单调递减， 当时在上单调递增， 综上， 当时，的减区间为，无增区间， 当时，的增区间为，减区间为； （3）由题设，对于，，使得， 所以在，成立， 由（2）知，当时，则在上单调递增，则， 由，，则在上单调递增，则， 只需. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为存在实数，使得成立，所以当时， ， 当时，令得或或， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 - 0 + 0 0 ↘ 极小值 ↗ 由表可知当时，取到时的极小值也是在区间上的最小值，且，故． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，存在，使得能成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导确定函数的单调区间，得到最小值点，代入最小值并令其小于等于，解出参数的取值范围. 【详解】由题意只需即可，，令得， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故， 所以，解得． 3．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由已知条件得到，其次利用导数求得，利用二次函数的性质求得，最后解出实数的取值范围. 【详解】若对任意的，存在，使，则. 由已知得， 可知，当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 故当时，. 因为函数的对称轴为， 所以在上单调递减， 所以当时，. 于是，解得. 4．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知函数，其中．若存在，使成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件不等式变形后分离参数，根据分离参数所得不等式构造函数，再利用导数求解出所构造函数的最小值，则的范围可知. 【详解】由题意可知，变形得， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以存在使得， 令，故只需要让， 因为，令， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以， 又，因此，所以在上单调递增， 故，故． 5．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据题意可得，再利用导数结合函数单调求出最值，然后解不等式即可． 【详解】若使得， 则，， 时，，则在上单调递增， ， 又在单调递增，所以， ，解得， 则实数a的取值范围为． 6．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）已知函数，若存在，使得成立，则m的取值范围为_______. 【答案】 【分析】的问题转化为，讨论的符号，分离参数处理即可. 【详解】由可得，下对的范围分情况讨论： （1）当，，即，不成立； （2）当，由可得， 设，则， 则在上单调递增，显然， 即时，， 于是，由于在时有解， 则，即； （3）当，由可得， 设，则， ，， 则在上递减，在上递增， 又， 而时单调递减，但注意到， 于是在上的值域为， 于是，由于在时有解， 则，即. 综上所述，. 故答案为： 7．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题意知利用导数分别求出、的最大值得到不等式即可得解. 【详解】因为对任意的，总存在，使得， 所以，， 令，得或（舍去）. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故； ，则，因为， 所以在上恒成立， 则在上单调递减，， 所以，故. 故答案为： 8．（24-25高二下·河北石家庄·阶段检测）设函数，函数，若对于，使成立，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】由题意只需，对函数求导，判断单调性求出最小值，对函数讨论对称轴和区间的关系，得到函数最小值，利用即可得到实数的取值范围. 【详解】若对于，，使成立，只需， 因为，所以， 当时，，所以在上是减函数， 所以函数取得最小值． 因为， 当时，在上单调递增，函数取得最小值，需，不成立； 当时，在上单调递减，函数取得最小值，需，解得，此时； 当时，在上单调递减，在上单调递增，函数取得最小值，需，解得或，此时无解； 综上，实数的取值范围是， 故答案为：. 9．（24-25高二下·江西宜春·期中）若不等式有解，则实数的取值范围为___________. 【答案】. 【分析】将不等式有解转化为，然后构造函数，利用导数求得其最大值，即可得到结果. 【详解】由不等式有解，可得， 令， 则， 令，解得或（舍去）， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 且，所以. 所以的取值范围为. 故答案为：. 10．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知存在使不等式成立，则m的取值范围为__________． 【答案】 【分析】将不等式转化为，令，，求导判断函数的单调性，推得，结合题意，可得，求解即得. 【详解】由， 令，， 则， 设，可得 则函数在上单调递增， 又由， 则函数在上存在唯一零点， 即，即， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 则当时，函数取得最小值， 为， 由题意，存在成立，需使， 所以，即. 11．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减． (2) 【分析】（1）利用函数导数与单调性分析求解即可； （2）将问题转化为等式成立问题，构造新函数结合函数导数与单调性、函数导数与最值分析求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． （2）若存在，使得， 即存在，使得成立， 因为时，，故存在，使得， 令，其中， 则， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故， 所以实数的取值范围为：. 12．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值为2，极大值为． (2) 【分析】（1）求导得到导数零点，判断单调性，确定极值点并计算极值; （2）求导得出是函数在上的最大值点，将问题转化为最大值不小于并解不等式即可. 【详解】（1）依题意，． 令，解得或． 故当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以的极小值为，极大值为． （2）依题意，．因为， 令，解得，当时，，单调递增， 当时，单调递减． 故当时，取得极大值，也是最大值， 则，即，整理得，解得， 故实数的取值范围为． 13．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若关于x的不等式在有解，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. (2) 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，且， 当时，则，可知在单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 可知在单调递增，在单调递减； 综上，当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. （2）由（1）可知：当时，在单调递增，在单调递减， 则， 若关于x的不等式在有解，则0，解得， 所以实数a的取值范围为 14．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若，使成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (3)或. 【分析】（1）需要先求出函数在切点处的导数，即切线斜率，再结合切点坐标得到切线方程； （2）通过对函数求导，分类讨论，根据导数的正负来判断； （3）需要分情况讨论函数在给定区间上的最值情况. 【详解】（1）当时，，对求导得. 则， 又，所以切点为，     所以切线方程为，即. （2）对求导得. 当时，，所以在上单调递减. 当时，令，即，，，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）在有解，即当时，， 当时，由（2）知函数在上的最大值在端点处取得. 此时，， 所以或，得或 ， 又，所以舍去，所以. 当时，函数在上单调递减，那么最大值在处取得. 此时， 所以，得. 综合两种情况，可得的取值范围为或. . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $