周周测14 5.1-5.2导数的运算（数学苏教版选择性必修第一册）

2026-2027学年高二上学期数学周周测14 5.1-5.2导数的运算 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】将题给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【解答过程】因为，即， 即，则. 故选：A. 2．已知函数在上的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】求导，通过赋值即可求解； 【解答过程】由， 求导可得：， 令，可得， 所以， 故选：A. 3．已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别作出函数在的切线，进而得到的大小关系. 【解答过程】分别作出函数在的切线， 则 则有.    故选：B. 4．函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求导，代入得切线斜率，利用点斜式，写出切线方程. 【解答过程】依题意，， 因为， 所以，所以切线方程为， 即， 故选：D. 5．函数的导数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】D 【解题思路】根据已知，利用函数的求导公式以及函数的奇偶性、函数值进行排除. 【解答过程】因为，所以， 令，，则， 所以函数是奇函数，故A，C错误； 又，故B错误. 故选：D. 6．已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【解答过程】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．下列结论中，正确的是（  ） A． B．若，则 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据初等函数的导数逐一判断即可. 【解析】A：因为，所以，因此本选项不正确； B：由，所以，因此本选项正确； C：因为，所以本选项正确； D：因为，所以本选项正确， 故选：BCD 8．给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给出的导数新定义逐项判断即可. 【解析】对于A：，，， 则在上恒有，故A正确； 对于B：，，， 则在上恒有，故B正确； 对于C：，，， 则在上恒有，故C正确； 对于D：，，， 则在上恒有，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．设为函数的导函数，若，则 ． 【答案】4 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】由题意可得，令，分别求出、即可求解. 【详解】由题意知，令，则， ，令， 则，解得， 所以. 故答案为：4. 10．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是____________ 【答案】 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，确定，化简可得，结合题意有，解不等式即可求出的取值范围. 【解析】令，则有，设过点作曲线的切线， 切点为，根据题意有，即， 又，可得，因为，所以上式可化为 ，整理有：，因为过点可以作曲线 的两条切线，所以方程有两解，所以，即， 解得或. 故答案为： 故答案为：. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)， (2)或 【解题思路】（1）求导结合曲线在点处的切线方程为，可得，结合，可求； （2）设曲线与过点的切线相切于点，求得切线方程为，利用点在切线上，可得，求解即可求切线方程. 【解答过程】（1），，由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有，； （2）曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，所以切线方程为， 即，因为点在切线上，所以， 解得或，故所求的切线方程为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测14 5.1-5.2导数的运算 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 2．已知函数在上的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 3．已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 4．函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．函数的导数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．     6．已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．下列结论中，正确的是（  ） A． B．若，则 C． D． 8．给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（  ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．设为函数的导函数，若，则 ． 10．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是____________ 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测14 5.1-5.2导数的运算 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】将题给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【解答过程】因为，即， 即，则. 故选：A. 2．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基本初等函数的求导公式即可解答. 【解答过程】对于选项A， 故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误； 故选：C. 3．已知函数在上的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】求导，通过赋值即可求解； 【解答过程】由， 求导可得：， 令，可得， 所以， 故选：A. 4．已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别作出函数在的切线，进而得到的大小关系. 【解答过程】分别作出函数在的切线， 则 则有.    故选：B. 5．函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求导，代入得切线斜率，利用点斜式，写出切线方程. 【解答过程】依题意，， 因为， 所以，所以切线方程为， 即， 故选：D. 6．函数的导数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】D 【解题思路】根据已知，利用函数的求导公式以及函数的奇偶性、函数值进行排除. 【解答过程】因为，所以， 令，，则， 所以函数是奇函数，故A，C错误； 又，故B错误. 故选：D. 7．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（  ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据导数的几何意义及切点在曲线上建立等式得出，，代入化简整理即可求解. 【解答过程】由可得：； 由可得：. 由曲线在点处的切线与曲线相切于点， 得，， 则. ， 所以，整理得：， 结合，可得：. 故选：B. 8．已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【解答过程】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列结论中，正确的是（  ） A． B．若，则 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据初等函数的导数逐一判断即可. 【解析】A：因为，所以，因此本选项不正确； B：由，所以，因此本选项正确； C：因为，所以本选项正确； D：因为，所以本选项正确， 故选：BCD 10．给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给出的导数新定义逐项判断即可. 【解析】对于A：，，， 则在上恒有，故A正确； 对于B：，，， 则在上恒有，故B正确； 对于C：，，， 则在上恒有，故C正确； 对于D：，，， 则在上恒有，故D错误. 故选：ABC. 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记.若是奇函数，且且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数奇偶性，结合方程组法计算可得和，结合可得，进而逐项分析判断即可. 【详解】对于A，因为是奇函数，则， 求导可得，即， 又因为，则， 即，可得，故A正确； 对于B，联立方程，解得，， 则，可得，解得， 所以，， 因， 当且仅当，即时，等号成立，即，故B错误； 对于C，由，得，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设为函数的导函数，若，则 ． 【答案】4 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】由题意可得，令，分别求出、即可求解. 【详解】由题意知，令，则， ，令， 则，解得， 所以. 故答案为：4. 13．已知函数，则曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】求导，求出，，根据斜率和切点即可写出切线方程. 【详解】由已知， 则，又，即切点为， 所以曲线在处的切线方程为. 故答案为：. 14．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是____________ 【答案】 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，确定，化简可得，结合题意有，解不等式即可求出的取值范围. 【解析】令，则有，设过点作曲线的切线， 切点为，根据题意有，即， 又，可得，因为，所以上式可化为 ，整理有：，因为过点可以作曲线 的两条切线，所以方程有两解，所以，即， 解得或. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) ． (4) 【解题思路】（1）根据导函数的基本公式和加法法则求解即可． （2）根据导函数的基本公式和复合函数求导法则求解即可. （3）方法一：根据乘法法则求解即可；方法二：先化简函数，再根据导数运算法则求解即可. （4）结合导数运算法则，根据复合函数求导法则求解即可. 【解答过程】（1）由得． （2） ． （3）方法一： ． 方法二：因为 ， 所以 ． （4）令， 则 ， 所以 ． 16．（15分） 已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【解答过程】（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 17.（15分） 已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)， (2)或 【解题思路】（1）求导结合曲线在点处的切线方程为，可得，结合，可求； （2）设曲线与过点的切线相切于点，求得切线方程为，利用点在切线上，可得，求解即可求切线方程. 【解答过程】（1），，由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有，； （2）曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，所以切线方程为， 即，因为点在切线上，所以， 解得或，故所求的切线方程为或． 18.（17分） 已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，先求导数得到切线的斜率，利用点斜式可得方程； （2）先求两个函数的导数，利用公切线建立等量关系，求解方程可得答案. 【解答过程】（1）当时，，，. 曲线在处的切线方程为，即. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，. 曲线在点A处的切线为， 与曲线相切于点， 则且（*）， 由，则， 代入（*）得， 解得或. 当时，直线.当时，，直线. 故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或. 19.（17分） 小明同学是班上的“数学小迷精”，高一的时候，他跟着老师研究了函数当时的图像特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼，感觉颇有趣味.后来，他独自研究了函数当时的图像特点与基本性质，发现这类函数在轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”.现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数：和.得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下两个问题，请你解答： (1)当，时，经过点作曲线的切线，切点为.求证：不论p怎样变化，点总在一个“双升双降函数”的图像上； (2)当，，时，若存在斜率为的直线与曲线和都相切，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1) 先把，代入的方程，然后求出在点处的切线方程，再把点代入切线方程，可得点坐标满足，即可证明结论.(2)先根据斜率为分别求出直线与曲线和的切点，再把的坐标代入直线的斜率公式,从而得到的关系式，代入消去，用基本不等式即可求的最小值. 【解析】（1）当，时，，， 设，切线方程为， 代入，得，又因为， 于是可得， 即点P在“双升双降函数”的图像上. （2）当，时，， ，， 设曲线在点处的切线斜率为， 则，所以，则， 设曲线在点处的切线斜率为， 则， 所以，点， 所以直线的斜率， 所以， 由于， 所以（当且仅当时取等号） 所以，的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测14 5.1-5.2导数的运算 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 2．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在上的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 4．已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 5．函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．函数的导数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．     7．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（  ） A．-1 B．1 C． D． 8．已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列结论中，正确的是（  ） A． B．若，则 C． D． 10．给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（  ） A． B． C． D． 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记.若是奇函数，且且，则（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设为函数的导函数，若，则 ． 13．已知函数，则曲线在处的切线方程为 . 14．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是____________ 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（15分） 已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 17.（15分） 已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 18.（17分） 已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 19.（17分） 小明同学是班上的“数学小迷精”，高一的时候，他跟着老师研究了函数当时的图像特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼，感觉颇有趣味.后来，他独自研究了函数当时的图像特点与基本性质，发现这类函数在轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”.现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数：和.得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下两个问题，请你解答： (1)当，时，经过点作曲线的切线，切点为.求证：不论p怎样变化，点总在一个“双升双降函数”的图像上； (2)当，，时，若存在斜率为的直线与曲线和都相切，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $