期中复习压轴题专练——综合与探究 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

八年级期中复习压轴题专练 1．（25-26八年级上·山西晋中·期中）综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图1，两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，能得到4个等腰直角三角形，这4个三角形可以拼成一个大正方形，所得大正方形的边长为． (1)如图2，现有一张的长方形纸片，尝试分割这张纸片，拼接成一个大正方形，要求不重叠，且无空隙．如果可以，请你仿照图1在纸片上用虚线画出分割方法，并在网格中画出大正方形的拼法，使它的四个顶点均位于网格的格点上，然后写出所得正方形的边长；如果不可以，请说明理由． (2)请从以下两题中任选一题作答，我选择 题． 按照上述方法，让我们尝试其他图形的分割： A．如图3，是由个小正方形组合得到的两种图形，请你选择一个组合图形尝试分割，将其拼接成一个大正方形，要求不重叠，且无空隙．如果可以，在组合图形上用虚线画出分割方法，并在网格中画出大正方形的拼法（使它的四个顶点均位于网格的格点上），然后写出所得正方形的边长；如果不可以，请说明理由． 若选择A题作答，我选择完成图3中的组合 ． B．请直接写出当组合图形中小正方形的个数满足什么条件时，可以通过分割拼接得到大正方形（不重叠，且无空隙），并使得大正方形的四个顶点都能画在网格纸的格点上． 3．（25-26八年级上·山西太原·期中）综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们对具有特殊结构特征的三角形进行探究．求真小组给出了“底倍高三角形”的定义：如果一个三角形中，有一边等于这边上高的倍，那么称这个三角形为底倍高三角形，这条边叫做“倍底边”．请根据这一定义解决他们提出的如下问题． 概念理解：（1）如图1，是一个底倍高三角形，其中，边为倍底边．若，则 ， ； （2）如图2，中，，，．小颖判断是一个以为倍底边的底倍高三角形，她的结论正确吗？说明理由； 探索运用：（3）如图3，已知线段，点是平面内一点，且是一个以线段为倍底边的底倍高三角形．若的面积为，，请直接写出中边的长． 4．（24-25八年级上·山西太原·期中）综合与探究 问题情境：实践课上，同学们尝试探索在不剪断铁丝且不浪费材料的前提下，能否将一段铁丝弯折围成符合要求的三角形．如图1，同学们将细铁丝抽象为线段，在线段上取点，，沿点，弯折，使，两点重合（记为）． 特例分析：（1）如图2，已知，（图中每相邻两点间的距离为1个单位长度）．请你确定点的位置，使沿点，弯折后围成的是直角三角形（要求：标出点的位置，画出围成的的示意图，并在图中标明直角符号和的三边长，画出一种即可）； 拓展探究：（2）如图3，已知点是线段上的一点，其中，同学们为解决问题，过点作射线于点．请你借助射线，用尺规确定点的位置，使沿点，弯折后围成的是直角三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，作出点所有可能的位置，并作出相应的，标明直角符号，不写作法．注： 同一点的位置处只画一个） 5．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）． 　 (1)求证：． (2)若为等腰三角形时，求的值． (3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______． 6．（25-26八年级上·山西晋中·期中）综合与实践 数学兴趣小组用一张长为5，宽为4的长方形纸片（如图1）进行探究活动． 动手操作 如图2，嘉嘉沿虚线裁剪，将该纸片剪成①②③三块，并按图3拼成与原纸片面积相等的正方形．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） （1）根据拼接前后面积不变，可知正方形的面积为__________，进而可得线段的长为__________； 深入探究 （2）观察图2和图3中的③号图形，可知__________（填“”“”或“”），求出线段的长； 创新实践 （3）淇淇说：“将图1的纸片沿着，的中点G，H剪成四块，也可以拼成正方形．”请根据淇淇的说法设计一种方案，在图4上用虚线画出裁剪线并标注裁剪线的长度． 7．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与探究 【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片，按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在中，，于点，，． ①请计算线段的长； ②在图3的基础上，取边上的点，连接，使得，得到图4．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，请直接写出的长． 8．（24-25八年级上·山西晋中·期中）综合与实践： 无需语言的证明又称无字证明（proof without words，简称PWW），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．事实上，无字证明并非新概念，它拥有丰厚的历史，可追溯到古希腊与古代中国时期，如图1就是我国汉时东吴数学家赵爽利用几何图形的截、割、拼、补方法创制的一副“无字证明”图形，后人称它为“勾股弦图”．其中四个直角三角形较长的直角边长都为a，较短的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出一个代数式之间的恒等关系，也是一个很重要的定理． 任务一：我会表达 赵爽“无字证明”的方法中体现了______的数学思想．由此图可以推导出你学过的______定理，该定理的内容是____________； 任务二：我会探索 课后，同学们积极探索其它的无字证明方法．某同学提出了一种证明方法：如图2，点B是正方形中边上一点，连接，得到，三边分别为a，b，c，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学结合图2、图3图形的面积不变验证了此定理．请你写出该方法验证的过程． 任务三：我会应用 如图所示，在学校的墙上有一个监控摄像头，装在离地面的墙上，任何东西只要移到离该监控及内的位置，该监控就会自动进行记录．若小颖身高，则她刚好走到离墙几米的地方监控就会开始自动记录． 9．（25-26八年级上·山西运城·期中）数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究． (1)如图，四边形中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由； (2)创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积． 10．（25-26八年级上·山西晋中·期中）下面是小颖同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如何画长为（，且n为整数）的线段 【尝试·思考】 如图1，方格纸中每个小方格的边长均为1．点A，B，C为格点，以点A为圆心，AC长为半径画弧交网格线于点D，则线段BD的长为①_____．   【观察·思考】 在尝试中，发现： ；；；；… 【回顾·反思】 可能为有理数，也可能为无理数．当为无理数时，以一条直角边长为n（，且n为整数），斜边长为②_____构建直角三角形，则另一条直角边长为． 任务： (1)补全以上笔记：①______；②_______； (2)请在图2的方格纸中画出一条长为的线段；（不写画法，保留画图痕迹）    (3)通过以上【回顾·反思】发现：如果三条线段长分别为n，，②____（，且n为整数），那么这三条线段组成的三角形是直角三角形．请说明理由； (4)阅读以上笔记并完成相应任务后，你有什么反思？（写出一条即可） 11．（25-26八年级上·山西太原·期中）下面是小涵学习《一次函数》之后的数学思考，请认真阅读并完成相应的任务 数形结合探究函数的性质通过一次函数的学习，我们知道从表达式的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数时，分析如下： 图象的几何特征 表达式的数量特征 正比例函数    图象经过原点 由表达式可知，当时，． 图象经过第①象限 因为，当时，，即； 当时，，即． 所以，当时，x与y的取值同为正数或②． 从左往右图象为上升趋势 设点，是函数图象上的点（其中）． 所以，，， 因为，所以，． 因为，即，所以，y的值随x值的增大而③． 学习平方根时，我们还知道：对于任意给定的非负数x，都能确定它的算术平方根y的值．我尝试用函数的观点研究y与x的关系，过程如下： 第一步：写出y与x之间的函数表达式为； 第二步：画出函数的图象，如图；   第三步：类比研究正比例函数的方法， 分析函数的性质，…… 任务： (1)补全材料中横线上空缺的内容：① ；② ；③ ； (2)由以上探究，写出函数图象的一个几何特征，并用相应的表达式的数量特征解释； 图象的几何特征 表达式的数量特征 (3)若点，，都在函数的图象上，且，则，，的大小关系是 （用“”、“”或“”连接）． 12．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，． (1)求直线l的函数表达式． (2)如图1，过线段的中点C作一条直线与x轴交于点D（D为动点），当为直角三角形时，求所有满足条件的点D的坐标． (3)如图2，E为x轴上一动点，连接，在的右侧作等腰直角，其中，试判断在点E的运动过程中，点F是否在某一条确定的直线上运动．若是，请直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由． 13．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，已知直线是由正比例函数的图象沿着轴向上平移4个单位得到的， (1)请求出直线的表达式； (2)若直线与轴、轴分别交于两点，点是线段上的一个动点，连接 ①线段将的面积分成的两部分，请求出此时点的坐标； ②当点运动到线段的中点时，在轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 14．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴交于点A，与轴交于点B，与直线交于点． (1)______，_____； (2)求的面积； (3)是线段上的一个动点（点不与点O，A重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，，设点的横坐标为． ①连接，当的面积是面积的时，求的值； ②当时，直接写出的值． 15．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过C作轴交直线于点E，使，设点C的横坐标为m． (1)求点A、点B的坐标； (2)当时，求m的值； (3)如图2，连接，，在点C运动的过程中，当的面积等于的面积时，求m的值． 16．（25-26八年级上·山西晋中·期中）综合与探究： 如图，直线与轴，轴分别交于两点，其中． （1）求的值； （2）若点是直线上的一个动点，当点仅在第一象限内运动时，试写出的面积与的函数关系式； （3）探索：①在（2）条件下，当点运动到什么位置时，的面积是1； ②在①成立的情况下，已知，在轴上是否存在一点，使是直角三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（25-26八年级上·山西晋中·期中）综合实践： 【项目背景】小明在手工课上制作了一个长方形纸片，并将其放置在平面直角坐标系中进行研究．如图，将纸片的长边、短边分别落在轴、轴的正半轴上，连接，并将沿着对角线翻折，点落在点处，发现折叠后与轴交于点．已知纸片的尺寸为：，． 【项目任务】请你作为“数学探索小组成员”，帮助小明完成以下三项挑战． (1)挑战一：定位点坐标 任务：直接写出各点坐标（___________，___________）、（___________，___________）、（___________，___________） (2)挑战二：定位线位置 任务：请你从以下两个任务中任选一个进行探究 ①试确定纸片折痕所在直线的函数关系式； ②请你探究求出折叠后与轴的交点的坐标； (3)挑战三：动点的存在性探究 任务：请你从以下两个任务中任选一个进行深入探究 ①若点是折线上一动点，是否存在点，使得的面积是9，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． ②若点是线段上一动点，是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 18．（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图1，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A、B两点的坐标． (2)如图2，若直线与直线交于点A，且过点，求直线的解析式． (3)在（2）的条件下，若在线段上有一动点且D不与A、C重合，连接，试求的面积S关于a的函数解析式． (4)如图3，过点B将顺时针旋转得到直线，直接写出直线的解析式． 19．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象经过点，并与轴交于点． (1)求，两点的坐标及的值． (2)如图2，若是直线上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点．设点的横坐标为． ①点的横坐标为__________；（用含的代数式表示） ②在点运动的过程中，当时，求点的坐标． 20．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点A，B，点在线段的延长线上，且． (1)求线段的长． (2)求点的坐标． (3)如图2，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 21．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，直线与直线交于点A，点A的横坐标为，且直线与x轴相交于点B，与y轴交于点D，直线与y轴交于点C． (1)请直接写出点A的坐标___________及直线的表达式___________ (2)连接，求； (3)在x轴上是否存在点P，使是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线相交于点，交轴交于点． (1)求直线对应的函数表达式． (2)若四边形的面积为，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，连接，为轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 23．（25-26八年级上·山西晋中·期中）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“不动点”．例如求的“不动点”： 令，解得；把代入得，．则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________； (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值； (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①求出点A和点B的坐标． ②若P点为x轴上一个动点，使得，请直接写出满足条件点P的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）；；；（2）200米；（3）41 【分析】（1）根据梯形、三角形面积公式列代数式即可； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F，由轴对称的性质得，利用勾股定理解即可求解； （3）构造和，令，，当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长． 【详解】解：（1）， ， ，， ； 故答案为：；；； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F， 由轴对称得，， ， 如图，当点P在上时，取最小值， ，，， ，， ， 在中，， 即抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短为； （3）如图，，，，，，， 设，则， 由勾股定理得，， ， 当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长， 在中，， 的最小值为41， 故答案为：41． 【点睛】本题考查最短路径问题，勾股定理，列代数式等，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 2．(1) 分割纸片图为， 拼成大正方形如图， 面积为个小正方形， ∴大正方形边长为． (2) A题答案为， 分割纸片如图， 拼成大正方形如图， 大正方形面积为个小正方形， ∴大正方形边长为． B题答案为， ∵若大正方形面积为， 则大正方形边长为， 要使大正方形的四个顶点都能画在网格纸的格点上， 则需使为正整数的平方，或者为两个正整数的平方和， ∴当组合图形中小正方形的个数为正整数的平方，或者为两个正整数的平方和时， 大正方形的四个顶点都能画在网格纸的格点上． 【分析】本题主要考查图形的分割拼接，解题的关键是根据图形的面积计算正方形的边长． （1）按照图1的方法进行分割拼接，并由正方形面积计算出周长； （2）按照图1的方法进行分割拼接，并由正方形面积计算出周长． 【详解】（1）略 （2）略 3．（1），； （2）小颖的结论不正确，理由如下： 如图，过点作于点， ，，， ， ， ，即， ， ， 不是一个以为倍底边的底倍高三角形，故小颖的结论不正确； （3）边的长为或 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，解决问题的关键是正确理解“底倍高”三角形的概念、画出图形，根据分类讨论的思想进行解答． （1）根据“底倍高”三角形的概念求出，再根据勾股定理求出； （2）过点作于点，根据勾股定理的逆定理可得，利用等面积法求出，得到，即可判定； （3）过点作于点，根据题意求出，，进而得到，分两种情况：当时，，当时，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1） 是一个底倍高三角形，其中，边为倍底边， ， ， 故答案为：，； （2）略； （3）如图，过点作于点， 是一个以线段为倍底边的底倍高三角形， ， 设，则， ， ， 解得（负值已舍去）， ，则， ， ； 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，边的长为或． 4． （1）如图1，点与即为所求： 如图2，点与即为所求： （2）点，即为所求： 【分析】（1）由题意知，，则，设，则，当为直角三角形时，分为直角边，为斜边，两种情况；由勾股定理求边长并作图即可； （2）由题意知，分为斜边，为直角边，两种情况；当为斜边时，如图3，以为圆心，为半径画弧交于，连接，作的垂直平分线，交于，连接，点，即为所作；当为直角边时，如图3，以为圆心， 的长为半径画弧，交于，以为圆心，的长为半径画弧，两弧交点为，连接，，点，，即为所求． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 设，则， 由题意知，当为直角三角形时，分为直角边，为斜边，两种情况； 当为直角边时， 由勾股定理得，，即， 解得，； 当为斜边时， 由勾股定理得，，即， 解得，； （2）解：由题意知，分为斜边，为直角边，两种情况； 当为斜边时，如图3，以为圆心，为半径画弧交于，连接，作的垂直平分线，交于，连接， ∴， ∴为直角三角形，点，即为所作； 当为直角边时，如图3，以为圆心， 的长为半径画弧，交于，以为圆心，的长为半径画弧，两弧交点为，连接，， ∵， ∴为直角三角形，点，，即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，作线段等知识．熟练掌握勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，作线段是解题的关键． 5．(1) 证明：设，，， 则， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴； (2)的值为或； (3)； 【分析】（1）设，，，则，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）如图1中，，取得中点，连接，分两种情况：，，分别求解即可； （3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，证得，由此构建方程求解即可． 【详解】（1）略． （2）如图1中，取得中点，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∵点在上运动， ∴不可能， 综上所述，满足条件的的值为或； （3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， 同理可证， ∴，， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 6．（1）20；； （2）；； （3）如图所示：裁剪线为； 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据拼接前后面积不变，得正方形的面积等于长方形的面积，求出长方形面积可得结论； （2）根据勾股定理求解即可； （3）在上截取，顺次连接可得裁剪线，再根据所得图形拼接成正方形即可． 【详解】解：（1）∵长方形的面积为， ∴正方形的面积为20， ∴， 故答案为：20；； （2）观察图2和图3中的③号图形，可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （3）略 7．（1）①； ②∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （2）①；② 【分析】（1）①根据，得，由三角形外角性质得，即得；②根据，得，根据 ，即得； （2）①在中，求出，根据，求出；②根据，得，推出，得，得，连接，得 ，结合，求得 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②略 （2）①∵在中，，，． ∴， ∵于点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了面积法验证勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，面积法求三角形高，三角形中线性质，三角形、梯形、对角线互相垂直的四边形面积公式，是解题的关键． 8．任务一：数形结合，勾股，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 任务二：证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 任务三：她走到离墙米的地方监控就会自动记录 【分析】本题考查四边形综合应用，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积． 任务一：观察赵爽“无字证明”的方法可得答案； 任务二：连接，证明为等腰直角三角形，根据可得，整理后可得； 任务三：构造图形，用勾股定理可得她走到离墙米的地方监控就会自动记录． 【详解】任务一：解：赵爽“无字证明”的方法中体现了数形结合的数学思想，由此图可以推导出勾股定理，该定理的内容是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 故答案为：数形结合，勾股，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 任务二： 略 任务三：解：如图： ∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 当时，摄像头刚好监控到， 在中，， ∴， ∴她走到离墙米的地方监控就会自动记录． 9．(1)正确，理由如下 连接，过点作于点 在中 ∵ ∴三角形为等腰三角形． 又∵∴ ∴在中 ∴四边形四边为整数，面积为整数，是整数四边形． (2)72；54； 如图，面积为72． 如图：面积为54． 【分析】本题考查了学生的探究能力，对于新的定义“整数四边形”的理解与应用，同时考查了勾股定理，三角形面积计算，图形分割，本题的关键在于对新定义的理解和对面积的分割． （1）利用直角，连接，将四边形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，利用已知数据将两个三角形面积面积计算得出面积，判断四边为整数，面积为整数，即为整数四边形． （2）根据整数四边形满足的条件去整理思路，原整数四边形周长为18，现要求为36，不妨将边长都扩大两倍进行尝试，四边分别为，验证面积，符合题意；另外一组设计也可利用常见勾股数先构造直角三角形，另外的两边可根据周长慢慢推测，组合满足面积为整数，边长为整数，周长为36的四边形． 【详解】（1）略； （2）如图①：面积求解如下： 易证： 面积求解如下： 连接，过点作于， 设 10．(1)；； (2) 线段即为所求； (3) 三条线段分别为n，，， ∵，， ∴ ∴这三条线段组成的三角形是直角三角形； (4)当直角三角形的斜边的平方为奇数时，两条直角边为两个连续的整数，且这两个整数的和为斜边的平方 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，网格中画三角形，运用数形结合思想； （1）根据勾股定理计算即可； （2）由，，结合网格的特点即可画出； （3）根据勾股定理逆定理解答； （4）当直角三角形的斜边的平方为奇数时，两条直角边为两个连续的整数，且这两个整数的和为斜边的平方． 【详解】（1）解：， ∵直角三角形的直角边分别为n，， ∴斜边， 故答案为；； （2）解：画图如下：， （3） 略 （4） 略 11．(1)一、三；同为负数；增大 (2) 函数图象的几何特征及相应的表达式的数量特征解释如下（选择其中一个几何特征即可）： 图象的几何特征 表达式的数量特征 图象经过原点 由表达式可知，当时，． 图象经过第一象限 因为，当时，，即． 所以当时，x与y的取值同为正数． 从左往右图象是上升趋势 设点，是函数图象上的点（其中）． 所以，，， 因为，所以，所以． 因为，即，所以，y的值随x值的增大而增大． (3) 【分析】本题主要考查正比例的图象和性质，利用类比思想和数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的图象即可确定函数的性质，填空即可； （2）利用类比思想和数形结合思想，得出函数的性质和特征即可获解； （3）利用类比思想，得出函数的性质即可获解． 【详解】（1）解：通过函数图象可知，函数的图象经过第一、三象限，当时，x与y的取值同为正数或同为负数，y的值随x值的增大而增大， 故答案为：①一、三；②同为负数；③增大； （2）解：略； （3）解：函数的图象从左往右图象是下降趋势，设点，是函数图象上的点（其中）． 所以，，， 因为，所以，所以． 因为，即， 所以，y的值随x值的增大而减小． 因为点，，都在函数的图象上，且，则，，的大小关系是， 故答案为：． 12．(1) (2)点D的坐标为或 (3)点F恒在直线上运动 【分析】1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，当时，由垂直平分线的性质得，设，则，利用勾股定理列方程求解；当轴时，利用中点坐标公式求得，进而求解即可； （3）过点F作轴于点H，则，证明，得，设，则，设，则，即，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，， ∴． 当时，， 解得， ∴直线l的函数表达式为． （2）解：∵点，， ∴，． 如图1，连接，当时， ∵点C为的中点， ∴． 设，则． 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴点的坐标为． 如图2，当轴时． ∵点，C为的中点， ∴点，即， ∵轴时， ∴点D的坐标为． （3）解：是．该直线的表达式为． 如图3，过点F作轴于点H，则， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， 设，则，即，所以点F恒在直线上运动． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质，熟练掌握其性质并能灵活运用数形结合分析问题是解决此题的关键． 13．(1) (2)①或；②存在，或或 【分析】本题考查了一次函数的平移，勾股定理，等腰三角形的定义； （1）根据函数图象平移的规律解答即可； （2）根据解析式得出，，根据题意可得或，进而建立方程，求得点的坐标； （3）设，分分别为等腰三角形的顶点，根据勾股定理以及等腰三角形的定义建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）将的图象向上平移个单位，得到的直线， 则的表达式为， （2）解：∵点是线段上的一个动点，的表达式为， ∴设， ∵线段将的面积分成的两部分， ∴或 ∵，当时，，当时， ∴，，即， ∴， ∴或， ∴①或 解①得：或（舍去） 解②得：或（舍去） 所以或 ②当点运动到线段的中点时，则， ∴， ∵点在轴上，为等腰三角形 设， ∴， 当时， ∴，则 当时，，即， 解得：（舍去）或，则 当时，则， 解得：，则 综上所述，或或． 14．(1)4；6 (2)12 (3)①；②m的值为或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，一次函数图象上点的坐标特征，求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）把点代入，可求出a的值及点C的坐标，再将点C的坐标代入，即可求得b的值； （2）先求出点B的坐标，再根据三角形面积公式求解即可； （3）①先求出点A的坐标，再根据的面积是面积的列出方程，解方程即得答案； ②分在点C的左侧和右侧两种情况，分别求出和的长，再根据列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ， 将点代入，得， 解得， 故答案为：4；6； （2）解：对于，令，则， ， ， 的面积为； （3）解：①对于，令，则， 解得， ， ， 当的面积是面积的时，， 解得； ②由点的横坐标为，可得，， 当在点C的左侧时，，， ， ， 解得； 当在点C的右侧时，，， ， ， 解得； 综上所述，的值为或． 15．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，面积问题，理解题意，作出辅助线，综合运用一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意，当时，当时，分别代入求解即可； （2）根据题意得出，再由题意确定，得出方程求解即可； （3）过作于，然后结合图形表示出 ，得出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：． ， 当时，， ； （2）解：的横坐标为， ， 当时，， ． ， ， ， 由得：， 解得：； （3）解：过作于， ， ， ， ， 解得：． 16．（1）；（2）；（3）①当的坐标为时，的面积是1；②存在点使是直角三角形．点坐标， 【分析】（1）求出点B的坐标，然后将点B的坐标代入解析式中即可求出结论； （2）根据点A在直线上即可用x表示出点A的纵坐标，然后根据三角形的面积公式即可求出结论； （3）①将S=1代入（2）的解析式中即可求出结论； ②设点，根据直角三角形的直角的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质即可分别求出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴． （2）由（1）知，， ∴直线解析式为， ∵点是第一象限内的直线上的一个动点， ∴， ∴． （3）①如图，由（2）知，， ∵的面积是l， ∴， ∴， ∴当的坐标为时，的面积是1． ②存在点使是直角三角形．点坐标，． 理由如下：设点，如图， 当时，轴，此时与点横坐标相同， ∴， ∴． 当时， ∵ ∴为等腰三角形 ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即满足条件的所有点坐标为，． 【点睛】此题考查的是一次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定及性质是解题关键． 17．(1)、、； (2)①；② (3)①存在点，使得的面积是9，的坐标为或； ②存在点，使得是等腰三角形，的坐标为或或； 【分析】（1）由纸片的长边、短边分别落在轴、轴的正半轴上，，，可得答案； （2）①先求出、的坐标，然后用待定系数法求解即可； ②先证明；设，则，在直角中，，则，求出得到的长即可求解； （3）①分别根据三角形的面积公式和割补法，判断点在和上满足条件的位置即可； ②分、、三种情况，根据等腰三角形的性质判断点位置即可． 【详解】（1）解：因为纸片的长边、短边分别落在轴、轴的正半轴上，，， 所以各点坐标为、、； （2）①设直线解析式为， ∴，解得：， ∴所在直线的函数关系式为； ②∵长方形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在直角中，， 则， 解得：； 则， 则； （3）①存在； 点在上时，的高是3，面积是9，底是线段的长度； 设：的坐标为 则即 解得 则的坐标为； 点在上时， 设：的坐标为 ， 解得， 则的坐标为； 所以的坐标为或； ②当时，为等腰三角形，此时的坐标为； 当时，为等腰三角形，点在的垂直平分线上，，此时的坐标为； 当时，为等腰三角形，点在的垂直平分线上，，为中点，，，，， 作 设， 在中， 解得 此时的坐标为 所以存在点，使得是等腰三角形，的坐标为、、 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，三角形面积，坐标与图形，勾股定理与折叠，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等等，解题的关键在于熟练掌握相关知识进行求解． 18．(1)， (2) (3) (4) 【分析】 （1）在中，当时，算出的值，即可得到点B的坐标；当时，算出的值，即可得到点A的坐标. （2）设直线的表达式，把和代入，再进一步求解即可. （3）根据列函数关系式即可. （4）如图，过作交于点，过作轴于，证明，可得，设直线的解析式为，把，代入，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：依题意， 当时，则， 所以， 当时，则， 解得， ∴. （2）解：设直线的表达式， 把和代入，得， 解得， ∴直线的表达式为. （3）解：∵在线段上有一动点且D不与A、C重合，， ∴. （4）解：如图，过作交于点，过作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 故直线的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，列函数关系式，掌握以上基础知识是解题关键． 19．(1)，， (2)①；②的坐标为或 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，一次函数几何综合．熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）对于，当时，得，求出．当时，得．解得：，求出． 所以把代入，即可求出． （2）①根据题意可得，根据轴，得点F的纵坐标为，将代入即可求出点F的横坐标为． ②分为当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，得． 当时，得．解得：． 所以，． 因为一次函数的图象经过点， 所以把代入，得． 解得：． （2）①根据题意可得， ∵轴， ∴点F的纵坐标为， 将代入得， 解得：， 即点F的横坐标为． ②因为，， 所以． 当点在点的右侧时，． 因为， 所以． 解得：． 所以点的坐标为． 当点在点的左侧时，． 因为，所以． 解得：． 所以点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 20．(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）求出当时，，当时，，再利用勾股定理即可得到答案； （2）由中点坐标公式可得答案； （3）设，而，，可得，，，结合是以为腰的等腰三角形，可得或，进一步利用勾股定理建立方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴； ∴． （2）解：∵，，设， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：设，而，， ∴，，， ∵在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时， ∴， ∴， ∴或， 当时， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 综上所述，点D的坐标为或或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了求一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的定义，掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键． 21．(1)； (2) (3)存在，点P的坐标为、、、 【分析】本题考查了一次函数的表达式求解、函数交点坐标确定、三角形面积计算及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是将点坐标代入函数式求表达式，利用割补法（初中常用）计算三角形面积，分情况讨论等腰三角形的边长关系． （1）的将点A的横坐标代入直线的解析式求纵坐标，再将点A坐标代入直线的解析式求，得到的表达式； （2）的求出点B、C的坐标，用割补法（结合直角三角形、梯形面积）计算的面积； （3）的设点P的坐标，分、、三种情况，结合距离公式列方程求解． 【详解】（1）解：将代入，得，故点A的坐标为 将代入，得，解得，故直线的表达式为 故答案为：；. （2）解：对于直线，令，则，解得，故， 对于直线，令，则，故． 过点作轴于，则：，，，，， ， 梯形的面积， ， 故， 答：； （3）解：存在，理由如下： 设，由、，得，，． 分三种情况： ①当时，，解得，得、； ②当时，，解得（为点B，舍去），得； ③当时，，平方得，得． 故点P的坐标为、、、． 22．(1) (2)点的坐标为 (3)或. 【分析】（1）用待定系数法，设直线的表达式为，代入、坐标求解； （2）根据，通过的不同求解方式，建立方程求出点的横坐标，代入表达式列方程求点的坐标； （3）先求出直线的函数表达式，当点在点右侧或右侧时，分别求解． 【详解】（1）解：因为点， 所以设直线对应的函数表达式为． 把点代入，得， 所以直线对应的函数表达式为. （2）因为直线， 所以点， 所以. 因为， 所以. 又因为， 所以，即点的横坐标为． 把代入，得， 所以点的坐标为. （3）或. 由点，得直线的函数表达式为． 如图1，当点在点右侧时， 将直线沿着轴向上平移6个单位长度，得到直线的函数 表达式为， 此时， 所以， 当时，， 所以点； 如图2，当点在点左侧时，作的中垂线，交于点，交轴于点，连接， 所以， 所以． 设点． 则， 所以， 解得， 所以点． 设直线的函数表达式为． 把点代入，得， 所以， 所以当时，， 所以点． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数表达式、面积计算与角度条件下的点坐标求解，运用待定系数法、面积割补思想、角相等的坐标转化技巧，解题关键是先求直线表达式，再通过面积列方程求交点，最后利用不同位置角相等的斜率关系找坐标，易错点是面积分割错误或角相等的几何关系转化不当． 23．(1) (2)； (3)①，；②或 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）①先根据题意可得，再求出点A、B的坐标即可； ②先求出，设，得出，根据，得出，求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立 解得， 一次函数的“不动点”为； （2）解：∵一次函数的“不动点”为， ∴， ∴， ∴“不动点”为， ∴， 解得：； （3）解：①∵直线上没有“不动点”， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， ∴，； ②， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期中复习压轴题专练 1．（25-26八年级上·山西晋中·期中）综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图1，两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，能得到4个等腰直角三角形，这4个三角形可以拼成一个大正方形，所得大正方形的边长为． (1)如图2，现有一张的长方形纸片，尝试分割这张纸片，拼接成一个大正方形，要求不重叠，且无空隙．如果可以，请你仿照图1在纸片上用虚线画出分割方法，并在网格中画出大正方形的拼法，使它的四个顶点均位于网格的格点上，然后写出所得正方形的边长；如果不可以，请说明理由． (2)请从以下两题中任选一题作答，我选择 题． 按照上述方法，让我们尝试其他图形的分割： A．如图3，是由个小正方形组合得到的两种图形，请你选择一个组合图形尝试分割，将其拼接成一个大正方形，要求不重叠，且无空隙．如果可以，在组合图形上用虚线画出分割方法，并在网格中画出大正方形的拼法（使它的四个顶点均位于网格的格点上），然后写出所得正方形的边长；如果不可以，请说明理由． 若选择A题作答，我选择完成图3中的组合 ． B．请直接写出当组合图形中小正方形的个数满足什么条件时，可以通过分割拼接得到大正方形（不重叠，且无空隙），并使得大正方形的四个顶点都能画在网格纸的格点上． 3．（25-26八年级上·山西太原·期中）综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们对具有特殊结构特征的三角形进行探究．求真小组给出了“底倍高三角形”的定义：如果一个三角形中，有一边等于这边上高的倍，那么称这个三角形为底倍高三角形，这条边叫做“倍底边”．请根据这一定义解决他们提出的如下问题． 概念理解：（1）如图1，是一个底倍高三角形，其中，边为倍底边．若，则 ， ； （2）如图2，中，，，．小颖判断是一个以为倍底边的底倍高三角形，她的结论正确吗？说明理由； 探索运用：（3）如图3，已知线段，点是平面内一点，且是一个以线段为倍底边的底倍高三角形．若的面积为，，请直接写出中边的长． 4．（24-25八年级上·山西太原·期中）综合与探究 问题情境：实践课上，同学们尝试探索在不剪断铁丝且不浪费材料的前提下，能否将一段铁丝弯折围成符合要求的三角形．如图1，同学们将细铁丝抽象为线段，在线段上取点，，沿点，弯折，使，两点重合（记为）． 特例分析：（1）如图2，已知，（图中每相邻两点间的距离为1个单位长度）．请你确定点的位置，使沿点，弯折后围成的是直角三角形（要求：标出点的位置，画出围成的的示意图，并在图中标明直角符号和的三边长，画出一种即可）； 拓展探究：（2）如图3，已知点是线段上的一点，其中，同学们为解决问题，过点作射线于点．请你借助射线，用尺规确定点的位置，使沿点，弯折后围成的是直角三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，作出点所有可能的位置，并作出相应的，标明直角符号，不写作法．注： 同一点的位置处只画一个） 5．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）． 　 (1)求证：． (2)若为等腰三角形时，求的值． (3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______． 6．（25-26八年级上·山西晋中·期中）综合与实践 数学兴趣小组用一张长为5，宽为4的长方形纸片（如图1）进行探究活动． 动手操作 如图2，嘉嘉沿虚线裁剪，将该纸片剪成①②③三块，并按图3拼成与原纸片面积相等的正方形．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） （1）根据拼接前后面积不变，可知正方形的面积为__________，进而可得线段的长为__________； 深入探究 （2）观察图2和图3中的③号图形，可知__________（填“”“”或“”），求出线段的长； 创新实践 （3）淇淇说：“将图1的纸片沿着，的中点G，H剪成四块，也可以拼成正方形．”请根据淇淇的说法设计一种方案，在图4上用虚线画出裁剪线并标注裁剪线的长度． 7．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与探究 【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片，按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在中，，于点，，． ①请计算线段的长； ②在图3的基础上，取边上的点，连接，使得，得到图4．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，请直接写出的长． 8．（24-25八年级上·山西晋中·期中）综合与实践： 无需语言的证明又称无字证明（proof without words，简称PWW），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．事实上，无字证明并非新概念，它拥有丰厚的历史，可追溯到古希腊与古代中国时期，如图1就是我国汉时东吴数学家赵爽利用几何图形的截、割、拼、补方法创制的一副“无字证明”图形，后人称它为“勾股弦图”．其中四个直角三角形较长的直角边长都为a，较短的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出一个代数式之间的恒等关系，也是一个很重要的定理． 任务一：我会表达 赵爽“无字证明”的方法中体现了______的数学思想．由此图可以推导出你学过的______定理，该定理的内容是____________； 任务二：我会探索 课后，同学们积极探索其它的无字证明方法．某同学提出了一种证明方法：如图2，点B是正方形中边上一点，连接，得到，三边分别为a，b，c，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学结合图2、图3图形的面积不变验证了此定理．请你写出该方法验证的过程． 任务三：我会应用 如图所示，在学校的墙上有一个监控摄像头，装在离地面的墙上，任何东西只要移到离该监控及内的位置，该监控就会自动进行记录．若小颖身高，则她刚好走到离墙几米的地方监控就会开始自动记录． 9．（25-26八年级上·山西运城·期中）数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究． (1)如图，四边形中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由； (2)创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积． 10．（25-26八年级上·山西晋中·期中）下面是小颖同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如何画长为（，且n为整数）的线段 【尝试·思考】 如图1，方格纸中每个小方格的边长均为1．点A，B，C为格点，以点A为圆心，AC长为半径画弧交网格线于点D，则线段BD的长为①_____．   【观察·思考】 在尝试中，发现： ；；；；… 【回顾·反思】 可能为有理数，也可能为无理数．当为无理数时，以一条直角边长为n（，且n为整数），斜边长为②_____构建直角三角形，则另一条直角边长为． 任务： (1)补全以上笔记：①______；②_______； (2)请在图2的方格纸中画出一条长为的线段；（不写画法，保留画图痕迹）    (3)通过以上【回顾·反思】发现：如果三条线段长分别为n，，②____（，且n为整数），那么这三条线段组成的三角形是直角三角形．请说明理由； (4)阅读以上笔记并完成相应任务后，你有什么反思？（写出一条即可） 11．（25-26八年级上·山西太原·期中）下面是小涵学习《一次函数》之后的数学思考，请认真阅读并完成相应的任务 数形结合探究函数的性质通过一次函数的学习，我们知道从表达式的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数时，分析如下： 图象的几何特征 表达式的数量特征 正比例函数    图象经过原点 由表达式可知，当时，． 图象经过第①象限 因为，当时，，即； 当时，，即． 所以，当时，x与y的取值同为正数或②． 从左往右图象为上升趋势 设点，是函数图象上的点（其中）． 所以，，， 因为，所以，． 因为，即，所以，y的值随x值的增大而③． 学习平方根时，我们还知道：对于任意给定的非负数x，都能确定它的算术平方根y的值．我尝试用函数的观点研究y与x的关系，过程如下： 第一步：写出y与x之间的函数表达式为； 第二步：画出函数的图象，如图；   第三步：类比研究正比例函数的方法， 分析函数的性质，…… 任务： (1)补全材料中横线上空缺的内容：① ；② ；③ ； (2)由以上探究，写出函数图象的一个几何特征，并用相应的表达式的数量特征解释； 图象的几何特征 表达式的数量特征 (3)若点，，都在函数的图象上，且，则，，的大小关系是 （用“”、“”或“”连接）． 12．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，． (1)求直线l的函数表达式． (2)如图1，过线段的中点C作一条直线与x轴交于点D（D为动点），当为直角三角形时，求所有满足条件的点D的坐标． (3)如图2，E为x轴上一动点，连接，在的右侧作等腰直角，其中，试判断在点E的运动过程中，点F是否在某一条确定的直线上运动．若是，请直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由． 13．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，已知直线是由正比例函数的图象沿着轴向上平移4个单位得到的， (1)请求出直线的表达式； (2)若直线与轴、轴分别交于两点，点是线段上的一个动点，连接 ①线段将的面积分成的两部分，请求出此时点的坐标； ②当点运动到线段的中点时，在轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 14．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴交于点A，与轴交于点B，与直线交于点． (1)______，_____； (2)求的面积； (3)是线段上的一个动点（点不与点O，A重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，，设点的横坐标为． ①连接，当的面积是面积的时，求的值； ②当时，直接写出的值． 15．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过C作轴交直线于点E，使，设点C的横坐标为m． (1)求点A、点B的坐标； (2)当时，求m的值； (3)如图2，连接，，在点C运动的过程中，当的面积等于的面积时，求m的值． 16．（25-26八年级上·山西晋中·期中）综合与探究： 如图，直线与轴，轴分别交于两点，其中． （1）求的值； （2）若点是直线上的一个动点，当点仅在第一象限内运动时，试写出的面积与的函数关系式； （3）探索：①在（2）条件下，当点运动到什么位置时，的面积是1； ②在①成立的情况下，已知，在轴上是否存在一点，使是直角三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（25-26八年级上·山西晋中·期中）综合实践： 【项目背景】小明在手工课上制作了一个长方形纸片，并将其放置在平面直角坐标系中进行研究．如图，将纸片的长边、短边分别落在轴、轴的正半轴上，连接，并将沿着对角线翻折，点落在点处，发现折叠后与轴交于点．已知纸片的尺寸为：，． 【项目任务】请你作为“数学探索小组成员”，帮助小明完成以下三项挑战． (1)挑战一：定位点坐标 任务：直接写出各点坐标（___________，___________）、（___________，___________）、（___________，___________） (2)挑战二：定位线位置 任务：请你从以下两个任务中任选一个进行探究 ①试确定纸片折痕所在直线的函数关系式； ②请你探究求出折叠后与轴的交点的坐标； (3)挑战三：动点的存在性探究 任务：请你从以下两个任务中任选一个进行深入探究 ①若点是折线上一动点，是否存在点，使得的面积是9，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． ②若点是线段上一动点，是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 18．（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图1，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A、B两点的坐标． (2)如图2，若直线与直线交于点A，且过点，求直线的解析式． (3)在（2）的条件下，若在线段上有一动点且D不与A、C重合，连接，试求的面积S关于a的函数解析式． (4)如图3，过点B将顺时针旋转得到直线，直接写出直线的解析式． 19．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象经过点，并与轴交于点． (1)求，两点的坐标及的值． (2)如图2，若是直线上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点．设点的横坐标为． ①点的横坐标为__________；（用含的代数式表示） ②在点运动的过程中，当时，求点的坐标． 20．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点A，B，点在线段的延长线上，且． (1)求线段的长． (2)求点的坐标． (3)如图2，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 21．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，直线与直线交于点A，点A的横坐标为，且直线与x轴相交于点B，与y轴交于点D，直线与y轴交于点C． (1)请直接写出点A的坐标___________及直线的表达式___________ (2)连接，求； (3)在x轴上是否存在点P，使是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线相交于点，交轴交于点． (1)求直线对应的函数表达式． (2)若四边形的面积为，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，连接，为轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 23．（25-26八年级上·山西晋中·期中）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“不动点”．例如求的“不动点”： 令，解得；把代入得，．则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________； (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值； (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①求出点A和点B的坐标． ②若P点为x轴上一个动点，使得，请直接写出满足条件点P的坐标． 试题第1页（共2页） 试题第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $