2026--2027学年沪科版数学八年级上册 （第11～13章 ）期中复习 培优卷

沪科版数学八年级上册 第11~13章 期中复习 培优卷（参考答案与解析） （考查范围：第11章 平面直角坐标系　第12章 一次函数　第13章 三角形中的边角关系） 满分：120 分　　考试时间：90 分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.（4分）若点 A（，）在 x 轴上，则点 A 的坐标是（　　） 　　A. （4，0） B. （0，4） 　　C. （−4，0） D. （2，0） 【答案】A 【解析】x 轴上的点纵坐标为 0，故 ，。 此时 ，所以 A（4，0），选 A。 2.（4分）下列命题中，是真命题的是（　　） 　A. 三角形的外角大于它的任何一个内角 　B. 若 ，则 　C. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 　D. 三角形的三条高都在三角形内部 【答案】C 【解析】A 错：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，但与它相邻的内角的大小关系不确定。 B 错：由 得 或 。 C 对：这是平行线的性质。 D 错：钝角三角形有两条高在三角形外部。 故选 C。 3.（4分）如图，AB ∥ CD，点 E 在两条平行线之间。若 ∠ABE = 40°，∠CDE = 70°，则 ∠BED 的度数是（　　） 　　A. 30° B. 70° 　　C. 110° D. 140° 【答案】C 【解析】过点 E 作 EF ∥ AB，则 EF ∥ CD。 因为 EF ∥ AB，所以 ； 因为 EF ∥ CD，所以 。 故 ，选 C。 4.（4分）小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度 y（cm）与所挂物体的质量 x（kg）之间的关系如图所示。则下列结论中错误的是（　　） 　A. 未挂物体时，弹簧的长度为 12 cm 　B. 所挂物体为 4 kg 时，弹簧的长度为 16 cm 　C. 所挂物体每增加 1 kg，弹簧的长度增加 1.5 cm 　D. 当所挂物体的质量超过 6 kg 时，弹簧的长度保持 18 cm 不变 【答案】C 【解析】A 对：图象过点（0，12），未挂物体时弹簧长 12 cm。 B 对：0 ≤ x ≤ 6 时，每增加 1 kg 伸长 （cm）， 故 ，当 时 。 C 错：每增加 1 kg 只伸长 1 cm，不是 1.5 cm。 D 对： 时图象为水平线，长度保持 18 cm。 故选 C。 5.（4分）在平面直角坐标系中，动点从原点 O 出发按如下规律移动：第 1 次向右移动 2 个单位，第 2 次向上移动 1 个单位，第 3 次向左移动 1 个单位，第 4 次向下移动 1 个单位，第 5 次向右移动 2 个单位……按此规律反复进行，依次得到点 、、……则点 的坐标是（　　） 　　A. （508，1） B. （506，1） 　　C. （507，0） D. （508，0） 【答案】A 【解析】把每 4 次移动作为一组：一组内横坐标变化 ，纵坐标变化 。 即每移动 4 次，点向右平移 1 个单位、纵坐标回到 0。 起点为 O（0，0），故 的坐标为（k，0）。 ，故 为（506，0）。 第 2025 次向右 2 个单位得 （508，0）； 第 2026 次向上 1 个单位得 （508，1），选 A。 6.（4分）若一次函数 的图象不经过第三象限，则 m 的取值范围是（　　） 　　A. B. 　　C. D. 【答案】C 【解析】图象不经过第三象限，说明图象从左向右下降（不经过第三象限的上升直线必过第三象限）， 故 ，得 。 同时图象与 y 轴的交点不能在 x 轴下方，即 ，得 。 （ 时 ，图象过原点，只经过第二、四象限，符合题意。） 综上，，选 C。 7.（4分）若点 P（，）在第四象限，则 m 的取值范围是（　　） 　　A. B. 　　C. D. 【答案】C 【解析】第四象限内点的横坐标大于 0、纵坐标小于 0，故 且 。 解得 且 ，即 ，选 C。 8.（4分）某共享充电宝的收费标准为：租借后的前 2 小时按每小时 3 元收费，超过 2 小时的部分按每小时 2 元收费（不足 1 小时按 1 小时计算）。设租借时间为 x 小时（x 为大于 2 的整数），租金为 y 元，则 y 与 x 之间的关系式是（　　） 　　A. B. 　　C. D. 【答案】B 【解析】前 2 小时共收费 （元）； 超过 2 小时的部分为 小时，收费 元。 故 ，选 B。 9.（4分）如图，直线 ： 与直线 ： 交于点 P，两直线分别与 x 轴交于点 A、点 B，则 △PAB 的面积是（　　） 　　A. 6 B. 12 　　C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】令 ：由 得 ，故 A（−2，0）； 由 得 ，故 B（4，0）。 联立 ，得 ，，故 P（2，4）。 ，点 P 到 x 轴的距离为 4， 所以 △PAB 的面积 ，选 B。 10.（4分）已知直线 与直线 的交点在第四象限，则 k 的取值范围是（　　） 　　A. B. 　　C. D. 或 【答案】C 【解析】联立两式：，得 ，故 （）。 交点在第四象限，则横坐标大于 0、纵坐标小于 0。 由 得 ，即 ； 此时 ， 由 且 得 ，即 。 综上，，选 C。 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.（4分）在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（−3，5），将点 A 先向下平移 4 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度得到点 B，则点 B 的坐标为______。 【答案】（−5，1） 【解析】向下平移 4 个单位，纵坐标减 4：； 再向左平移 2 个单位，横坐标减 2：。 故点 B 的坐标为（−5，1）。 12.（4分）如图，在 △ABC 中，BE 平分 ∠ABC 交 AC 于点 E，CE 平分 △ABC 的外角 ∠ACD。若 ∠A = 70°，则 ∠E = ______°。 【答案】35 【解析】由三角形的外角性质，。 因为 CE 平分 ∠ACD，所以 。 又 ∠ECD 是 △BEC 的外角，故 。 因为 BE 平分 ∠ABC，所以 。 于是 ， 得 。 13.（4分）如图，甲从 A 地匀速步行前往 B 地，途中休息一段时间后继续按原速步行；乙从 B 地匀速骑车前往 A 地，到达 A 地后休息一段时间，再按原路原速返回 B 地。图中 、 分别表示甲、乙两人离 B 地的距离 y（km）与出发时间 x（h）之间的函数关系。当乙回到 B 地时，甲离 B 地的距离是______km。 【答案】4 【解析】由图象，乙返回 B 地时 。 甲在 3 ≤ x ≤ 7 时匀速走向 B 地：x = 3 时离 B 地 8 km，x = 7 时到达 B 地， 速度为 （km/h）。 当 时，甲又走了 （km）， 故甲离 B 地的距离为 （km）。 14.（4分）若 k 为任意实数，直线 必经过一个定点，则该定点的坐标是______。 【答案】（2，3） 【解析】把解析式按 k 整理：。 当 ，即 时，无论 k 取何值都有 。 故直线恒过定点（2，3）。 15.（4分）如图，甲、乙两辆运输车先后从 M 地出发，沿同一条公路匀速前往 N 地。图中 、 分别表示甲、乙两车离 M 地的距离 s（km）与甲车行驶时间 x（h）之间的函数关系。当两车相距 30 km 时，x 的值为______。 【答案】2 或 4 【解析】由图象，甲车速度为 （km/h），故 ； 乙车在 时出发，速度为 （km/h），故 。 两车相距 30 km，即 （）。 当 时，得 ； 当 时，得 。 故 x 的值为 2 或 4。 三、解答题（本大题共9小题，共60分） 16. （6分）已知一次函数 的图象经过原点。 (1) 求 a 的值及该函数的解析式； (2) 判断点 P（−2，14）是否在该函数的图象上。 【答案与解析】 (1) 图象经过原点，故 ，得 。 此时 ，符合一次函数的要求， 故函数的解析式为 。 (2) 当 时，， 所以点 P（−2，14）在该函数的图象上。 17. （6分）在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（，）。 (1) 若点 P 在过点（2，0）且与 y 轴平行的直线上，求点 P 的坐标； (2) 将点 P 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到点 M。若点 M 在第二象限，且点 M 到 x 轴的距离为 3，求 m 的值。 【答案与解析】 (1) 过点（2，0）且与 y 轴平行的直线上的点，横坐标都为 2， 故 ，得 。 此时 ，故点 P 的坐标为（2，13）。 (2) 平移后点 M 的坐标为（，）。 点 M 在第二象限，则 且 ， 解得 。 点 M 到 x 轴的距离为 3，即 。 若 ，得 ，符合 ； 若 ，得 ，不符合 ，舍去。 故 。 18. （6分）某班为校园艺术节制作纸花，要求制作的纸花数量 y（朵）与班级人数 x（人）之间满足一次函数关系。已知当班级人数为 40 人时，纸花数为 52 朵；当班级人数为 52 人时，纸花数为 76 朵。 (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 若某班有 46 名学生，求该班需制作的纸花数量。 【答案与解析】 (1) 设 。 把（40，52）、（52，76）代入，得 ，。 两式相减得 ，；代入得 。 故 。 (2) 当 时，。 答：该班需制作纸花 64 朵。 19. （7分）A、B 两地相距 360 km，甲、乙两车同时从 A 地出发沿同一路线驶向 B 地，甲车到达 B 地后立即按原路返回。如图， 表示甲车离 A 地的距离 y（km）与行驶时间 x（h）之间的函数关系， 表示乙车离 A 地的距离与行驶时间之间的函数关系。 (1) 求甲车行驶过程中 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 若两车在行驶 5 h 时相遇，求乙车的速度。 【答案与解析】 (1) 由图象，甲车 0 ≤ x ≤ 3 时从 A 地驶到 B 地， 速度为 （km/h），故 。 3 < x ≤ 7.5 时甲车由 B 地返回 A 地，速度为 （km/h）， 故 。 即 （）；（）。 (2) 当 时，甲车离 A 地的距离 （km）。 相遇时乙车也行驶了 5 h，共走 200 km， 故乙车的速度为 （km/h）。 答：乙车的速度为 40 km/h。 20. （7分）某校为创建节约型校园，准备采购 A、B 两种型号的节能灯。已知每盏 A 型节能灯比每盏 B 型节能灯贵 20 元，购买 2 盏 A 型节能灯与 3 盏 B 型节能灯共需 260 元。 (1) 求 A、B 两种型号节能灯每盏的价格； (2) 学校准备采购两种型号的节能灯共 100 盏，要求 A 型节能灯的数量不少于 B 型节能灯数量的 ，且 A 型节能灯不超过 40 盏。请设计费用最省的采购方案，并求出最少费用。 【答案与解析】 (1) 设每盏 B 型节能灯 x 元，则每盏 A 型节能灯（）元。 依题意得 ， 解得 ，。 答：每盏 A 型 64 元，每盏 B 型 44 元。 (2) 设采购 A 型节能灯 m 盏，则 B 型（）盏。 由题意 且 ， 解得 ，且 m 为整数。 总费用 。 因为 ，W 随 m 的增大而增大， 所以当 时 W 最小，最小值为 （元）。 答：采购 A 型 25 盏、B 型 75 盏时费用最省，最少费用为 4900 元。 21. （7分）某品牌电动汽车在测试中保持匀速行驶，电池的剩余电量 y（%）与行驶时间 x（h）的对应数据如下： 当 x = 0、1、2、3 时，y 分别为 100、88、76、64。 行驶路程 S（km）与行驶时间 x（h）之间也满足一次函数关系，且当 x = 1 时 S = 15。 (1) 分别求 S 与 x、y 与 x 之间的函数关系式； (2) 当剩余电量为总电量的 20% 时必须停止行驶并充电，求这辆车从开始行驶到需要充电时行驶的最远路程。 【答案与解析】 (1) 由表可知，x 每增加 1，y 减少 12，故 y 与 x 成一次函数关系。 设 ，代入（0，100）、（1，88）得 ，， 故 。 S 与 x 成正比例，设 ，代入 、 得 ， 故 。 (2) 剩余电量为总电量的 20%，即 。 由 得 。 此时 （km）。 答：行驶的最远路程为 100 km。 22. （7分）某商店购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品多 10 元，用 600 元购进甲种商品的数量与用 450 元购进乙种商品的数量相同。 (1) 求甲、乙两种商品每件的进价； (2) 商店准备购进两种商品共 80 件，且购进的总费用不超过 2800 元。甲种商品每件售价 60 元，乙种商品每件售价 45 元，求利润最大的进货方案及最大利润。 【答案与解析】 (1) 设乙种商品每件进价 x 元，则甲种商品每件进价（）元。 依题意得 ， 去分母得 ，解得 。 经检验 是原方程的解，。 答：甲种商品每件进价 40 元，乙种商品每件进价 30 元。 (2) 设购进甲种商品 m 件，则乙种商品（）件。 由题意 ，解得 。 利润 。 因为 ，W 随 m 的增大而增大， 所以当 时 W 最大，最大值为 （元）， 此时乙种商品购进 （件）。 答：购进甲、乙两种商品各 40 件时利润最大，最大利润为 1400 元。 23. （8分）如图，小明家、图书馆、超市依次在同一条直线上，图书馆距小明家 1200 m，超市距小明家 2000 m。小明从家出发，匀速步行 15 min 到图书馆，在图书馆停留 5 min，再匀速步行 10 min 到超市，在超市停留 10 min，然后匀速步行 10 min 返回家。图中 y（单位：m）表示小明离家的距离，x（单位：min）表示小明离开家的时间。 (1) 分别写出 x = 10、x = 20、x = 35 时小明离家的距离； (2) 填空：① 超市到图书馆的距离为______m；② 小明从超市返回家的速度为______m/min； ③ 当 30 < x ≤ 40 时，y 关于 x 的函数解析式为______； (3) 当小明离家的距离为 800 m 时，求 x 的值。 【答案与解析】 (1) 0 ≤ x ≤ 15 时，小明速度为 （m/min）， 故 时 。 15 < x ≤ 20 时小明在图书馆停留， 时 。 30 < x ≤ 40 时小明在超市停留， 时 。 答：分别为 800 m、1200 m、2000 m。 (2) ① 超市到图书馆的距离为 （m）； ② 从超市返回家走 2000 m 用 10 min，速度为 （m/min）； ③ 此时小明在超市停留，故 。 (3) ① 若小明在去图书馆的路上，由 得 ，符合 ； ② 若小明在从超市返回的路上，40 ≤ x ≤ 50 时 ， 由 得 ，，符合 。 答：x 的值为 10 或 46。 24. （6分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（a，0）、B（0，b），且 。 (1) 求点 A、点 B 的坐标及 △AOB 的面积； (2) 点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴负方向运动，点 Q 从原点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动。两点同时出发，当点 P 到达原点时两点同时停止运动。设运动时间为 t 秒，是否存在 t，使 △OPQ 的面积等于 △AOB 面积的 ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； (3) 点 M 是直线 AB 上一点，当 △OAM 的面积等于 △OBM 面积的 2 倍时，求点 M 的坐标。 【答案与解析】 (1) 由非负数的性质，，， 而它们的和为 0，故 ，，即 ，。 所以 A（4，0），B（0，6）。 △AOB 的面积 。 (2) 运动 t 秒时，，，其中 。 △OPQ 的面积 。 △AOB 面积的 为 3，令 ， 整理得 ，解得 或 ，均在 内。 答：存在，t 的值为 1 或 3。 (3) 设直线 AB 的解析式为 。 把 A（4，0）、B（0，6）代入，得 ，，。 故直线 AB 为 ，设 M（m，）。 △OAM 以 OA 为底，底长 4，高为 ， 面积 ； △OBM 以 OB 为底，底长 6，高为 ， 面积 。 由题意 ，即 。 当 时，得 ，此时 ，M（，4）； 当 时，得 ，此时 ，M（−4，12）。 答：点 M 的坐标为（，4）或（−4，12）。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版数学八年级上册 第11~13章 期中复习 培优卷 满分：120 分　　考试时间：90 分钟 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.（4分）若点 A（，）在 x 轴上，则点 A 的坐标是（　　） 　　A. （4，0） B. （0，4） 　　C. （−4，0） D. （2，0） 2.（4分）下列命题中，是真命题的是（　　） 　A. 三角形的外角大于它的任何一个内角 　B. 若 ，则 　C. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 　D. 三角形的三条高都在三角形内部 3.（4分）如图，AB ∥ CD，点 E 在两条平行线之间。若 ∠ABE = 40°，∠CDE = 70°，则 ∠BED 的度数是（　　） 　　A. 30° B. 70° 　　C. 110° D. 140° 4.（4分）小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度 y（cm）与所挂物体的质量 x（kg）之间的关系如图所示。则下列结论中错误的是（　　） 　A. 未挂物体时，弹簧的长度为 12 cm 　B. 所挂物体为 4 kg 时，弹簧的长度为 16 cm 　C. 所挂物体每增加 1 kg，弹簧的长度增加 1.5 cm 　D. 当所挂物体的质量超过 6 kg 时，弹簧的长度保持 18 cm 不变 5.（4分）在平面直角坐标系中，动点从原点 O 出发按如下规律移动：第 1 次向右移动 2 个单位，第 2 次向上移动 1 个单位，第 3 次向左移动 1 个单位，第 4 次向下移动 1 个单位，第 5 次向右移动 2 个单位……按此规律反复进行，依次得到点 、、……则点 的坐标是（　　） 　　A. （508，1） B. （506，1） 　　C. （507，0） D. （508，0） 6.（4分）若一次函数 的图象不经过第三象限，则 m 的取值范围是（　　） 　　A. B. 　　C. D. 7.（4分）若点 P（，）在第四象限，则 m 的取值范围是（　　） 　　A. B. 　　C. D. 8.（4分）某共享充电宝的收费标准为：租借后的前 2 小时按每小时 3 元收费，超过 2 小时的部分按每小时 2 元收费（不足 1 小时按 1 小时计算）。设租借时间为 x 小时（x 为大于 2 的整数），租金为 y 元，则 y 与 x 之间的关系式是（　　） 　　A. B. 　　C. D. 9.（4分）如图，直线 ： 与直线 ： 交于点 P，两直线分别与 x 轴交于点 A、点 B，则 △PAB 的面积是（　　） 　　A. 6 B. 12 　　C. 18 D. 24 10.（4分）已知直线 与直线 的交点在第四象限，则 k 的取值范围是（　　） 　　A. B. 　　C. D. 或 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.（4分）在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（−3，5），将点 A 先向下平移 4 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度得到点 B，则点 B 的坐标为______。 12.（4分）如图，在 △ABC 中，BE 平分 ∠ABC 交 AC 于点 E，CE 平分 △ABC 的外角 ∠ACD。若 ∠A = 70°，则 ∠E = ______°。 13.（4分）如图，甲从 A 地匀速步行前往 B 地，途中休息一段时间后继续按原速步行；乙从 B 地匀速骑车前往 A 地，到达 A 地后休息一段时间，再按原路原速返回 B 地。图中 、 分别表示甲、乙两人离 B 地的距离 y（km）与出发时间 x（h）之间的函数关系。当乙回到 B 地时，甲离 B 地的距离是______km。 14.（4分）若 k 为任意实数，直线 必经过一个定点，则该定点的坐标是______。 15.（4分）如图，甲、乙两辆运输车先后从 M 地出发，沿同一条公路匀速前往 N 地。图中 、 分别表示甲、乙两车离 M 地的距离 s（km）与甲车行驶时间 x（h）之间的函数关系。当两车相距 30 km 时，x 的值为______。 三、解答题（本大题共9小题，共60分） 16. （6分）已知一次函数 的图象经过原点。 (1) 求 a 的值及该函数的解析式； (2) 判断点 P（−2，14）是否在该函数的图象上。 17. （6分）在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（，）。 (1) 若点 P 在过点（2，0）且与 y 轴平行的直线上，求点 P 的坐标； (2) 将点 P 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到点 M。若点 M 在第二象限，且点 M 到 x 轴的距离为 3，求 m 的值。 18. （6分）某班为校园艺术节制作纸花，要求制作的纸花数量 y（朵）与班级人数 x（人）之间满足一次函数关系。已知当班级人数为 40 人时，纸花数为 52 朵；当班级人数为 52 人时，纸花数为 76 朵。 (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 若某班有 46 名学生，求该班需制作的纸花数量。 19. （7分）A、B 两地相距 360 km，甲、乙两车同时从 A 地出发沿同一路线驶向 B 地，甲车到达 B 地后立即按原路返回。如图， 表示甲车离 A 地的距离 y（km）与行驶时间 x（h）之间的函数关系， 表示乙车离 A 地的距离与行驶时间之间的函数关系。 (1) 求甲车行驶过程中 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 若两车在行驶 5 h 时相遇，求乙车的速度。 20. （7分）某校为创建节约型校园，准备采购 A、B 两种型号的节能灯。已知每盏 A 型节能灯比每盏 B 型节能灯贵 20 元，购买 2 盏 A 型节能灯与 3 盏 B 型节能灯共需 260 元。 (1) 求 A、B 两种型号节能灯每盏的价格； (2) 学校准备采购两种型号的节能灯共 100 盏，要求 A 型节能灯的数量不少于 B 型节能灯数量的 ，且 A 型节能灯不超过 40 盏。请设计费用最省的采购方案，并求出最少费用。 21. （7分）某品牌电动汽车在测试中保持匀速行驶，电池的剩余电量 y（%）与行驶时间 x（h）的对应数据如下： 当 x = 0、1、2、3 时，y 分别为 100、88、76、64。 行驶路程 S（km）与行驶时间 x（h）之间也满足一次函数关系，且当 x = 1 时 S = 15。 (1) 分别求 S 与 x、y 与 x 之间的函数关系式； (2) 当剩余电量为总电量的 20% 时必须停止行驶并充电，求这辆车从开始行驶到需要充电时行驶的最远路程。 22. （7分）某商店购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品多 10 元，用 600 元购进甲种商品的数量与用 450 元购进乙种商品的数量相同。 (1) 求甲、乙两种商品每件的进价； (2) 商店准备购进两种商品共 80 件，且购进的总费用不超过 2800 元。甲种商品每件售价 60 元，乙种商品每件售价 45 元，求利润最大的进货方案及最大利润。 23. （8分）如图，小明家、图书馆、超市依次在同一条直线上，图书馆距小明家 1200 m，超市距小明家 2000 m。小明从家出发，匀速步行 15 min 到图书馆，在图书馆停留 5 min，再匀速步行 10 min 到超市，在超市停留 10 min，然后匀速步行 10 min 返回家。图中 y（单位：m）表示小明离家的距离，x（单位：min）表示小明离开家的时间。 (1) 分别写出 x = 10、x = 20、x = 35 时小明离家的距离； (2) 填空：① 超市到图书馆的距离为______m；② 小明从超市返回家的速度为______m/min； ③ 当 30 < x ≤ 40 时，y 关于 x 的函数解析式为______； (3) 当小明离家的距离为 800 m 时，求 x 的值。 24. （6分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（a，0）、B（0，b），且 。 (1) 求点 A、点 B 的坐标及 △AOB 的面积； (2) 点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴负方向运动，点 Q 从原点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动。两点同时出发，当点 P 到达原点时两点同时停止运动。设运动时间为 t 秒，是否存在 t，使 △OPQ 的面积等于 △AOB 面积的 ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； (3) 点 M 是直线 AB 上一点，当 △OAM 的面积等于 △OBM 面积的 2 倍时，求点 M 的坐标。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $