第五章 函数应用（单元自测）高一数学北师大版必修第一册

2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第五章 函数应用（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C D B C A C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BC ABD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．1 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 【答案】(1)， (2)当时，四边形的面积最大，最大面积是 【详解】（1）因为，则，因为风筝的两根龙骨和互相垂直，...........1分 所以四边形的面积为，...........3分 因为，所以，解得：，...........4分 所以与之间的函数解析式为，...........6分 （2）由（1）知，...........7分 当时，单调递增，...........9分 所以当时，四边形的面积最大，最大值为：，...........12分 所以当时，四边形的面积最大，最大面积是...........13分 16.（15分） 【答案】(1) (2)当时，所有实根之和为；当时，所有实根之和为。 【详解】（1）若，则，则，...........1分 因为为奇函数，所以，即，............2分 所以当时，............3分 若，则，...........4分 因为，所以............5分 综上，当时，的解析式为............7分 （2）作出函数在上的图象，如图， ...........8分 则函数的最小值为，...........9分 若，则方程在上的解为或，则；...........10分 若，则在上有个解，且它们分别关于直线和对称，...........11分 设它们从小到大依次为，，，，则，，则............13分 综上可得，当时，的所有实根之和为，...........14分 当时，的所有实根之和为............15分 17.（15分） 【答案】(1)选择②，，.(2) 【详解】（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，且函数增长的速度越来越快， 选择②（且）...........2分 代入表格中的三个点可得：，解得：...........6分 ，............7分 （2）由（1）可知：，，故不等式对恒成立，...........9分 对恒成立，...........12分 令，则，，，...........14分 在上单调递增，，，............15分 18.（17分） 【答案】(1) (2)当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． (3) 【详解】（1）（1）由题意，对一切实数恒成立，...........1分 当时，不等式可化为，不满足题意；...........2分 当时，则有解得．...........3分 故实数的取值范围是．...........4分 （2）不等式等价于， 即，...........5分 当时，不等式可化为，解集为；...........6分 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，．...........7分 当时，，此时不等式解集为；...........8分 当时，，此时不等式解集为；...........9分 当时，，此时不等式解集为；...........10分 当时，，此时不等式解集为．...........11分 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （3）当时，因为，...........12分 令，当且仅当时，等号成立； 则关于的方程可化为， 故关于的方程有四个不等实根，...........13分 即有两个不同正根，则...........15分 由②③式可得， 由①知：存在，使不等式成立，故， 即，解得（舍）或，...........16分 综上，实数的取值范围是．...........17分 19.（17分） 【答案】(1)二阶不动点为；真二阶不动点个数为 (2)略 (3) 【详解】（1），， 则，...........1分 即， 即，...........2分 解得. ，解也是............3分 也就是所有二阶不动点都满足，不满足，没有真二阶不动点. 则二阶不动点为；真二阶不动点个数为............4分 （2），， ，...........5分 令，解得，...........6分 即或， 解，...........7分 解得 ，即，...........8分 因为，所以. 所以方程的实数解只有 检验：，满足............9分 即所有二阶不动点都满足，不存在满足的真二阶不动点. 即没有真二阶不动点............10分 （3）因为存在真二阶不动点， 所以，...........11分 则， 方程：， 解得， 即， 解得或，...........12分 要存在真二阶不动点，即方程要有实数根， 并且它的根不是方程的根. ① 方程有实根，则判别式， ， 解得，...........13分 ②联立， 两式相减得到， 将代入， 得到，...........14分 当时，，根，这个根同时也是不动点方程的根............15分 此时方程的根就是不动点，不能作为真二阶不动点， 因此要舍去............16分 综上，实数的取值范围是............17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第五章 函数应用 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．二次函数的零点为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】令，则，解得或， 故二次函数的零点为，． 2．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， ， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 3．某工厂生产一种产品，年产量为万件（），总成本（单位：万元），若每件产品售价为9元，且产品生产出来就可以卖出，则当年利润最大时，年产量为（    ） A．3万件 B．3.5万件 C．4万件 D．4.5万件 【答案】B 【详解】设总利润为， 则， 由二次函数的性质可得当时，总利润最大， 所以年产量为3.5万件. 4．若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则不可能存在实数使得 【答案】C 【详解】当零点在区间内时，也可能成立，因此A不正确，C正确； 若且连续，则满足零点存在性定理的两个条件， 所以在区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确． 5．已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据动点在正方形边上的不同位置，分段求出的面积关于路程的函数解析式，进而判断函数图象. 【详解】由题意可知，正方形的边长为，为的中点，则，如图所示： 当动点在边上运动时，即图中的位置，即时， ， 点到的距离为， 所以， 此时函数图象为过原点的线段，且单调递增； 当动点在边上运动时，即图中的位置，即时， ， 此时函数图象为线段，且单调递减； 当动点在边上运动时，即图中的位置，即时， ， 点到的距离为，所以， 此时函数图象为线段，且单调递减，且较第二段减得更快，图像更陡. 综上所述，函数关于的图象先上升，再缓慢下降，最后快速下降至. 6．已知函数，若关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数的图象，根据题意，转化为与的图象有两个不同的交点，结合图象，即可求解. 【详解】画出函数的图象，如图所示， 要使得方程有两个不同的解，即方程有两个不同的解， 即与的图象有两个不同的交点， 结合图象，可得，所以实数的取值范围为. 7．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量y（单位：百件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（     ） A．80元 B．8000元 C．90元 D．9000元 【答案】B 【分析】根据“总利润=单件利润×销售量”建立利润函数，换元后利用基本不等式求解最小值. 【详解】设该超市每月销售该商品所获得的利润为元，由题意可知，每件商品的利润为元，每月销售量为件（的单位为百件）， 因此利润函数为， 令 ，由 得 ，且 ，代入得： ， 由基本不等式得，当且仅当 ， 即 ，（）时取等号，此时 元， 代入利润函数（元）. 8．已知水质达标的一项标准为硼浓度不大于．现利用某海水淡化装置去除某水体中的微量硼元素，其初始硼浓度为，经过分钟过滤后，硼浓度满足，则若使硼浓度达到标准至少需要过滤（   ） （参考数据：，，） A．26分钟 B．27分钟 C．28分钟 D．29分钟 【答案】B 【分析】利用已知条件先求出参数的值，然后根据题意建立不等式，结合对数函数与指数函数性质解不等式即可. 【详解】由题意知当时，， 又，所以有：，解得：， 所以， 由题意知水质要达标则：，即， 因为函数在上单调递增， 所以对上述不等式两边取对数得：，即， 由，所以， 又，所以，所以要使硼浓度达到标准至少需要过滤27分钟. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（      ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用零点存在性定理直接判断即可. 【详解】因函数的图象是一条连续不断的曲线， 且由表格数据可知，即函数在区间内存在零点； 同理,,因此函数在区间内均存在零点. 故选：BC 10．如图，已知函数的图象由曲线与线段构成，则下列结论正确的是（    ） A．函数有2个零点 B．函数有2个零点 C．函数有2个零点 D．若，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】由的图象与直线，函数的图象和函数的图象的交点个数可判断ABC；结合的图象解不等式可判断D. 【详解】对于A，的图象与直线有2个公共点，所以函数有2个零点，A正确. 对于B，的图象与函数的图象有2个公共点， 所以函数有2个零点，B正确. 对于C，如下图，的图象与函数的图象有1个公共点， 所以函数仅有1个零点，C错误. 对于D，函数，且的图象经过定点， 当时，，不合题意； 当时，是增函数， 所以，得，所以的取值范围为，D正确. 11．已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，（），则（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先去绝对值，得到，画出对应图像，有四个不等的实数解，所以与有四个不同的交点，由图象可知，对于BCD，结合，，，，验证选项即可. 【详解】由题可知，，绘制图象如下所示. 令,解得， 令,解得， 令，解得， 令,解得. 对于A，因为方程有四个不等的实数解，所以与有四个不同的交点，由图象可知，故A错误. 对于B，,则,故B正确 对于C,， ，所以，C正确； 对于D，， 因为，， 所以，故，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若函数的零点所在区间为,,则的值为__________________. 【答案】1 【分析】先判断函数的单调性，再由零点存在性定理，结合判断零点区间，从而确定的值. 【详解】因为为上的增函数，也是上的增函数, 所以也为上的增函数. 又,, 所以的零点所在区间为, 所以. 13．若函数有两个零点，其中一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】∵ 函数的二次项系数为， ∴ 函数图象为开口向上的抛物线. ∵ 的两个零点分别位于区间与内， ∴ . 解得. 14．定义，设函数．若函数与轴至少有3个交点，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】设，，由可得. 要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点， 则，解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，无解； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 小明设计的风筝如图所示，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，交点为点，且，若他计划用长为的毛竹制作龙骨（不计损耗），设，四边形的面积为． (1)求出与之间的函数解析式； (2)当取何值时，四边形的面积最大，此时最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当时，四边形的面积最大，最大面积是 【分析】（1）利用化简即可求解； （2）根据，，结合二次函数的单调性即可求解最大值. 【详解】（1）因为，则，因为风筝的两根龙骨和互相垂直， 所以四边形的面积为， 因为，所以，解得：， 所以与之间的函数解析式为， （2）由（1）知， 当时，单调递增， 所以当时，四边形的面积最大，最大值为：， 所以当时，四边形的面积最大，最大面积是 16．（15分） 设是定义在上的奇函数，，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)当时，求方程的所有实根之和. 【答案】(1) (2)当时，所有实根之和为；当时，所有实根之和为。 【分析】（1）首先根据函数的奇偶性求解的解析式，再根据已知条件求得的解析式，进而求得答案； （2）首先画出函数在上的图象，然后结合图象根据对称性求得函数实根之和. 【详解】（1）若，则，则， 因为为奇函数，所以，即，. 所以当时，. 若，则， 因为，所以. 综上，当时，的解析式为. （2）作出函数在上的图象，如图， 则函数的最小值为， 若，则方程在上的解为或，则； 若，则在上有个解，且它们分别关于直线和对称， 设它们从小到大依次为，，，，则，，则. 综上可得，当时，的所有实根之和为， 当时，的所有实根之和为. 17．（15分） 随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 1 2 3 4 会员个数（千人） 14 20 29 43 (1)依据表中数据，从下列两种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②且 (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 【答案】(1)选择②，，. (2) 【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型②，用表格中三个点的数据代入模型②的解析式，通过构造方程组即可求得该模型的表达式； （2）根据（1）中结论可将不等式整理为对恒成立，采用换元法，结合二次函数的性质可求得的最大值，从而得到的取值范围. 【详解】（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，且函数增长的速度越来越快， 选择②（且） 代入表格中的三个点可得：，解得： ，. （2）由（1）可知：，，故不等式对恒成立， 对恒成立， 令，则，，， 在上单调递增，，，. 18．（17分） 已知函数，． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在，使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． (3) 【详解】（1）（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有解得． 故实数的取值范围是． （2）不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，． 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （3）当时，因为， 令，当且仅当时，等号成立； 则关于的方程可化为， 故关于的方程有四个不等实根， 即有两个不同正根，则 由②③式可得， 由①知：存在，使不等式成立，故， 即，解得（舍）或， 综上，实数的取值范围是． 19．（17分） 对于定义在上的函数，若存在实数，使得，则称为的一个二阶不动点；若还满足，则称为的一个真二阶不动点. (1)已知函数，求的所有二阶不动点，并指出其中真二阶不动点的个数； (2)已知函数，证明：没有真二阶不动点； (3)设，若存在真二阶不动点，求实数的取值范围. 【答案】(1)二阶不动点为；真二阶不动点个数为 (2)略 (3) 【分析】（1）利用定义求解，求出的解就是所有二阶不动点，解出的解，则在二阶不动点中去掉满足的解，剩下的就是真二阶不动点，通过计算得到结论. （2）计算，得到或，解出的解为，求出，满足.根据定义得到结论. （3）由存在真二阶不动点得到，通过计算得到或，要存在真二阶不动点，即方程要有实数根，并且它的根不是方程的根，通过计算得到结论. 【详解】（1），， 则， 即， 即， 解得. ，解也是. 也就是所有二阶不动点都满足，不满足，没有真二阶不动点. 则二阶不动点为；真二阶不动点个数为. （2），， ， 令，解得， 即或， 解， 解得 ，即， 因为，所以. 所以方程的实数解只有. 检验：，满足. 即所有二阶不动点都满足，不存在满足的真二阶不动点. 即没有真二阶不动点. （3）因为存在真二阶不动点， 所以， 则， 方程：， 解得， 即， 解得或， 要存在真二阶不动点，即方程要有实数根， 并且它的根不是方程的根. ① 方程有实根，则判别式， ， 解得， ②联立， 两式相减得到， 将代入， 得到， 当时，，根，这个根同时也是不动点方程的根. 此时方程的根就是不动点，不能作为真二阶不动点， 因此要舍去. 综上，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第五章 函数应用 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．二次函数的零点为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 3．某工厂生产一种产品，年产量为万件（），总成本（单位：万元），若每件产品售价为9元，且产品生产出来就可以卖出，则当年利润最大时，年产量为（    ） A．3万件 B．3.5万件 C．4万件 D．4.5万件 4．若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则不可能存在实数使得 5．已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量y（单位：百件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（     ） A．80元 B．8000元 C．90元 D．9000元 8．已知水质达标的一项标准为硼浓度不大于．现利用某海水淡化装置去除某水体中的微量硼元素，其初始硼浓度为，经过分钟过滤后，硼浓度满足，则若使硼浓度达到标准至少需要过滤（   ） （参考数据：，，） A．26分钟 B．27分钟 C．28分钟 D．29分钟 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（      ） A． B． C． D． 10．如图，已知函数的图象由曲线与线段构成，则下列结论正确的是（    ） A．函数有2个零点 B．函数有2个零点 C．函数有2个零点 D．若，且，则的取值范围为 11．已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，（），则（     ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若函数的零点所在区间为,,则的值为__________________. 13．若函数有两个零点，其中一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数的取值范围是______． 14．定义，设函数．若函数与轴至少有3个交点，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 小明设计的风筝如图所示，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，交点为点，且，若他计划用长为的毛竹制作龙骨（不计损耗），设，四边形的面积为． (1)求出与之间的函数解析式； (2)当取何值时，四边形的面积最大，此时最大面积是多少？ 16．（15分） 设是定义在上的奇函数，，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)当时，求方程的所有实根之和. 17．（15分） 随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 1 2 3 4 会员个数（千人） 14 20 29 43 (1)依据表中数据，从下列两种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②且 (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 18．（17分） 已知函数，． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在，使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 19．（17分） 对于定义在上的函数，若存在实数，使得，则称为的一个二阶不动点；若还满足，则称为的一个真二阶不动点. (1)已知函数，求的所有二阶不动点，并指出其中真二阶不动点的个数； (2)已知函数，证明：没有真二阶不动点； (3)设，若存在真二阶不动点，求实数的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第五章 函数应用 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．二次函数的零点为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 3．某工厂生产一种产品，年产量为万件（），总成本（单位：万元），若每件产品售价为9元，且产品生产出来就可以卖出，则当年利润最大时，年产量为（    ） A．3万件 B．3.5万件 C．4万件 D．4.5万件 4．若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则不可能存在实数使得 5．已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量y（单位：百件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（     ） A．80元 B．8000元 C．90元 D．9000元 8．已知水质达标的一项标准为硼浓度不大于．现利用某海水淡化装置去除某水体中的微量硼元素，其初始硼浓度为，经过分钟过滤后，硼浓度满足，则若使硼浓度达到标准至少需要过滤（   ） （参考数据：，，） A．26分钟 B．27分钟 C．28分钟 D．29分钟 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（      ） A． B． C． D． 10．如图，已知函数的图象由曲线与线段构成，则下列结论正确的是（    ） A．函数有2个零点 B．函数有2个零点 C．函数有2个零点 D．若，且，则的取值范围为 11．已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，（），则（     ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若函数的零点所在区间为,,则的值为__________________. 13．若函数有两个零点，其中一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数的取值范围是______． 14．定义，设函数．若函数与轴至少有3个交点，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 小明设计的风筝如图所示，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，交点为点，且，若他计划用长为的毛竹制作龙骨（不计损耗），设，四边形的面积为． (1)求出与之间的函数解析式； (2)当取何值时，四边形的面积最大，此时最大面积是多少？ 16．（15分） 设是定义在上的奇函数，，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)当时，求方程的所有实根之和. 17．（15分） 随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 1 2 3 4 会员个数（千人） 14 20 29 43 (1)依据表中数据，从下列两种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②且 (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 18．（17分） 已知函数，． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在，使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 19．（17分） 对于定义在上的函数，若存在实数，使得，则称为的一个二阶不动点；若还满足，则称为的一个真二阶不动点. (1)已知函数，求的所有二阶不动点，并指出其中真二阶不动点的个数； (2)已知函数，证明：没有真二阶不动点； (3)设，若存在真二阶不动点，求实数的取值范围. 试题 第3页（共5页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $