高中数学单元测试——第五章函数应用（较易版01）

**基本信息** 本卷为高中数学第五章函数应用单元复习卷（较易版），聚焦零点概念、二分法、函数模型应用等核心知识，通过生活情境（如音量分贝计算、注意力指数建模）渗透数学建模与应用意识，适配单元基础巩固与素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|零点判断、二分法区间确定|基础概念辨析，如第4题通过二分法步骤强化逻辑推理| |多选题|2/12|零点个数与参数关系|第7题结合二次函数判别式考查分类讨论能力| |填空题|2/10|零点求参数、函数图像应用|第10题以追及问题为情境，体现数学眼光观察现实| |解答题|3/48|函数性质与零点、数学建模、单调性证明|第12题构建注意力指数分段函数模型，培养数据意识与应用能力；第13题综合单调性证明与零点问题，发展推理能力|

高中数学单元测试 —— 第五章 函数应用（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 【答案】C 【分析】根据零点定义令计算求解. 【详解】令，，即，解得或． 故选：C. 2．（本题5分）下列函数的图象中没有零点的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】通过观察图象确定正确答案. 【详解】从图中观察知，只有D中函数图象与轴没有交点. 所以D选项函数的图象没有零点. 故选：D 3．（本题5分）函数，则零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断出函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】易知是上的增函数，且，，由零点存在定理知，零点所在区间为. 故选：C. 4．（本题5分）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理可知结果. 【详解】根据已知，，，，， 根据二分法可知该近似解所在的区间是. 故选：C 5．（本题5分）我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求.音量大小的单位是分贝（）.对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到的声音的最低声波强度）.设的声音强度为，的声音强度为，则是的（   ） A．倍 B．10倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】将音量值，代入公式，计算出声音强度与声音强度的值，即得的比值． 【详解】由题知：，， ，， 即，， ，即是的10倍. 故选：B. 6．（本题5分）已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为奇函数求出b的值，继而求出函数的零点的表达式，结合题意列出不等式，即可求得答案. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 故，解得， 故， 而 ，即满足，函数是定义在上的奇函数， 故； 令，解得， 又函数的零点在区间内， 故令，则，令，解得， 即实数的取值范围为， 故选：B 二、多选题 7．（本题6分）对于函数，下列说法中正确的是（　　） A．函数一定有两个零点 B．时，函数一定有两个零点 C．时，函数一定有两个零点 D．函数的零点个数是1或2 【答案】BCD 【分析】根据函数零点的定义求解可得答案. 【详解】当时，函数有唯一零点，故A不正确； 当时，由，，所以函数一定有两个零点，故B、C正确； 所以函数的零点个数是1或2，故D正确. 故选：BCD 8．（本题6分）已知函数，是函数的4个零点，且，则（   ） A．m的取值范围是 B．的最小值是4 C． D．的最大值是 【答案】ACD 【分析】作出的大致图象，将函数的零点的个数问题转化为两个函数图象交点个数的问题，数形结合并结合基本不等式和对勾函数性质即可逐项分析求解. 【详解】作出的大致图象，如图所示． 因为函数有4个零点，所以方程有4个根， 所以 图象与图象有4个交点，所以由图可知，选项A正确； 由图可知，且是的两根，， 所以，即，所以，则． 因为，对勾函数在上单调递减， 所以，即，选项B错误； 由图可知，是的两根，， 所以，即，则，选项C正确． 因为，所以，当且仅当即时等号成立． 因为，所以，选项D正确． 故选：ACD． 三、填空题 9．（本题5分）已知函数，若1是此函数的零点，则实数的值是______． 【答案】0 【分析】由得出. 【详解】因为1是此函数的零点，所以，解得. 故答案为： 10．（本题5分）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 ____米．    【答案】2080 【分析】设小明原速度为x每分钟，则拿到书后的速度为1.25x米/分钟，家校距离为．设爸爸行进速度为y米/分钟，由题意及图形得方程组，求出x、y的值即可解答． 【详解】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为 ， 设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：， 解得： ∴小明家到学校的路程为：（米）. 故答案为：2080． 四、解答题 11．（本题14分）已知函数是偶函数.当时，. (1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围； (2)已知，试讨论的零点个数，并求对应的的取值范围. 【答案】(1) (2)令，即， 由（1）作出的图象如图：        由图像可知： 当时，有两个零点； 当时，有四个零点； 当时，有六个零点； 当时，有三个零点； 当时，没有零点. 【分析】（1）先根据奇偶性求函数解析式，进而结合图象即可求解； （2）先画出函数的图象，进而图象即可求解. 【详解】（1）设，则，则， 因为为偶函数， 所以， 所以，作出的图象如图：    因为函数在区间上具有单调性， 由图可得或，解得或； 所以实数的取值范围是. （2）略 12．（本题16分）注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄阶段、一天的不同时段、不同性别、不同地区的人群，科学界有很多种不同的算法模型.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注意力集中指数的值越大，集中程度越高，越有利于学习.数据显示在上午第三节40分钟的课中，高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响.开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生的注意力集中指数开始降低.经过实验分析，得出学生的注意力集中指数与时间（分钟）的关系为：当时，是的一次函数，其中1分钟时注意力集中指数为70，5分钟时注意力集中指数为78；当时，是的二次函数，其中20分钟时注意力集中指数达到最大值，最大值为100. (1)求关于的解析式； (2)如果学生的注意力集中程度不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）（参考数据：） 【答案】(1) (2)分钟 【分析】（1）利用待定系数法来求得关于的解析式； （2）根据已知条件列不等式，由此求得正确答案. 【详解】（1）当时，设， 依题意解得，所以， 当时，， 当时，设， 将代入上式得， 所以. 综上所述，. （2）由解得， 由， 得，， 所以. 综上所述，，共分钟. 13．（本题18分）已知，. (1)证明：； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 【答案】(1). (2)在上单调递增，证明如下： 的定义域为，任取，，则，即， 由，可得， 故在上单调递增. (3) 【分析】（1）将函数式代入待证式，计算即得证； （2）根据函数的单调性定义，和指数函数的单调性证明即可； （3）将在区间上与x轴有2个交点转化成在时有2个实数根，利用函数的单调性求出的值域，即得参数m的取值范围. 【详解】（1）略 （2）略 （3）.因为的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，在时有2个实数根， 即在时有2个实数根， 令，易知在区间上单调递增，故， 由可得，令，， 由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，即实数m的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章 函数应用（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 2．（本题5分）下列函数的图象中没有零点的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．（本题5分）函数，则零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求.音量大小的单位是分贝（）.对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到的声音的最低声波强度）.设的声音强度为，的声音强度为，则是的（   ） A．倍 B．10倍 C．倍 D．倍 6．（本题5分）已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）对于函数，下列说法中正确的是（　　） A．函数一定有两个零点 B．时，函数一定有两个零点 C．时，函数一定有两个零点 D．函数的零点个数是1或2 8．（本题6分）已知函数，是函数的4个零点，且，则（   ） A．m的取值范围是 B．的最小值是4 C． D．的最大值是 三、填空题 9．（本题5分）已知函数，若1是此函数的零点，则实数的值是______． 10．（本题5分）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 ____米．    四、解答题 11．（本题14分）已知函数是偶函数.当时，. (1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围； (2)已知，试讨论的零点个数，并求对应的的取值范围. 12．（本题16分）注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄阶段、一天的不同时段、不同性别、不同地区的人群，科学界有很多种不同的算法模型.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注意力集中指数的值越大，集中程度越高，越有利于学习.数据显示在上午第三节40分钟的课中，高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响.开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生的注意力集中指数开始降低.经过实验分析，得出学生的注意力集中指数与时间（分钟）的关系为：当时，是的一次函数，其中1分钟时注意力集中指数为70，5分钟时注意力集中指数为78；当时，是的二次函数，其中20分钟时注意力集中指数达到最大值，最大值为100. (1)求关于的解析式； (2)如果学生的注意力集中程度不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）（参考数据：） 13．（本题18分）已知，. (1)证明：； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $