第六章 统计（单元自测）高一数学北师大版必修第一册

2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第六章 统计 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．为了解某地参加国防素养大赛测试的1000名学生的成绩，从中抽取了100名学生进行调查分析.在这个问题中，被抽到的100名学生的成绩是（    ） A．总体 B．样本 C．个体 D．样本量 2．某班有男生人，女生人，用分层抽样的方法从该班抽取人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为（   ） A． B． C． D． 3．个数据的第百分位数是（     ） A． B． C． D． 4．某快递公司为优化配送路线，从100000单快递中随机抽取了1000单，将这1000单快递的配送时长（单位：分钟）按照，，，，，分成6组，绘制成如下频率分布直方图： 由此可估计这100000单快递中配送时长不超过30分钟的快递单数为（    ） A．20000 B．30000 C．40000 D．50000 5．为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如表：则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（   ） 学生数 平均分 方差 男生 6 80 4 女生 4 75 2 A．， B．， C．， D．， 6．一组递增数据，，，，的平均数为4，方差为3，极差为5，若，则（    ） A．，，，，的极差为5 B．，，，，的方差为9 C．，，，，的第40百分位数为 D．，，，，的平均数为10 7．已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（   ） A．8个 B．6个 C．4个 D．1个 8．袋中共有编号为0~9的完全相同的10个小球，甲、乙、丙、丁四名同学分别有放回地各抽取10次，记录抽出小球的编号.甲统计的数据为“平均数为3，中位数为4”，乙统计的数据为“中位数为3，众数为4”，丙统计的数据为“平均数为3，第25百分位数为1”，丁统计的数据为“平均数为2，方差为3”，根据统计数据估计，摸出的10个球的编号一定全部不大于7的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．一组数据，，，，，，，，则下列说法正确的有（    ） A．这组数据的平均数是 B．这组数据的极差是 C．这组数据的众数是 D．这组数据的中位数是 10．某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长．现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（     ） A．频率分布直方图中 B．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为79.5 C．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似值为82.5 D．若落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，则落在的平均成绩为87，落在的成绩的方差为23 11．有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知某学校高一年级有人．现由按比例分配分层抽样的方法从该学校抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取了人，则该学校的学生总共有________人． 13．吉林市一中学有男生900人，女生600人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15．结合上述数据估计该校学生每天读书时间的方差为__________． 14．在一组数据0，3，5，7，10中加入一个整数a得到一组新数据，这组新数据与原数据相比平均数不增大且方差减小，则a的一个取值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界.在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整） 组（蒙特利尔站）：80，80，82，78，93. 组（柏林站）：81，80，86，99，86. (1)请写出这10个得分的众数、极差以及，两组各自的平均成绩； (2)请你分别计算两站比赛得分的方差，并根据计算结果分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？ 16．（15分） 某学校组织100名学生参加体能测试，将他们的成绩（满分100分）分成六组: ，， ，，，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中 a的值及这100名学生中体测成绩在的人数； (2)估计这100名学生体测成绩的平均数与第75百分位数. 17．（15分） 电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差． 18．（17分） 为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 19．（17分） 某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第六章 统计（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C C B D B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AB ABCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．1500 13．108 14．2(答案不唯一，中任取一个都正确) 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 【答案】(1)众数为80，极差为，A组的平均成绩为，B组的平均成绩为. (2)A组的方差为，B组的方差为，蒙特利尔站全红婵发挥更稳定. 【详解】（1）由题意，这10个分数的众数为80，.................1分 极差为，.................2分 A组的平均成绩为，.................4分 B组的平均成绩为..................6分 （2）A组的方差为，.................8分 B组的方差为，.................10分 因为，.................12分 所以蒙特利尔站全红婵发挥更稳定..................13分 16.（15分） 【答案】(1)，成绩在的人数为55. (2)估计这100名学生体测成绩的平均数是72，第75百分位数是82. 【详解】（1）因为图中所有矩形面积之和为1，所以 ，解得..................2分 成绩在的人数所占比例为， .................4分 成绩在的人数为：..................6分 （2）各组成绩中点：45，55，65，75，85，95..................8分 各组对应频率：：，：，：，：，：，：..................12分 100名学生体测成绩的平均数为：..................13分 的成绩比例为，的成绩比例为0.25，，.................14分 第75名的成绩在，设该百分位数为x，，解得..................15分 17.（15分） 【答案】(1)众数为35，平均数为30，中位数为30.8． (2)平均数为32，方差为． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，最高矩形对应的区间为，.................1分 所以众数为该区间的中点值，即．.................2分 平均数为： ．.................4分 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以中位数位于区间内．.................5分 设中位数为，则，.................6分 解得． 故估计观看此电影的观众的年龄的众数为35，平均数为30，中位数为30.8．................7分 （2）由频率分布直方图可知，落在的频率为，落在的频率为． 设落在的样本量为，落在的样本量为，则，即，则．................9分 由题意知，，；，． 则合并后的平均数．.................11分 合并后的方差 ．.................14分 故两组年龄合并后的平均数为32，方差为．................15分 18.（17分） 【答案】(1)，； (2)餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数 (3) 【详解】（1）B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为.................1分 频率分布直方图组距为2，故.................2分 所有区间频率和为，即，解得.................4分 （2）餐厅满意指数平均数..................6分 餐厅满意指数平均数..................8分 故..................9分 （3）B餐厅第三组频率为，人数为，平均数7，方差2； ................10分 第四组人数为，平均数9，方差1..................11分 混合数据平均数..................12分 方差..................15分 19.（17分） 【答案】(1)数学、英语竞赛前10名分数的平均数分别为140、140；标准差分别为； (2)（i）正确的英语竞赛前10名分数的标准差为； （ii），，证明略. 【详解】（1）设数学、英语竞赛前10名的平均分分别为、，标准差分别为、， 则，.................1分 .................2分 ，.................3分 .................4分 （2）（i）因为正确的数学竞赛前名的平均分为，所以正确总分比错误的总分多了分， 所以该同学数学成绩与英语成绩相差分，由茎叶图，可能是英语132分数学142分统计反了；也可能是英语134分数学144分统计反了；.................5分 若英语132分数学142分，则；.................6分 若英语134分数学144分，则；.................7分 所以是英语132分数学142分统计反了..................8分 所以英语正确的平均分，.................9分 英语正确分数的标准差；.................10分 （ii），，证明如下： 设转换公式为，则，.................11分 所以，将代入，.................12分 得，所以，，.................13分 即满足要求的线性转换公式为：，下面证明 因为“分数”转换之前的10个正确分数的平均分是，标准差为， 则转换后的平均分；................14分 因为，................15分 所以转换后的标准差，.................16分 即转换公式满足条件得证..................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第六章 统计 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．为了解某地参加国防素养大赛测试的1000名学生的成绩，从中抽取了100名学生进行调查分析.在这个问题中，被抽到的100名学生的成绩是（    ） A．总体 B．样本 C．个体 D．样本量 【答案】B 【详解】1000名学生的成绩为总体， 被抽到的100名学生的成绩是样本， 1000名学生中每个学生的成绩为个体， 100为样本量. 2．某班有男生人，女生人，用分层抽样的方法从该班抽取人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知男生人，女生人，男女比例为，抽取的女生人数为. 3．个数据的第百分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】个数据， 这个数据已经从小到大排序，且， 则， 不是整数，则向上取整数， 则第百分位数是这个数据的第个数值. 4．某快递公司为优化配送路线，从100000单快递中随机抽取了1000单，将这1000单快递的配送时长（单位：分钟）按照，，，，，分成6组，绘制成如下频率分布直方图： 由此可估计这100000单快递中配送时长不超过30分钟的快递单数为（    ） A．20000 B．30000 C．40000 D．50000 【答案】C 【详解】由频率分布直方图可知，配送时长不超过30分钟的频率为， 所以，由此可估计这100000单快递中配送时长不超过30分钟的快递单数为. 5．为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如表：则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（   ） 学生数 平均分 方差 男生 6 80 4 女生 4 75 2 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】可估计全班学生数学的平均分为， 方差为. 6．一组递增数据，，，，的平均数为4，方差为3，极差为5，若，则（    ） A．，，，，的极差为5 B．，，，，的方差为9 C．，，，，的第40百分位数为 D．，，，，的平均数为10 【答案】D 【分析】利用平均数，方差的性质求解，利用百分位数的定义求解. 【详解】因为递增，，，极差，， 所以的平均数为，方差为，极差为， A选项，的极差，A错误； B选项，的方差，B错误； C选项，百分位数计算：， 当是整数时，第百分位数为第项与第项数据的平均值， 也就是，不是，C错误； D选项，，D正确. 7．已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（   ） A．8个 B．6个 C．4个 D．1个 【答案】B 【分析】由已知条件及百分位数的计算方法，即可求得，从而得出解答. 【详解】因为数据中最小数据为9，可得且，将7个数据从小到大排序， 因为，则该组数据的第75百分位数为第6个数据，可得， 所以，则的可能取值有9，10，11，12，13，14，共6个． 8．袋中共有编号为0~9的完全相同的10个小球，甲、乙、丙、丁四名同学分别有放回地各抽取10次，记录抽出小球的编号.甲统计的数据为“平均数为3，中位数为4”，乙统计的数据为“中位数为3，众数为4”，丙统计的数据为“平均数为3，第25百分位数为1”，丁统计的数据为“平均数为2，方差为3”，根据统计数据估计，摸出的10个球的编号一定全部不大于7的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】举出反例可得ABC错误；D选项，假设若有个小球的编号大于7，不妨设为8（因为此时方差最小），推出矛盾，得到D正确. 【详解】“平均数为3，中位数为4”有可能有大于7的编号，例如0，0，1，1，4，4，4，4，4，8； “中位数为3，众数为4”有可能有大于7的编号，例如0，0，1，1，2，4，4，4，5，9； “平均数为3，第25百分位数为1”有可能有大于7的编号，例如0，0，1，1，4，4，4，4，4，8； “平均数为2，方差为3”，由方差公式，得． 若有一个小球的编号大于7，不妨设为8（因为此时方差最小）， 则，与统计数据有矛盾，故D正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．一组数据，，，，，，，，则下列说法正确的有（    ） A．这组数据的平均数是 B．这组数据的极差是 C．这组数据的众数是 D．这组数据的中位数是 【答案】AB 【分析】本题考查统计中平均数、极差、众数、中位数的基本概念与计算方法，先将数据按从小到大排序，再分别计算各统计量判断选项正误. 【详解】  先将原数据从小到大排序得：，，，，，，，，共个数据。 选项A：平均数为所有数据和除以数据个数，所有数据和为，平均数，故A正确； 选项B：极差为最大值减最小值，最大值为，最小值为，极差，故B正确； 选项C：众数是一组数据中出现次数最多的数，出现次，出现次数最多，故众数为，C错误； 选项D：数据共个（偶数个），中位数为排序后第个和第个数据的平均数，即，不是，故D错误. 10．某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长．现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（     ） A．频率分布直方图中 B．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为79.5 C．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似值为82.5 D．若落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，则落在的平均成绩为87，落在的成绩的方差为23 【答案】ABCD 【分析】先用“各矩形面积之和为”求出；再用各组的频率乘以组中点值求和得平均数；求百分位数时先比较累计频率确定所在的组，再在该组内按频率比例插值；最后利用“两组数据合并后方差”的关系求出合并后的方差. 【详解】对于A，由频率分布直方图，可得，解得，A正确. 对于B，各组频率依次为、、、（对应区间、、、）， 取各组的中点值、、、， 则平均数约为，B正确. 对于C，因为累计频率为，为， 所以第百分位数落在内，为，C正确. 对于D，与的频率之比为，故可设两组数据个数分别为、. 则总平均数 ，与选项吻合； 总方差， 其中， 同理， 所以，D正确. 11．有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由排序确定中位数不变，通过分析极差可以为4，最后运用方差的公式寻求前后数据的方差关系进而得到结论. 【详解】对于A，令，原中位数，将最大最小去掉后，，此时中位数，所以.故A正确. 对于B，，故B错误. 对于C，因为原数据的平均值为4，所以，去掉，，新的平均值为. 又 所以，因此，故C正确. 对于D，由上述计算，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知某学校高一年级有人．现由按比例分配分层抽样的方法从该学校抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取了人，则该学校的学生总共有________人． 【答案】1500 【详解】设该学校总共有人，则，解得． 13．吉林市一中学有男生900人，女生600人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15．结合上述数据估计该校学生每天读书时间的方差为__________． 【答案】108 【分析】先求该校学生每天读书时间的平均值，再代入方差相关计算公式求解. 【详解】设该校男生、女生每天读书时间的平均值分别为，方差分别为，该校全体学生每天读书时间的平均值为，方差为， 学校有男生900人，女生600人，从中抽取100人，则抽样比为， 其中抽取男生（人），抽取女生（人）， 则（分钟）， . 14．在一组数据0，3，5，7，10中加入一个整数a得到一组新数据，这组新数据与原数据相比平均数不增大且方差减小，则a的一个取值为___________． 【答案】2(答案不唯一，中任取一个都正确) 【分析】根据平均数，方差的计算公式计算即可. 【详解】解：由题意得，原数据的平均数 原数据的方差为 新数据的平均数，解得, 新数据的方差为 ， 将代入得，， 解得：， ，，所以， 故答案为：2(答案不唯一，中任取一个都正确) 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界.在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整） 组（蒙特利尔站）：80，80，82，78，93. 组（柏林站）：81，80，86，99，86. (1)请写出这10个得分的众数、极差以及，两组各自的平均成绩； (2)请你分别计算两站比赛得分的方差，并根据计算结果分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？ 【答案】(1)众数为80，极差为，A组的平均成绩为，B组的平均成绩为. (2)A组的方差为，B组的方差为，蒙特利尔站全红婵发挥更稳定. 【详解】（1）由题意，这10个分数的众数为80， 极差为， A组的平均成绩为， B组的平均成绩为. （2）A组的方差为， B组的方差为， 因为， 所以蒙特利尔站全红婵发挥更稳定. 16．（15分） 某学校组织100名学生参加体能测试，将他们的成绩（满分100分）分成六组: ，， ，，，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中 a的值及这100名学生中体测成绩在的人数； (2)估计这100名学生体测成绩的平均数与第75百分位数. 【答案】(1)，成绩在的人数为55. (2)估计这100名学生体测成绩的平均数是72，第75百分位数是82. 【详解】（1）因为图中所有矩形面积之和为1，所以 ，解得. 成绩在的人数所占比例为， 成绩在的人数为：. （2）各组成绩中点：45，55，65，75，85，95. 各组对应频率：：，：，：，：，：，：. 100名学生体测成绩的平均数为：. 的成绩比例为，的成绩比例为0.25，，第75名的成绩在，设该百分位数为x，，解得. 17．（15分） 电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差． 【答案】(1)众数为35，平均数为30，中位数为30.8． (2)平均数为32，方差为． 【分析】（1）根据频率分布直方图中，众数为最高矩形的中点，中位数为将矩形面积平均分的位置，平均数为各矩形中点与面积乘积的和进行计算； （2）利用均值和方差的计算公式，计算合并后的均值和方差． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，最高矩形对应的区间为， 所以众数为该区间的中点值，即． 平均数为： ． 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以中位数位于区间内． 设中位数为，则， 解得． 故估计观看此电影的观众的年龄的众数为35，平均数为30，中位数为30.8． （2）由频率分布直方图可知，落在的频率为，落在的频率为． 设落在的样本量为，落在的样本量为，则，即，则． 由题意知，，；，． 则合并后的平均数． 合并后的方差 ． 故两组年龄合并后的平均数为32，方差为． 18．（17分） 为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】(1)，； (2)餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【详解】（1）B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为. 频率分布直方图组距为2，故 所有区间频率和为，即，解得. （2）餐厅满意指数平均数. 餐厅满意指数平均数. 故. （3）B餐厅第三组频率为，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1. 混合数据平均数. 方差. 19．（17分） 某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 【答案】(1)数学、英语竞赛前10名分数的平均数分别为140、140；标准差分别为； (2)（i）正确的英语竞赛前10名分数的标准差为； （ii），，证明如下： 设转换公式为，则， 所以，将代入， 得，所以，， 即满足要求的线性转换公式为：，下面证明 因为“分数”转换之前的10个正确分数的平均分是，标准差为， 则转换后的平均分； 因为， 所以转换后的标准差， 即转换公式满足条件得证. 【分析】（1）根据茎叶图给出的数据，利用平均数、标准差公式直接计算；（2）（i）由数学平均分的差异说明该同学正确的成绩应该是数学比英语多10分，找到可能的数据，利用标准差验证；（ii）给定线性转换公式，并验证. 【详解】（1）设数学、英语竞赛前10名的平均分分别为、，标准差分别为、， 则， ， （2）（i）因为正确的数学竞赛前名的平均分为，所以正确总分比错误的总分多了分， 所以该同学数学成绩与英语成绩相差分，由茎叶图，可能是英语132分数学142分统计反了；也可能是英语134分数学144分统计反了； 若英语132分数学142分，则； 若英语134分数学144分，则； 所以是英语132分数学142分统计反了. 所以英语正确的平均分， 英语正确分数的标准差； （ii），，证明略. 【点睛】利用转换公式建立新旧数据平均数与标准差的关系，确定的取值是关键. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第六章 统计 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．为了解某地参加国防素养大赛测试的1000名学生的成绩，从中抽取了100名学生进行调查分析.在这个问题中，被抽到的100名学生的成绩是（    ） A．总体 B．样本 C．个体 D．样本量 2．某班有男生人，女生人，用分层抽样的方法从该班抽取人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为（   ） A． B． C． D． 3．个数据的第百分位数是（     ） A． B． C． D． 4．某快递公司为优化配送路线，从100000单快递中随机抽取了1000单，将这1000单快递的配送时长（单位：分钟）按照，，，，，分成6组，绘制成如下频率分布直方图： 由此可估计这100000单快递中配送时长不超过30分钟的快递单数为（    ） A．20000 B．30000 C．40000 D．50000 学生数 平均分 方差 男生 6 80 4 女生 4 75 2 5．为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如表：则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．一组递增数据，，，，的平均数为4，方差为3，极差为5，若，则（    ） A．，，，，的极差为5 B．，，，，的方差为9 C．，，，，的第40百分位数为 D．，，，，的平均数为10 7．已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（   ） A．8个 B．6个 C．4个 D．1个 8．袋中共有编号为0~9的完全相同的10个小球，甲、乙、丙、丁四名同学分别有放回地各抽取10次，记录抽出小球的编号.甲统计的数据为“平均数为3，中位数为4”，乙统计的数据为“中位数为3，众数为4”，丙统计的数据为“平均数为3，第25百分位数为1”，丁统计的数据为“平均数为2，方差为3”，根据统计数据估计，摸出的10个球的编号一定全部不大于7的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．一组数据，，，，，，，，则下列说法正确的有（    ） A．这组数据的平均数是 B．这组数据的极差是 C．这组数据的众数是 D．这组数据的中位数是 10．某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长．现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（     ） A．频率分布直方图中 B．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为79.5 C．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似值为82.5 D．若落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，则落在的平均成绩为87，落在的成绩的方差为23 11．有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知某学校高一年级有人．现由按比例分配分层抽样的方法从该学校抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取了人，则该学校的学生总共有________人． 13．吉林市一中学有男生900人，女生600人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15．结合上述数据估计该校学生每天读书时间的方差为__________． 14．在一组数据0，3，5，7，10中加入一个整数a得到一组新数据，这组新数据与原数据相比平均数不增大且方差减小，则a的一个取值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界.在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整） 组（蒙特利尔站）：80，80，82，78，93. 组（柏林站）：81，80，86，99，86. (1)请写出这10个得分的众数、极差以及，两组各自的平均成绩； (2)请你分别计算两站比赛得分的方差，并根据计算结果分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？ 16．（15分） 某学校组织100名学生参加体能测试，将他们的成绩（满分100分）分成六组: ，， ，，，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中 a的值及这100名学生中体测成绩在的人数； (2)估计这100名学生体测成绩的平均数与第75百分位数. 17．（15分） 电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差． 18．（17分）为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 19．（17分）某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 试题 第3页（共5页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $