第六章 统计 章末检测试卷-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 2026秋北师大版高一数学必修一第六章统计章末检测卷，120分钟150分，覆盖统计核心知识，以人口老龄化、射击选拔等真实情境命题，适配单元复习，培养数据意识与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|总体个体样本、分层抽样、分位数|结合村庄人口调查（题1）、身高估算（题3），考查数学眼光| |多选|3/18|频率分布直方图、折线图、哈希表|融入学生支出调查（题9）、门店营业额分析（题10），体现数据分析| |填空|3/15|随机数表抽样、众数中位数、方差|零件抽样（题12）、视力统计（题13），强化数学语言表达| |解答|5/77|分层抽样应用、方差计算、销售决策|人口老龄化健康评估（题15）、鱼卷销售利润（题17），培养数学思维与应用意识|

2026秋北师大版高一数学必修一 第六章 统计 章末检测试卷 [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.某社会学专业的大学生为调查某村庄372户、共1 511位村民的年龄情况，从该村档案室中抽查了200位村民的基本信息.关于此次调查，下列说法错误的是(　　) A.1 511位村民的年龄是总体 B.该村的每位村民的年龄是个体 C.被抽到的200位村民的年龄是样本容量 D.本次抽查获得了200个样本的观测数据 2.某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为(　　) A.42 B.45 C.49 D.50 3.为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.50 m，由此可推断我国13岁男孩的平均身高为(　　) A.1.54 m B.1.55 m C.1.56 m D.1.57 m 4.甲、乙两组各8名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)如下. 甲：9，16，25，18，24，x，27，24. 乙：8，17，y，13，24，28，20，22. 已知甲组数据的25%分位数为14，乙组数据的平均数为18.5，则x，y的值分别为(　　) A.12，16 B.12，18 C.14，16 D.14，18 5.将某年级的300名学生分配到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加志愿者活动，每个人只能到一个社区，经统计，将到各个社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图，则到戊社区参加志愿者活动的学生人数为(　　) A.65 B.70 C.75 D.80 6.如图是统计某样本数据得到的频率分布直方图，已知该样本容量为300，则样本数据落在[6，14)内的频数为(　　) A.68 B.170 C.204 D.240 7.已知在某市委宣传部举办的中小学“红心向党”主题演讲比赛中，某选手共得9位评委的原始评分，若去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，一定不变的数字特征是(　　) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 8.某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登记分，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为，s2，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则(　　) A.=，s2= B.=，s2< C.=，s2> D.<，s2= 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]元的学生有45人，则下列说法正确的是(　　) A.样本中支出在[50，60]元的频率为0.03 B.n的值为150 C.采用分层随机抽样的方法从这45人中抽出10人，则在[30，50)元中共需抽出5人 D.该校学生一周生活方面支出的75%分位数大约是52元(精确到个位数) 10.某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额(单位：万元)进行统计并得到如图所示的折线图. 下面关于两个门店营业额的分析中，正确的是(　　) A.甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而平均营业额约为32万元 B.根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均数在[20，25]内 C.根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势 D.乙门店在这9个月中的营业额的极差为25万元 11.哈希表是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为3时，键值为13的数据因13÷3余1，应存放于位置1中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置(如键值10和13均映射到同一位置).现有一个容量为7个位置(编号0~6)的哈希表，以除留余数法(除数为7)进行映射，需要存储22个数据.设这7个位置存放的数据个数分别为a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，则下列说法中错误的是(　　) A.至少有1个位置存放了不少于5个数据 B.若这22个数据的键值恰好是0~44间的所有奇数，则a0~a6的中位数为2 C.若a0~a6的方差为s2，则s2的最小值为0，最大值为 D.若a0~a6的极差为5，则最多有2个位置没有存放数据 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 第1行　66　67　40　37　14　64　15　71　11　05　65　09　95　86　68　76　83　20　37　90 第2行　57　16　03　11　63　14　90　84　45　21　75　73　88　05　90　52　23　59　43　10 若从表中第1行第5列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是　　　　. 13.中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.从左至右五个小组的频率之比是5∶7∶12∶10∶6，则这400名学生视力的众数约为　　　　，中位数约为　　　　. 14.已知9名学生在某次知识竞赛中成绩的平均数为80，方差为20，则这9名学生成绩的中位数的最大值为　　　　. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)我们国家正处于人口老龄化进程中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，其中老年人(年龄60岁及以上)人数约有66万.为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如图所示的统计图. (1)若采用分层随机抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人，进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？(6分) (2)估算该市80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比.(7分) 16.(15分)甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩(满分10分，8分及以上为优秀)，如下表所示： 甲射击成绩 10 9 7 8 10 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 9 (1)分别求出甲、乙两名运动员6次射击成绩的平均数与方差；(10分) (2)判断哪位运动员的射击成绩更好？(5分) 17.(15分)鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户.当地的习俗是阴历正月不生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在上一年阴历十二月底进行一次性采购，小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位：箱)在[100，200]的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量制成表，如表所示. 采购数量x [100，120) [120，140) [140，160) [160，180) [180，200] 客户数 10 10 5 20 5 (1)根据表中的数据作出频率分布直方图，并估计采购数量不少于168箱的“熟客”人数；(5分) (2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的，估算小张去年年底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(5分) (3)由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若不在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m元(2≤m≤5)销售量可增加1 000m箱，求小张今年年底收入Y(单位：元)的最大值.(5分) 18.(17分)“文明城市”是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值；(5分) (2)求样本成绩的75%分位数；(5分) (3)已知落在[50，60)内的平均成绩是54，方差是7，落在[60，70)内的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2.(7分) 19.(17分)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如图所示的条形统计图. 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若n=19，求y与x的函数解析式；(4分) (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；(4分) (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？(9分) 答案解析 [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.某社会学专业的大学生为调查某村庄372户、共1 511位村民的年龄情况，从该村档案室中抽查了200位村民的基本信息.关于此次调查，下列说法错误的是(　　) A.1 511位村民的年龄是总体 B.该村的每位村民的年龄是个体 C.被抽到的200位村民的年龄是样本容量 D.本次抽查获得了200个样本的观测数据 答案　C 解析　显然选项A，B，D均正确；样本容量为200，故选项C错误. 2.某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为(　　) A.42 B.45 C.49 D.50 答案　C 解析　由题可得总人数为400+400+600=1 400，抽样比为=， 所以样本容量为1 400×=49. 3.为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.50 m，由此可推断我国13岁男孩的平均身高为(　　) A.1.54 m B.1.55 m C.1.56 m D.1.57 m 答案　C 解析　我国13岁男孩的平均身高为=1.56(m). 4.甲、乙两组各8名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)如下. 甲：9，16，25，18，24，x，27，24. 乙：8，17，y，13，24，28，20，22. 已知甲组数据的25%分位数为14，乙组数据的平均数为18.5，则x，y的值分别为(　　) A.12，16 B.12，18 C.14，16 D.14，18 答案　A 解析　将甲组除x外的7个数据从小到大排列为9，16，18，24，24，25，27， 因为8×25%=2，所以14×2=16+x， 所以x=12. 因为18.5=(8+17+y+13+24+28+20+22)，所以y=16. 5.将某年级的300名学生分配到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加志愿者活动，每个人只能到一个社区，经统计，将到各个社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图，则到戊社区参加志愿者活动的学生人数为(　　) A.65 B.70 C.75 D.80 答案　A 解析　由条形统计图和扇形统计图得，乙社区参加志愿者的人数为20%×300=60，丙社区参加志愿者的人数为15%×300=45.所以到戊社区参加志愿者活动的学生人数为300-45-60-45-85=65. 6.如图是统计某样本数据得到的频率分布直方图，已知该样本容量为300，则样本数据落在[6，14)内的频数为(　　) A.68 B.170 C.204 D.240 答案　C 解析　样本数据落在[6，14)内的频率为(0.08+0.09)×4=0.68，所以样本数据落在[6，14)内的频数为300×0.68=204. 7.已知在某市委宣传部举办的中小学“红心向党”主题演讲比赛中，某选手共得9位评委的原始评分，若去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，一定不变的数字特征是(　　) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 答案　A 解析　设原始评分为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，且a1≤a2≤a3≤…≤a9， 则去掉一个最高分a9和一个最低分a1后，与原始评分相比，中位数都是a5，一定不变； 新的极差为a8-a2，由于a1≤a2， a8≤a9，所以a8-a2≤a9-a1， 通常情况下极差会变小，故不一定不变； 平均数受极端值影响较大，故平均数可能发生变化，进而方差也可能发生变化. 8.某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登记分，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为，s2，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则(　　) A.=，s2= B.=，s2< C.=，s2> D.<，s2= 答案　C 解析　设这个班有n个同学，得分分别为a1，a2，…，ai，…，an，第i个同学的得分没登记(ai=)， 第一次计算时，总分为(n-1)， 方差为s2=·[(a1-)2+…+(ai-1-)2+(ai+1-)2+…+(an-)2]. 第二次计算时，平均分==， 方差=[(a1-)2+…+(ai-1-)2+(ai+1-)2+…+(an-)2+(-)2]=s2，故s2>. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]元的学生有45人，则下列说法正确的是(　　) A.样本中支出在[50，60]元的频率为0.03 B.n的值为150 C.采用分层随机抽样的方法从这45人中抽出10人，则在[30，50)元中共需抽出5人 D.该校学生一周生活方面支出的75%分位数大约是52元(精确到个位数) 答案　BD 解析　对于A，样本中支出在[50，60]元的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，故A错误； 对于B，由A知n==150，故B正确； 对于C，样本支出在[30，50)元的频率为(0.024+0.036)×10=0.6，则在[30，50)元中共需抽出×(0.6×150)=20(人)，故C错误； 对于D，因为样本中支出在[20，50)元的频率为0.7，所以75%分位数位于区间[50，60]内，记为x， 则=，解得x=≈52，所以75%分位数大约是52元，故D正确. 10.某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额(单位：万元)进行统计并得到如图所示的折线图. 下面关于两个门店营业额的分析中，正确的是(　　) A.甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而平均营业额约为32万元 B.根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均数在[20，25]内 C.根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势 D.乙门店在这9个月中的营业额的极差为25万元 答案　BCD 解析　对于A，甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，最高营业额为32万元，平均营业额远低于32万元，A错误. 对于B，甲门店的营业额的平均数为 =≈21.6. 即该门店营业额的平均数在[20，25]内，B正确. 对于C，根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势，C正确. 对于D，乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元，最小值为5万元，则极差为25万元，D正确. 11.哈希表是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为3时，键值为13的数据因13÷3余1，应存放于位置1中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置(如键值10和13均映射到同一位置).现有一个容量为7个位置(编号0~6)的哈希表，以除留余数法(除数为7)进行映射，需要存储22个数据.设这7个位置存放的数据个数分别为a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，则下列说法中错误的是(　　) A.至少有1个位置存放了不少于5个数据 B.若这22个数据的键值恰好是0~44间的所有奇数，则a0~a6的中位数为2 C.若a0~a6的方差为s2，则s2的最小值为0，最大值为 D.若a0~a6的极差为5，则最多有2个位置没有存放数据 答案　ABC 解析　设ai为除以7的余数为i(i=0，1，2，3，4，5，6)的数据的个数. 对于A，不妨假设这7个位置存放的数据个数分别为3，3，3，3，3，3，4，A错误； 对于B，由题意可知，这些奇数分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43， 这些数据除以7的余数分别为1，3，5，0，2，4，6，1，3，5，0，2，4，6，1，3，5，0，2，4，6，1， 所以a0=3，a1=4，a2=3，a3=3，a4=3，a5=3，a6=3， 将a0~a6这7个数由小到大排列依次为3，3，3，3，3，3，4，中位数为3，B错误； 对于C，由题意可知，a0~a6这7个数的平均数为=，且3<<4，<， 因为ai∈N(i=0，1，2，3，4，5，6)，s2=， 当a0~a6这7个数中有6个3，1个4时，s2取得最小值，即(s2)min=6×+=， 当a0~a6这7个数中有6个0，1个22时，s2取得最大值，即(s2)max=6×+=，C错误； 对于D，因为a0~a6的极差为5， 若存在一些位置没有存放数据，则a0~a6这7个数据中的最小值为0，最大值为5， 因为22=5×4+2，此时至少需要5个位置存放数据，则至多有2个位置没有存放数据，D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 第1行　66　67　40　37　14　64　15　71　11　05　65　09　95　86　68　76　83　20　37　90 第2行　57　16　03　11　63　14　90　84　45　21　75　73　88　05　90　52　23　59　43　10 若从表中第1行第5列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是　　　　. 答案　15 解析　从随机数表第1行第5列的数字开始由左向右每次连续读取2个数字， 删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有40，37，14，15， 所以选出来的第4个样本编号为15. 13.中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.从左至右五个小组的频率之比是5∶7∶12∶10∶6，则这400名学生视力的众数约为　　　　，中位数约为　　　　. 答案　4.7　4.75 解析　由图可知，众数的估计值为4.7. 第五小组的频率为0.5×0.3=0.15， 由从左至右五个小组的频率之比是5∶7∶12∶10∶6， 可得第一小组的频率为0.15×=0.125， 第二小组的频率为0.15×=0.175. 第三小组的频率为0.15×=0.3， 所以中位数在第三小组，第三小组的矩形面积为0.3，则第三小组的高为=1. 设中位数的估计值为x，则0.125+0.175+(x-4.55)×1=0.5，解得x=4.75. 14.已知9名学生在某次知识竞赛中成绩的平均数为80，方差为20，则这9名学生成绩的中位数的最大值为　　　　. 答案　84 解析　设这9名学生的成绩从低到高依次为x1，x2，…，x9，即x1≤x2≤…≤x9， 则9名学生成绩的中位数为x5， 设x1，x2，x3，x4的平均数为m，方差为S， x5，x6，x7，x8，x9的平均数为n，方差为T， 依题意，=80，则m=， 因此20=≥， 当且仅当S=T=0时取等号，即20≥， 整理得(n-80)2≤16， 解得76≤n≤84，即当x1=x2=x3=x4=m， 且x5=x6=x7=x8=x9=n时，76≤n≤84， 此时n，也就是x5的最大值为84， 则当n=84，m==75时，9名学生成绩的中位数的最大值为84. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)我们国家正处于人口老龄化进程中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，其中老年人(年龄60岁及以上)人数约有66万.为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如图所示的统计图. (1)若采用分层随机抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人，进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？(6分) (2)估算该市80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比.(7分) 解　(1)数据整理如表所示： 健康情况 健康 基本健康 不健康尚能自理 不能自理 80岁及以上 20 45 20 15 80岁以下 200 225 50 25 从图表中知， 80岁及以上老人应抽取8×=3(人). 80岁以下老人应抽取8×=5(人). (2)在600人中80岁及以上老人所占比为=， 用样本估计总体，80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比为××100%=2.75%. 16.(15分)甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩(满分10分，8分及以上为优秀)，如下表所示： 甲射击成绩 10 9 7 8 10 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 9 (1)分别求出甲、乙两名运动员6次射击成绩的平均数与方差；(10分) (2)判断哪位运动员的射击成绩更好？(5分) 解　(1)甲6次射击成绩的平均数为==9， 方差为=×[(10-9)2+(9-9)2+(7-9)2+(8-9)2+(10-9)2+(10-9)2]=； 乙6次射击成绩的平均数为 ==9， 方差为=×[(10-9)2+(6-9)2+(10-9)2+(10-9)2+(9-9)2+(9-9)2]=2. (2)因为=，<，所以甲6次射击的成绩比乙稳定，故甲运动员成绩更好. 17.(15分)鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户.当地的习俗是阴历正月不生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在上一年阴历十二月底进行一次性采购，小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位：箱)在[100，200]的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量制成表，如表所示. 采购数量x [100，120) [120，140) [140，160) [160，180) [180，200] 客户数 10 10 5 20 5 (1)根据表中的数据作出频率分布直方图，并估计采购数量不少于168箱的“熟客”人数；(5分) (2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的，估算小张去年年底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(5分) (3)由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若不在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m元(2≤m≤5)销售量可增加1 000m箱，求小张今年年底收入Y(单位：元)的最大值.(5分) 解　(1)作出频率分布直方图，如图所示， 根据上图，可知估计采购数量不少于168箱的“熟客”人数为 50×20×=17. (2)去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为 110×10+130×10+150×5+170×20+190×5=7 500(箱)，则小张去年年底总的销售量约为7 500÷=12 000(箱). (3)若不在网上出售鱼卷，则今年年底小张的收入Y=12 000×20=240 000(元)； 若在网上出售鱼卷，则今年年底的销售量为(12 000+1 000m)箱，每箱的利润为(20-m)元， 则今年年底小张的收入Y=(20-m)·(12 000+1 000m)=1 000(-m2+8m+240)=1 000[-(m-4)2+256]， ∴当m=4时， Y取得最大值，最大值为256 000元， ∵256 000>240 000， ∴小张今年年底收入Y的最大值为256 000元. 18.(17分)“文明城市”是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值；(5分) (2)求样本成绩的75%分位数；(5分) (3)已知落在[50，60)内的平均成绩是54，方差是7，落在[60，70)内的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2.(7分) 解　(1)∵每组小矩形的面积之和为1， ∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，∴a=0.030. (2)成绩落在[40，80)内的频率为 (0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65， 落在[40，90)内的频率为 (0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9， 设75%分位数为m， 由0.65+(m-80)×0.025=0.75，得m=84， 故75%分位数为84. (3)由图可知，成绩在[50，60)内的市民人数为100×0.1=10， 成绩在[60，70)内的市民人数为100×0.2=20， 故==62. s2=×[7+(54-62)2]+×[4+(66-62)2]=×71+×20=37， ∴两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37. 19.(17分)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如图所示的条形统计图. 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若n=19，求y与x的函数解析式；(4分) (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；(4分) (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？(9分) 解　(1)当x≤19时，y=19×200=3 800； 当x>19时，y=3 800+500(x-19) =500x-5 700. 所以y与x的函数解析式为 y=x∈N+. (2)由条形统计图知，需更换的易损零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19. (3)若每台机器在购机的同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元，20台的费用为4 300元，10台的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).若每台机器在购机的同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4 000×90+4 500×10)=4 050(元). 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 学科网（北京）股份有限公司 $