精品解析：福建南平市政和县2026-2027学年九年级上学期第一次适应性练习数学试题

政和县2026-2027学年上学期九年级数学第一次适应性练习 （全卷共三大题，共25小题；满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 2. 下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过直接开平方求出一元二次方程的根，再根据一元二次方程的根匹配选项即可. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 一元二次方程的一个根的是． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标为，解答即可． 【详解】解：抛物线为顶点式，其中，， ∴ 顶点坐标为． 4. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理后得， 故选择D． 5. 已知关于的一元二次方程一个根为，则的值是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求出另一个根为，再根据，即可求出m的值． 【详解】解：根据题意可得： ， ∴， ∵一元二次方程一个根为， ∴另一个根为， ∴，则， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 6. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 7. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 8. 某国产芯片企业2024年研发投入30亿元，2026年研发投入达到50亿元，为计算这两年研发投入的平均年增长率，设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】抓住2024到2026年共经历2次增长的特点，用含x的式子表示2026年研发投入，建立等量关系． 【详解】解：设研发投入的平均年增长率为x， 2025年研发投入为亿元， 2026年研发投入为亿元， ∵ 2026年研发投入为50亿元， ∴． 9. 已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的对称轴是直线 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴函数图象的开口向下，则选项A正确； 将二次函数化成顶点式为， ∴函数图象的对称轴是直线，则选项B正确； 又∵， ∴，则选项C错误； ，则选项D正确． 10. 已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，结合对称性、增减性判断各选项． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵ 当时，或， ∴ A、B均错误． ∵ 当时，随的增大而增大， 当时，则， 故C错误． 当时，随的增大而减小， 当时，则， 故D正确． 二、填空题（本题共6小题，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 方程的解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】方程左边已分解为两个一次因式的乘积，分别令两个因式等于0即可求出方程的解． 【详解】解：∵ ∴或 ∴，． 12. 将抛物线向上平移一个单位长度，得到的抛物线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可得答案． 【详解】∵抛物线向上平移1个单位长度， ∴抛物线平移后的表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键． 13. 若抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将交点坐标代入抛物线解析式，得到的取值，再通过整体代入法计算目标代数式的值． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为， ∴将，代入抛物线解析式，得， ∴， ∴． 14. 设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再展开所求式子后整体代入计算. 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系可得，， ∴. 15. 若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用开口向下的二次函数点离对称轴越远函数值越小的性质，通过比较两点到对称轴的距离比较大小． 【详解】解：二次函数中，，，根据对称轴公式得对称轴为， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，， ∴ ． 16. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数增减性得到对称轴满足的条件，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵ 当时，随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算方程的，即可根据求根公式求出题目方程的解； （2）把的右边部分分解因式，再移项后得，再根据提公因式法分解因式为，进而解出即可得方程的解． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ， 18. 已知：关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：∵ ， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，要证明方程总有两个不相等的实数根就是证明其判别式永远都是一个正数，因此只需要证明判别式大于0即可；对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 【详解】略 19. 绿茵争锋，“足”够精彩！闽超足球比赛正在激烈进行．为了认定我县中小学校为全国青少年校园足球特色学校，若我县学校要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应邀请多少支球队参赛？ 【答案】 应邀请支球队参赛 【解析】 【分析】根据单循环赛制下球队数量与总比赛场数的等量关系列一元二次方程，求解后结合实际意义取舍． 【详解】解：设应邀请支球队参赛， ∵赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场， ∴总比赛场数为， 根据题意得， 整理得， 解得，， ∵ 球队数量为正整数， ∴不符合题意，舍去． 答：应邀请支球队参赛． 20. 如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地（墙足够长），矩形面积随矩形的一边的长的变化而变化． （1）的长度为________，矩形场地的面积S为_______（用含x的代数式表示） （2）当x为多少时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2）当时，面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值．解题的关键在于根据题意正确的列二次函数解析式，并熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）由边长为，可得，依题意得，，整理即可； （2）由，可得，由，知，然后根据二次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵边长为， ∴， 依题意得，， ∴矩形场地的面积S为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，面积最大，最大面积是． 21. 已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，求抛物线的最大值和最小值． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）当时，抛物线的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）抛物线的平移法则：左加右减，上加下减； （2）由二次函数的性质可得在上，随着的增大而减小，由此计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴在上，随着的增大而减小， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最小值，为； 故当时，抛物线的最大值为，最小值为． 22. 贵州糯薏仁颗粒饱满、糯性十足，深受消费者喜爱．某特产店在旺季购进一批礼盒装贵州糯薏仁进行售卖，已知贵州糯薏仁每盒的进价为30元，当每盒的售价为50元时，每星期可卖出100盒．经市场调研发现，每盒的售价每下降1元，每星期可多卖出10盒．现该特产店进行降价销售，每盒的售价下降元． （1）若该特产店想要实现每星期卖出贵州糯薏仁的利润为2240元的目标，同时尽可能地让利于顾客，则每盒贵州糯薏仁的售价应为多少元？ （2）当每盒的售价下降多少元时，每星期卖出贵州糯薏仁的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）44元 （2）当每盒下降5元时，利润最大，最大利润是2250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的应用． （1）根据每星期卖出贵州糯薏仁的利润为2240元，列出一元二次方程，即可求解． （2）设每星期卖出贵州糯薏仁的利润为元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得， 整理，得，解得． ∵要尽可能地让利于顾客， ， （元）． 答：每盒贵州糯薏仁的售价应为44元． 【小问2详解】 解：设每星期卖出贵州糯薏仁的利润为元． 由题意，得． ，， ∴当时，有最大值，最大值为2250． 答：当每盒的售价下降5元时，每星期卖出贵州糯薏仁的利润最大，最大利润是2250元． 23. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“派生点”． （1）若方程为，求出该方程的“派生点”的坐标； （2）若关于的一元二次方程为的“派生点”恰好在直线上，求的值． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的因式分解解法、一次函数图象上点的坐标特征，关键是根据“派生点”的定义，结合方程的根与直线方程建立关系求解． （1）通过因式分解法求出方程的两个实数根，再根据的顺序确定“派生点”的横、纵坐标； （2）先因式分解得到方程的两个根，由于两根的大小关系随的取值变化，因此分两种情况讨论，分别得到对应的“派生点”坐标，代入直线的解析式求解． 【小问1详解】 解：对于一元二次方程，解得，，符合， ∴该方程的“派生点”的坐标为； 【小问2详解】 解：对于方程， 因式分解得， 解得或． 分两种情况讨论： ①当，即时，，，“派生点”的坐标为， ∵点在直线上， ∴，解得，满足； ②当，即时，，，“派生点”的坐标为， ∵点在直线上， ∴，解得，满足； 综上，的值为或． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 素材 1 设计九拱桥景观灯的悬挂方案 图1是南湖九拱桥，每个桥拱都是按照抛物线形建造的，图2是九拱桥正中间的桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面． 素材 2 为迎元宵节，拟在图2桥洞的桥拱上悬挂高的灯笼，据调查，湖面水位在此基础上再涨达到最高水位．如图3为了小船在南湖中航行安全，灯笼底部距离最高水位不小于． 素材 3 为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 （1）【任务1】确定桥拱形状：在图2中以桥拱最高点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． （2）【任务2】探究悬挂范围：在图2中仅在保证航行安全的条件下（不考虑实效美观），确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． （3）【任务3】拟定设计方案：符合素材2和素材3中所有悬挂条件时，需要准备多少盏灯笼，请写出符合条件的一种方案． 【答案】（1） （2） （3）需要准备 7 盏灯笼 【解析】 【分析】（1）以拱顶为原点，设抛物线解析式为，把点代入式子求出的值，得到抛物线解析式． （2）根据水位上涨、灯笼高、安全距离，算出悬挂点纵坐标最小值为，再把代入抛物线方程求出，得到横坐标范围． （3）在到之间，每隔取一个横坐标，按照轴对称要求布置，横坐标取，一共 7 个位置，需要准备 7 盏灯笼． 【小问1详解】 解：∵ 以桥拱最高点为原点建立平面直角坐标系，抛物线顶点在原点，则顶点为， ∴ 设抛物线解析式为 ∵ 水面宽，拱顶离水面，可得抛物线上一点 把 代入 ，得 ∴ ． ∴ 抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵ 原水面位置纵坐标为 ，水位上涨，灯笼高，灯笼底部距离最高水位不小于， ∴ 悬挂点纵坐标最小值：， ∴ 悬挂点纵坐标的最小值是， 把 代入 ，得 ∴ ． ∴ 悬挂点横坐标的取值范围是 ． 【小问3详解】 解：∵ 横坐标范围 ，相邻灯笼悬挂点水平间距为，且轴对称分布， 方案一：从顶点 开始，向左右每隔设置一个悬挂点，横坐标依次为 ， 一共 7 个点，所以需要准备 7 盏灯笼． 25. 已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求的长； （2）点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； （3）过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）4或2 （3） 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）根据对称轴为直线，求出的值，即可得出抛物线的表达式，令，即可得到，两点的横坐标，即可求解． （2）由，，三点的坐标可求的面积，设点，将的面积表示出来，即可求解； （3）设直线与轴交于点，证明，则，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ． ． 令，则， ，． ，． ． 【小问2详解】 解：当时，， ． ． ． 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入得：，则． 则直线的表达式为：． 如图，过点作轴交于， 设，则， ． ， ，． ∴点的横坐标为4或2． 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴交于点， 则， ． ∴． ． ． 由点的坐标得，， 解得． ∴直线的解析式为：． 令， 解得：，． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 政和县2026-2027学年上学期九年级数学第一次适应性练习 （全卷共三大题，共25小题；满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程一个根为，则的值是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 6. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 8. 某国产芯片企业2024年研发投入30亿元，2026年研发投入达到50亿元，为计算这两年研发投入的平均年增长率，设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的对称轴是直线 C. D. 10. 已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本题共6小题，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 方程的解是___________． 12. 将抛物线向上平移一个单位长度，得到的抛物线的表达式为______． 13. 若抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______． 14. 设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 15. 若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 16. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 18. 已知：关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 19. 绿茵争锋，“足”够精彩！闽超足球比赛正在激烈进行．为了认定我县中小学校为全国青少年校园足球特色学校，若我县学校要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应邀请多少支球队参赛？ 20. 如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地（墙足够长），矩形面积随矩形的一边的长的变化而变化． （1）的长度为________，矩形场地的面积S为_______（用含x的代数式表示） （2）当x为多少时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少？ 21. 已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，求抛物线的最大值和最小值． 22. 贵州糯薏仁颗粒饱满、糯性十足，深受消费者喜爱．某特产店在旺季购进一批礼盒装贵州糯薏仁进行售卖，已知贵州糯薏仁每盒的进价为30元，当每盒的售价为50元时，每星期可卖出100盒．经市场调研发现，每盒的售价每下降1元，每星期可多卖出10盒．现该特产店进行降价销售，每盒的售价下降元． （1）若该特产店想要实现每星期卖出贵州糯薏仁的利润为2240元的目标，同时尽可能地让利于顾客，则每盒贵州糯薏仁的售价应为多少元？ （2）当每盒的售价下降多少元时，每星期卖出贵州糯薏仁的利润最大？最大利润是多少？ 23. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“派生点”． （1）若方程为，求出该方程的“派生点”的坐标； （2）若关于的一元二次方程为的“派生点”恰好在直线上，求的值． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 素材 1 设计九拱桥景观灯的悬挂方案 图1是南湖九拱桥，每个桥拱都是按照抛物线形建造的，图2是九拱桥正中间的桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面． 素材 2 为迎元宵节，拟在图2桥洞的桥拱上悬挂高的灯笼，据调查，湖面水位在此基础上再涨达到最高水位．如图3为了小船在南湖中航行安全，灯笼底部距离最高水位不小于． 素材 3 为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 （1）【任务1】确定桥拱形状：在图2中以桥拱最高点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． （2）【任务2】探究悬挂范围：在图2中仅在保证航行安全的条件下（不考虑实效美观），确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． （3）【任务3】拟定设计方案：符合素材2和素材3中所有悬挂条件时，需要准备多少盏灯笼，请写出符合条件的一种方案． 25. 已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求的长； （2）点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； （3）过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $