精品解析：福建龙岩市上杭县紫金中学2026-2027学年九年级10月学科能力测试数学试题

2026-2027学年（上）九年级第一次月考 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： A、，没有说明，不一定是一元二次方程． B、，只含有未知数，的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程． C、，含有、两个未知数，不是一元二次方程． D、，含有、两个未知数，不是一元二次方程． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，直接根据顶点式读取顶点坐标． 【详解】∵ 二次函数顶点式为 ，顶点坐标为 ， ∴ 对于 ，有 ，， ∴ 顶点坐标为 ． 故选：B． 3. 解方程，可用配方法将其变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查利用配方法解方程，将方程移项，两边加上一次项系数一半的平方配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 移项得：， 平方得：，即． 故选：D． 4. 已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 图像在第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 点不在该图像上 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求得的值，进而可得该函数解析式，结合反比例函数的图像与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴，即该函数解析式为， ∴该函数图像在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当时，，即点在该函数图像上， ∴选项A、B、D错误，不符合题意，选项C正确，符合题意． 5. 将抛物线向右平移1个单位，所得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键． 直接运用平移规律解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，所得到新抛物线的解析式为． 故选A． 6. 一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（ ） A. 1＋x＋x（1＋x）＝73 B. 1＋x＋x2＝73 C. 1＋x2＝73 D. （1＋x）2＝73 【答案】B 【解析】 【分析】主干的数目为1，枝干的数目为x，小分支的数目为，根据总数是73列出方程． 【详解】解：由题意可得， 1+x+x•x=1+x+x2=73， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用——传播问题，解答本题的关键是熟练掌握传播的特征及每次传播后的数目，根据和的关系列出方程． 7. 已知实数，满足，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴． 8. 已知点，，都在同一个函数的图象上，且，，的大小关系满足，则下列选项中的函数图象符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项：代入横坐标得，，，满足，不符合题意． B选项：代入横坐标得，，，满足，不符合题意． C选项：代入横坐标得，，，满足，符合题意． D选项：代入横坐标得，，，满足，不符合题意． 9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有两个不同的实数根，其中一个根是x＝m（m＜﹣1）．如果关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有两个不同的整数根，则这两个整数根是（　　） A. x1＝0，x2＝﹣2 B. x1＝2，x2＝0 C. x1＝﹣2，x2＝4 D. x1＝﹣3，x2＝5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+q=0 （q＜0）的两个整数根，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（-1，0）与（3，0）两点， ∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为-1和3， ∴函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1， 又∵关于x的方程ax2+bx+c+p=0（p＞0）有两个根，其中一个根是m（m＜﹣1）． ∴方程ax2+bx+c+p=0（p＞0）的另一个根大于3，函数y=ax2+bx+c的图象开口向下， ∵关于x的方程ax2+bx+c+q=0 （q＜0）有两个整数根，其中一个根大于-1，另一个根小于3 ∴这两个整数根是0和2， 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答． ` 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线可知：，，由对称轴直线，可得出即可判断①，由该二次函数过点可判断③，由二次函数的对称性可判断②，再由当时，y的最小值为，当时，比较即可判断④． 【详解】解：由抛物线可知：，， 对称轴直线， ∴， ∴，故①正确， 由函数图象可知，该二次函数过点， 把点代入中，得：， 又∵， ∴，即， ∴，故③错误； 由关于对称轴直线对称的点坐标为， 把代入得：，故②正确， 当时，y的最小值为， ∴当时，， ∴， ∴，故④错误， 综上，正确的结论是①②，共2个． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的解为____________． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程移项整理为一边为0的形式，通过因式分解求解． 【详解】解：． ． ∴ 或 ． 解得，． 12. 已知方程的一个根是1，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，即可求解． 【详解】解：将代入得：，解得． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键． 13. 如图，轴交反比例函数的图象于点A，交轴于点B，连接，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义解答即可． 【详解】解：∵轴， ∴轴， ∵点A在反比例函数的图象上，且， ∴， 即， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴． 14. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 _____米． 【答案】3.5 【解析】 【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N点纵坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意得A点坐标（-10，0），B点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），N点横坐标为5， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴当时，， ∴支柱MN的高度=8-4.5=3.5米， 故答案为：3.5． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解． 15. 若二次函数的最小值为，最大值为4，则m的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】将二次函数配方得到顶点式，确定对称轴与最小值点，结合最大值对应的自变量取值，根据抛物线开口方向即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，函数的最小值为． ∵二次函数的最小值为， ∴， 令，则， 解得，， ∵抛物线开口向上，离对称轴越远的点函数值越大，且当时，对应函数值为， ∴， 综上，的取值范围为． 16. 二次函数图象上有三个动点、、，现给以下结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④无论m取何实数，都有 其中正确结论有_______________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先根据二次函数解析式写出三个动点对应的函数值表达式，再通过代入计算、不等式推导、代数式化简逐一验证四个结论的正误． 【详解】解：由二次函数，可得三个动点对应的函数值分别为 ， ， ． ①当时， ， ， ， ∴，结论①正确． ②若，则 ， 化简得，解得， 此时，结论②正确． ③由，得，解得， 由，得，解得， 取两个不等式的交集，得时满足， 例如取，满足且，此时，，，符合的条件，但，故结论③错误． ④∵， ∴无论取何实数，都有，故结论④正确． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】解：． 移项，得， 配方，得， 即． ． ． 18. 化简并求值：，其中是方程的根． 【答案】，． 【解析】 【分析】先化简，再利用一元二次方程根的定义得到，然后整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵是方程的根， ∴，即， ∴． 19. 已知二次函数． x … 0 1 2 3 … y … 0 3 3 … （1）补全表格，并在图中用描点法画出该二次函数的图象； （2）根据二次函数的图象回答下列问题： ①当时，y的取值范围是 ； ②当时，的取值范围是 ． 【答案】（1）4，0；作图如下： （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将和代入求解，进而描点画出函数图象即可； （2）由函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，当时，； 当时，； 【小问2详解】 解：由图可得，当时，y的取值范围是； 当时，的取值范围是． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据题意得到判别式，然后求解即可； （2）首先利用根与系数的关系得到，，然后将变形后整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程＝有两个实数根，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是方程的根， ∴的值为． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数上点的坐标满足解析式，先求出反比例函数，再得到P点坐标，代入两点求一次函数解析式．； （2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出点坐标，再根据计算求解． 【小问1详解】 解：把点代入反比例函数， ， 反比例函数的表达式为 ． 将代入， ， ． 把、代入，得 ，． 解得 ，． 一次函数的表达式为 ． 【小问2详解】 解：如图，设一次函数与轴相交于点， 对于，令，则， ， ， 又，， ． 22. 如图，已知二次函数的图象对称轴是直线，与轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，且． （1）求二次函数的表达式； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交轴于点D，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象的对称轴是直线求出，再求出且，得到，则，代入函数解析式求出，即可得到函数解析式； （2）设点P的坐标为．根据题意得到，由的面积是的面积的2倍，得到，则，进一步求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象对称轴是直线， ∴ 解得， 当时，， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴． ∵点在轴的负半轴， ∴， 把代入得，， 即， ∴， ∵， ∴ 解得 ∴ 【小问2详解】 解：设点P的坐标为． ∵点P在第二象限， ∴ 由（1）得到， ∵，线段交轴于点D，的面积是的面积的2倍， ∴， 当时， 即， 解得 ∵ ∴， ∴点P的坐标为． 23. 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即． （1）关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． 当时，求该幸运方程的“幸运数”； 若该幸运方程的“幸运数”是，求的值； （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”． 【答案】（1）；或； （2），． 【解析】 【分析】把代入一元二次方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； 根据“幸运数”的定义可得方程解方程可求得的值； 通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，然后按照“幸运数”定义求解即可． 【小问1详解】 解：当时，代入一元二次方程得到方程， ∴“幸运数”为； ∵的“幸运数”是， ∴，整理得， ， 解得，， ∴的值为或； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵关于的一元二次方程是“幸运方程”， ∴是完全平方数，即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，一元二次方程化为， ∴， ∴方程的“幸运数”为． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件． 素材2 据调查，该商品的网上销售价为60元/件时，平均每天销售量是200件，而销售价每降低元，平均每天就可以多售出件． 素材3 该公司在实体店的销售价定为80元/件． 据调查，该实体店的销售受网上影响，其销售量为件． 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售该商品的毛利润（元）关于的表达式． 任务2 探究销售方案 若该公司网上每天销售该商品的毛利润为4500元，那么网上销售的价格应定为多少元？ 任务3 拟定最优方案 当该小商品的网上销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大？（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）最大总毛利润是多少？ 【答案】任务1：；任务2：网上销售的价格应定为元；任务3：当网上销售价是每件57元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大，最大总毛利润是8180元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用——销售问题，解题关键是读懂题意，能列出相应的表达式，并能根据函数的图象与性质求解． 任务1：利用单件利润乘以销量即可求解； 任务2：求解方程，即可得解； 任务3：利用抛物线的图象与性质先确定x的值，再求解． 【详解】解：任务1： ； 任务2：由题意得， 整理得，即， 解得， ∴， 当若该公司网上每天销售该商品的毛利润为4500元，那么网上销售的价格应定为元； 任务3： ， ∵符合题意， ∴当，即（元）时，（元）． ∴当网上销售价是每件57元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大，最大总毛利润是8180元． 25. 如图①，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，设点P的横坐标为t． ①过点P作轴于点H，与交于点M，连接．当为直角三角形时，直接写出满足条件的t值； ②如图②，连接，过点P作交于点N，连接，．设的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）已知抛物线与x轴交于、，且二次项系数为，设解析式为，展开化简后得到； （2）①先求得与直线，设、，分三种直角情况，结合坐标几何性质与勾股定理列方程，舍去超出第一象限范围的解，得到符合条件的t值；②与同底，则计算得，将面积差转化为纵坐标之差；利用设平移直线解析式，联立求N点坐标，构建关于t的二次函数，通过顶点公式求最大值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于、，且二次项系数为， ∴设函数表达式为 ， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：①由（1）得，当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 将、代入直线中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为t，轴，M在上， ∴，， 当时，∵轴，且， ∴，即为水平方向， ∴点P与点C纵坐标相等，均为3， ∴ 解得（舍去），， 当时，则， ∵； ； ， ∴ ∴或， 解得（舍去），（舍去）； 当时，则， ∴ ∴或， 解得（舍去），； 综上，满足条件的t值为或． ②由题意得，， ∵和的底均为， ∴高分别为点P、点N的纵坐标， ∴，， ∴ ， 设直线的解析式为，代入、： 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线可由直线平移m个单位得来， ∴设直线为，， 将点P代入直线中， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与的解析式，得 解得， 将x代入，得， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值， ∴顶点横坐标为， 将代入得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年（上）九年级第一次月考 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 解方程，可用配方法将其变形为（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 图像在第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 点不在该图像上 5. 将抛物线向右平移1个单位，所得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（ ） A. 1＋x＋x（1＋x）＝73 B. 1＋x＋x2＝73 C. 1＋x2＝73 D. （1＋x）2＝73 7. 已知实数，满足，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 已知点，，都在同一个函数的图象上，且，，的大小关系满足，则下列选项中的函数图象符合题意的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有两个不同的实数根，其中一个根是x＝m（m＜﹣1）．如果关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有两个不同的整数根，则这两个整数根是（　　） A. x1＝0，x2＝﹣2 B. x1＝2，x2＝0 C. x1＝﹣2，x2＝4 D. x1＝﹣3，x2＝5 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的解为____________． 12. 已知方程的一个根是1，则m的值为________． 13. 如图，轴交反比例函数的图象于点A，交轴于点B，连接，，则的值是______． 14. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 _____米． 15. 若二次函数的最小值为，最大值为4，则m的取值范围是____________． 16. 二次函数图象上有三个动点、、，现给以下结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④无论m取何实数，都有 其中正确结论有_______________（填序号）． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程：． 18. 化简并求值：，其中是方程的根． 19. 已知二次函数． x … 0 1 2 3 … y … 0 3 3 … （1）补全表格，并在图中用描点法画出该二次函数的图象； （2）根据二次函数的图象回答下列问题： ①当时，y的取值范围是 ； ②当时，的取值范围是 ． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 22. 如图，已知二次函数的图象对称轴是直线，与轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，且． （1）求二次函数的表达式； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交轴于点D，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 23. 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即． （1）关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． 当时，求该幸运方程的“幸运数”； 若该幸运方程的“幸运数”是，求的值； （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件． 素材2 据调查，该商品的网上销售价为60元/件时，平均每天销售量是200件，而销售价每降低元，平均每天就可以多售出件． 素材3 该公司在实体店的销售价定为80元/件． 据调查，该实体店的销售受网上影响，其销售量为件． 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售该商品的毛利润（元）关于的表达式． 任务2 探究销售方案 若该公司网上每天销售该商品的毛利润为4500元，那么网上销售的价格应定为多少元？ 任务3 拟定最优方案 当该小商品的网上销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大？（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）最大总毛利润是多少？ 25. 如图①，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，设点P的横坐标为t． ①过点P作轴于点H，与交于点M，连接．当为直角三角形时，直接写出满足条件的t值； ②如图②，连接，过点P作交于点N，连接，．设的面积为，的面积为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $