第六章 概率（单元自测）高二数学北师大版选择性必修第一册

2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第六章 概率 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．先后抛掷两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为，则表示的是（    ） A．第一次抛硬币 B．恰有一枚硬币正面朝上 C．硬币正面朝上面的数字是1 D．先抛一枚硬币 【答案】B 【分析】根据随机变量的含义逐项进行判断即可. 【详解】对于A选项，“第一次抛硬币”是抛掷动作，和正面朝上的硬币数为1的含义无关，描述错误，故A错误； 对于B选项，“恰有一枚硬币正面朝上”对应的正面朝上的硬币数恰好为1，符合“”表示的含义，故B正确； 对于C选项，硬币的正反面不存在“正面朝上面的数字是1”的情况，和“”的含义无关，故C错误； 对于D选项，“先抛一枚硬币”是抛掷动作，和正面朝上的硬币数为1的含义无关，故D错误. 综上所述，B选项正确. 2．已知随机变量，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8 【答案】D 【分析】借助正态分布的对称性计算即可得. 【详解】由，得 . 3．若，，，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.9 【答案】C 【分析】根据事件的包含关系及条件概率公式即可求解. 【详解】因为，所以， 从而． 由条件概率公式，. 4．如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用独立事件概率公式进行求解即可. 【详解】该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，从原点0出发，移动到位置， 所以可以判断该质点在5次移动中，有三次向右移动，有两次向左移动， 所以. 5．已知X服从二项分布，且，则二项分布的参数n、p的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由X服从二项分布，得， 而，结合， 得，∴. 6．已知某音响设备由五个部件组成，电视机，影碟机，线路，左声道和右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示．能听到声音，当且仅当与至少有一个正常工作，正常工作，与中至少有一个正常工作．则该音响能听到声音的概率为（     ）    A．0.19738 B．0.80262 C．0.80272 D．0.19728 【答案】B 【详解】由题意得音响能听到声音，需要同时满足：至少一个正常工作，正常工作，至少一个正常工作，且各部件能否正常工作相互独立, ①计算至少有一个正常工作的概率： (故障)(故障)， ②正常工作的概率： , ③计算至少有一个正常工作的概率： (故障)(故障)， 因为以上三部分相互独立，所以音响能听到声音的概率： . 7．一只蚂蚁从数轴原点处开始爬行，每抛掷一枚均匀骰子一次便移动一个单位：若掷出点数为1，2，则沿数轴正方向前进1个单位，否则沿数轴负方向后退1个单位．连续抛掷11次并随之移动，问蚂蚁最终最可能停留在数轴上的哪一位置（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】建立位置与次数的关系，根据二项分布求概率的最大项，进而确定蚂蚁的最终位置. 【详解】设蚂蚁沿正方向前进了次，则沿负方向后退了次， 最终位置. 根据题意得，单次前进的概率，则前进次数， . . 令，即，所以， 所以，当时，； 当时，； 当时，. 因此， 当时，； 当时，. 因此蚂蚁最终可能停留在数轴的或位置. 8．若甲盒中有个红球，个黄球，个白球，乙盒中有个红球（），个黄球，个白球，这些球的大小、材质完全相同.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合全概率公式得，再解不等式即可得答案. 【详解】设从甲盒中取出红球、黄球、白球的事件分别为， 从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件， 则，，， 所以，根据全概率公式得： ， 所以，整理得：，解得， 所以满足题意的的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列选项中随机变量服从二项分布的是（    ） A．某同学每次投篮的命中率都为0.6，他10次投篮中命中的次数 B．某射手每次击中目标的概率都为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数 C．从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸5次球，摸到白球的次数 D．从装有5个红球，5个白球的袋中，不放回地摸5次球，摸到白球的次数 【答案】AC 【详解】对于A，满足独立重复试验的条件，服从二项分布； 对于B，试验次数是随机变量而不固定，不满足二项分布要求试验次数为定值的条件，因此不服从二项分布； 对于C，满足独立重复试验的条件，服从二项分布； 对于D，因为是不放回地摸5次球，所以不服从二项分布． 10．有5张分别标着数字的卡片，从中随机选取一张，记下卡片的数字将卡片放回后再随机选取一张，记下卡片的数字记则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先明确有放回取数共种等可能样本，逐一计算取的对应概率，再验证各选项的概率大小、期望与方差计算结果即可得出正确选项. 【详解】这是有放回的独立抽样，总样本空间为个等可能的样本点，我们先逐一计算的所有可能取值对应的概率： 对应，共5个样本点，因此，A正确. 对应，共8个样本点，； 对应，共6个样本点，； 显然，即，B正确. 对应4个样本点，；对应2个样本点，. 期望，C错误. ，由方差公式 ，D正确. 11．在信道内发送5位二进制码数据流，前4位为信息码，最后一位为偶校验码，使得5位二进制码数据流中1的个数为偶数．例如：若信息码为1100，则校验码为0，所发送数据流为11000；若信息码为1000，则校验码为1，所发送数据流为10001．每位二进制码信号的传输相互独立，当发送时，收到的概率为，收到的概率为．接收方收到数据后，若数据流中1的个数是奇数个，则数据传输错误，要求重新发送该数据，则下列说法正确的是（     ） A．5位二进制码数据流传输全部正确的概率为 B．若发送的数据流为10010，则接收到的数据流为11101的概率为； C．接收方要求重新发送该数据的概率为 D．若所接收数据流中1的个数是偶数个，则信息码传输正确的概率为 【答案】ACD 【分析】利用相互独立事件同时发生的概率计算公式以及条件概率计算公式即可求解. 【详解】对于A，每位二进制码信号传输正确的概率为，且传输相互独立，因此5位二进制码数据流全部传输正确的概率为，故A正确； 对于B，发送数据流为，接收到的数据流为11101，逐位对比，仅第1位传输正确，其余4位都传输错误，因此概率为，故B错误； 对于C，设接收方要求重新发送该数据的概率为，不用重新发数据的概率为， 接收方要求重新发送该数据，意味着数据流在传输时传错的数码的个数的位数为奇数， 错位的概率为，因此需要重新发数据的概率 ， 不用重新发数据的概率 ， 所以 ，① 又因为，② 由①②得，，所以C正确； 对于D，设事件：信息码传输正确，事件：接收数据流的个数为偶数， ， 表示：前4位（信息码）全对，且所接收数据流中1的个数是偶数； 前4位（信息码）全对时，仅校验码也正确时，数据流中1的个数是偶数，因此， 因此，故 D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知随机变量的分布列如下表，若，则____________． 0 1 a 【答案】 【详解】， 解得， 因为， 所以解得. 13．已知集合，集合，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲、乙两人分别从集合，中随机抽取个不同的元素各构成最大的三位数和，若，则甲获得胜利．甲获得胜利的概率为______． 【答案】 【分析】甲若抽到数字6，则构成的最大三位数一定大于乙；甲若没抽到 6，那么甲和乙构成的最大三位数都等可能地取自同样的10个值，此时可由对称性求概率. 【详解】由题意得甲从集合中抽取3个不同元素，共有种抽法， 乙从集合中抽取3个不同元素，共有种抽法， 情况一：甲抽到数字， 甲抽到6的抽法数为， 此时甲构成的最大三位数的百位一定是，而乙构成的最大三位数最大只能是， 所以一定有 故这种情况下不符合题意； 此时 情况二：甲没有抽到数字 ， 甲没有抽到 6 的抽法数也为， 这时甲实际上也是从集合中抽取 3 个不同元素，与乙的抽法范围完全相同， 因此，甲和乙构成的最大三位数都等可能地取自同样的10个值，且地位对称， 所以在这种情况下： 又因为共有10个不同的最大三位数，故 于是 综上情况一和情况二，可得： 故甲获胜的概率为. 14．已知，，都是正数，且随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】使用分布列的性质得出及的范围，再使用基本不等式求解. 【详解】由随机变量X的分布列的性质及，得，，所以，， 又a，b，c都是正数，所以， ， ，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 两位同学玩猜卡牌点数的游戏，共有5张卡牌，李同学知道其中4张卡牌的点数，张同学知道其中3张卡牌的点数，两个同学所猜点数相互独立，如果猜对每张卡牌的点数都是等可能的． (1)随机选择一张卡牌，求李同学和张同学各自猜中的概率； (2)随机选择一张卡牌，求李同学和张同学至少一人猜中的概率． 【答案】(1)李同学猜中的概率为，张同学猜中的概率为. (2)至少一人猜中的概率为. 【详解】（1）记事件为“李同学猜中”，事件为“张同学猜中”， 由题可知，总共有5张卡牌，李同学知道其中4张卡牌的点数，且猜对每张卡牌的点数都是等可能的， 所以；同理可得. 综上：李同学猜中的概率为，张同学猜中的概率为. （2）（至少一人猜中）. 所以李同学和张同学至少一人猜中的概率为. 16．（15分） 某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)求的值和上四分位数； (2)现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为，求的分布列和期望． 【答案】(1)，上四分位数为77.25； (2)分布列为 0 1 2                                      ； 【详解】（1）由频率分布直方图易知，，解得， 上四分位数是第75百分位数，由图知的频率为0.16，的频率为0.3， 的频率为0.4，上四分位数落在内，不妨设为， 则，解得，上四分位数为77.25； （2）由图可知，与的频率之比是， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取3人，在内抽取5人， 则的可能取值为0，1，2，易知，， ， 的分布列 0 1 2                                                 . 17．（15分） 某校开展体育达标测试，已知男生跳远达标率为0.8，女生跳远达标率为0.7，该校男女学生人数比例为3∶2． (1)随机抽取一名学生，求该学生跳远达标的概率； (2)连续抽取5名男生，记达标人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 数学期望为 【详解】（1）因为男生跳远达标率为0.8，女生跳远达标率为0.7，该校男女学生人数比例为3∶2， 所以随机抽取一名学生，该学生跳远达标的概率为； （2）由题意可知：， 则有， 因为， ，， ，， ， 所以的分布列如下： 的数学期望为. 18．（17分） 一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的个小球，其中黑球个，红球个． (1)从袋中进行无放回的摸球试验，求在第一次摸出的球是黑球的条件下，第二次摸出的球是红球的概率； (2)从袋中进行有放回的摸球试验次： （i）求摸出的红球频率的数学期望； （ii）为使得摸出的黑球频率的数学期望大于摸出的红球频率的数学期望，至少需要增加多少个黑球？ 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【详解】（1）设事件为“第一次摸出黑球”，事件为“第二次摸出红球”. 已知第一次摸出黑球后，袋中剩余共个球，其中红球仍为个， 根据条件概率的缩小样本空间法：. ​因此在第一次摸出的球是黑球的条件下，第二次摸出的球是红球的概率为. （2）有放回摸球时，每次摸出红球的概率均为​，摸出黑球的概率均为​. （i）设次摸球中摸出红球的次数为，则，由二项分布的期望公式得. 由频率的定义，红球频率​，由期望的线性性质：. （ii）设需要增加（）个黑球，此时袋中总球数为，黑球共个，红球仍为个. 单次摸球摸出黑球的概率为，摸出红球的概率为​， 设为次摸球中摸出黑球的次数，，. 有放回摸球次时，摸出黑球的频率，摸出红球的频率（为次摸球中摸出红球的次数）. 因此：，， 根据题意要求，即：，解得， 又为正整数，因此最小值为，即至少需要增加个黑球. 19．（17分） 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中.A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题.参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答. (1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率； (2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目. ①求乙从A箱中抽出2道代数题的概率； ②求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率. 【答案】(1) (2)①；    ② 【详解】（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”，则. 在发生的条件下，A箱中还剩下3道代数题和2道几何题，所以. 故. （2）①设事件为“乙从A箱中取出2道代数题”， 设. 乙从A箱中抽出2道代数题的概率为. ②设事件为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出2道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”， 事件为“乙从A箱中取出2道几何题”， 则. 当发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题，； 当发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题，； 当发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题，. 由全概率公式可得. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第六章 概率 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．先后抛掷两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为，则表示的是（    ） A．第一次抛硬币 B．恰有一枚硬币正面朝上 C．硬币正面朝上面的数字是1 D．先抛一枚硬币 2．已知随机变量，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8 3．若，，，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.9 4．如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（    ） A． B． C． D． 5．已知X服从二项分布，且，则二项分布的参数n、p的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知某音响设备由五个部件组成，电视机，影碟机，线路，左声道和右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示．能听到声音，当且仅当与至少有一个正常工作，正常工作，与中至少有一个正常工作．则该音响能听到声音的概率为（     ）    A．0.19738 B．0.80262 C．0.80272 D．0.19728 7．一只蚂蚁从数轴原点处开始爬行，每抛掷一枚均匀骰子一次便移动一个单位：若掷出点数为1，2，则沿数轴正方向前进1个单位，否则沿数轴负方向后退1个单位．连续抛掷11次并随之移动，问蚂蚁最终最可能停留在数轴上的哪一位置（     ） A． B． C．或 D．或 8．若甲盒中有个红球，个黄球，个白球，乙盒中有个红球（），个黄球，个白球，这些球的大小、材质完全相同.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列选项中随机变量服从二项分布的是（    ） A．某同学每次投篮的命中率都为0.6，他10次投篮中命中的次数 B．某射手每次击中目标的概率都为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数 C．从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸5次球，摸到白球的次数 D．从装有5个红球，5个白球的袋中，不放回地摸5次球，摸到白球的次数 10．有5张分别标着数字的卡片，从中随机选取一张，记下卡片的数字将卡片放回后再随机选取一张，记下卡片的数字记则（     ） A． B． C． D． 11．在信道内发送5位二进制码数据流，前4位为信息码，最后一位为偶校验码，使得5位二进制码数据流中1的个数为偶数．例如：若信息码为1100，则校验码为0，所发送数据流为11000；若信息码为1000，则校验码为1，所发送数据流为10001．每位二进制码信号的传输相互独立，当发送时，收到的概率为，收到的概率为．接收方收到数据后，若数据流中1的个数是奇数个，则数据传输错误，要求重新发送该数据，则下列说法正确的是（     ） A．5位二进制码数据流传输全部正确的概率为 B．若发送的数据流为10010，则接收到的数据流为11101的概率为； C．接收方要求重新发送该数据的概率为 D．若所接收数据流中1的个数是偶数个，则信息码传输正确的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知随机变量的分布列如下表，若，则____________． 0 1 a 13．已知集合，集合，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲、乙两人分别从集合，中随机抽取个不同的元素各构成最大的三位数和，若，则甲获得胜利．甲获得胜利的概率为______． 14．已知，，都是正数，且随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 若，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 两位同学玩猜卡牌点数的游戏，共有5张卡牌，李同学知道其中4张卡牌的点数，张同学知道其中3张卡牌的点数，两个同学所猜点数相互独立，如果猜对每张卡牌的点数都是等可能的． (1)随机选择一张卡牌，求李同学和张同学各自猜中的概率； (2)随机选择一张卡牌，求李同学和张同学至少一人猜中的概率． 16．（15分） 某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)求的值和上四分位数； (2)现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为，求的分布列和期望． 17．（15分） 某校开展体育达标测试，已知男生跳远达标率为0.8，女生跳远达标率为0.7，该校男女学生人数比例为3∶2． (1)随机抽取一名学生，求该学生跳远达标的概率； (2)连续抽取5名男生，记达标人数为，求的分布列和数学期望． 18．（17分） 一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的个小球，其中黑球个，红球个． (1)从袋中进行无放回的摸球试验，求在第一次摸出的球是黑球的条件下，第二次摸出的球是红球的概率； (2)从袋中进行有放回的摸球试验次： （i）求摸出的红球频率的数学期望； （ii）为使得摸出的黑球频率的数学期望大于摸出的红球频率的数学期望，至少需要增加多少个黑球？ 19．（17分） 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中.A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题.参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答. (1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率； (2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目. ①求乙从A箱中抽出2道代数题的概率； ②求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第六章 概率（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C A B B C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AC ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 【答案】(1)李同学猜中的概率为，张同学猜中的概率为. (2)至少一人猜中的概率为. 【详解】（1）记事件为“李同学猜中”，事件为“张同学猜中”，.........1分 由题可知，总共有5张卡牌，李同学知道其中4张卡牌的点数，且猜对每张卡牌的点数都是等可能的，.........2分 所以；同理可得..........4分 综上：李同学猜中的概率为，张同学猜中的概率为..........6分 （2）（至少一人猜中）..........12分 所以李同学和张同学至少一人猜中的概率为..........13分 16.（15分） 【答案】(1)，上四分位数为77.25； (2)分布列为 0 1 2                                      ； 【详解】（1）由频率分布直方图易知，，解得，.........1分 上四分位数是第75百分位数，由图知的频率为0.16，的频率为0.3， 的频率为0.4，上四分位数落在内，不妨设为，.........4分 则，解得，上四分位数为77.25；.........7分 （2）由图可知，与的频率之比是，.........8分 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取3人，在内抽取5人，.........9分 则的可能取值为0，1，2，.........10分 易知，， ，.........12分 的分布列 0 1 2                                                 ..........15分 17.（15分） 【答案】(1) (2)的分布列为： 数学期望为 【详解】（1）因为男生跳远达标率为0.8，女生跳远达标率为0.7，该校男女学生人数比例为3∶2，.........2分 所以随机抽取一名学生，该学生跳远达标的概率为；.........5分 （2）由题意可知：，.........6分 则有，.........7分 因为，.........8分 ，，.........9分 ，，.........10分 ，.........11分 所以的分布列如下： 的数学期望为..........15分 18.（17分） 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【详解】（1）设事件为“第一次摸出黑球”，事件为“第二次摸出红球”. 已知第一次摸出黑球后，袋中剩余共个球，其中红球仍为个， 根据条件概率的缩小样本空间法：..........3分 ​因此在第一次摸出的球是黑球的条件下，第二次摸出的球是红球的概率为..........4分 （2）有放回摸球时，每次摸出红球的概率均为​，摸出黑球的概率均为​..........5分 （i）设次摸球中摸出红球的次数为，则，.........6分 由二项分布的期望公式得.........7分 由频率的定义，红球频率​，由期望的线性性质：..........9分 （ii）设需要增加（）个黑球，此时袋中总球数为，黑球共个，红球仍为个..........10分 单次摸球摸出黑球的概率为，摸出红球的概率为​，.........11分 设为次摸球中摸出黑球的次数，，.........12分 ..........13分 有放回摸球次时，摸出黑球的频率，摸出红球的频率（为次摸球中摸出红球的次数）..........14分 因此：，，.........15分 根据题意要求，即：，解得，.........16分 又为正整数，因此最小值为，即至少需要增加个黑球..........17分 19.（17分） 【答案】(1) (2)①；    ② 【详解】（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”，则..........1分 在发生的条件下，A箱中还剩下3道代数题和2道几何题，所以..........2分 故..........4分 （2）①设事件为“乙从A箱中取出2道代数题”， 设..........5分 乙从A箱中抽出2道代数题的概率为..........6分 ②设事件为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出2道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”， 事件为“乙从A箱中取出2道几何题”，.........7分 则..........9分 当发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题，；.........11分 当发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题，；.........13分 当发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题，..........15分 由全概率公式可得..........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第六章 概率 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．先后抛掷两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为，则表示的是（    ） A．第一次抛硬币 B．恰有一枚硬币正面朝上 C．硬币正面朝上面的数字是1 D．先抛一枚硬币 2．已知随机变量，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8 3．若，，，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.9 4．如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（    ） A． B． C． D． 5．已知X服从二项分布，且，则二项分布的参数n、p的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知某音响设备由五个部件组成，电视机，影碟机，线路，左声道和右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示．能听到声音，当且仅当与至少有一个正常工作，正常工作，与中至少有一个正常工作．则该音响能听到声音的概率为（     ）    A．0.19738 B．0.80262 C．0.80272 D．0.19728 7．一只蚂蚁从数轴原点处开始爬行，每抛掷一枚均匀骰子一次便移动一个单位：若掷出点数为1，2，则沿数轴正方向前进1个单位，否则沿数轴负方向后退1个单位．连续抛掷11次并随之移动，问蚂蚁最终最可能停留在数轴上的哪一位置（     ） A． B． C．或 D．或 8．若甲盒中有个红球，个黄球，个白球，乙盒中有个红球（），个黄球，个白球，这些球的大小、材质完全相同.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列选项中随机变量服从二项分布的是（    ） A．某同学每次投篮的命中率都为0.6，他10次投篮中命中的次数 B．某射手每次击中目标的概率都为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数 C．从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸5次球，摸到白球的次数 D．从装有5个红球，5个白球的袋中，不放回地摸5次球，摸到白球的次数 10．有5张分别标着数字的卡片，从中随机选取一张，记下卡片的数字将卡片放回后再随机选取一张，记下卡片的数字记则（     ） A． B． C． D． 11．在信道内发送5位二进制码数据流，前4位为信息码，最后一位为偶校验码，使得5位二进制码数据流中1的个数为偶数．例如：若信息码为1100，则校验码为0，所发送数据流为11000；若信息码为1000，则校验码为1，所发送数据流为10001．每位二进制码信号的传输相互独立，当发送时，收到的概率为，收到的概率为．接收方收到数据后，若数据流中1的个数是奇数个，则数据传输错误，要求重新发送该数据，则下列说法正确的是（     ） A．5位二进制码数据流传输全部正确的概率为 B．若发送的数据流为10010，则接收到的数据流为11101的概率为； C．接收方要求重新发送该数据的概率为 D．若所接收数据流中1的个数是偶数个，则信息码传输正确的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知随机变量的分布列如下表，若，则____________． 0 1 a 13．已知集合，集合，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲、乙两人分别从集合，中随机抽取个不同的元素各构成最大的三位数和，若，则甲获得胜利．甲获得胜利的概率为______． 14．已知，，都是正数，且随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 若，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 两位同学玩猜卡牌点数的游戏，共有5张卡牌，李同学知道其中4张卡牌的点数，张同学知道其中3张卡牌的点数，两个同学所猜点数相互独立，如果猜对每张卡牌的点数都是等可能的． (1)随机选择一张卡牌，求李同学和张同学各自猜中的概率； (2)随机选择一张卡牌，求李同学和张同学至少一人猜中的概率． 16．（15分） 某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)求的值和上四分位数； (2)现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为，求的分布列和期望． 17．（15分） 某校开展体育达标测试，已知男生跳远达标率为0.8，女生跳远达标率为0.7，该校男女学生人数比例为3∶2． (1)随机抽取一名学生，求该学生跳远达标的概率； (2)连续抽取5名男生，记达标人数为，求的分布列和数学期望． 18．（17分） 一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的个小球，其中黑球个，红球个． (1)从袋中进行无放回的摸球试验，求在第一次摸出的球是黑球的条件下，第二次摸出的球是红球的概率； (2)从袋中进行有放回的摸球试验次： （i）求摸出的红球频率的数学期望； （ii）为使得摸出的黑球频率的数学期望大于摸出的红球频率的数学期望，至少需要增加多少个黑球？ 19．（17分） 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中.A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题.参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答. (1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率； (2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目. ①求乙从A箱中抽出2道代数题的概率； ②求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率. 试题 第3页（共5页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $