高中数学单元测试——第六章概率（适中版02）

**基本信息** 高中数学第六章概率单元测试（适中版02），覆盖两点分布、超几何分布、正态分布等核心知识，结合促销活动、《孙子算经》同余问题等情境，适配单元复习，助力数学眼光观察、思维推理与语言表达素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|两点分布、条件概率|基础巩固，如消费超过200元顾客概率问题| |多选题|3/18|对立事件、正态分布|能力辨析，考查分布列性质与正态分布参数| |填空题|3/15|期望方差、数学文化|创新应用，结合《孙子算经》同余问题求期望| |解答题|5/77|二项分布、方案决策|综合提升，如投篮比赛分布列与期望、产品销售方案选择|

高中数学单元测试 —— 第六章 概率（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任意取出3个球，用表示取出球的最小号码，则的取值为（    ） A．1 B．1，2 C．1，2，3 D．1，2，3，4 3．（本题5分）设随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 A． B． C． D．或 4．（本题5分）某学习小组共12人，其中有5名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知随机变量服从二项分布，则（   ） A．5 B．8 C．10 D．13 7．（本题5分）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 8．（本题5分）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 二、多选题 9．（本题6分）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 10．（本题6分）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（本题6分）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知随机变量满足，若，则__________. 13．（本题5分）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为___________． 14．（本题5分）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和模同余，记作.现已知箱子中有6个大小相同的小球，分别标号2，3，5，6，8，9，从中不放回地随机取球，每次取1个球，当满足模3同余的一组数字标号的球均被取出时则停止取球，记为取球的次数，则的数学期望______________. 四、解答题 15．（本题13分）现有8款不同的高难度智力扣，每名学生随机抽取3款进行破解．已知甲学生只能破解其中的4款，设甲学生抽到能破解的智力扣的数量为． (1)求； (2)求的分布列与数学期望． 16．（本题15分）甲､乙二人进行定点投篮比赛，已知甲､乙二人每次投进的概率均为，两人各投1次称为一轮投篮. (1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率； (2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望. 17．（本题15分）小张从家到公司上班总共有三条路可以走，如图，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为，，，每天上述三条路不拥堵的概率分别为，，． 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路的概率是多少？ 18．（本题17分）辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市从2021年起全部采用“3＋1＋2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X（满分100分）服从正态分布． (1)分别估计成绩在和75分以上者的人数；（运算过程中精确到0.0001，最后结果保留为整数） 附1：，，； (2)本次考试物理成绩X服从正态分布．令，则η～N（0，1），若本次考试物理成绩的前25％划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？（结果保留为整数） 附2：若η～N（0，1），则． 19．（本题17分）某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第六章 概率（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点分布的特征计算即可. 【详解】由题意得，则． 故选：. 2．（本题5分）口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任意取出3个球，用表示取出球的最小号码，则的取值为（    ） A．1 B．1，2 C．1，2，3 D．1，2，3，4 【答案】C 【分析】根据题意写出随机变量的可能取值. 【详解】根据条件可知任意取出3个球，最小号码可能是1,2,3. 故选：C 3．（本题5分）设随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据分布列概率之和为1即可求解. 【详解】由题意可得解得． 故选：C. 4．（本题5分）某学习小组共12人，其中有5名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出，，即可得到等于的概率 【详解】解：由题意可得 ∵，，， ∴， ，. 故选：B. 5．（本题5分）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的概率公式即可. 【详解】由题意得 故选：D. 6．（本题5分）已知随机变量服从二项分布，则（   ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】首先求出，再根据期望的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 则. 故选：B 7．（本题5分）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 【答案】D 【分析】设出相关事件，根据和事件的概率公式求出，再根据条件概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件A：阅读过《红楼梦》；事件B：阅读过《三国演义》， 则，则， 而，即， 故， 故， 即现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为0.75， 故选：D 8．（本题5分）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】B 【分析】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【详解】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式求解判断AC；利用概率的基本性质及概率加法公式求解判断BD. 【详解】对于A，由，，得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD. 10．（本题6分）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据分布列的性质，列出方程，求得的值，求得和，结合期望和方差的性质，求得和，即可得到答案. 【详解】由分布列的性质，可得，解得， 所以，则， 又由， 可得. 故选：ACD. 11．（本题6分）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 【答案】BC 【分析】由题设可知：随机变量，即可判断AB；根据题中数据结合正态分布的性质求，，即可得判断CD. 【详解】由题设可知：，则随机变量， 所以随机变量的标准差为，故A错误， B正确； 因为 ，故C正确； 因为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（本题5分）已知随机变量满足，若，则__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式及方差性质计算即得. 【详解】由，得，由，得， 所以. 故答案为：8 13．（本题5分）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据正态分布曲线的性质可得，结合基本不等式“1”的代换求最值即可. 【详解】由题意，随机变量的分布图象关于直线对称， 又，所以，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 14．（本题5分）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和模同余，记作.现已知箱子中有6个大小相同的小球，分别标号2，3，5，6，8，9，从中不放回地随机取球，每次取1个球，当满足模3同余的一组数字标号的球均被取出时则停止取球，记为取球的次数，则的数学期望______________. 【答案】/ 【分析】确定的可能取值，求得相应概率，由期望定义即可求解. 【详解】由题意，2，5，8模3同余，3，6，9模3同余，则取球次数的可能取值为3，4，5， ， ，， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）现有8款不同的高难度智力扣，每名学生随机抽取3款进行破解．已知甲学生只能破解其中的4款，设甲学生抽到能破解的智力扣的数量为． (1)求； (2)求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 ；期望为 【分析】（1）利用古典概型计算可得结果； （2）写出所有可能的取值，并分别求得对应概率，列出分布列，按照期望公式计算即可. 【详解】（1）根据题意可得，， 所以． （2）由题意知所有可能的取值为． ． 由（1）得，所以的分布列为 0 1 2 3 ． 16．（本题15分）甲､乙二人进行定点投篮比赛，已知甲､乙二人每次投进的概率均为，两人各投1次称为一轮投篮. (1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率； (2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析，数学期望： 【分析】（1）利用独立重复试验的概率计算公式即可求解. （2）的所有可能取值为0，1，2，3，利用二项分布的概率计算公式，列出分布列，由分布列即可求出期望. 【详解】（1）设“乙在前3次投篮中，恰好投进2个球”为事件， 则. 答：乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率为. （2）的所有可能取值为0，1，2，3. 设前3轮投篮中，甲进球个数为，乙进球个数为， 则，的取值均为0，1，2，3， ， ， ， . 所以， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望为. 17．（本题15分）小张从家到公司上班总共有三条路可以走，如图，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为，，，每天上述三条路不拥堵的概率分别为，，． 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路的概率是多少？ 【答案】(1)0.36 (2)0.28． 【分析】（1）根据全概率公式计算可直接求出结果； （2）由（1）中的结果，由条件概率乘法公式计算即可； 【详解】（1）由题意知不迟到就意味着不拥堵， 设事件表示到公司不迟到，则 ； （2）易知； 所以已知到达公司未迟到，选择道路的概率约为0.28． 18．（本题17分）辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市从2021年起全部采用“3＋1＋2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X（满分100分）服从正态分布． (1)分别估计成绩在和75分以上者的人数；（运算过程中精确到0.0001，最后结果保留为整数） 附1：，，； (2)本次考试物理成绩X服从正态分布．令，则η～N（0，1），若本次考试物理成绩的前25％划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？（结果保留为整数） 附2：若η～N（0，1），则． 【答案】(1)成绩在的人数约为20481人，75分以上的人数约为684人； (2)63分 【分析】（1）由题意可得，则可得，从而可估算出成绩在的人数，根据正态分布曲线的对称性求出，从而可估算出成绩在75分以上的人数； （2）设该划线分为m，由题意可得，，则，从而可求出. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以成绩在的人数约为人， 由正态分布曲线的对称性可得：， 则， 所以估计75分以上的人数约为人； （2）设该划线分为m，由，得，， 令， 由题意因为η～N（0，1），， 所以，所以， 所以． 19．（本题17分）某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 【答案】(1)的分布列见解析； (2) (3)应该选择方案一 【分析】（1）利用分层抽样的知识求出抽取的10件产品中一等品和非一等品的数量，求出的所有可能取值及其对应的概率，写出分布列，求出数学期望. （2）由题意得出抽到四等品的数量，即可求解. （3）计算方案二的产品的平均售价，与方案一的产品的售价进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件， 所以的可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 . （2）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数量为，则， ∴. （3）由题意得，方案二的产品的平均售价为： （元/件）， ∵， ∴从采购商的角度考虑，应该选择方案一. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $