高中数学单元测试——第四章概率与统计（适中版02）

**基本信息** 高中数学第四章概率与统计单元复习卷，覆盖随机变量、回归分析、概率计算等核心知识，通过真实情境与分层设计，适配单元巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|两点分布、线性回归、正态分布|基础概念与计算结合，如第5题考查正态分布概率性质| |多选题|3/18|对立事件、独立性检验|辨析性强，如第10题深化对χ²统计量的理解| |填空题|3/15|二项分布、数学期望|情境创新，如第14题结合《孙子算经》同余问题| |解答题|5/77|概率分布列、回归方程、独立性检验|综合应用突出，如第18题树高回归分析考查相关系数计算与预测，第19题结合区域满意度调查设计独立性检验与分层抽样，体现数学思维与数据语言表达|

高中数学单元测试 —— 第四章 概率与统计（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列的性质可求. 【详解】因为服从两点分布，故， 故选：A. 2．（本题5分）已知一组样本数据的线性回归方程为，若的取值范围依次为2，4，6，8，10，则的值为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【分析】根据回归直线过样本点的中心求解即可. 【详解】, 所以. 故选：. 3．（本题5分）口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由超几何分布的概率计算公式，代入计算即可得到结果. 【详解】由题意可得，. 故选：B 4．（本题5分）已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（    ） A．0.1 B．0.2 C．-0.2 D．-0.1 【答案】A 【分析】先求出新增数据后的样本中心点，从而得到修正后的回归直线，得到的估计值为即可求出残差. 【详解】因，则，则， 则新增数据后，，， 因新的回归直线过点，且修正后的回归直线的斜率为2.1， 则，则修正后的回归直线为：， 则的估计值为，则数据的残差为. 故选：A 5．（本题5分）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越小 C．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】A 【分析】利用正态分布曲线的性质，结合原则，即可作出判断. 【详解】对于选项A：因为数据的标准差越小，说明数据在均值附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于选项BC：根据原则，可知在，的概率是定值，故BC错误； 对于选项D：根据正态分布曲线的对称轴是，在与落在的公共区域是， 而区间与对应区间的面积，显然不相等， 所以无论怎么变化，根据图形可知：在的概率大于在的概率，故D错误. 故选：A. 6．（本题5分）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．已知接收的信号为1时发送的信号是0的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率和贝叶斯公式计算． 【详解】设表示“发送的信号为0”，表示“接收的信号为0”， 则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”. 由题意得，，，，，. 由贝叶斯公式有. 故已知接收的信号为1，则发送的信号为0的概率为. 7．（本题5分）细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（    ） A． B．0.596 C． D．0.206 【答案】A 【分析】由题意得，求出，从而可求得线性回归方程，给两边取对数化简，对照回归方程可求得答案. 【详解】由题意得，解得， 因此， 由两边取对数，得， 又，所以，即． 故选：A． 8．（本题5分）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题意，服从二项分布，，代入公式可得结果． 【详解】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为， 每一层均要乘以，共做10次选择， 故服从二项分布，， 又， 令最大， 则， 即, 解得，又因为，所以, 所以， ，且． 故选：B． 二、多选题 9．（本题6分）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式求解判断AC；利用概率的基本性质及概率加法公式求解判断BD. 【详解】对于A，由，，得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD. 10．（本题6分）关于统计量，下列说法正确的是（    ） A．统计量的值越大，两个分类变量的线性相关程度越强 B．若求出统计量，由于6.31比较接近，因此能推断两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01 C．独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的 D．根据统计量的构造过程可知，的值越小，零假设成立的可能性越大． 【答案】CD 【分析】根据独立性检验的思想以及的性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：统计量的值越大，两个分类变量的相关的可能性越大，与线性相关程度无关，故A错误； 对于选项B：因为， 在犯错误概率不超过0.01的前提下，没有足够条件推断两个分类变量有关系，故B错误； 对于选项C：根据独立性检验思想可知： 独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的，故C正确； 对于选项D：根据独立性检验思想可知：的值越小，零假设成立的可能性越大，故D正确； 故选：CD. 11．（本题6分）甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由，求出，再依次判断选项即可． 【详解】依题意得，， ， 则，A项正确， ，故B项正确； ，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 三、填空题 12．（本题5分）已知随机变量满足，若，则__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式及方差性质计算即得. 【详解】由，得，由，得， 所以. 故答案为：8 13．（本题5分）已知随机变量，，且，，则______． 【答案】/ 【分析】由得出，由得出的表达式，由，即可求出的值. 【详解】由题意， 由于服从正态分布，且， ∴均值， 而Y服从二项分布，故， ∵， ∴，解得， 故答案为： 14．（本题5分）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和模同余，记作.现已知箱子中有6个大小相同的小球，分别标号2，3，5，6，8，9，从中不放回地随机取球，每次取1个球，当满足模3同余的一组数字标号的球均被取出时则停止取球，记为取球的次数，则的数学期望______________. 【答案】/ 【分析】确定的可能取值，求得相应概率，由期望定义即可求解. 【详解】由题意，2，5，8模3同余，3，6，9模3同余，则取球次数的可能取值为3，4，5， ， ，， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）甲､乙二人进行定点投篮比赛，已知甲､乙二人每次投进的概率均为，两人各投1次称为一轮投篮. (1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率； (2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析，数学期望： 【分析】（1）利用独立重复试验的概率计算公式即可求解. （2）的所有可能取值为0，1，2，3，利用二项分布的概率计算公式，列出分布列，由分布列即可求出期望. 【详解】（1）设“乙在前3次投篮中，恰好投进2个球”为事件， 则. 答：乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率为. （2）的所有可能取值为0，1，2，3. 设前3轮投篮中，甲进球个数为，乙进球个数为， 则，的取值均为0，1，2，3， ， ， ， . 所以， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望为. 16．（本题15分）某超市为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立、某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券. (1)求该顾客至少中奖1次的概率； (2)设该顾客中奖的总次数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为1.3 【分析】（1）“至少中奖1次”的对立事件为“没有一次中奖”，根据对立事件的概率关系求解； （2）确定的可能取值，求得相应概率即可求解. 【详解】（1）设事件为“至少中奖1次”，则事件为“没有一次中奖”. 则. （2）由题可得的取值为， ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 17．（本题15分）小张从家到公司上班总共有三条路可以走，如图，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为，，，每天上述三条路不拥堵的概率分别为，，． 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路的概率是多少？ 【答案】(1)0.36 (2)0.28． 【分析】（1）根据全概率公式计算可直接求出结果； （2）由（1）中的结果，由条件概率乘法公式计算即可； 【详解】（1）由题意知不迟到就意味着不拥堵， 设事件表示到公司不迟到，则 ； （2）易知； 所以已知到达公司未迟到，选择道路的概率约为0.28． 18．（本题17分）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据，并根据数据作出如下的散点图. 经计算得，，，，. (1)推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数（精确到），并推断它们的相关程度； (2)试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程（系数精确到），并预测胸径为cm的树高. 附：相关系数，回归方程中，，. 【答案】(1)两个变量线性相关；相关性较强. (2)；m. 【分析】（1）根据树高与胸径的散点图判断它们是否线性相关，再通过相关系数判断它们相关的程度； （2）根据最小二乘法估计计算经验回归方程的系数，得到经验回归方程，再用经验回归方程做出预测. 【详解】（1）根据树高与树的胸径的散点图，可判断两个变量是线性相关. 根据题中所给数据，得，，. 所以. 由于的值接近于1，故相关性较强. 故两个变量线性相关，且相关程度较强. （2）由（1）知，，. 所以，. 所以经验回归方程为. 当时，，即树高的预测值大约为m. 故树高关于胸径的经验回归方程为，预测胸径为cm的树高为m. 19．（本题17分）某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)认为使用者的满意度与区域无关 (2) 0 1 2 3 【分析】（1）提出零假设，计算卡方值，将其与小概率值对应的临界值比较即得结果. （2）求出抽样比，确定所抽取的9名使用者中，甲地与乙地使用者的人数，依题意确定的可能值，利用超几何分布概率公式求出相应的概率，列出分布列，计算数学期望即可. 【详解】（1）零假设为：使用者的满意度与区域无关，代入列联表中的数据可得： 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 故可认为使用者的满意度与区域无关. （2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为， 则9名使用者中甲地6人､乙地3人. 因为4人中乙地人数为，所以的可能取值为，其对应的概率分别为： ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 故数学期望为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 概率与统计（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知一组样本数据的线性回归方程为，若的取值范围依次为2，4，6，8，10，则的值为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 3．（本题5分）口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（    ） A．0.1 B．0.2 C．-0.2 D．-0.1 5．（本题5分）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越小 C．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 6．（本题5分）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．已知接收的信号为1时发送的信号是0的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（    ） A． B．0.596 C． D．0.206 8．（本题5分）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多选题 9．（本题6分）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 10．（本题6分）关于统计量，下列说法正确的是（    ） A．统计量的值越大，两个分类变量的线性相关程度越强 B．若求出统计量，由于6.31比较接近，因此能推断两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01 C．独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的 D．根据统计量的构造过程可知，的值越小，零假设成立的可能性越大． 11．（本题6分）甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知随机变量满足，若，则__________. 13．（本题5分）已知随机变量，，且，，则______． 14．（本题5分）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和模同余，记作.现已知箱子中有6个大小相同的小球，分别标号2，3，5，6，8，9，从中不放回地随机取球，每次取1个球，当满足模3同余的一组数字标号的球均被取出时则停止取球，记为取球的次数，则的数学期望______________. 四、解答题 15．（本题13分）甲､乙二人进行定点投篮比赛，已知甲､乙二人每次投进的概率均为，两人各投1次称为一轮投篮. (1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率； (2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望. 0 1 2 3 16．（本题15分）某超市为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立、某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券. (1)求该顾客至少中奖1次的概率； (2)设该顾客中奖的总次数为，求的分布列和数学期望. 17．（本题15分）小张从家到公司上班总共有三条路可以走，如图，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为，，，每天上述三条路不拥堵的概率分别为，，． 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路的概率是多少？ 18．（本题17分）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据，并根据数据作出如下的散点图. 经计算得，，，，. (1)推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数（精确到），并推断它们的相关程度； (2)试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程（系数精确到），并预测胸径为cm的树高. 附：相关系数，回归方程中，，. 19．（本题17分）某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $