第5章 函数的概念、性质及应用（高效培优单元自测·强化卷）高一数学沪教版必修第一册

第5章 函数的概念、性质及应用（高效培优单元自测·强化卷） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 4. 2023 5. 6. 7. 8 . 2 9. 10 . 或 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 B B B B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）因为，且是定义在上的偶函数， 所以， 即对任意恒成立， 解得.……（7分） (2)函数在上单调递增；证明如下： 由（1）可得， 任取，且，则 因为，所以，，，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）， 所以所求解集为.……（6分） （2）因，由题意只有一个正根. 若，满足题意； 当时， 若，此时方程仅有一个实根为，满足题意； 若，即且时，此时方程的两根之积为，由可得. 综上，或. 所以实数的取值范围为：.……（14分） 19．（14分） 【详解】(1)是奇函数. 因为，所以函数的定义域为，关于原点对称. ， 所以是奇函数.……（6分） (2)由， 则任取，且， ， 因为在上严格递增，由得，故； 恒成立， 因此，即， 故在上严格递增.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）前面墙体长米（），则左右两面墙体长为米. 所以新建前面墙体的费用为：元，即百元. 新建左右两面墙体的费用为：元，即百元. 又屋顶和地面以及其他共计28800元，即288百元， 所以总费用（）.……（9分） （2）乙队给出的整体报价为元，即百元（）. 甲队要确保竞标成功，需甲队报价小于乙队报价对任意恒成立， 即对任意恒成立. 化简得， 因为，所以， 整理得对任意恒成立. 设，则，. 又在上为增函数，所以， 则，即，又，所以. 故实数的取值范围为.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）已知，，则，， 解得或， 故.……（5分） （2）已知是偶函数，故对任意，， 由题知任取，都有，故对任意，， 取，得 ①； 取，得，即， 整理得，令，则，代入得 ②， 结合①②可得对任意，，故是以为周期的周期函数，得证.……（11分） （3）假设在上不是增函数，则存在， 取，而，由定义知， 而为偶函数，故，故，可知， 而，故，根据题干定义可知，故，与假设矛盾，因此假设不成立， 故在上是增函数.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数的概念、性质及应用（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．函数的定义域是_____． 2．函数的最大值是__________. 3．函数图象的对称中心是_________． 4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2019年（年底统计）全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________．（年底统计） 5．函数的单调增区间是_____． 6．已知定义在上的偶函数在上是严格增函数，若，则的取值范围为_________. 7．若函数是奇函数，则实数______． 8．已知幂函数是定义域为的偶函数，则实数______． 9．设，则其反函数必过定点的坐标为___________． 10．已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________ 11．已知为常数，函数 ，设 ，若函数 恰有两个零点，则的取值范围是___________. 12．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若幂函数的图象关于y轴对称，且在上是严格减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．下列选项中正确的是（    ） A．函数的单调减区间是 B．将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象 C．函数与函数是同一函数 D．函数的零点是 15．“函数的定义域关于原点对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．对于函数，常数，若自变量在区间上变化时，函数值的取值范围恰为，则称区间是函数的倍值区间，区间长度为.已知定义域为的函数的表达式为，给出下列结论： ① 函数恰有2个1倍值区间； ② 函数的所有倍区间长度之和为. 下列说法正确的是（    ） A．结论①成立，结论②不成立 B．结论①不成立，结论②成立 C．两个结论都成立 D．两个结论都不成立 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知，且是定义在上的偶函数． (1)求a的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明． 18．（14分）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 19．（14分）已知函数. (1)判断函数奇偶性，并说明理由； (2)证明：函数在R上严格递增. 20．（18分）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库.因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元. (1)请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式； (2)已知乙队给出的整体报价为元（），不考虑其他因素，若甲队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 21．（18分）已知定义域为的函数为偶函数，它的图像是连续的曲线．任取，定义． (1)已知，求； (2)若任取，都有，求证：函数，为周期函数； (3)若任取，只要存在、且，都有．试判断函数在上的单调性（填写“增函数”“严格增函数”“减函数”“严格减函数”“既存在严格增区间也存在严格减区间”之一），并证明你的结论. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数的概念、性质及应用（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．函数的定义域是_____． 【答案】 【详解】由题意可得，，即且. 故答案为：. 2．函数的最大值是__________. 【答案】 【详解】因为, 所以函数在上单调递减， 所以当时函数取得最大值，即. 故答案为： 3．函数图象的对称中心是_________． 【答案】 【详解】由题设，故函数图象的对称中心为. 故答案为： 4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2019年（年底统计）全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________．（年底统计） 【答案】2023 【详解】， 故答案为：2023 5．函数的单调增区间是_____． 【答案】 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为. 又在定义域内单调递增，且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调增区间是. 6．已知定义在上的偶函数在上是严格增函数，若，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】根据偶函数在上是严格增函数，将不等式转化为求解. 【详解】因为为偶函数，故即为， ∵偶函数在上是严格增函数，故， 平方得，即， 解得， 故答案为： 7．若函数是奇函数，则实数______． 【答案】 【详解】因为函数是奇函数，所以， 因为，当时，，， 所以，即，解得，此时， 当时，，所以，符合题意． 所以． 8．已知幂函数是定义域为的偶函数，则实数______． 【答案】2 【详解】为幂函数， ， 解得或； 当时，，是偶函数，满足题意； 当时，，其定义域为，不为，故不满足题意； 综上所述：； 故答案为：2 9．设，则其反函数必过定点的坐标为___________． 【答案】 【详解】当时，，故过定点， 根据反函数的性质可得，过定点对应反函数必过定点. 故答案为：. 10．已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________ 【答案】或 【详解】因为幂函数的图象关于轴对称， 所以该幂函数是偶函数，设， 则有， 所以有为偶数， 幂函数的图象与轴和轴无交点， 所以， 因为， 所以当时，为偶数， 当时，不是偶数， 当时，为偶数， 综上所述：的值是或. 故答案为：或 11．已知为常数，函数 ，设 ，若函数 恰有两个零点，则的取值范围是___________. 【答案】 【详解】由题意得 ， 作出函数的图像，如图所示， 由图及解析式可知，在单调递减，在单调递增，且， 在单调递减，在单调递增，且，， 因为函数恰有两个零点， 得到与图象有且仅有两个交点，故或. 故答案为： 12．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为的图象开口向上，对称轴为， 又因为，在上单调递增， 可知在上单调递增，当时，， 且，作出函数的图象，如图所示： 若关于x的方程有四个实数解，且， 可得，，， 又因为，则， 因为，则，可得， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 且，，当x趋近于时，趋近于， 即，所以的取值范围为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若幂函数的图象关于y轴对称，且在上是严格减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由幂函数在上是严格减函数，得，解得， 而，则，， 由幂函数的图象关于y轴对称，得为偶数， 因此，此时，所以整数a的值是1. 故选：B 14．下列选项中正确的是（    ） A．函数的单调减区间是 B．将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象 C．函数与函数是同一函数 D．函数的零点是 【答案】B 【详解】对于A，函数的单调减区间是，故A不正确； 对于B，将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象，故B正确； 对于C，函数与函数的定义域相同均为，但函数，对应关系不同， 所以两个函数不是同一函数，故C不正确； 对于D，令得，故函数的零点为，故D不正确. 故选：B. 15．“函数的定义域关于原点对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】若是偶函数，则函数的定义域关于原点对称， 若函数的定义域关于原点对称，但不一定成立， 比如的定义域为R，但不是偶函数， 所以“函数的定义域关于原点对称”是“函数为偶函数”的必要非充分条件. 故选：B 16．对于函数，常数，若自变量在区间上变化时，函数值的取值范围恰为，则称区间是函数的倍值区间，区间长度为.已知定义域为的函数的表达式为，给出下列结论： ① 函数恰有2个1倍值区间； ② 函数的所有倍区间长度之和为. 下列说法正确的是（    ） A．结论①成立，结论②不成立 B．结论①不成立，结论②成立 C．两个结论都成立 D．两个结论都不成立 【答案】B 【详解】作函数的草图如下：    对①：设为函数的1倍值区间，即当时，. 因为，所以. 当时，在上单调递减， 由. 两式相减得， 因为，所以，将其代入， 得或. 因为和均不属于， 所以当时，函数无1倍值区间； 当时，因为，所以必有， 又，所以必有，即，又，所以. 所以区间是函数的一个1倍值区间. 当时，在上单调递增， 所以，且，所以方程组无解， 即当时，函数无1倍值区间. 综上，函数只有一个1倍值区间，故①错误； 对②：设为函数的倍值区间，即当时，. 因为，所以. 当时，在上单调递减， 所以， 两式相减得：， 因为，所以, 代入得或（因为故舍去）. 由. 所以当时，， 所以是函数的一个倍值区间； 当时，因为，所以必有， 又，所以必有，即，又，所以. 所以区间是函数的一个倍值区间. 当时，在上单调递增， 所以，且，所以方程组无解， 即当时，函数无倍值区间. 综上，函数有两个倍值区间和， 它们的区间长度之和为：.故②正确. 故选：B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知，且是定义在上的偶函数． (1)求a的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明． 【详解】（1）因为，且是定义在上的偶函数， 所以， 即对任意恒成立， 解得.……（7分） (2)函数在上单调递增；证明如下： 由（1）可得， 任取，且，则 因为，所以，，，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增.……（14分） 18．（14分）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）， 所以所求解集为.……（6分） （2）因，由题意只有一个正根. 若，满足题意； 当时， 若，此时方程仅有一个实根为，满足题意； 若，即且时，此时方程的两根之积为，由可得. 综上，或. 所以实数的取值范围为：.……（14分） 19．（14分）已知函数. (1)判断函数奇偶性，并说明理由； (2)证明：函数在R上严格递增. 【详解】(1)是奇函数. 因为，所以函数的定义域为，关于原点对称. ， 所以是奇函数.……（6分） (2)由， 则任取，且， ， 因为在上严格递增，由得，故； 恒成立， 因此，即， 故在上严格递增.……（14分） 20．（18分）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库.因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元. (1)请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式； (2)已知乙队给出的整体报价为元（），不考虑其他因素，若甲队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 【详解】（1）前面墙体长米（），则左右两面墙体长为米. 所以新建前面墙体的费用为：元，即百元. 新建左右两面墙体的费用为：元，即百元. 又屋顶和地面以及其他共计28800元，即288百元， 所以总费用（）.……（9分） （2）乙队给出的整体报价为元，即百元（）. 甲队要确保竞标成功，需甲队报价小于乙队报价对任意恒成立， 即对任意恒成立. 化简得， 因为，所以， 整理得对任意恒成立. 设，则，. 又在上为增函数，所以， 则，即，又，所以. 故实数的取值范围为.……（18分） 21．（18分）已知定义域为的函数为偶函数，它的图像是连续的曲线．任取，定义． (1)已知，求； (2)若任取，都有，求证：函数，为周期函数； (3)若任取，只要存在、且，都有．试判断函数在上的单调性（填写“增函数”“严格增函数”“减函数”“严格减函数”“既存在严格增区间也存在严格减区间”之一），并证明你的结论． 【详解】（1）已知，，则，， 解得或， 故.……（5分） （2）已知是偶函数，故对任意，， 由题知任取，都有，故对任意，， 取，得 ①； 取，得，即， 整理得，令，则，代入得 ②， 结合①②可得对任意，，故是以为周期的周期函数，得证.……（11分） （3）假设在上不是增函数，则存在， 取，而，由定义知， 而为偶函数，故，故，可知， 而，故，根据题干定义可知，故，与假设矛盾，因此假设不成立， 故在上是增函数.……（18分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $