第5章 函数的概念、性质及应用（单元测试·基础卷）数学沪教版2020高一必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第5章 函数的概念、性质及应用·基础通关 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．函数的定义域为 ． 2．函数的图象的对称中心为 ． 3．已知．若为偶函数，则 ． 4．一次函数（），且，求 . 5．设函数，若，则 ． 6．已知、为实数，且函数，是偶函数，则 . 7．已知函数，若是的最小值，则实数的取值范围为 . 8．已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则 . 9．定义在上的奇函数满足:任意,且,若,则不等式的解集为 . 10．已知，，则方程不同解的个数为 ． 11．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则 . 12．设定义在上的函数若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 15．函数的大致图象为（    ） A．B．C．D． 16．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，当时，都有； ②； ③是偶函数； 若，则的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 17．设是实数.已知定义在区间上的函数，其中 (1)若函数是偶函数，求其表达式； (2)若，讨论函数的单调性，并简述理由. 18、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第2小题5分） （1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知 (1)当时， 判断函数的奇偶性; (2)若函数的图像经过点， 且函数在上有两个不相等的零点，求实数的值以及实数的取值范围. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 已知函数． (1)证明：； (2)求不等式：的解集； (3)若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上册数学单元检测卷 第5章 函数的概念、性质及应用·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1． 2． 3． 4． 5．3 6． 7． 8．0 9． 10．3 11．/0.75 12． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 C B A C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）因为函数的定义域为，且函数为偶函数， 此时函数，因为是偶函数，所以， 即 ；(6分） （2）当时，， 函数图象开口向上，对称轴为 当，即时:对称轴在定义域左侧，根据二次函数单调性，函数在上单调递增. 当，即时:对称轴在定义域内，函数在上单调递减，在上单调递增. 当，即时:对称轴在定义域右侧，函数在上单调递减. 所以当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减.（14分） 18、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第2小题5分） 【详解】（1）（待定系数法）∵是一次函数，可设， 由题可知：，即， 因为，所以，解得. 所以函数的解析式为.（4分） （2）(配凑法)， 又， 当且仅当即时等号成立. 设则，∴， ∴函数的解析式为.（9分） （3）(解方程组法)∵，① ∴，② 由得，∴. ∴函数的解析式为.（14分） 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）当时，， 因为， 当时，， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数； 当时，，函数是偶函数；（6分） （2）因为函数的图像经过点， 所以，则，且， 所以， 令， 则， 因为函数在上有两个不相等的零点， 所以且，解得， 综上，，且．（14分） 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由定义域为，且， 所以为奇函数，得证；（4分） （2）令，则 ，而， 所以，即，故函数在区间上是增函数；（10分） （3）由，且函数在区间上是增函数， 所以，可得，解集为.（18分） 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【详解】（1）.（4分） （2）因为，所以， 因为定义域为，，所以是奇函数， 所以，又因为是上单调递增，所以， 解得，解集为；（10分） （3）因为的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，在时有2个实数根， 即在时有2个实数根， 令，知在区间上单调递增，故， 由可得， 令，， 由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，作函数草图如图，    当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，即实数m的取值范围为（18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第5章 函数的概念、性质及应用·基础通关 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】应用根式、分式的性质求函数定义域. 【详解】由解析式知，可得且，故定义域为. 故答案为： 2．函数的图象的对称中心为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用反比例函数对称中心，结合图象平移即得. 【详解】函数， 则函数的图象可由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得， 而函数图象的对称中心为，所以函数的图象的对称中心为. 故答案为： 3．已知．若为偶函数，则 ． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出参数值. 【详解】函数的定义域为R，由为偶函数，得， 即，而不恒为0， 所以. 故答案为：0. 4．一次函数（），且，求 . 【答案】 【分析】利用整体代入法，即可列方程求解. 【详解】， 故且，结合，解得， 所以 故答案为： 5．设函数，若，则 ． 【答案】3 【分析】根据函数为分段函数，分段讨论即可. 【详解】当时，，所以，不满足题意， 当时，，所以，满足题意. 故答案为：3． 6．已知、为实数，且函数，是偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据定义域关于原点对称及求出参数的值. 【详解】因为函数，是偶函数， 所以，解得，又，即， 所以，所以，解得， 所以. 故答案为： 7．已知函数，若是的最小值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据得出，再分、两种情况讨论在上的最小值即可. 【详解】因在上单调递减，在上单调递增， 欲使是的最小值，则需，即，得， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时不是最小值，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时是最小值， 符合题意， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：    8．已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则 . 【答案】0 【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式求出函数的周期性，再利用函数的周期性进行求解即可. 【详解】因为是奇函数， 所以有，而， 于是有， 即有，因此有， 所以该函数的周期为，在中，令， 有， 于是， 故答案为： 9．定义在上的奇函数满足:任意,且,若,则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，根据条件求证其奇偶性和单调性，求解不等式即可. 【详解】因，则， 则在上单调递增， 因为奇函数，则， 则，即为奇函数， 则在上单调递增， 因，则， 则的解集，即的解集为. 故答案为： 10．已知，，则方程不同解的个数为 ． 【答案】3 【分析】分段函数，分段讨论方程解的个数即可. 【详解】当时，方程，即， ，，解得或， 当时，方程，即， ，，解得或， 因为，故此时. 故方程不同解的个数为3. 故答案为：3 11．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则 . 【答案】/0.75 【分析】根据奇函数的定义及可推出函数的周期，利用周期即可得解. 【详解】根据题意，因为为奇函数且满足. 所以，即， 所以， 所以是周期为4的周期函数， ， 因为， 所以， 故答案为： 12．设定义在上的函数若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解决二次函数型复合函数零点个数问题，可以通过换元将其转化为一元二次方程，结合实根分布的知识来解决． 【详解】令，则，作出函数的图象如答图13-7，函数有8个不同的零点， 等价于与的图象有8个交点，等价于函数在上有两个零点， 则，解得．    故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据相等函数满足定义域、对应关系相同，逐一判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为或，故两个函数的定义域不一样，所以不是相同函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，故两个函数的定义域不一样，所以不是相同函数，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 故两个函数的定义域不一样，所以不是相同函数，故D错误. 故选：C. 14．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为与均在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， ，， ， 又， 函数的零点所在区间是． 故选：B． 15．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查函数图象的运用，先根据函数的奇偶性，排除选项，在利用特殊值排除选项C即可求解. 【详解】依题意可知：函数的定义域为， 定义域关于原点对称，又因为， 所以函数为偶函数，故排除; 又当时，，故排除C， 故选：A. 16．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，当时，都有； ②； ③是偶函数； 若，则的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由①可得函数在上单调递增，由②可得函数为周期函数，周期为8，由③可得函数关于直线对称，进而得到，，，进而根据单调性判断大小即可. 【详解】由①，对任意的，当时，都有， 则，故函数在上单调递增， 由②，，则， 则函数为周期函数，周期为8， 由③，是偶函数，则函数关于直线对称， 所以， ， 而，且函数在上单调递增， 所以，即. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设是实数.已知定义在区间上的函数，其中 (1)若函数是偶函数，求其表达式； (2)若，讨论函数的单调性，并简述理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据偶函数的性质和定义进行求解即可； （2）根据二次函数的对称轴与所给区间的位置关系分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且函数为偶函数， 此时函数，因为是偶函数，所以， 即 ； （2）当时，， 函数图象开口向上，对称轴为 当，即时:对称轴在定义域左侧，根据二次函数单调性，函数在上单调递增. 当，即时:对称轴在定义域内，函数在上单调递减，在上单调递增. 当，即时:对称轴在定义域右侧，函数在上单调递减. 所以当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减. 18、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分） （1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】根据求函数解析式的三种方法：待定系数法，配凑法，解方程组法，分别求解（1）（2），（3）小题. 【详解】（1） （待定系数法）∵是一次函数，可设， 由题可知：，即， 因为，所以，解得. 所以函数的解析式为. （2）(配凑法)， 又， 当且仅当即时等号成立. 设则，∴， ∴函数的解析式为. （3）(解方程组法)∵，① ∴，② 由得，∴. ∴函数的解析式为. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知 (1)当时， 判断函数的奇偶性; (2)若函数的图像经过点， 且函数在上有两个不相等的零点，求实数的值以及实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)，且 【分析】（1）利用奇偶函数的判断，直接判断即可； （2）根据图像过的点坐标，即可求出的值，结合因式分解，利用函数在区间内有两个不同的零点转化为方程在固定范围有两个不同的根，即可求出的范围. 【详解】（1）当时，， 因为， 当时，， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数； 当时，，函数是偶函数； （2）因为函数的图像经过点， 所以，则，且， 所以， 令， 则， 因为函数在上有两个不相等的零点， 所以且，解得， 综上，，且. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用奇偶性定义判断证明即可； （2）应用单调性定义，令判断的符号，即可证； （3）利用函数的单调性解不等式求解集即可. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由定义域为，且， 所以为奇函数，得证； （2）令，则 ，而， 所以，即，故函数在区间上是增函数； （3）由，且函数在区间上是增函数， 所以，可得，解集为. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 已知函数． (1)证明：； (2)求不等式：的解集； (3)若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将函数式代入结合指数幂的计算即得证； （2）结合奇函数的性质及函数的单调性计算求解； （3）将在区间上与x轴有2个交点转化成在时有2个实数根，利用函数的单调性求出的值域，即得参数m的取值范围. 【详解】（1）. （2）因为，所以， 因为定义域为，，所以是奇函数， 所以，又因为是上单调递增，所以， 解得，解集为； （3）因为的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，在时有2个实数根， 即在时有2个实数根， 令，知在区间上单调递增，故， 由可得， 令，， 由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，作函数草图如图，    当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，即实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第5章 函数的概念、性质及应用·基础通关 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．函数的定义域为 ． 2．函数的图象的对称中心为 ． 3．已知．若为偶函数，则 ． 4．一次函数（），且，求 . 5．设函数，若，则 ． 6．已知、为实数，且函数，是偶函数，则 . 7．已知函数，若是的最小值，则实数的取值范围为 . 8．已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则 . 9．定义在上的奇函数满足:任意,且,若,则不等式的解集为 . 10．已知，，则方程不同解的个数为 ． 11．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则 . 12．设定义在上的函数若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 15．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 16．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，当时，都有； ②； ③是偶函数； 若，则的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设是实数.已知定义在区间上的函数，其中 (1)若函数是偶函数，求其表达式； (2)若，讨论函数的单调性，并简述理由. 18、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分） （1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知 (1)当时， 判断函数的奇偶性; (2)若函数的图像经过点， 且函数在上有两个不相等的零点，求实数的值以及实数的取值范围. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 已知函数． (1)证明：； (2)求不等式：的解集； (3)若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $