第三章 函数的概念与性质（单元分层自测·能力提升卷）高一数学人教A版必修第一册

2026-2027学年高一年级必修一数学单元检测卷 第三章 函数的概念与性质·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B A D C D B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BC ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（答案不唯一） 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【解析】（1）由题意可得， ，（5分） .（6分） （2）由（1）可得，恒成立，，(9分) 令，，， 实数的取值范围为.(13分) 16．（15分） 【解析】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又因为为奇函数，则， 综上可得，．（6分） （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为，（8分） ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是，（10分） ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是，（12分） ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）将，，三点代入，得， 解得，即（5分） 依题意，.（7分） （2）由（1） 当时，，则当为时，取得最大值60万元；（12分） 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）令，则，故，可得， 令，则， 当，则，即，与题设不符， 所以；(4分) （2）在R上单调递减，证明如下： 当时，；当时，， 由（1）知， 由， 当，即，，， 所以，即在上单调递减， 当，则，，， 所以，即在上单调递减， 综上，结合，易知在R上单调递减，得证.（11分） （3）令，则，故，即， 所以，则， 由（2）知，，即，可得或， 所以不等式解集为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）是关联， 证明：任取，若， 则， 是关联．（5分） （2）依题意当时， ，即满足， 作出的大致图象， 由图象可知点， 原不等式的解集为．（10分） （3）证明：必要性： 任取，满足，记， 由关联得到：， 由关联，，故， ， 又， ，结合得， ， ， 综上，，即是关联；（13分） 充分性： 对任意，故， ，故， 又， 两个同在区间内的数相加仍在区间内， 仅当时成立，即关联； 任取，若，则， 若，设，则， 由关联可得， 由结合关联可得， ，（16分） 综上，任取均满足， 即是关联．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级必修一数学单元检测卷 第三章 函数的概念与性质·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则下列四个图形中能表示从集合到集合的函数关系的是（   ）． A． B． C． D． 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B．[1，3] C． D．(1，3] 5．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6．若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映照着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（ ） A． B． C． D． 8．若定义在上的奇函数，对，且有，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 11．若是定义在上的函数，当时，，且对任意恒成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于对称 D．若，则恒成立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知函数具有下列性质：①，，；②，，当时，，则函数可能的一个解析式为 ． 13．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 14．已知函数，实数满足至少存在一个正实数，使得的定义域和值域相同，则的取值范围为__________. 三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.（本小题满分13分） 已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 16．（15分） 已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 17.（15分） Labubu已然成为年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 18.( 17分) 已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 19.（17分） 已知是定义在上的函数，若对任意的，均有，则称是关联． (1)判断和证明是否是关联？ (2)若是（3）关联，当时，，解不等式； (3)证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级必修一数学单元检测卷 第三章 函数的概念与性质·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则下列四个图形中能表示从集合到集合的函数关系的是（   ）． A． B． C． D． 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B．[1，3] C． D．(1，3] 5．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6．若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映照着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（ ） A． B． C． D． 8．若定义在上的奇函数，对，且有，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 11．若是定义在上的函数，当时，，且对任意恒成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于对称 D．若，则恒成立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知函数具有下列性质：①，，；②，，当时，，则函数可能的一个解析式为 ． 13．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 14．已知函数，实数满足至少存在一个正实数，使得的定义域和值域相同，则的取值范围为__________. 三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.（本小题满分13分） 已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 16．（15分） 已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 17.（15分） Labubu已然成为年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 18.( 17分) 已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 19.（17分） 已知是定义在上的函数，若对任意的，均有，则称是关联． (1)判断和证明是否是关联？ (2)若是（3）关联，当时，，解不等式； (3)证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级必修一数学单元检测卷 第三章 函数的概念与性质·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则下列四个图形中能表示从集合到集合的函数关系的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A：对于自变量时，没有函数值与之对应，不符； B：对于任意自变量，均有唯一确定的函数值与之对应，符合； C：图中显然存在自变量，对应的函数值不在区间内，不符； D：图中显然存在自变量，对应有两个函数值，不符. 故选：B 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， 因为，所以，所以，所以，所以， 即函数的值域为． 2．已知函数的定义域为，的定义域为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，解得， 所以函数的定义域为， 令，解得， 的定义域为， 所以． 3．已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【解析】令，则， ，所以. 故选：D. 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B．[1，3] C． D．(1，3] 【答案】C 【解析】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 5．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【解析】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D 6．若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】解法一：由于,可得关于点对称，故， 解法二：特殊值法：可令，， 当时，由基本不等式（当且仅当时取等号），可得， 同理可得当时，的最小值为。故当时，的最大值，最小值，故,故选：B. 7．从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映照着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（ ） A． B． C． D． 7.D【解析】由， 得函数的图象关于直线对称，则在直线两侧的根成对出现， 而方程恰有三个不同的实数根且， 因此该方程的一个根是，得，， 由，得，当，即时，， 而，联立解得，； 当，即时，，而，无解，所以，.故选：D 8．若定义在上的奇函数，对，且有，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和在上的单调性，判断函数在上的单调性，从而得到函数的正负，分、、三种情况讨论，得到使得成立的的取值范围. 【解析】因为对，且有，所以在上单调递减， 因为是奇函数，所以在上也单调递减，且， 所以当时，，当时，，当时，， ①当时，要使得，则要求，所以，解得； ②当时，符合； ③当时，要使得，则要求，所以，解得； 综上，x的取值范围是， 故选：B. 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 【答案】ACD 【解析】因为幂函数， 对A：若时，，所以函数图象关于原点对称，故A正确； 对B：若时，，所以函数的定义域为，故B错误； 对C：当时，，所以所有幂函数都过点，故C正确； 对D：由幂函数性质可知，当时，函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】对于A，若，，令， 由得或， 则函数的定义域为， 在单调递增，且在单调递增， 所以函数的递增区间为，故A错误； 对于B，由，所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，若的值域为，令，则， 当时，，解得，满足题意， 当时，，所以， 当时，不满足题意，所以，故C正确； 对于D，若的定义域为，则对恒成立， 当时，，不满足题意， 当时，，所以，故D错误. 11．若是定义在上的函数，当时，，且对任意恒成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于对称 D．若，则恒成立 【答案】ABC 【解析】对于A，在中，令， 可得，故，即，故A正确； 对于B，令，则，结合，得， 当时，有，即不恒为0，故必有，即是奇函数，故B正确， 对于C，由于是奇函数，故，令， 则， 因此的图象关于对称，即的图象关于对称，故C正确， 对于D，当且时，此时，显然，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知函数具有下列性质：①，，；②，，当时，，则函数可能的一个解析式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】由②可知为上的递减函数，且满足①， 故的一个解析式为． 13．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】作出函数的图象，如图所示. 由图可知函数的单调递增区间为，， 因为函数在区间上单调递增， 所以或，解得或. 所以的取值范围为 . 14．已知函数，实数满足至少存在一个正实数，使得的定义域和值域相同，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】当时，，则时，，且，符合； 当时，令， 则或即定义域为，且，定义域和值域不相同，不符合； 当时，令，则，即定义域为， 此时最大值在时取到，令， 两侧平方整理得，当时，有，得； 综上，. 三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.（本小题满分13分） 已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意可得， ， . （2）由（1）可得，恒成立，， 令，，， 实数的取值范围为. 16．（15分） 已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 【解析】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又因为为奇函数，则， 综上可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值． 17.（15分） Labubu已然成为年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【解析】（1）将，，三点代入，得， 解得，即 依题意，. （2）由（1） 当时，，则当为时，取得最大值60万元； 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元. 18.( 17分) 已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 【解析】（1）令，则，故，可得， 令，则， 当，则，即，与题设不符， 所以； （2）在R上单调递减，证明如下： 当时，；当时，， 由（1）知， 由， 当，即，，， 所以，即在上单调递减， 当，则，，， 所以，即在上单调递减， 综上，结合，易知在R上单调递减，得证. （3）令，则，故，即， 所以，则， 由（2）知，，即，可得或， 所以不等式解集为. 19.（17分） 已知是定义在上的函数，若对任意的，均有，则称是关联． (1)判断和证明是否是关联？ (2)若是（3）关联，当时，，解不等式； (3)证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 【解析】（1）是关联， 证明：任取，若， 则， 是关联． （2）依题意当时， ，即满足， 作出的大致图象， 由图象可知点， 原不等式的解集为． （3）证明：必要性： 任取，满足，记， 由关联得到：， 由关联，，故， ， 又， ，结合得， ， ， 综上，，即是关联； 充分性： 对任意，故， ，故， 又， 两个同在区间内的数相加仍在区间内， 仅当时成立，即关联； 任取，若，则， 若，设，则， 由关联可得， 由结合关联可得， ， 综上，任取均满足， 即是关联． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $