专题06 因数与倍数（解决问题专项讲义）数学苏教版五年级上册（新教材）

专题06 因数与倍数（解决问题专项讲义） 题型01 运用因数和倍数的认识解决问题 题型02 运用2、5、3的倍数的特征解决问题 题型03 运用奇偶数的认识及奇偶性解决问题 题型04 运用质数和合数的认识解决问题 题型05 运用公因数和公倍数解决问题 题型01 运用因数和倍数的认识解决问题 一、运用因数和倍数的认识解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决因数倍数实际场景问题时，先根据题意明确两个整数的整除依存关系，先锁定目标数的取值范围，再按“因数有限、最大是本身；倍数无限、最小是本身”的规则筛选，最终得到符合所有约束条件的合规结果。 ‌特殊速算技巧‌ 当题目给出的数值符合表内乘法规则时，可直接依托乘法口诀口算目标数的所有因数，快速同步筛选出符合条件的数，比如找48的所有因数，直接用六八四十八的口诀，快速配对得到1和48、2和24、3和16、4和12、6和8，不用从1开始逐个试除找因数。 ‌结果预判规律‌ 实际场景中的因数和倍数都必须是正整数，一个数的最小因数一定是1，最大因数和最小倍数都等于它本身，解题前先预判结果的大致取值区间，避免出现“5是因数、10是倍数”这类脱离依存关系的低级错误。 二、运用因数和倍数的认识解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“直接给定数找指定特征的因数/倍数”的场景，先按2/3/5的倍数特征快速初筛，再验证是否完全符合条件；遇到“两个数的共同因数/倍数”的场景，先分别列出两个数的因数/倍数，再找交集，先锁定核心的“整除依存关系”模块，再匹配对应的特征筛选条件，不用反复试除所有整数。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带残缺条件的总量求数问题，比如已知班级总人数不足50人，无论每行站16人还是24人都正好是整行，可先算出16和24的最小公倍数48，直接得到符合人数区间的总人数48人，比零散枚举所有可能的人数分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知一个数的因数特征和部分限定条件，可反向依托因数的定义反推这个数的具体数值，适配各类带隐藏条件的实际场景题型。比如一个数是50以内7的倍数，其中一个因数是4，直接用7乘4快速算出28，验证完全符合所有约束条件。 【典例1】为了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某公司组织48位员工去看电影《南京照相馆》，将这些员工安排在一个影厅里，每排坐的人数同样多，且每排人数大于3人，小于24人，有几种不同的坐法？ 【专项训练1】四川火锅，以麻、辣、鲜、香著称，牛肉、毛肚、鸭肠、虾滑、土豆……让人口水直流！现要给36袋火锅底料制作包装盒，要求每个盒子装得同样多（至少装2盒，每盒至少2袋），有哪几种装法？ 【专项训练2】学校买来66盆鲜花，要摆成如图三种图案中的一种，选择哪种图案，鲜花能正好摆完，没有剩余？为什么？ 【专项训练3】有四种规格的饮料包装盒：4瓶/盒、8瓶/盒、9瓶/盒、12瓶/盒。现有60瓶饮料，选哪种规格的饮料包装盒正好能装完？为什么？ 【专项训练4】张奶奶在自家果园里摘了24个桃子，如果把这些桃子装在若干袋子里（不能装在1个袋子里），每个袋子的数量相同且无剩余，共有几种不同的装法？ 【专项训练5】为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 题型02 运用2、5、3的倍数的特征解决问题 一、运用2、5、3的倍数的特征解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决2、5、3的倍数特征实际场景问题时，先根据题意明确目标数的取值范围，先分别匹配对应数的倍数特征：2的倍数个位是0、2、4、6、8，5的倍数个位是0或5，3的倍数各位数字之和是3的倍数，再筛选出同时满足所有约束条件的合规结果。比如已知一个两位数既是2的倍数，又是3的倍数，十位数字是6，先锁定个位的可选范围，再验证各位和是3的倍数，就能得到60、66的正确结果。 ‌特殊速算技巧‌ 当题目给出的数值符合表内乘法规则时，可直接依托“2和5的倍数只看个位”的规则快速初筛，不用逐个试除所有数。比如找1~50中既是2又是5的倍数的数，直接锁定个位是0的数，快速得到10、20、30、40、50，不用从1开始逐个验证整除性。 ‌结果预判规律‌ 同时是2和5的倍数的数，个位一定是0；同时是2、3、5的倍数的数，个位是0且各位数字之和是3的倍数，解题前先预判结果的个位特征，避免出现“3的倍数个位必须是3、6、9”这类脱离特征定义的低级错误。 二、运用2、5、3的倍数的特征解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“直接给定范围找指定数的倍数”的场景，先按对应数的倍数特征快速初筛，再验证是否完全符合条件；遇到“找同时满足多个数的倍数特征的数”的场景，先匹配约束最严格的特征缩小范围，再叠加其余特征筛选，先锁定核心的“数位特征匹配”模块，再匹配对应的取值区间条件，不用反复试除所有整数。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带残缺条件的总量求数问题，比如已知一筐苹果总数在40~50之间，2个2个地数、3个3个地数都正好数完，可先算出2和3的最小公倍数6，再在区间内找到6的倍数48，直接得到苹果总个数48，比零散枚举所有可能的数分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知一个数是2、5、3的倍数，且其余数位数字固定，可反向依托倍数特征反推缺失数位的合规取值，适配各类带隐藏条件的实际场景题型。比如四位数2□3□同时是2、3、5的倍数，直接先锁定个位必须是0，再反推百位可填1、4、7，验证完全符合所有特征要求。 【典例2】乐乐在商店购买了一些牛奶和可乐（牛奶和可乐都有购买，但数量未知），牛奶和可乐的价格如图。最后乐乐付了100元，售货员阿姨找回16元，售货员阿姨找回的钱数对吗？为什么？ 【专项训练1】为了促使学生加强体育锻炼，学校举办了趣味运动会。其中“篮球接力”，哪个年级的报名人数按“3人一组”或“5人分组后均没有剩余？写出你的思考过程。 年级 五年级 六年级 报名人数 78人 60人 【专项训练2】数学课上，奇思在计数器上拨7颗珠子表示一个三位数。下面两位同学的想法，你认为正确吗？用你喜欢的方式说明理由。 【专项训练3】举行校际运会，运动员方阵进场，每个方阵有50人，如果每2人站成一排，能正好站成整排吗？每3人呢？每5人呢？ 【专项训练4】滨湾小学五年级科技小组的130名学生到深圳科技馆参观，他们分组体验地震逃生演习，如果每组2人，能正好分完吗？每组3人呢？每组5人呢？为什么？请分别说明理由。 【专项训练5】皮影戏表演开始了！学校通过某平台对这次表演进行了线上直播，这次直播的累计点击量为166□□□次，已知这个六位数同时是2、3、5的倍数，则累计点击量最少是多少次？ 题型03 运用奇偶数的认识及奇偶性解决问题 一、运用奇偶数的认识及奇偶性解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决奇偶性实际场景问题时，先根据题意明确目标数的整除属性，先锁定“能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数”的核心定义，再依托奇偶运算规则推导结果的奇偶属性，最终得到符合所有约束条件的合规结论。比如已知两个连续自然数的和是17，先明确连续自然数必然是一奇一偶，直接判定它们的和是奇数，完全匹配题目给出的条件，就能快速锁定这两个数是8和9。 ‌特殊速算技巧‌ 当题目给出的数值符合奇偶运算规则时，可直接依托“只看个位”的规律口算结果的奇偶性，不用算出完整的运算结果。比如判断123+456的和是奇数还是偶数，直接看个位3+6=9是奇数，就能快速判定最终和是奇数，不用分步算出完整的和579再验证。 ‌结果预判规律‌ 任意两个奇数的和与差一定是偶数，任意一个奇数和任意一个偶数的和与差一定是奇数，奇数乘奇数的结果一定是奇数，解题前先预判结果的奇偶属性，避免出现“奇数减奇数等于奇数”这类脱离运算性质的低级错误。 二、运用奇偶数的认识及奇偶性解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“直接判断加减乘运算结果的奇偶性”的场景，先统计算式里奇数的总个数，奇数个奇数相加结果是奇数，偶数个奇数相加结果是偶数；遇到“带开关翻动、杯子翻转这类操作类场景”的问题，先锁定初始状态，再统计操作总次数的奇偶性，先锁定核心的“奇偶性周期循环”模块，再匹配对应的操作次数条件，不用反复枚举每一次操作后的状态。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带残缺条件的总量奇偶性问题，比如已知3个连续奇数的和是27，可先直接用总和除以3得到中间的奇数9，快速推导出另外两个奇数是7和11，比零散枚举所有可能的奇数分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知运算结果的奇偶性和部分数的属性，可反向依托奇偶运算规则反推未知数的奇偶属性，适配各类带隐藏条件的实际场景题型。比如两个数的和是奇数，其中一个数是偶数，直接反向推导出另一个数一定是奇数，验证完全符合奇偶运算的核心规则。 【典例3】一个三角形的三条边长之和是45厘米，这三条边的长是三个连续奇数，它们的长各是多少厘米？ 【专项训练1】三个连续的偶数的和是78，这三个连续的偶数依次分别是多少？ 【专项训练2】42名同学去参观水立方，老师要把同学们平均分成若干小组，而且每组人数都是偶数，可以分成几组，每组几人？（组数大于1）（写出思考过程） 【专项训练3】笑笑、奇思、淘气三个小朋友上学期共做好事102件，而且三人所做的好事的件数从小到大排列后是三个连续的偶数，其中笑笑做好事的件数最少，笑笑做了多少件好事？ 【专项训练4】乐乐和同学去书店买了一些《数学大世界》和《小学生天地》。 乐乐付了100元，售货员找回35元。你能判断售货员找回的钱对不对吗？你是怎么判断的？ 【专项训练5】有一只青蛙正在一条沟的两岸跳来跳去。     （1）青蛙开始在左岸，跳若干次后仍然回到左岸，那么你知道青蛙跳的次数是奇数还是偶数呢？     （2）如果青蛙开始在右岸，跳101次后，它是在左岸还是在右岸？ 题型04 运用质数和合数的认识解决问题 一、运用质数和合数的认识解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决质数合数实际场景问题时，先根据题意明确目标数的因数属性，先锁定“只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身还有其他因数的数是合数”的核心定义，排除特殊数1（既不是质数也不是合数），再筛选出符合所有约束条件的合规结果。比如已知两个质数的和是18、乘积是77，先列出和为18的所有正整数组合，再筛选出两个数都是质数的组合，就能得到7和11的正确结果。 ‌特殊速算技巧‌ 当题目给出的数值在20以内时，可直接依托20以内质数表快速匹配，不用逐个试除判断因数个数。比如找1~20里的所有质数，直接依托固定质数表快速得到2、3、5、7、11、13、17、19，不用从1开始逐个枚举验证因数数量。 ‌结果预判规律‌ 唯一的偶质数是2，其余所有质数都是奇数，最小的质数是2，最小的合数是4，解题前先预判结果的奇偶属性，避免出现“所有偶数都是合数”这类脱离定义的低级错误。 二、运用质数和合数的认识解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“直接给定范围找指定特征的质数/合数”的场景，先排除1和所有大于2的偶数，快速缩小筛选范围，再验证剩余数的因数个数；遇到“两个质数的和/积已知反推这两个数”的场景，先依托奇偶运算规则初筛，再验证两个数的质数属性，先锁定核心的“因数个数判定”模块，再匹配对应的取值区间条件，不用反复试除所有整数。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带残缺条件的总量求数问题，比如已知妈妈买同价的几盒糖，付50元找回5元，可先算出实际总价45元，直接依托45的质因数拆分快速得到所有可能的盒数：3盒、5盒、9盒等，比零散枚举所有可能的盒数分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知两个数的乘积和其中一个数是质数，可反向依托分解质因数的规则反推另一个数的属性，适配各类带隐藏条件的实际场景题型。比如一个两位数十位是最小的质数、个位是最小的合数，直接反向推导出这个两位数是24，验证完全符合质数合数的定义要求。 【典例4】陶渊明是我国第一位田园诗人“种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴理荒秽，带月荷锄归。”讲述了陶渊明隐居每天所做的事情。陶渊明的菜地是一个周长为20米的长方形，它的长、宽是两个不同的质数，这块菜地的面积是多少？ 【专项训练1】一块长方形试验田的面积是48平方米，并且长与宽都是合数。这块试验田的周长最长是多少米？ 【专项训练2】城市管理部门在公共区域规划了一块长方形场地作为专用停车场，它的长和宽都是质数，周长是48米。符合条件的长和宽共有几组？停车场最大占地面积是多少平方米？ 【专项训练3】奶奶在家里的花坛里栽种了两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 【专项训练4】同学们排方阵做操，每行的人数都是相等的。下面是霏霏、淘淘、依依、龙一鸣各自数出的总人数，其中只有一人数对了。你认为谁数对了呢？写出你的理由。 【专项训练5】下面哪些组可以分成人数相同的队？哪些组不可以？为什么？ 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 人数 25 37 56 39 题型05 运用公因数和公倍数解决问题 一、运用公因数和公倍数解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决公因数公倍数实际场景问题时，先根据题意明确目标数的核心属性，先锁定“平均分无剩余求最长/最大规格用最大公因数，周期重合求最早/最小时间用最小公倍数”的核心判定规则，再用短除法算出对应结果，最终得到符合所有约束条件的合规答案。比如把长72分米、90分米的两根木料截成等长小段且无剩余，求最长小段长度，直接算出72和90的最大公因数18，就能得到最长小段为18分米的正确结果。 ‌特殊速算技巧‌ 当两个数存在倍数关系时，可直接依托“小数是最大公因数、大数是最小公倍数”的规则口算，不用分步做短除法。比如12和36，直接判定最大公因数是12、最小公倍数是36，省去分解质因数的中间运算步骤，大幅减少计算失误。 ‌结果预判规律‌ 两个自然数的乘积一定等于它们的最大公因数乘最小公倍数，任意两个数的最大公因数一定不大于这两个数中的较小数，最小公倍数一定不小于这两个数中的较大数，解题前先预判结果的大致取值区间，避免出现“最大公因数比原数大”这类脱离定义的低级错误。 二、运用公因数和公倍数解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“分物品有剩余、分组多出来人数”的场景，先把总数减去剩余部分，再对新得到的数求最大公因数；遇到“周期重合、同时发车、瓷砖贴满正方形墙面”的场景，直接求多个周期数的最小公倍数，先锁定核心的“场景属性匹配”模块，再匹配对应的运算方法，不用反复试算所有可能的数值。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带残缺条件的总量求数问题，比如已知一袋糖分给6个小朋友剩2颗、分给8个小朋友也剩2颗，总数在50以内，可先算出6和8的最小公倍数24，直接得到符合条件的总数26或50，比零散枚举所有可能的数分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知两个数的最大公因数是6、最小公倍数是36，其中一个数是12，可反向依托“两数乘积=最大公因数×最小公倍数”的规则，直接用6×36÷12快速算出另一个数是18，验证完全符合所有公因数公倍数的定义要求。 【典例5】学校布置文化墙，需要用彩带来做装饰线条。现有两根彩带，一根长36分米，一根长48分米，老师要求把它们截成同样长的若干段，方便同学们分组制作，且不能有剩余。每段最长是多少分米？一共可以截成多少段？ 【专项训练1】实验小学组织五年级的64名优秀少先队员到甘蔗种植园参加劳动实践活动，其中男生24人，女生40人。现在要把男、女生分别分成若干个小组，且每个小组的人数都相等，每个小组最多有多少人？此时，男、女生各有几个小组？ 【专项训练2】五（1）班有42人，五（2）班有36人。如果把两个班的学生都平均分成若干组，要使两个班每个小组的人数相等，每组最多有多少人？一共可分成几组？ 【专项训练3】运动会团体操表演过程中，要求在队伍变换成12行，15行，18行时，队形都为长方形，问参加团体操表演最少需要有多少人？ 【专项训练4】同学们在实践中了解到，甘蔗捆扎起来便于运输。他们准备自己捆扎一批甘蔗，已知这批甘蔗的总数在90～100根之间，而且无论是8根一捆，还是12根一捆，都正好捆完，这批甘蔗一共有多少根？ 【专项训练5】跑步是最好的全身运动。每天早晨，爸爸、妈妈和乐乐都到操场跑步。 （1）爸爸和妈妈同时从起点出发，同向而行，他们几分后可以在起点第一次相遇？ （2）他们三人同时从起点出发，同向而行，几分后三人可以在起点第一次相遇？此时他们各跑了多少圈？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 因数与倍数（解决问题专项讲义） 题型01 运用因数和倍数的认识解决问题 题型02 运用2、5、3的倍数的特征解决问题 题型03 运用奇偶数的认识及奇偶性解决问题 题型04 运用质数和合数的认识解决问题 题型05 运用公因数和公倍数解决问题 题型01 运用因数和倍数的认识解决问题 一、运用因数和倍数的认识解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决因数倍数实际场景问题时，先根据题意明确两个整数的整除依存关系，先锁定目标数的取值范围，再按“因数有限、最大是本身；倍数无限、最小是本身”的规则筛选，最终得到符合所有约束条件的合规结果。 ‌特殊速算技巧‌ 当题目给出的数值符合表内乘法规则时，可直接依托乘法口诀口算目标数的所有因数，快速同步筛选出符合条件的数，比如找48的所有因数，直接用六八四十八的口诀，快速配对得到1和48、2和24、3和16、4和12、6和8，不用从1开始逐个试除找因数。 ‌结果预判规律‌ 实际场景中的因数和倍数都必须是正整数，一个数的最小因数一定是1，最大因数和最小倍数都等于它本身，解题前先预判结果的大致取值区间，避免出现“5是因数、10是倍数”这类脱离依存关系的低级错误。 二、运用因数和倍数的认识解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“直接给定数找指定特征的因数/倍数”的场景，先按2/3/5的倍数特征快速初筛，再验证是否完全符合条件；遇到“两个数的共同因数/倍数”的场景，先分别列出两个数的因数/倍数，再找交集，先锁定核心的“整除依存关系”模块，再匹配对应的特征筛选条件，不用反复试除所有整数。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带残缺条件的总量求数问题，比如已知班级总人数不足50人，无论每行站16人还是24人都正好是整行，可先算出16和24的最小公倍数48，直接得到符合人数区间的总人数48人，比零散枚举所有可能的人数分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知一个数的因数特征和部分限定条件，可反向依托因数的定义反推这个数的具体数值，适配各类带隐藏条件的实际场景题型。比如一个数是50以内7的倍数，其中一个因数是4，直接用7乘4快速算出28，验证完全符合所有约束条件。 【典例1】为了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某公司组织48位员工去看电影《南京照相馆》，将这些员工安排在一个影厅里，每排坐的人数同样多，且每排人数大于3人，小于24人，有几种不同的坐法？ 【答案】5种 【分析】每排人数相同且刚好坐满，说明每排人数是48的因数，只需找出48的因数中大于3且小于24的个数，即为坐法数。 【解答】一对一对找出48的因数： 48的因数有。 其中大于3且小于24的因数是，共5个，对应5种不同的坐法。 答：有5种不同的坐法。 【专项训练1】四川火锅，以麻、辣、鲜、香著称，牛肉、毛肚、鸭肠、虾滑、土豆……让人口水直流！现要给36袋火锅底料制作包装盒，要求每个盒子装得同样多（至少装2盒，每盒至少2袋），有哪几种装法？ 【答案】每盒装18袋，装2盒；每盒装12袋，装3盒；每盒装9袋，装4盒；每盒装6袋，装6盒；每盒装4袋，装9盒；每盒装3袋，装12盒；每盒装2袋，装18盒；7种 【分析】每个盒子装得同样多，说明盒数和每盒袋数都是36的因数。结合“至少装2盒、每盒至少2袋”的条件，排除不符合的因数后，统计所有符合要求的因数组合即可。 【解答】先找出乘积是36的所有整数组合： 、、、、 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 根据要求，盒数不少于2，每盒袋数不少于2，因此去掉因数1和36： 盒数为2时，每盒袋数：（袋） 盒数为3时，每盒袋数：（袋） 盒数为4时，每盒袋数：（袋） 盒数为6时，每盒袋数：（袋） 盒数为9时，每盒袋数：（袋） 盒数为12时，每盒袋数：（袋） 盒数为18时，每盒袋数：（袋） 一共有7种装法。 答：每盒装18袋，装2盒；每盒装12袋，装3盒；每盒装9袋，装4盒；每盒装6袋，装6盒；每盒装4袋，装9盒；每盒装3袋，装12盒；每盒装2袋，装18盒；一共有7种装法。 【专项训练2】学校买来66盆鲜花，要摆成如图三种图案中的一种，选择哪种图案，鲜花能正好摆完，没有剩余？为什么？ 【答案】选择第一种图案；因为3是66的因数，66盆鲜花摆第一种图案能正好摆完，没有剩余。 【分析】根据题意，如果把66盆鲜花正好摆完，没有剩余，那么每份的盆数一定是66的因数。先根据求一个数的因数的方法，写出66所有的因数，三种摆法的盆数是66的因数的，就能正好摆完，没有剩余。 【解答】66的因数有1，2，3，6，11，22，33，66； 第一种图案是3盆，3是66的因数，这样摆没有剩余； 第二种图案是4盆，4不是66的因数，这样摆有剩余； 第三种图案是5盆，5不是66的因数，这样摆有剩余； 答：选择第一种图案没有剩余；因为3是66的因数，66盆鲜花摆第一种图案能正好摆完，没有剩余。 【专项训练3】有四种规格的饮料包装盒：4瓶/盒、8瓶/盒、9瓶/盒、12瓶/盒。现有60瓶饮料，选哪种规格的饮料包装盒正好能装完？为什么？ 【答案】4瓶/盒、12瓶/盒；4和12是60的因数 【分析】每盒瓶数只要是饮料瓶数的因数，就正好能装完，分别用饮料瓶数÷每盒瓶数，能整除即可。 【解答】60÷4＝15（盒） 60÷8＝7.5（盒） 60÷9≈6.67（盒） 60÷12＝5（盒） 答：选4瓶/盒、12瓶/盒的饮料包装盒正好能装完，因为4和12是60的因数。 【专项训练4】张奶奶在自家果园里摘了24个桃子，如果把这些桃子装在若干袋子里（不能装在1个袋子里），每个袋子的数量相同且无剩余，共有几种不同的装法？ 【答案】7种 【分析】每袋桃子数乘袋数等于24，且袋数不能为1，因此找出24的所有因数，去掉因数1，剩余因数的个数就是装法的数量。 【解答】先找出24的所有因数：，，，， 24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个；因为不能装在1个袋子里，所以袋数不能为1，去掉因数1，即（种） 答：共有种不同的装法。 【专项训练5】为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 【答案】6种；找出乘积为48，且两个乘数都不小于3的整数组合即可 【分析】排长方形队形时，总人数等于每行人数乘行数，需要找出所有乘积为48、且两个数都不小于3的正整数组合，组合的数量就是排法的种数。 【解答】先列出乘积为48的所有正整数乘法算式： 要求每行和每列人数都至少是3人，即两个乘数都大于等于3，符合条件的算式共有6个。 答：共有6种不同的排法。 题型02 运用2、5、3的倍数的特征解决问题 一、运用2、5、3的倍数的特征解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决2、5、3的倍数特征实际场景问题时，先根据题意明确目标数的取值范围，先分别匹配对应数的倍数特征：2的倍数个位是0、2、4、6、8，5的倍数个位是0或5，3的倍数各位数字之和是3的倍数，再筛选出同时满足所有约束条件的合规结果。比如已知一个两位数既是2的倍数，又是3的倍数，十位数字是6，先锁定个位的可选范围，再验证各位和是3的倍数，就能得到60、66的正确结果。 ‌特殊速算技巧‌ 当题目给出的数值符合表内乘法规则时，可直接依托“2和5的倍数只看个位”的规则快速初筛，不用逐个试除所有数。比如找1~50中既是2又是5的倍数的数，直接锁定个位是0的数，快速得到10、20、30、40、50，不用从1开始逐个验证整除性。 ‌结果预判规律‌ 同时是2和5的倍数的数，个位一定是0；同时是2、3、5的倍数的数，个位是0且各位数字之和是3的倍数，解题前先预判结果的个位特征，避免出现“3的倍数个位必须是3、6、9”这类脱离特征定义的低级错误。 二、运用2、5、3的倍数的特征解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“直接给定范围找指定数的倍数”的场景，先按对应数的倍数特征快速初筛，再验证是否完全符合条件；遇到“找同时满足多个数的倍数特征的数”的场景，先匹配约束最严格的特征缩小范围，再叠加其余特征筛选，先锁定核心的“数位特征匹配”模块，再匹配对应的取值区间条件，不用反复试除所有整数。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带残缺条件的总量求数问题，比如已知一筐苹果总数在40~50之间，2个2个地数、3个3个地数都正好数完，可先算出2和3的最小公倍数6，再在区间内找到6的倍数48，直接得到苹果总个数48，比零散枚举所有可能的数分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知一个数是2、5、3的倍数，且其余数位数字固定，可反向依托倍数特征反推缺失数位的合规取值，适配各类带隐藏条件的实际场景题型。比如四位数2□3□同时是2、3、5的倍数，直接先锁定个位必须是0，再反推百位可填1、4、7，验证完全符合所有特征要求。 【典例2】乐乐在商店购买了一些牛奶和可乐（牛奶和可乐都有购买，但数量未知），牛奶和可乐的价格如图。最后乐乐付了100元，售货员阿姨找回16元，售货员阿姨找回的钱数对吗？为什么？ 【答案】不对；理由：因为牛奶和可乐的价钱都是5的倍数，总花费一定是5的倍数，找回的钱也应是5的倍数，16不是5的倍数，所以找错了。 【分析】可乐单价是10元（5的倍数），牛奶单价是5元（5的倍数）。5的倍数加5的倍数，和仍然是5的倍数，所以花掉的总钱数一定是5的倍数。付了100元（也是5的倍数），找回的钱也应该是5的倍数。 【解答】100－16＝84（元） 84不是5的倍数，说明总价不可能是84元。 答：找的钱不对，理由略。 【专项训练1】为了促使学生加强体育锻炼，学校举办了趣味运动会。其中“篮球接力”，哪个年级的报名人数按“3人一组”或“5人分组后均没有剩余？写出你的思考过程。 年级 五年级 六年级 报名人数 78人 60人 【答案】78是3的倍数，不是5的倍数，如果按“5人一组”分组会有剩余；60既是3的倍数，又是5的倍数，所以六年级的报名人数按这两种方式分组后均没有剩余。 【分析】要找出按两种分组方式都无剩余的年级，需分别判断两个年级的人数是否同时是3和5的倍数，可根据3、5的倍数特征判断。 【解答】答：五年级报名人数78人：，15是3的倍数，所以78是3的倍数；78的个位是8，不是0或5，所以78不是5的倍数；因此五年级按5人一组分组有剩余。 六年级报名人数60人：，6是3的倍数，所以60是3的倍数；60的个位是0，所以60是5的倍数；因此六年级按3人一组、5人一组分组均没有剩余。 【专项训练2】数学课上，奇思在计数器上拨7颗珠子表示一个三位数。下面两位同学的想法，你认为正确吗？用你喜欢的方式说明理由。 【答案】淘气的想法错误，因为各位上的数的和为7，个位上是0或5的数，都是5的倍数，比如250、205、700等都是5的倍数。 笑笑的想法正确，因为各位上的数的和为7，7不是3的倍数，这个数不是3的倍数。 【分析】在计数器上拨7颗珠子表示一个三位数，这个三位数各位上的数的和为7，且百位上数字不能为0，再根据3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，7不是3的倍数，据此判断；5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数，据此判断。 【解答】略。 【专项训练3】举行校际运会，运动员方阵进场，每个方阵有50人，如果每2人站成一排，能正好站成整排吗？每3人呢？每5人呢？ 【答案】能；不能；能 【分析】个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，各数位相加的和是3的倍数的数是3的倍数，个位是0或5的数是5的倍数；想正好站成整排，需要总人数是每排人数的倍数，则解决此题只需要验证50是否是2、3、5的倍数即可，用总人数除以每排的人数即可求出能站多少排，如果有余数就不能站成整排。 【解答】50÷2＝25（排） 50÷3＝16（排）……2（人） 50÷5＝10（排） 答：如果每2人站成一排，能正好站成整排；每3人不能站成整排；每5人能站成10整排。 【点睛】解决问题的关键在于想站成整排，总人数必须是每排人数的倍数，可以利用除法计算验证，也可以利用倍数特征直接进行判断。 【专项训练4】滨湾小学五年级科技小组的130名学生到深圳科技馆参观，他们分组体验地震逃生演习，如果每组2人，能正好分完吗？每组3人呢？每组5人呢？为什么？请分别说明理由。 【答案】能；130是2的倍数；不能；130不能被3整除；能；130是5的倍数。 【分析】判断130能否分别被2、3、5整除，若能整除则可以正好分完，反之则不能。 2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，据此判断130是否满足该特征。 3的倍数的特征：各数位上数字之和是3的倍数的数是3的倍数，先计算130各数位数字之和，再判断其是否为3的倍数。 5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数，据此判断130是否满足该特征。 【解答】130个位数字为0，既是2的倍数，又是5的倍数； 1＋3＋0＝4，4不是3的倍数，130不能被3整除。 答：每组2人，能正好分完，因为130是2的倍数；每组3人，不能分完，因为130不能被3整除；每组5人，也能正好分完，因为130是5的倍数。 【专项训练5】皮影戏表演开始了！学校通过某平台对这次表演进行了线上直播，这次直播的累计点击量为166□□□次，已知这个六位数同时是2、3、5的倍数，则累计点击量最少是多少次？ 【答案】166020次 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。个位上是0或5的数，都是5的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 首先根据2和5的倍数特征确定个位数字；然后根据3的倍数特征确定各位数字之和需满足的条件；最后为了使这个六位数最小，从高位到低位依次填最小的数字。 【解答】因为这个数同时是2和5的倍数，所以个位上的数字必须是0。要使这个数最小，百位填0，十位填2，个位填0。所以这个数最小是166020。 答：累计点击量最少是166020次。 题型03 运用奇偶数的认识及奇偶性解决问题 一、运用奇偶数的认识及奇偶性解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决奇偶性实际场景问题时，先根据题意明确目标数的整除属性，先锁定“能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数”的核心定义，再依托奇偶运算规则推导结果的奇偶属性，最终得到符合所有约束条件的合规结论。比如已知两个连续自然数的和是17，先明确连续自然数必然是一奇一偶，直接判定它们的和是奇数，完全匹配题目给出的条件，就能快速锁定这两个数是8和9。 ‌特殊速算技巧‌ 当题目给出的数值符合奇偶运算规则时，可直接依托“只看个位”的规律口算结果的奇偶性，不用算出完整的运算结果。比如判断123+456的和是奇数还是偶数，直接看个位3+6=9是奇数，就能快速判定最终和是奇数，不用分步算出完整的和579再验证。 ‌结果预判规律‌ 任意两个奇数的和与差一定是偶数，任意一个奇数和任意一个偶数的和与差一定是奇数，奇数乘奇数的结果一定是奇数，解题前先预判结果的奇偶属性，避免出现“奇数减奇数等于奇数”这类脱离运算性质的低级错误。 二、运用奇偶数的认识及奇偶性解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“直接判断加减乘运算结果的奇偶性”的场景，先统计算式里奇数的总个数，奇数个奇数相加结果是奇数，偶数个奇数相加结果是偶数；遇到“带开关翻动、杯子翻转这类操作类场景”的问题，先锁定初始状态，再统计操作总次数的奇偶性，先锁定核心的“奇偶性周期循环”模块，再匹配对应的操作次数条件，不用反复枚举每一次操作后的状态。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带残缺条件的总量奇偶性问题，比如已知3个连续奇数的和是27，可先直接用总和除以3得到中间的奇数9，快速推导出另外两个奇数是7和11，比零散枚举所有可能的奇数分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知运算结果的奇偶性和部分数的属性，可反向依托奇偶运算规则反推未知数的奇偶属性，适配各类带隐藏条件的实际场景题型。比如两个数的和是奇数，其中一个数是偶数，直接反向推导出另一个数一定是奇数，验证完全符合奇偶运算的核心规则。 【典例3】一个三角形的三条边长之和是45厘米，这三条边的长是三个连续奇数，它们的长各是多少厘米？ 【答案】13厘米、15厘米、17厘米 【分析】连续奇数相邻两个差2，三个连续奇数的和＝中间数×3，先用总和除以3求出中间的奇数，再分别加减2得到另外两条边。 【解答】中间边长：45÷3＝15（厘米） 15－2＝13（厘米） 15＋2＝17（厘米） 答：三边长分别是13厘米、15厘米、17厘米。 【专项训练1】三个连续的偶数的和是78，这三个连续的偶数依次分别是多少？ 【答案】24、26、28 【分析】能被2整除的数是偶数，相邻的偶数之间相差2，三个连续偶数的和除以3得到中间的偶数，再用中间偶数分别减2、加2，就能得到另外两个偶数。 【解答】 答：这三个连续的偶数依次分别是24、26、28。 【专项训练2】42名同学去参观水立方，老师要把同学们平均分成若干小组，而且每组人数都是偶数，可以分成几组，每组几人？（组数大于1）（写出思考过程） 【答案】①分成21组，每组2人；②分成3组，每组14人；③分成7组，每组6人 【分析】写出乘积是42的所有乘法算式，偶数因数作为每组人数，另一个因数作为组数，组数不能为1。 【解答】42＝1×42，42＝2×21，42＝3×14，42＝6×7； 由于组数是大于1的数， 所以分成2组，每组21人，不符合题意； 分成21组，每组2人，符合题意； 分成3组，每组14人，符合题意； 分成14组，每组3人，不符合题意； 分成6组，每组7人，不符合题意； 分成7组，每组6人，符合题意。 答：①分成21组，每组2人；②分成3组，每组14人；③分成7组，每组6人。 【专项训练3】笑笑、奇思、淘气三个小朋友上学期共做好事102件，而且三人所做的好事的件数从小到大排列后是三个连续的偶数，其中笑笑做好事的件数最少，笑笑做了多少件好事？ 【答案】32件 【分析】由于每相邻的两个偶数相差2，所以三个连续偶数的和是中间偶数的3倍，由此求出中间偶数，再减去2即可。 【解答】102÷3－2 ＝34－2 ＝32（件） 答：笑笑做了32件好事。 【点睛】本题主要考查连续偶数的特征，解题时要明确每相邻的两个偶数相差2。 【专项训练4】乐乐和同学去书店买了一些《数学大世界》和《小学生天地》。 乐乐付了100元，售货员找回35元。你能判断售货员找回的钱对不对吗？你是怎么判断的？ 【答案】能；理由见详解 【分析】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。据此解答。 【解答】根据分析可知，《数学大世界》每本10元，《小学生天地》每本6元，10和6都是偶数，所以不管买几本，付的钱数一定是偶数；因为100元是偶数，所以找回的钱一定能也是偶数。不可能是35，因为35是奇数。 答：售货员找回的钱不对。 【点睛】本题主要考查了奇数和偶数的认识，以及奇数和偶数的运算性质的应用，要熟练掌握相关知识点。 【专项训练5】有一只青蛙正在一条沟的两岸跳来跳去。     （1）青蛙开始在左岸，跳若干次后仍然回到左岸，那么你知道青蛙跳的次数是奇数还是偶数呢？     （2）如果青蛙开始在右岸，跳101次后，它是在左岸还是在右岸？ 【答案】（1）偶数；（2）左岸 【分析】（1）如果小青蛙又回到了左岸，那么这只小青蛙跳的次数是偶数，因为跳一个“来回”即跳两次，是偶数，跳若干个“来回”就是若干个偶数相加，所以跳的次数是偶数。 （2）来回共跳101次，说明小青蛙跳的次数是单数次，那么小青蛙就应由右岸到了左岸。 【解答】（1）如果小青蛙又回到了左岸，那么这只小青蛙跳的次数是偶数，所以跳的次数是偶数。 （2）来回共跳101次，说明小青蛙游的次数是奇数次，那么小青蛙就应由右岸到了左岸。 【点睛】此题属于奇偶性问题，考查了对奇偶性的判定。 题型04 运用质数和合数的认识解决问题 一、运用质数和合数的认识解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决质数合数实际场景问题时，先根据题意明确目标数的因数属性，先锁定“只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身还有其他因数的数是合数”的核心定义，排除特殊数1（既不是质数也不是合数），再筛选出符合所有约束条件的合规结果。比如已知两个质数的和是18、乘积是77，先列出和为18的所有正整数组合，再筛选出两个数都是质数的组合，就能得到7和11的正确结果。 ‌特殊速算技巧‌ 当题目给出的数值在20以内时，可直接依托20以内质数表快速匹配，不用逐个试除判断因数个数。比如找1~20里的所有质数，直接依托固定质数表快速得到2、3、5、7、11、13、17、19，不用从1开始逐个枚举验证因数数量。 ‌结果预判规律‌ 唯一的偶质数是2，其余所有质数都是奇数，最小的质数是2，最小的合数是4，解题前先预判结果的奇偶属性，避免出现“所有偶数都是合数”这类脱离定义的低级错误。 二、运用质数和合数的认识解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“直接给定范围找指定特征的质数/合数”的场景，先排除1和所有大于2的偶数，快速缩小筛选范围，再验证剩余数的因数个数；遇到“两个质数的和/积已知反推这两个数”的场景，先依托奇偶运算规则初筛，再验证两个数的质数属性，先锁定核心的“因数个数判定”模块，再匹配对应的取值区间条件，不用反复试除所有整数。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带残缺条件的总量求数问题，比如已知妈妈买同价的几盒糖，付50元找回5元，可先算出实际总价45元，直接依托45的质因数拆分快速得到所有可能的盒数：3盒、5盒、9盒等，比零散枚举所有可能的盒数分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知两个数的乘积和其中一个数是质数，可反向依托分解质因数的规则反推另一个数的属性，适配各类带隐藏条件的实际场景题型。比如一个两位数十位是最小的质数、个位是最小的合数，直接反向推导出这个两位数是24，验证完全符合质数合数的定义要求。 【典例4】陶渊明是我国第一位田园诗人“种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴理荒秽，带月荷锄归。”讲述了陶渊明隐居每天所做的事情。陶渊明的菜地是一个周长为20米的长方形，它的长、宽是两个不同的质数，这块菜地的面积是多少？ 【答案】21平方米 【分析】先根据长方形周长＝（长＋宽）×2，用菜地周长除以2求出长与宽的和，再结合长、宽是不同质数的条件确定长和宽的长度，最后用长方形面积＝长×宽，计算即可。 【解答】（米） 10以内的质数有2、3、5、7，其中和为10的两个不同质数是3和7，即菜地的长是7米，宽是3米。 （平方米） 答： 这块菜地的面积是21平方米。 【专项训练1】一块长方形试验田的面积是48平方米，并且长与宽都是合数。这块试验田的周长最长是多少米？ 【答案】32米 【分析】根据长方形面积公式，长与宽的乘积是48，且长、宽都是合数。由于长方形周长＝2×（长＋宽），因此长与宽的和越大，周长越长，需要先找到乘积为48的两个合数中和最大的一组，再计算周长。 【解答】列出乘积为48的整数对，筛选出两个数均为合数的组合： ，1不是合数，排除； ，2是质数，排除； ，3是质数，排除； ，4和12都是合数，保留； ，6和8都是合数，保留。 计算两组长与宽的和： ，，，即长12米、宽4米时，长与宽的和最大。 计算最长周长： （米） 答：这块试验田的周长最长是32米。 【专项训练2】城市管理部门在公共区域规划了一块长方形场地作为专用停车场，它的长和宽都是质数，周长是48米。符合条件的长和宽共有几组？停车场最大占地面积是多少平方米？ 【答案】符合条件的长和宽共有3组；停车场最大占地面积是143平方米。 【分析】先根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，用周长除以2求出长与宽的和，再将和拆分为长大于宽的质数对以统计组数；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，求出每组面积后比较得出最大面积。 【解答】48÷2＝24（米） 和为24且长大于宽的质数对有： 5＋19＝24 7＋17＝24 11＋13＝24 所以共有3组。 对应面积分别为： 19×5＝95（平方米） 17×7＝119（平方米） 13×11＝143（平方米） 143＞119＞95 答：符合条件的长和宽共有3组；停车场最大占地面积是143平方米。 【专项训练3】奶奶在家里的花坛里栽种了两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 【答案】2株、18株，或者5株、15株 【分析】先写出20以内的质数，根据两种花的总数是20株，求出另一种花的数量，验证哪一组是一个质数一个合数，且合数是质数的倍数即可。 【解答】20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19。 质数取2，20－2＝18，18是合数，且是2的倍数，2和18可以； 质数取3，20－3＝17，17不是合数，排除； 质数取5，20－5＝15，15是合数，且是5的倍数，5和15可以； 质数取7，20－7＝13，13不是合数，排除； 当质数取11，13，17，19时，质数大于合数，无法满足合数是质数的倍数，排除。 答：这两种花可能2株、18株，或者5株、15株。 【专项训练4】同学们排方阵做操，每行的人数都是相等的。下面是霏霏、淘淘、依依、龙一鸣各自数出的总人数，其中只有一人数对了。你认为谁数对了呢？写出你的理由。 【答案】龙一鸣；49是合数 【分析】每行人数×行数＝总人数，方阵不能只有1行，因此总人数是合数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【解答】41、43、47都是质数，只有49是合数。 答：龙一鸣数对了，因为49是合数。 【专项训练5】下面哪些组可以分成人数相同的队？哪些组不可以？为什么？ 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 人数 25 37 56 39 【答案】第一、三、四组可以，第二组不可以 【分析】因数只有1和本身的数是质数。除了1和本身，还有别的因数的数是合数。当组内人数是合数时，能分成人数相同的队伍。反之不可以。 【解答】25＝5×5    56＝2×2×2×7    39＝3×13 答：第一、三、四组可以，第二组不可以；因为合数可以分解质因数，质数不能分解质因数。 题型05 运用公因数和公倍数解决问题 一、运用公因数和公倍数解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决公因数公倍数实际场景问题时，先根据题意明确目标数的核心属性，先锁定“平均分无剩余求最长/最大规格用最大公因数，周期重合求最早/最小时间用最小公倍数”的核心判定规则，再用短除法算出对应结果，最终得到符合所有约束条件的合规答案。比如把长72分米、90分米的两根木料截成等长小段且无剩余，求最长小段长度，直接算出72和90的最大公因数18，就能得到最长小段为18分米的正确结果。 ‌特殊速算技巧‌ 当两个数存在倍数关系时，可直接依托“小数是最大公因数、大数是最小公倍数”的规则口算，不用分步做短除法。比如12和36，直接判定最大公因数是12、最小公倍数是36，省去分解质因数的中间运算步骤，大幅减少计算失误。 ‌结果预判规律‌ 两个自然数的乘积一定等于它们的最大公因数乘最小公倍数，任意两个数的最大公因数一定不大于这两个数中的较小数，最小公倍数一定不小于这两个数中的较大数，解题前先预判结果的大致取值区间，避免出现“最大公因数比原数大”这类脱离定义的低级错误。 二、运用公因数和公倍数解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“分物品有剩余、分组多出来人数”的场景，先把总数减去剩余部分，再对新得到的数求最大公因数；遇到“周期重合、同时发车、瓷砖贴满正方形墙面”的场景，直接求多个周期数的最小公倍数，先锁定核心的“场景属性匹配”模块，再匹配对应的运算方法，不用反复试算所有可能的数值。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带残缺条件的总量求数问题，比如已知一袋糖分给6个小朋友剩2颗、分给8个小朋友也剩2颗，总数在50以内，可先算出6和8的最小公倍数24，直接得到符合条件的总数26或50，比零散枚举所有可能的数分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知两个数的最大公因数是6、最小公倍数是36，其中一个数是12，可反向依托“两数乘积=最大公因数×最小公倍数”的规则，直接用6×36÷12快速算出另一个数是18，验证完全符合所有公因数公倍数的定义要求。 【典例5】学校布置文化墙，需要用彩带来做装饰线条。现有两根彩带，一根长36分米，一根长48分米，老师要求把它们截成同样长的若干段，方便同学们分组制作，且不能有剩余。每段最长是多少分米？一共可以截成多少段？ 【答案】12分米；7段 【分析】要将两根彩带截成同样长的小段且无剩余，每段长度是36和48的公因数；求每段最长的长度，就是求这两个数的最大公因数，再分别计算两根彩带的段数，相加得到总段数。 【解答】36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36； 48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； 36和48的最大公因数是12，所以每段最长是12分米。 36÷12＋48÷12 ＝3＋4 ＝7（段） 答：每段最长是12分米，一共可以截7段。 【专项训练1】实验小学组织五年级的64名优秀少先队员到甘蔗种植园参加劳动实践活动，其中男生24人，女生40人。现在要把男、女生分别分成若干个小组，且每个小组的人数都相等，每个小组最多有多少人？此时，男、女生各有几个小组？ 【答案】 每个小组最多有8人；此时男生有3个小组，女生有5个小组。 【分析】要使男、女生分组后每组人数相等且最多，需求24和40的最大公因数，再用各自总人数除以每组人数得到小组数。 【解答】分解质因数： 24和40的最大公因数是： 即每组最多8人。 男生小组数：24÷8＝3（组） 女生小组数：40÷8＝5（组） 答：每个小组最多有8人；此时男生有3个小组，女生有5个小组。 【专项训练2】五（1）班有42人，五（2）班有36人。如果把两个班的学生都平均分成若干组，要使两个班每个小组的人数相等，每组最多有多少人？一共可分成几组？ 【答案】6人；13组 【分析】要使两个班每个小组的人数相等，每组最多的人数是42和36的最大公因数，求出最大公因数后，分别计算两个班的小组数，相加得到总组数。 【解答】 42和36的最大公因数是，即每组最多有6人。 （组） （组） （组） 答：每组最多有6人；一共可分成13组。 【专项训练3】运动会团体操表演过程中，要求在队伍变换成12行，15行，18行时，队形都为长方形，问参加团体操表演最少需要有多少人？ 【答案】180人 【分析】根据题意可知，总人数需同时是12、15、18的倍数，求最少人数就是求这三个数的最小公倍数。先把12、15、18分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数，据此解答。 【解答】12＝2×2×3 15＝3×5 18＝2×3×3 12、15、18的最小公倍数：2×2×3×3×5＝180 即总人数至少有180人。 答：参加团体操表演最少需要有180人。 【专项训练4】同学们在实践中了解到，甘蔗捆扎起来便于运输。他们准备自己捆扎一批甘蔗，已知这批甘蔗的总数在90～100根之间，而且无论是8根一捆，还是12根一捆，都正好捆完，这批甘蔗一共有多少根？ 【答案】96根 【分析】甘蔗总数是8和12的公倍数，先求出两者的最小公倍数，再找出90～100之间的公倍数即可。 【解答】8的倍数有：8、16、24、32、40…… 12的倍数有：12、24、36、48…… 8和12的最小公倍数是24。 找90～100之间的24的倍数。 （根），，不符合要求； （根），，符合要求； （根），，不符合要求。 答：这批甘蔗一共有96根。 【专项训练5】跑步是最好的全身运动。每天早晨，爸爸、妈妈和乐乐都到操场跑步。 （1）爸爸和妈妈同时从起点出发，同向而行，他们几分后可以在起点第一次相遇？ （2）他们三人同时从起点出发，同向而行，几分后三人可以在起点第一次相遇？此时他们各跑了多少圈？ 【答案】（1）12分钟 （2）24分钟；爸爸8圈；妈妈6圈；乐乐3圈 【分析】（1）求爸爸和妈妈几分后可以在起点第一次相遇，即求他们两人跑一圈所需时间的最小公倍数。爸爸需要3分钟，妈妈需要4分钟，因此需要求3、4的最小公倍数。 （2）三人同时从起点出发，要在起点相遇，经过的时间必须分别是每个人跑一圈所需时间的倍数。要求第一次在起点相遇，即求三人跑一圈所需时间的最小公倍数。爸爸需要3分钟，妈妈需要4分钟，乐乐需要8分钟，因此需要求3、4、8的最小公倍数。就是三人第一次相遇的时间。再用相遇时间除以各自跑一圈需要的时间，就是各跑了几圈。 【解答】（1）求3、4的最小公倍数： 3的倍数：3、6、9、12、15… 4的倍数：4、8、12、16… 因此，3、4的最小公倍数是12。 答：他们12分后可以在起点第一次相遇。 （2）求3、4、8的最小公倍数： 3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24… 4的倍数：4、8、12、16、20、24… 8的倍数：8、16、24… 因此，3、4、8的最小公倍数是24。 24÷3＝8（圈） 24÷4＝6（圈） 24÷8＝3（圈） 答：24分钟后三人可以在起点第一次相遇，此时爸爸跑了8圈，妈妈跑了6圈，乐乐跑了3圈。 学科网（北京）股份有限公司 $