第六单元 因数与倍数（质数和合数）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）苏教版数学五年级上册（新教材）

第六单元 因数与倍数（质数和合数）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、质数与合数的定义 根据一个数因数的个数，可以把非0自然数分为三类：质数、合数、1。 1. 质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数，叫做质数。 　　- 核心特征：因数个数 = 2个（1和它本身）。 2. 合数：除了1和它本身还有别的因数的数，叫做合数。 　　- 核心特征：因数个数 ≥ 3个（至少有3个因数）。 3. 特殊的"1"：1只有1个因数，所以1既不是质数，也不是合数。 二、重要特征与常见结论 1. 最值：最小的质数是2，最小的合数是4；没有最大的质数和合数。 2. 奇偶性： 　　- 2是唯一的偶质数，所有大于2的偶数都是合数； 　　- 质数不一定都是奇数（2是偶质数）；合数不一定都是偶数（如9、15是奇合数）。 3. 20以内的质数（必须熟记）：2、3、5、7、11、13、17、19，共8个。 4. 100以内的质数（共25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 三、判断质数、合数的基本方法 1. 因数个数法：找出所有因数，数个数，2个是质数，≥3个是合数。 2. 排除法： 　　- 个位是0、2、4、6、8的数（除了2），都是合数； 　　- 个位是5的数（除了5），都是合数； 　　- 各位数字和是3的倍数的数（除了3），都是合数； 　　- 剩下的再用7、11、13等小质数试除，能整除就是合数，不能整除就是质数。 四、常见易错点 1. 1的分类错误：误以为1是质数，实际上1既不是质数也不是合数。 2. 奇偶混淆：误以为所有质数都是奇数，所有偶数都是合数，忽略2是偶质数。 3. 以偏概全：看到个位是3、7就认为是质数，比如33、27都是合数。 4. 概念混淆：认为因数多的数大，因数少的数小，比如12的因数比13多，但12＜13。 5. 判断片面：只看能不能被2整除，忽略3、5、7的倍数，比如21能被3整除，是合数。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：因数个数判定法 【解题思路】 判断一个数是质数还是合数，最根本的依据是因数的个数，先找全因数，再数个数分类。 【操作步骤】 第一步：用成对列举法，从1开始找出这个数的所有因数； 第二步：数因数的总个数； 第三步：只有2个因数 → 质数；3个及以上 → 合数；只有1个 → 1。 【易错提升】 ● 易错点：找因数时漏掉1或它本身，导致个数算少。 　　→ 规避技巧：找因数从1开始成对写，最后检查首尾有没有1和它本身。 方法点拨2：快速排除法 【解题思路】 对于较大的数，不用找全所有因数，利用2、5、3的倍数特征先快速排除，剩下的再用小质数试除。 【操作步骤】 第一步：看个位，排除2和5的倍数（2、5本身除外）； 第二步：算数字和，排除3的倍数（3本身除外）； 第三步：用7、11、13依次试除，都不能整除就是质数。 【易错提升】 ● 易错点：排除完2、5、3就直接判定是质数。 　　→ 规避技巧：两位数还要试7，三位数还要试11、13，直到试除的质数平方超过这个数。 方法点拨3：特殊质数突破法 【解题思路】 解决质数和差类推理题，突破口是"唯一的偶质数2"，根据和的奇偶性快速锁定2。 【操作步骤】 第一步：看两个质数的和是奇数还是偶数； 第二步：和是奇数 → 其中一个一定是2；和是偶数 → 两个都是奇质数； 第三步：计算另一个数，验证是不是质数。 【易错提升】 ● 易错点：忽略2这个特殊质数，两个奇质数加不出奇数和。 　　→ 规避技巧：质数和为奇，必有一个是2。 【第三部分】考点讲练 考点一：质数与合数的概念辨析与判断 考查重点：理解质数合数的定义，能正确判断一个数是质数还是合数，辨析概念正误。 【典例精讲】 题目：在1、2、9、13、21、37、49、57这些数中，哪些是质数？哪些是合数？ 【分析】 分别找出每个数的所有因数，根据因数的个数判断：只有2个因数是质数，3个及以上是合数，1既不是质数也不是合数。 【详解】 - 1：因数只有1 → 既不是质数也不是合数 - 2：因数有1、2 → 2个因数 → 质数 - 9：因数有1、3、9 → 3个因数 → 合数 - 13：因数有1、13 → 2个因数 → 质数 - 21：因数有1、3、7、21 → 4个因数 → 合数 - 37：因数有1、37 → 2个因数 → 质数 - 49：因数有1、7、49 → 3个因数 → 合数 - 57：因数有1、3、19、57 → 4个因数 → 合数 答：质数有2、13、37；合数有9、21、49、57。 【答案】质数：2、13、37；合数：9、21、49、57 【变式训练】 题目：判断下列说法是否正确，对的画"√"，错的画"×"。 （1）所有的质数都是奇数。（　） （2）所有的合数都是偶数。（　） （3）1既不是质数，也不是合数。（　） （4）质数只有1个因数。（　） 【分析】 根据质数合数的定义和特征逐一判断，注意特殊数2、9、15等反例。 【详解】 （1）×。2是质数，但它是偶数，并非所有质数都是奇数。 （2）×。9、15是合数，但它们是奇数，并非所有合数都是偶数。 （3）√。1只有1个因数，不符合质数也不符合合数的定义。 （4）×。质数有2个因数，分别是1和它本身。 【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）× 考点二：质数合数的特征与应用 考查重点：掌握质数合数的基本特征，熟记20以内质数，能按要求写出符合条件的数。 【典例精讲】 题目：填空。 （1）最小的质数是（　），最小的合数是（　）。 （2）唯一的偶质数是（　），20以内最大的质数是（　）。 （3）既是奇数又是合数的最小一位数是（　）。 【分析】 根据质数合数的基本特征和常见特殊数直接作答。 【详解】 （1）最小的质数是2，最小的合数是4； （2）2是唯一的偶质数；20以内最大的质数是19； （3）一位数中，9是奇数且有3个因数，是最小的奇合数。 【答案】（1）2，4；（2）2，19；（3）9 【变式训练】 题目：按要求写数。 （1）两个都是质数的连续自然数：（　）和（　）； （2）两个都是合数的连续自然数：（　）和（　）。 【分析】 连续自然数一奇一偶，偶质数只有2，所以连续质数只能是2和3；连续合数有很多组，写出一组即可。 【详解】 （1）两个连续自然数一个偶数一个奇数，偶质数只有2，所以只能是2和3； （2）示例：8和9（9和10、14和15等都正确，答案不唯一）。 【答案】（1）2，3；（2）8，9（后两空答案不唯一） 考点三：质数合数的综合推理与应用 考查重点：能运用质数合数的知识，解决和差、图形边长等综合推理问题。 【典例精讲】 题目：两个质数的和是15，这两个质数分别是多少？ 【分析】 两个数的和是奇数，说明一个是偶数一个是奇数。质数中只有2是偶数，所以其中一个质数是2，另一个用和减2即可，再验证是不是质数。 【详解】 和15是奇数 → 一个偶质数 + 一个奇质数 唯一的偶质数是2 → 其中一个质数是2 另一个质数： 验证：13只有1和13两个因数，是质数，符合条件。 答：这两个质数分别是2和13。 【答案】2和13 【变式训练】 题目：一个长方形的长和宽都是质数，周长是20厘米。这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【分析】 先根据周长算出长与宽的和，再找出和为10的两个质数，最后计算面积。 【详解】 长 + 宽：（厘米） 两个质数相加等于10：（2+8不行，8是合数） 所以长是7厘米，宽是3厘米 面积：（平方厘米） 答：这个长方形的面积是21平方厘米。 【答案】21平方厘米 【第四部分】专项提升练习 1．84分解素因数后，所有的素因数的和是____。 【答案】14 【分析】素数（质数）：大于1的自然数，除了1和它本身以外，没有别的因数。 先把84分解素因数，再把分解得到的每一个素因数全部相加，注意重复出现的素因数也要参与求和。 【详解】84＝2×2×3×7 2＋2＋3＋7＝14 2．20张数字卡片上分别写着数字1至20，任意抽一张，抽到____数的可能性大。（填“质”或“合”） 【答案】合 【分析】质数：大于1，且除了1和它本身外，没有其他因数的自然数；合数：除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的自然数。1既不是质数，也不是合数。据此列举1至20中的质数和合数，根据可能性大小由数量决定，数量越多，被抽到的可能性越大来判断。 【详解】1～20中质数有2、3、5、7、11、13、17、19一共有8个。 合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20一共有11个。 因为11＞8，所以抽到合数的可能性大。 3．一个四位数，千位上数字是10以内最大的偶数，百位上数字是最小的质数，十位上数字是最小合数，个位上数字既不是质数也不是合数，这个四位数是( )。 【答案】8241 【分析】10以内最大的偶数是8，所以千位上的数是8；10以内的合数是4、6、8、9，10以内的质数是：2、3、5、7，百位上是最小的质数，所以百位上的数是2；十位上是最小的合数，所以十位上的数是4；1既不是质数也不是合数，所以个位上的数是1；据此即可求解。 【详解】由分析可知：这个数千位上是8，百位上是2，十位上是4，个位上是1，所以这个四位数是：8241。 4．一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做( )；在8、11、15、19中，质数有( )个；最小的合数是( )。 【答案】 质数 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1既不是质数，也不是合数；最小的合数是4。 【详解】一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数； 在8、11、15、19中，质数有11、19。共2个； 最小的合数是4。 5．一个十位数，最高位上的数是最大的一位数，千万位上的数是5的倍数（10以内不含10），万位上的数是最小的质数，其余各位上的数都是最小的自然数，这个十位数写作( )，读作( )，省略“亿”位后面的尾数约是( )亿。 【答案】 9050020000 九十亿五千零二万 91 【分析】这个数是十位数，数位依次是：十亿位、亿位、千万位、百万位、十万位、万位、千位、百位、十位、个位；最大的一位数是9，十亿位上写9；10以内5的倍数是5，千万位上写5；最小的质数是2，万位上写2；最小的自然数是0，其余数位上写0，根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写； 整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零； 省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 【详解】这个十位数写作9050020000，读作九十亿五千零二万，省略“亿”位后面的尾数约是91亿。 6．数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，比如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5就是一对孪生质数。请你再写出两对孪生质数( )，( )。 【答案】 5和7 11和13 【分析】一个数的因数只有1和它本身两个因数的数叫质数。可以尝试在20以内的质数中找到“孪生质数”，20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，找出相差2的两个质数即可求解。 【详解】比如20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，其中5与7的差是2，11与13的差是2，因此可填5和7、11和13。（答案不唯一） 7．一个两位数（不是整十数），十位是最小的合数，个位既不是质数也不是合数，这个数是( )。 【答案】41 【分析】合数：除了1和它本身，还有其它因数，最小的合数是4。 1既不是质数也不是合数。 【详解】先找十位数字：最小的合数是4，所以十位是4。 再找个位数字：既不是质数也不是合数的数是1，所以个位是1。 组合起来这个两位数就是41，同时它不是整十数，符合题目要求。 8．李阿姨家无线网的密码是（    ）。 【答案】4213798 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】它是一个七位数。从左边数，第一位是最小的合数，即4； 第二位是最小的质数，即2； 第三位既不是质数也不是合数，也不是0，即1； 第四位是最小的既是质数又是奇数的数，即3； 第五位是10以内最大的质数，即7； 第六位是10以内最大的合数，即9； 第七位是10以内最大的偶数，即8； 李阿姨家无线网的密码是4213798。 9．妈妈的电脑开机密码是一个四位数，且是2和5的倍数，从左往右数，第一位是所有自然数的因数；第二位既是质数又是偶数；第三位是最小的合数，这个密码是( )。 【答案】1240 【分析】2和5的倍数特征：个位是0；质数只有1和它本身两个因数；偶数能被2整除；合数除1和本身还有其他因数。利用这些定义，分别确定四位数每一位上的数字。 【详解】第一位：所有自然数的因数：1 第二位：既是质数又是偶数：2 第三位：最小的合数：4 第四位：同时是2和5的倍数：0 所以这个密码是1240。 10．王大伯的车牌号码是“闽B□□□□”，其中的四个数字都很特别：左起第一位既是奇数又是合数，第二位是最小的自然数，第三位既不是质数又不是合数，最后一位既是偶数又是质数。王大伯的车牌号码是闽B( )。 【答案】 【分析】偶数是能够被2所整除的整数；奇数是不能被2整除的整数；质数是在大于1的自然数中，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数；合数是指自然数中除了能被1和它本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数；自然数是用以计量事物的件数或表示事物次序的数，即用数0、1、2、3、4……所表示的数。 【详解】在一位数中，奇数有1、3、5、7、9，其中9除了能被1和9整除外，还能被3整除，所以9既是奇数又是合数，因此左起第一位数字是9。 最小的自然数是0，所以左起第二位数字是0。 1既不是质数也不是合数，所以左起第三位数字是1。 在一位数中，偶数有2、4、6、8、0，其中2既是偶数也是质数，所以第四位数字是2。 综上所述，王大伯的车牌号码是闽B9012。 11．两个质数的差是14，积是51，这两个数是( )和( )；两个质数的和是10且积是21，这两个质数是( )和( )。 【答案】 3 17 3 7 【分析】已知两个质数的积，可以通过找出积的所有因数，筛选出其中的质数，再验证它们的差或和是否符合题意。 【详解】51＝1×51＝3×17，1既不是质数也不是合数，51是合数，3是质数，17 是质数。17－3＝14，所以这两个质数只能是3和17。 21＝1×21＝3×7，1既不是质数也不是合数，21是合数，3是质数，7 是质数。3＋7＝10，所以这两个质数只能是3和7。 12．为了扩大内需，国家出台了汽车置换补贴政策。李叔叔置换了一台汽车，重新选了一个车牌号，车牌号由皖G和一组数字组成，如下图所示。这个车牌号是皖G·( )。 【答案】12941 【分析】奇数：不能被2整除的自然数。偶数：能被2整除的自然数。质数：只有1和它本身两个因数的数。合数：除了1和它本身还有其他因数的数。因数：若整数a除以整数b（b≠0）没有余数，则b是a的因数。 【详解】最小的奇数：1 既是质数又是偶数：2 最大的一位数：9 最小的合数：4 只有一个因数的数：1 所以车牌号是皖G·12941。 13．把下面各数分解质因数。 18                  65                72 【答案】18＝2×3×3；65＝5×13；72＝2×2×2×3×3 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数，求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】 18＝2×3×3 65＝5×13 72＝2×2×2×3×3 14．找出下面的合数，并把它们分解质因数。 13   23    24    43 53     63    19   57 37 【答案】合数：24，63，57 ；； 【解析】直接根据100以内的质数表进行筛选，找出质数，剩下的即为合数，分解质因数需要把合数写成质数相乘的形式，必须分解彻底。 【详解】合数：24，63，57； 【点睛】对于100以内的25个质数要非常熟悉，能够快速分辨出到底是质数还是合数。 15．把下面的数分解质因数。 60                     84                     91 【答案】60＝2×2×3×5； 84＝2×2×3×7； 91＝7×13 【分析】求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】60＝2×2×3×5； 84＝2×2×3×7； 91＝7×13 【点睛】此题主要考查学生对分解质因数的理解与实际应用解题能力，注意要从最小的质数除起。 16．把下面各数分解质因数。 18            30           56             99              105 【答案】18＝2×3×3；30＝2×3×5；56＝2×2×2×7；99＝3×3×11；105＝3×5×7 【分析】分解质因数是把合数用几个质数相乘的形式表现出来。据此解答即可。 【详解】由分析可得： 18＝2×3×3；30＝2×3×5；56＝2×2×2×7；99＝3×3×11；105＝3×5×7 【点睛】把一个合数分解质因数一般用短除法，一般先用这个合数最小的那个因数（是质数的因数）去除，商如果是合数，就继续除，商如果是质数，就写成商和每个除数相乘的形式。 17．一个养蚕基地的占地是一个长方形，周长为60米，长和宽都是质数，则基地的面积是多少? 【答案】161平方米或209平方米或221平方米 【分析】根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”，可先求出长与宽的和；根据质数是只有1和它本身两个因数的数，找出符合条件的两个质数，即分别是长方形的长与宽；再根据“长方形的面积＝长×宽”，即可求出基地的面积。 【详解】60÷2＝30（米） 30＝7＋23＝11＋19＝13＋17 7×23＝161（平方米） 11×19＝209（平方米） 13×17＝221（平方米） 答：基地的面积是161平方米或209平方米或221平方米。 18．张阿姨家的电话号码是一个8位数，从前到后依次排列为：6的最大因数、7的最小倍数、最小的质数、最小的合数、最小的奇数、8的最小因数、最大的一位数、既不是质数也不是合数的非0自然数。张阿姨家的电话号码是多少？ 【答案】67241191 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的。只有1和它本身两个因数的数叫做质数，最小的质数是2。除了1和它本身两个因数外，还有别的因数，这样的数叫做合数，最小的合数是4。不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1。最大的一位数是9。既不是质数也不是合数的非0自然数是1。 【详解】6的最大因数是6； 7的最小倍数是7； 最小的质数是2； 最小的合数是4； 最小的奇数是1； 8的最小因数是1； 最大的一位数是9； 既不是质数也不是合数的非0自然数是1。 按从前到后的顺序组合得到8位数：67241191。 答：张阿姨家的电话号码是67241191。 19．一块长方形试验田的面积是48平方米，并且长与宽都是合数。这块试验田的周长最长是多少米？ 【答案】 32米 【分析】根据长方形面积公式，长与宽的乘积是48，且长、宽都是合数。由于长方形周长＝2×（长＋宽），因此长与宽的和越大，周长越长，需要先找到乘积为48的两个合数中和最大的一组，再计算周长。 【详解】列出乘积为48的整数对，筛选出两个数均为合数的组合： ，1不是合数，排除； ，2是质数，排除； ，3是质数，排除； ，4和12都是合数，保留； ，6和8都是合数，保留。 计算两组长与宽的和： ，，，即长12米、宽4米时，长与宽的和最大。 计算最长周长： （米） 答：这块试验田的周长最长是32米。 20．用一根长24厘米的铁丝围成一个长方形，长和宽都是质数，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】35平方厘米 【分析】先根据铁丝长度（即长方形周长）求出长与宽的和，再从和的所有整数拆分中筛选出两个数都是质数的情况作为长和宽，最后用长乘宽计算面积。 【详解】24÷2＝12（厘米） 12＝11＋1＝10＋2＝9＋3＝8＋4＝7＋5＝6＋6，其中只有7和5均为质数，即长方形的长是7厘米，宽是5厘米。 7×5＝35（平方厘米） 答：这个长方形的面积是35平方厘米。 21．当小明爷爷的年龄是小明爸爸的2倍时，小明的年龄恰好等于最小的质数；当爷爷的年龄是小明的3倍时，爷爷和小明的年龄之和是100，请问爸爸比小明大多少岁？ 【答案】24岁 【分析】把现在小明的年龄看作1份，爷爷的年龄就是3份，总份数是（1＋3）份，用年龄和除以总份数，求出1份也就是小明现在的年龄，接着算出爷爷年龄，得到爷爷和小明不变的年龄差；最小的质数是2，即小明2岁时，算出当时爷爷的年龄，此时爷爷年龄是爸爸的2倍，求出那时爸爸的年龄，最后用爸爸当时的年龄减小明当时的年龄，就是爸爸比小明大的岁数。 【详解】总份数：1＋3＝4（份） 小明现在：100÷4＝25（岁） 爷爷现在：25×3＝75（岁） 爷爷比小明大：75－25＝50（岁） 小明2岁时，爷爷：2＋50＝52（岁） 爸爸当时：52÷2＝26（岁） 爸爸比小明大：26－2＝24（岁） 答：爸爸比小明大24岁。 22．有一个直角三角形，它的两条直角边的边长是两个不同的质数，并且和是18厘米，这个三角形的面积可能是多少平方厘米？ 【答案】32.5平方厘米或38.5平方厘米 【分析】先找出相加等于18的两组不同质数，再根据直角三角形面积公式：面积＝直角边×直角边÷2求出面积。 【详解】小于18的质数有2、3、5、7、11、13、17， 其中和为18的不同质数组合为： 5＋13＝18 7＋11＝18 5×13÷2 ＝65÷2 ＝32.5（平方厘米） 7×11÷2 ＝77÷2 ＝38.5（平方厘米） 答：这个三角形的面积可能是32.5平方厘米或38.5平方厘米。 23．五（1）班学生的总人数在40～50之间，跳绳比赛分成4人一组或6人一组，都正好分完。五（1）班一共有学生多少人？ 【答案】48人 【分析】根据题意，总人数在40～50之间，跳绳比赛分成4人一组或6人一组，都正好分完；说明总人数是4和6的公倍数，且在40～50之间；先把4和6分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数，再找出在40～50之间的公倍数即可。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12 12×4＝48（人） 40＜48＜50 答：五（1）班一共有学生48人。 24．3月12日是植树节，某班学生（人数大约50）在王老师的带领下去植树，学生恰好能分成人数都相等的3组，如果王老师和学生每人种树的棵数一样多，且共种了884棵，请问每人种树多少棵？ 【答案】17棵 【分析】题中的数量关系是树的总棵数＝人数×人均所种的棵数，因为师生每人所种树一样多，先将884进行分解质因数，再将质因数通过乘法结合律变成两数相乘的形式，其中一个乘数要求接近50，即为人数，另一个乘数则为人均所种的棵数。 【详解】884＝2×2×13×17＝52×17 已知学生人数大约50人，故52为师生总人数，17为人均所种树的棵树。 答：每人种树17棵。 25．把一堆萝卜平均分给小兔子，不论分给12只小兔子，还是分给18只小兔子，都正好分完。这堆萝卜至少有多少个？ 【答案】36个 【分析】根据题意，把一堆萝卜不论分给12只小兔子，还是分给18只小兔子，都正好分完，那么这堆萝卜最少的个数是12和18的最小公倍数； 把12和18分解质因数，把它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最小公倍数是：2×2×3×3＝36 即这堆萝卜至少有36个。 答：这堆萝卜至少有36个。 26．甲、乙、丙三人的年龄乘积为84，其中甲、乙的年龄和正好等于丙的年龄，且甲比乙大，请问：这三人的年龄分别是多少岁？ 【答案】甲：4岁；乙：3岁；丙：7岁 【分析】对84进行质因数分解，得到84＝2×2×3×7，将质因数进行适当的组合，其中甲、乙的年龄和正好等于丙的年龄可得：2×2＝4，4＋3＝7，且甲比乙大，这样就可以得到甲、乙和丙三人的年龄分别是多少岁。 【详解】84＝2×2×3×7 2×2＝4 4＋3＝7 甲比乙大，所以甲是4岁，乙是3岁，丙是7岁。 答：甲4岁，乙3岁，丙7岁。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数与倍数（质数和合数）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、质数与合数的定义 根据一个数因数的个数，可以把非0自然数分为三类：质数、合数、1。 1. 质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数，叫做质数。 　　- 核心特征：因数个数 = 2个（1和它本身）。 2. 合数：除了1和它本身还有别的因数的数，叫做合数。 　　- 核心特征：因数个数 ≥ 3个（至少有3个因数）。 3. 特殊的"1"：1只有1个因数，所以1既不是质数，也不是合数。 二、重要特征与常见结论 1. 最值：最小的质数是2，最小的合数是4；没有最大的质数和合数。 2. 奇偶性： 　　- 2是唯一的偶质数，所有大于2的偶数都是合数； 　　- 质数不一定都是奇数（2是偶质数）；合数不一定都是偶数（如9、15是奇合数）。 3. 20以内的质数（必须熟记）：2、3、5、7、11、13、17、19，共8个。 4. 100以内的质数（共25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 三、判断质数、合数的基本方法 1. 因数个数法：找出所有因数，数个数，2个是质数，≥3个是合数。 2. 排除法： 　　- 个位是0、2、4、6、8的数（除了2），都是合数； 　　- 个位是5的数（除了5），都是合数； 　　- 各位数字和是3的倍数的数（除了3），都是合数； 　　- 剩下的再用7、11、13等小质数试除，能整除就是合数，不能整除就是质数。 四、常见易错点 1. 1的分类错误：误以为1是质数，实际上1既不是质数也不是合数。 2. 奇偶混淆：误以为所有质数都是奇数，所有偶数都是合数，忽略2是偶质数。 3. 以偏概全：看到个位是3、7就认为是质数，比如33、27都是合数。 4. 概念混淆：认为因数多的数大，因数少的数小，比如12的因数比13多，但12＜13。 5. 判断片面：只看能不能被2整除，忽略3、5、7的倍数，比如21能被3整除，是合数。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：因数个数判定法 【解题思路】 判断一个数是质数还是合数，最根本的依据是因数的个数，先找全因数，再数个数分类。 【操作步骤】 第一步：用成对列举法，从1开始找出这个数的所有因数； 第二步：数因数的总个数； 第三步：只有2个因数 → 质数；3个及以上 → 合数；只有1个 → 1。 【易错提升】 ● 易错点：找因数时漏掉1或它本身，导致个数算少。 　　→ 规避技巧：找因数从1开始成对写，最后检查首尾有没有1和它本身。 方法点拨2：快速排除法 【解题思路】 对于较大的数，不用找全所有因数，利用2、5、3的倍数特征先快速排除，剩下的再用小质数试除。 【操作步骤】 第一步：看个位，排除2和5的倍数（2、5本身除外）； 第二步：算数字和，排除3的倍数（3本身除外）； 第三步：用7、11、13依次试除，都不能整除就是质数。 【易错提升】 ● 易错点：排除完2、5、3就直接判定是质数。 　　→ 规避技巧：两位数还要试7，三位数还要试11、13，直到试除的质数平方超过这个数。 方法点拨3：特殊质数突破法 【解题思路】 解决质数和差类推理题，突破口是"唯一的偶质数2"，根据和的奇偶性快速锁定2。 【操作步骤】 第一步：看两个质数的和是奇数还是偶数； 第二步：和是奇数 → 其中一个一定是2；和是偶数 → 两个都是奇质数； 第三步：计算另一个数，验证是不是质数。 【易错提升】 ● 易错点：忽略2这个特殊质数，两个奇质数加不出奇数和。 　　→ 规避技巧：质数和为奇，必有一个是2。 【第三部分】考点讲练 考点一：质数与合数的概念辨析与判断 考查重点：理解质数合数的定义，能正确判断一个数是质数还是合数，辨析概念正误。 【典例精讲】 题目：在1、2、9、13、21、37、49、57这些数中，哪些是质数？哪些是合数？ 【变式训练】 题目：判断下列说法是否正确，对的画"√"，错的画"×"。 （1）所有的质数都是奇数。（　） （2）所有的合数都是偶数。（　） （3）1既不是质数，也不是合数。（　） （4）质数只有1个因数。（　） 考点二：质数合数的特征与应用 考查重点：掌握质数合数的基本特征，熟记20以内质数，能按要求写出符合条件的数。 【典例精讲】 题目：填空。 （1）最小的质数是（　），最小的合数是（　）。 （2）唯一的偶质数是（　），20以内最大的质数是（　）。 （3）既是奇数又是合数的最小一位数是（　）。 【变式训练】 题目：按要求写数。 （1）两个都是质数的连续自然数：（　）和（　）； （2）两个都是合数的连续自然数：（　）和（　）。 考点三：质数合数的综合推理与应用 考查重点：能运用质数合数的知识，解决和差、图形边长等综合推理问题。 【典例精讲】 题目：两个质数的和是15，这两个质数分别是多少？ 【变式训练】 题目：一个长方形的长和宽都是质数，周长是20厘米。这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【第四部分】专项提升练习 1．84分解素因数后，所有的素因数的和是____。 2．20张数字卡片上分别写着数字1至20，任意抽一张，抽到____数的可能性大。（填“质”或“合”） 3．一个四位数，千位上数字是10以内最大的偶数，百位上数字是最小的质数，十位上数字是最小合数，个位上数字既不是质数也不是合数，这个四位数是( )。 4．一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做( )；在8、11、15、19中，质数有( )个；最小的合数是( )。 5．一个十位数，最高位上的数是最大的一位数，千万位上的数是5的倍数（10以内不含10），万位上的数是最小的质数，其余各位上的数都是最小的自然数，这个十位数写作( )，读作( )，省略“亿”位后面的尾数约是( )亿。 6．数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，比如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5就是一对孪生质数。请你再写出两对孪生质数( )，( )。 7．一个两位数（不是整十数），十位是最小的合数，个位既不是质数也不是合数，这个数是( )。 8．李阿姨家无线网的密码是（    ）。 9．妈妈的电脑开机密码是一个四位数，且是2和5的倍数，从左往右数，第一位是所有自然数的因数；第二位既是质数又是偶数；第三位是最小的合数，这个密码是( )。 10．王大伯的车牌号码是“闽B□□□□”，其中的四个数字都很特别：左起第一位既是奇数又是合数，第二位是最小的自然数，第三位既不是质数又不是合数，最后一位既是偶数又是质数。王大伯的车牌号码是闽B( )。 11．两个质数的差是14，积是51，这两个数是( )和( )；两个质数的和是10且积是21，这两个质数是( )和( )。 12．为了扩大内需，国家出台了汽车置换补贴政策。李叔叔置换了一台汽车，重新选了一个车牌号，车牌号由皖G和一组数字组成，如下图所示。这个车牌号是皖G·( )。 13．把下面各数分解质因数。 18                  65                72 14．找出下面的合数，并把它们分解质因数。 13   23    24    43 53     63    19   57 37 15．把下面的数分解质因数。 60                     84                     91 16．把下面各数分解质因数。 18            30           56             99              105 17．一个养蚕基地的占地是一个长方形，周长为60米，长和宽都是质数，则基地的面积是多少? 18．张阿姨家的电话号码是一个8位数，从前到后依次排列为：6的最大因数、7的最小倍数、最小的质数、最小的合数、最小的奇数、8的最小因数、最大的一位数、既不是质数也不是合数的非0自然数。张阿姨家的电话号码是多少？ 19．一块长方形试验田的面积是48平方米，并且长与宽都是合数。这块试验田的周长最长是多少米？ 20．用一根长24厘米的铁丝围成一个长方形，长和宽都是质数，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 21．当小明爷爷的年龄是小明爸爸的2倍时，小明的年龄恰好等于最小的质数；当爷爷的年龄是小明的3倍时，爷爷和小明的年龄之和是100，请问爸爸比小明大多少岁？ 22．有一个直角三角形，它的两条直角边的边长是两个不同的质数，并且和是18厘米，这个三角形的面积可能是多少平方厘米？ 23．五（1）班学生的总人数在40～50之间，跳绳比赛分成4人一组或6人一组，都正好分完。五（1）班一共有学生多少人？ 24．3月12日是植树节，某班学生（人数大约50）在王老师的带领下去植树，学生恰好能分成人数都相等的3组，如果王老师和学生每人种树的棵数一样多，且共种了884棵，请问每人种树多少棵？ 25．把一堆萝卜平均分给小兔子，不论分给12只小兔子，还是分给18只小兔子，都正好分完。这堆萝卜至少有多少个？ 26．甲、乙、丙三人的年龄乘积为84，其中甲、乙的年龄和正好等于丙的年龄，且甲比乙大，请问：这三人的年龄分别是多少岁？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $