第六单元 因数与倍数（易错专项讲义）数学苏教版五年级上册（新教材）

第六单元 因数与倍数易错专项讲义 易错题型01 分解质因数 易错题型02 求最大公因数和最小公倍数 易错题型03 因数和倍数的认识及应用 易错题型04 2、5、3的倍数的特征及应用 易错题型05 奇偶数及奇偶性 易错题型06 质数和合数的认识及应用 易错题型07 公因数和公倍数的认识及应用 易错题型01 分解质因数 1、同时满足「合数属性合规、拆分逻辑完全匹配质因数定义」推导得到的结果，才是本单元认可的分解质因数的合规结果，脱离“合数拆成质数连乘”核心前提、随意拼接数字得到的不符合质因数定义的结果，不能作为有效运算依据。 2、分解普通合数时，要严格依托“从最小质数开始试除，直到最终商为质数”的规则运算，不能直接把合数拆成含合数的连乘形式，混淆质因数必须是质数的核心逻辑，得到完全偏离正确值的结果。 3、用短除法分解质因数时，要严格依托“每次都用质数做除数，除到商是质数为止”的规则运算，不能错误用合数当除数，得到拆分过程不符合规范的错误结果。 4、分解质因数的最终连乘算式里，绝对不能混入数字1，要严格依托“所有乘数全为质数”的规则运算，不能错误把1也写进连乘式里，得到完全不符合分解质因数定义的结果。 5、反向核验分解结果的合理性时，将所有质因数反向连乘，得到的最终乘积必须和题目给定的原始合数完全匹配，不能出现反向推导后数值和原始合数不一致的逻辑矛盾。 6、判断一个数的质因数时，要先确认这个因数本身是质数，不能把合数因数也判定为质因数，得到把非质数因数误判为质因数的错误结果。 7、标注分解质因数的最终结果时，必须把合数写在等号左侧，所有质因数连乘的形式写在等号右侧，不能把质因数连乘的形式写在等号左侧，避免出现书写格式完全失真的问题。 8、分解特殊偶数合数时，要优先用最小的质数2做除数开始拆分，不能直接跳过2用更大的质数试除，得到拆分过程绕远、结果容易出错的错误结果。 9、用树枝图法分解质因数时，要每一步都把合数拆成两个因数，直到所有分支的末端数字全为质数为止，不能中途停止拆分，得到末端还残留合数的不完整分解结果。 10、结合分解质因数解决分组、乘积还原类实际场景问题时，要严格先把目标数全部分解成质因数，再按需组合质因数得到对应整数，不能脱离质因数拆分的前提直接硬凑数字，得到和实际场景完全不符的运算结论。 【题型精讲1】把下面各数分解质因数。 18           60           75 【答案】18＝2×3×3；60＝2×2×3×5；75＝3×5×5 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求出质因数的过程叫做分解质因数。 【解答】                 18＝2×3×3        60＝2×2×3×5       75＝3×5×5 【易错巩固1】用短除法把下列各数分解质因数。 72            231 【答案】72＝2×2×2×3×3；231＝3×7×11 【分析】用“短除法”分解质因数方法：先用一个能整除这个合数的最小质数去除，如果所得的商是合数，继续用一个能整除这个商最小的质数除去，直到得出的商是质数，最后把各个除数与最后的商写成连乘形式。 【解答】72                         231                   72＝2×2×2×3×3                  231＝3×7×11 【易错巩固2】把下面各数分解质因数。 56    75    117 【答案】56＝2×2×2×7；75＝3×5×5；117＝3×3×13 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。 【解答】 56＝2×2×2×7；75＝3×5×5；117＝3×3×13 【易错巩固3】把下面几个数分解质因数。 88    135 【答案】88＝2×2×2×11；135＝3×3×3×5 【分析】根据题意，分解质因数是将一个合数分解成质数的乘积（质数：只能被1和自身整除的数，如2、3、5、11等）。分解结果通常写成质数连乘的形式。 【解答】 88＝2×2×2×11 135＝3×3×3×5 【易错巩固4】把下面各数分解质因数。 32         55          87 【答案】32＝2×2×2×2×2；55＝5×11；87＝3×29 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，分解质因数就是把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【解答】32＝2×2×2×2×2                  55＝5×11                  87＝3×29                                         【易错巩固5】把下面各数分解质因数。 78    33    58    46 【答案】78＝2×3×13；33＝3×11；58＝2×29；46＝2×23 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【解答】 78＝2×3×13 33＝3×11 58＝2×29 46＝2×23 易错题型02 求最大公因数和最小公倍数 1、同时满足「数论属性合规、运算逻辑完全匹配最大公因数/最小公倍数定义」推导得到的结果，才是本单元认可的求最大公因数和最小公倍数的合规结果，脱离“公因数/公倍数核心定义”前提、随意拼接数字得到的不符合数论逻辑的结果，不能作为有效运算依据。 2、用短除法求两个数的最大公因数时，要严格依托“所有左侧公共质因数连乘”的规则运算，不能错误把底部剩余的互质数也纳入连乘，混淆最大公因数的取值逻辑，得到完全偏离正确值的结果。 3、用短除法求两个数的最小公倍数时，要严格依托“所有左侧公共质因数和底部剩余互质数全部连乘”的规则运算，不能错误遗漏任意一个剩余互质数，得到完全偏离正确值的运算结果。 4、用分解质因数法求最大公因数时，要严格依托“取所有公共质因数的最低次幂相乘”的规则运算，不能错误取公共质因数的最高次幂，得到最大公因数数值偏大的错误结果。 5、反向核验计算结果的合理性时，将算出的最大公因数反向代入，确认它能同时整除所有原始数，算出的最小公倍数反向代入，确认它能同时被所有原始数整除，不能出现反向推导后数值和原始条件不匹配的逻辑矛盾。 6、标注最终运算结果时，要明确用规范符号（如( a,b )表示最大公因数、[ a,b ]表示最小公倍数）标注结果类型，不能出现结果类型和数值错配的问题，避免出现结果指代完全失真的情况。 8、计算有倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数时，要直接取小数为最大公因数、大数为最小公倍数，不能硬套短除法做多余运算，得到运算过程冗余、结果容易出错的错误结果。 【题型精讲2】求出下面每组数的最小公倍数和最大公因数，把过程写下来。 5和10    24和36 【答案】5和10最大公因数是5，最小公倍数是10； 24和36最大公因数是12，最小公倍数是72。 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，一般采用分解质因数的方法。如果两个数成倍数关系，较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数；如果是一般关系，公有质因数的乘积是最大公因数，公有质因数与各自独有质因数的乘积是最小公倍数。 【解答】10÷5＝2，10是5的倍数，5是10的因数。 所以，5和10最大公因数是5，最小公倍数是10。 分解质因数：24＝2×2×2×3，36＝2×2×3×3 2×2×3＝12，2×2×2×3×3＝72 所以，24和36最大公因数是12，最小公倍数是72。 【易错巩固1】求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和11        36和54        16和48 【答案】 和 ：最大公因数 ，最小公倍数 ； 和 ：最大公因数 ，最小公倍数 ； 和 ：最大公因数 ，最小公倍数 。 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【解答】5和11是互质数：两个互质的数（只有1这一个共同因数），最大公因数直接是1，最小公倍数是两个数的乘积，也就是5×11＝55。 36和54是普通的有多个公因数的数：先把两个数分解为质数相乘的形式： ， 最大公因数：； 最小公倍数： 16和48是倍数关系：48是16的3倍，当两个数有倍数关系时，最大公因数是其中较小的数16，最小公倍数是其中较大的数48。 【易错巩固2】用短除法求最小公倍数和最大公因数。 （1）36和48的最小公倍数        （2）24和78的最大公因数 【答案】（1）144；（2）6 【分析】（1）用短除法求最小公倍数，先把两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，然后把所有的除数和最后所得的商连乘，所得的积就是它们的最小公倍数。 （2）用短除法求最大公因数，先把两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是它们的最大公因数。 【解答】（1）36和48的最小公倍数 2×2×3×3×4＝144 （2）24和78的最大公因数 2×3＝6 【易错巩固3】用短除法求每组数的最大公因数和最小公倍数。 15和25        24和18        36和60 【答案】5，75；6，72；12，180 【分析】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，从两个数公有的最小质因数除起，一直除下去，直到除得的两个商互质为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公约数。把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。 【解答】 所以，15和25的最大公因数为5，最小公倍数为5×3×5＝75； 所以，24和18的最大公因数为2×3＝6，最小公倍数为2×3×4×3＝72； 所以，36和60的最大公因数为2×2×3＝12，最小公倍数为2×2×3×3×5＝180 【易错巩固4】求每组数的最大公因数和最小公倍数。 ①30和18    ②11和13    ③36和12 【答案】①6；90；②1；143；③12；36 【分析】求最大公因数和最小公倍数，可以利用短除法，这两个数的公有质因数乘积是最大公因数，公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数； 对于两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数； 是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积；据此解答。 【解答】①30和18     最大公因数：2＝6 最小公倍数：23＝90 ②11和13 最大公因数：1 最小公倍数：11＝143 ③36和12 最大公因数：2＝12 最小公倍数：2＝36 【易错巩固5】求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 13和14    8和18    17和51 【答案】13和14的最大公因数是1，最小公倍数是182； 8和18的最大公因数是2，最小公倍数是72； 17和51的最大公因数是17，最小公倍数是51。 【分析】若两数互质，最大公因数为1，最小公倍数为两数乘积；若两数成倍数关系，最大公因数为较小数，最小公倍数为较大数；若为一般关系，可通过分解质因数法求解，最大公因数是公有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的乘积。据此解答。 【解答】（1）13和14是相邻自然数，为互质数。 最大公因数是：1 最小公倍数是：13×14＝182 （2）8＝2×2×2，18＝2×3×3。 两数的公有质因数为2，8的独有质因数为2和2，18的独有质因数为3和3。 最大公因数：2 最小公倍数是：2×2×2×3×3＝（2×2×2）×（3×3）＝8×9＝72 （3）因为51÷17＝3，所以17和51成倍数关系。 最大公因数是：17 最小公倍数是：51 易错题型03 因数和倍数的认识及应用 1、同时满足「非0自然数属性合规、依存关系逻辑完全匹配因数倍数定义」推导得到的结果，才是本单元认可的因数和倍数认识及应用的合规结果，脱离“整数除法无余数”核心前提、随意拼接非整数数值得到的不符合数论逻辑的结果，不能作为有效运算依据。 2、判断两个数的因数倍数关系时，要严格依托“非0自然数a除以非0自然数b，商是整数且没有余数”的规则判定，不能直接把小数参与因数倍数判定，混淆因数倍数的整数限定逻辑，得到完全偏离正确定义的结果。 3、找一个数的所有因数时，要严格依托“从1开始一对一对有序枚举，直到两个乘数接近重合”的规则运算，不能无序零散罗列，得到遗漏或重复计数的错误因数结果。 4、找一个数指定范围内的所有倍数时，要严格依托“用这个数依次乘1、2、3……直到结果超出指定范围”的规则运算，不能错误把超出范围的数值也纳入倍数集合，得到完全偏离范围要求的运算结果。 5、反向核验判定结果的合理性时，将判定的因数反向代入除法算式，确认能整除原数且商为整数，将判定的倍数反向代入除法算式，确认能被原数整除，不能出现反向推导后数值和原始条件不匹配的逻辑矛盾。 6、解决“用小正方形拼长方形”类实际应用题时，要精准判定场景本质是找总面积的所有正整数因数对，不能错误把重复的长和宽组合重复计数，得到拼法数量虚高的错误结果。 7、标注因数和倍数的最终结果时，要明确体现“谁是谁的因数、谁是谁的倍数”的依存关系，不能单独说某一个数是因数或某一个数是倍数，避免出现概念指代完全失真的问题。 8、解决“平均分物品无剩余”类分组应用题时，要精准判定场景本质是找总数的所有符合条件的因数，不能错误硬套倍数的枚举逻辑，得到分组方案完全不符合实际要求的错误结果。 9、利用“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”的特性解题时，要直接锁定原数的数值，不能额外做多余的加减运算，得到原数数值完全错误的结果。 10、结合因数和倍数解决“完全数、周期计数”类拓展实际场景问题时，要严格先枚举全目标数的所有因数再按规则运算，不能脱离因数的完整集合直接硬凑数值，得到和实际场景完全不符的运算结论。 【题型精讲3】下面各数中，因数的个数最多的是（　）。 A．12 B．14 C．17 D．24 【答案】D 【分析】根据找因数的方法，可以用除法分别找出每个选项对应数字的所有因数，统计数量后比较大小即可。 【解答】12的因数有：1，2，3，4，6，12，共6个； 14的因数有：1，2，7，14，共4个； 17的因数有：1，17，共2个； 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24，共8个。 ，可知24的因数个数最多。 【易错巩固1】五（1）班有48人参加实践活动，老师想将学生分成人数相等的小组（每组至少2人，至少分为两组）。老师可以有（    ）种不同的分法。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】要将48人分成人数相等的小组，本质是找48的因数，再排除不符合每组至少2人、至少分2组的情况即可。 【解答】48的因数： 1×48＝48 2×24＝48 3×16＝48 4×12＝48 6×8＝48 48的全部因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 根据每组至少2人，至少两组，进行枚举计算， 每组2人时，组数为：48÷2＝24（组） 每组3人时，组数为：48÷3＝16（组） 每组4人时，组数为：48÷4＝12（组） 每组6人时，组数为：48÷6＝8（组） 每组8人时，组数为：48÷8＝6（组） 每组12人时，组数为：48÷12＝4（组） 每组16人时，组数为：48÷16＝3（组） 每组24人时，组数为：48÷24＝2（组） 每组48人时，组数为：48÷48＝1（组）（不符合至少两组，舍去） 综上，每组至少2人，至少分为两组，一共有8种不同的分法。 【易错巩固2】把24颗糖果放到若干个盒子里，每个盒子里的糖果颗数相同，共有（ ）种分法。 【答案】8 【分析】把24颗糖果放到若干个盒子里，每个盒子里的糖果颗数相同，说明盒子的数量和每个盒子里糖果的颗数都是24的因数。求共有几种分法，就是求24有多少个因数。；；；；；；；，据此分析。 【解答】的因数有：、、、、、、、。 24颗糖果放1个盒子里，每个盒子有24颗； 放2个盒子里，每个盒子有12颗； 放3个盒子里，每个盒子有8颗； 放4个盒子里，每个盒子有6颗； 放6个盒子里，每个盒子有4颗； 放8个盒子里，每个盒子有3颗； 放12个盒子里，每个盒子有2颗； 放24个盒子里，每个盒子有1颗； 所以共有8种分法。 【易错巩固3】看“赛龙舟”鼓点，找规律：龙舟队的鼓手每7秒击鼓一次，第1、2、3次时刻分别是第7秒、第14秒、第21秒……每个时刻都是（ ）的倍数，第12次击鼓是在第（ ）秒。 【答案】7 84 【分析】鼓手每7秒击鼓一次，说明每次击鼓时间都是7的倍数，第1、2、3次时刻分别是第7秒、第14秒、第21秒，第12次击鼓时间就是7的12倍。 【解答】7＝1×7 14＝2×7 21＝3×7 7×12＝84（秒） 每个时刻都是7的倍数，第12次击鼓是在第84秒。 【易错巩固4】课间小朋友在玩“猜7”游戏，游戏规则是从1开始每人报一个数：1，2，3，4，……你要报的数不是7的倍数时，就大声说出这个数，是7的倍数时，就拍手。从50到90的报数过程中，有6个小朋友拍了手（期间没有小朋友重复拍手），你认为他们拍手的次数对吗？为什么？ 【答案】不对，因为从到的报数过程中，的倍数只有个，即、、、、，有个小朋友拍手才对。 【分析】（）找出到范围内的倍数的个数。拍手只在报的倍数的时候发生，有几个的倍数，就有几个小朋友拍手。然后和进行比较。 （）求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘、、、、、……，所得的积就是这个数的倍数。 【解答】 （，超出范围） 到的报数过程中，的倍数有：、、、、，有个小朋友拍了手。 答：我认为他们拍手的次数不对，因为从到的报数过程中，的倍数只有个，即有个小朋友拍手才对。 【易错巩固5】为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 【答案】6种；找出乘积为48，且两个乘数都不小于3的整数组合即可 【分析】排长方形队形时，总人数等于每行人数乘行数，需要找出所有乘积为48、且两个数都不小于3的正整数组合，组合的数量就是排法的种数。 【解答】先列出乘积为48的所有正整数乘法算式： 要求每行和每列人数都至少是3人，即两个乘数都大于等于3，符合条件的算式共有6个。 答：共有6种不同的排法。 易错题型04 2、5、3的倍数的特征及应用 1、同时满足「整数属性合规、判定逻辑完全匹配2、5、3的倍数特征定义」推导得到的结果，才是本单元认可的2、5、3的倍数的特征及应用的合规结果，脱离“非0整数”核心前提、随意拼接数字得到的不符合数论逻辑的结果，不能作为有效运算依据。 2、判定2的倍数时，要严格依托“个位数字是0、2、4、6、8”的规则运算，不能错误把个位为奇数的数判定为2的倍数，混淆偶数的判定逻辑，得到完全偏离正确值的结果。 3、判定5的倍数时，要严格依托“个位数字是0或5”的规则运算，不能错误把个位为其他数字的数判定为5的倍数，得到完全偏离正确值的运算结果。 4、判定3的倍数时，要严格依托“所有数位上的数字之和是3的倍数”的规则运算，不能错误只看个位数字做判定，得到完全偏离3的倍数特征逻辑的错误结果。 5、反向核验判定结果的合理性时，将判定为倍数的数反向除以2、5或3，得到的商必须是整数且没有余数，不能出现反向推导后数值和原始条件不匹配的逻辑矛盾。 6、解决“同时是2和5的倍数”类组数应用题时，要精准锁定个位必须是0的核心要求，不能错误保留个位为2、4、5等其他数字的组合，得到不符合双重特征的错误组数结果。 7、标注最终判定或组数的结果时，要明确标注对应数的属性（如偶数、是2和5的公倍数等），不能出现特征属性和数值错配的问题，避免出现结果指代完全失真的情况。 8、解决“同时是2、3、5的倍数”类应用题时，要先锁定个位为0满足2和5的要求，再验证数位和是3的倍数，不能跳过个位为0的前置条件直接验证数位和，得到完全不符合要求的错误结果。 9、结合特征做“填数字组数”类题目时，要按从小到大的顺序枚举所有符合条件的数字，不能无序零散填写，得到遗漏部分合法组合的不完整结果。 10、结合2、5、3的倍数特征解决“物品分装、周期筛选”类实际场景问题时，要严格先匹配对应倍数特征再筛选数字，不能脱离特征定义直接硬凑数值，得到和实际场景完全不符的运算结论。 【题型精讲4】某市图书馆开展名著阅读推广活动，《三国演义》某月被借阅的次数既是2的倍数，又是3的倍数，那么这个月该名著被借阅的次数可能是（    ）。 A．1915 B．3364 C．5796 D．4531 【答案】C 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，一个数各个数位上数字的和是3的倍数，这个数是3的倍数，先依据2的倍数特征排除不符合的选项，再依据3的倍数特征验证剩余选项即可得到答案。 【解答】A．1915，个位上不是0、2、4、6、8不是2的倍数，不符合题意。 B．3364，，16不是3的倍数，不符合题意。 C．5796，个位上是6，是2的倍数，，27是3的倍数，5796既是2的倍数，又是3的倍数，符合题意。 D．4531，个位上不是0、2、4、6、8不是2的倍数，不符合题意。 【易错巩固1】下面各数中，是3的倍数的是（　）。 A．16 B．25 C．37 D．42 【答案】D 【分析】一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数是3的倍数，分别计算各选项数字的各位和，进而分析即可。 【解答】A．，7不是3的倍数； B．，7不是3的倍数； C．，10不是3的倍数； D．，6是3的倍数，因此42是3的倍数。 【易错巩固2】一个数既是2的倍数又是5的倍数，它个位上的数字一定是（ ）；在12、16、24、32这四个数中，3的倍数是（ ）和（ ）。 【答案】 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数；个位上是0或5的数，都是5的倍数。 一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【解答】一个数既是2的倍数又是5的倍数，它个位上的数字一定是0； 在12、16、24、32中，3的倍数有12和24。 【易错巩固3】有313块月饼，每5块装一盒，还剩（ ）块；每3块装一盒，至少添（ ）块才能正好装完。 【答案】3 2 【分析】个位上是0或5的数是5的倍数，比313少且最接近5的倍数的数是310，算出两者差值即为剩下的块数； 各位数字之和是3的倍数的数是3的倍数，313各位数字和是3＋1＋3＝7，比7大且最小的3的倍数是9，算出两者差值即为至少需要添上的块数。 【解答】比313少且最接近5的倍数的数是310，313－310＝3，还剩3块； 3＋1＋3＝7，比7大且最小的3的倍数是9，9－7＝2，至少添2块才能正好装完。 【易错巩固4】有一个电话号码是ABCDEFG。已知：A是3的最小倍数；B是最小的自然数；C是5的最大因数；D是能同时被2和3整除的数字；E只有一个因数；F的所有因数是1、3、9；G的所有因数是1、2、3、6。这个电话号码是多少？ 【答案】 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数；最小的自然数是，一个数的因数的个数是有限，最小的因数是，最大因数是它本身；和的最小公倍数是，只有一个因数， 据此解答。 【解答】．的最小倍数是。 ．最小的自然数是。 ．的因数有、。最大因数是。 ．是能同时被和整除的数字。 ．只有一个因数。 ．的所有因数是、、。 ．的所有因数是、、、。 答：这个电话号码是。 【易错巩固5】甲、乙两人做抽卡片游戏，每人从卡片2、4、6、7中任意抽取一张。如果它们的和能被2整除，则甲获胜；如果它们的和能被3整除，则乙获胜。如果和既能被2整除又能被3整除，或者既不能被2整除又不能被3整除则重来。谁胜的可能性大？为什么？ 【答案】甲获胜可能性大；原因见详解 【分析】先把任意两个数的和列出来，看一共有几种情况，再看能被2整除和能被3整除的数的个数，再进行比较，个数越多，获胜的可能性越大，据此解答。 【解答】2＋4＝6 2＋6＝8 2＋7＝9 4＋6＝10 4＋7＝11 6＋7＝13 甲获胜的数字有6，8，10，一共3个； 乙获胜的数字有6，9，一共2个； 和既能被2整除又能被3整除的数字没有，既不能被2整除，又不能被3整除的数有11，13一共2个。 3＞2，甲获胜的可能性大于乙获胜的可能性。 答：甲获胜的可能性大，因为几个数字任意抽取一张，和能被2整除的可能性大于和能被3整除的可能性。 【点睛】本题考查可能性大小，明确可能性的大小与数量的多少有关是解答本题的关键。 易错题型05 奇偶数及奇偶性 1、同时满足「自然数属性合规、运算逻辑完全匹配奇偶数定义与奇偶性规则」推导得到的结果，才是本单元认可的奇偶数及奇偶性运算的合规结果，脱离“自然数范围内、能被2整除为偶数”核心前提、随意拼接非整数参与运算得到的不符合数论逻辑的结果，不能作为有效运算依据。 2、判定一个自然数是奇数还是偶数时，要严格依托“能否被2整除”的规则运算，不能错误仅凭数字的个位之外的数位特征做判定，混淆奇偶数的核心判定逻辑，得到完全偏离正确值的结果。 3、计算两个数加减的和或差的奇偶性时，要严格依托“同类为偶、异类为奇”的规则运算，不能错误套用乘法的奇偶性规律，得到完全偏离正确值的运算结果。 4、计算多个数连加的和的奇偶性时，要严格依托“和的奇偶性仅由加数中奇数的个数决定”的规则运算，不能错误把所有偶数的数量纳入判定逻辑，得到完全偏离规律的错误结果。 5、反向核验判定结果的合理性时，将判定的奇偶性结果反向代入实际运算算出真实结果，得到的真实数值的奇偶性必须和推导结论完全匹配，不能出现反向推导后数值和原始条件不匹配的逻辑矛盾。 6、计算多个数连乘的积的奇偶性时，要严格依托“有偶为偶、无偶为奇”的规则运算，不能错误统计奇数的个数来判定积的奇偶性，得到积的奇偶性完全错误的结果。 7、标注奇偶数及奇偶性运算的最终结果时，要明确标注对应结论的属性（如和为奇数、积为偶数等），不能出现奇偶属性和运算结果错配的问题，避免出现结果指代完全失真的情况。 8、解决“开关翻转、灯的亮灭”类周期奇偶性应用题时，要精准锁定初始状态和操作次数的奇偶对应关系，不能错误把操作次数的奇偶性和最终状态的对应关系搞反，得到完全不符合场景逻辑的错误结果。 9、结合奇偶性规则做“多个数相加求和”类拓展题时，要优先统计算式里奇数的总个数来推导和的奇偶性，不用算出完整的求和结果，不能硬算全量数值做多余运算，得到运算过程冗余、容易出错的错误结果。 10、结合奇偶性解决“分组分配、物品交换”类实际场景问题时，要严格依托奇偶运算规律推导可行性，不能脱离奇偶性的核心规则直接凭主观判断可行性，得到和实际逻辑完全不符的运算结论。 【题型精讲5】一个是奇数的两位数，个位上的数与十位上的数的积是14，这个两位数是（ ）。 A．14 B．41 C．27 D．72 【答案】C 【分析】先找到乘积是14的两个一位数，再结合奇数的特征确定两位数的个位和十位数字。 【解答】 符合条件的两个数字是2和7，奇数的个位需是奇数，因此个位是7，十位是2，这个两位数是27。 【易错巩固1】下面的结果一定是合数的是（    ）。 A．质数＋质数 B．质数质数 C．奇数＋1 D．偶数＋1 【答案】B 【分析】合数的定义是除了1和它本身之外，还有其它因数的大于1的自然数；质数是指大于1的自然数中，除了1和它自身之外没有其他因数的数；奇数是不能被2整除的数，偶数是能被2整除的数；据此分析各选项。 【解答】A．举反例：，5是质数，该选项错误； B．两个质数相乘的积，除1和它本身外，相乘的两个质数也是它的因数，因此至少有4个因数，一定是合数，该选项正确； C．举反例：，2是质数，该选项错误； D．举反例：，3是质数，该选项错误。 【易错巩固2】奇数与偶数的和是（ ），奇数与奇数的和是（ ）。 【答案】奇数 偶数 【分析】根据奇数加偶数等于奇数，奇数加奇数等于偶数； 【解答】举例：，是奇数；，是偶数。 【易错巩固3】明明家的Wi－Fi密码是一个四位数：5□2□。已知这个四位数是2、3、5的倍数，且第二位是一个偶数，那么明明家的Wi－Fi密码可能是（ ），也可能是（ ）。 【答案】5220 5820 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数，是2的倍数。2的倍数是偶数。 5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数； 3的倍数特征：一个数各个位上的数的和是3的倍数，那么这个数是3的倍数。 2、3、5的倍数特征：个位是0且各个位上数的和是3的倍数。 【解答】已知这个四位数是2、3、5的倍数，则这个数的末尾是0； 5＋2＝7 7＋2＝9，7＋8＝15，所以第二位是偶数，且要保证各个位上的数的和是3的倍数，则第二位可能是：2、8。 所以明明家的Wi－Fi密码可能是5220，也可能是5820。 【易错巩固4】三个连续的偶数的和是78，这三个连续的偶数依次分别是多少？ 【答案】24、26、28 【分析】能被2整除的数是偶数，相邻的偶数之间相差2，三个连续偶数的和除以3得到中间的偶数，再用中间偶数分别减2、加2，就能得到另外两个偶数。 【解答】 答：这三个连续的偶数依次分别是24、26、28。 【易错巩固5】扬州是中国大运河的重要节点城市，拥有丰富的历史文化遗产。暑期研学活动中，49名小学生来到扬州古运河参观，导游将他们分成两队乘船观景，其中一队的人数是奇数。请问另一队的人数是奇数还是偶数？为什么？ 【答案】偶数。理由：两队人数的和是总人数49，49是奇数。根据数的奇偶性规律，只有奇数与偶数相加的和是奇数，已知其中一队人数是奇数，所以另一队人数一定是偶数。 【分析】根据两队人数之和等于总人数的关系，利用和的奇偶性规律，由总人数的奇偶性和其中一队的奇偶性，判断另一队人数的奇偶性。 【解答】答：另一队的人数是偶数。理由：两队人数的和是总人数49，49是奇数。根据数的奇偶性规律，只有奇数与偶数相加的和是奇数，已知其中一队人数是奇数，所以另一队人数一定是偶数。 易错题型06 质数和合数的认识及应用 1、同时满足「非0自然数属性合规、判定逻辑完全匹配质数合数定义」推导得到的结果，才是本单元认可的质数和合数的认识及应用的合规结果，脱离“按因数个数分类”核心前提、随意拼接数字得到的不符合数论逻辑的结果，不能作为有效运算依据。 2、判定一个数是质数还是合数时，要严格依托“因数的总个数”做核心判定标准，不能错误仅凭数的奇偶性直接下结论，混淆质数合数和奇偶数的不同分类逻辑，得到完全偏离正确定义的结果。 3、找20以内的所有质数时，要严格依托“2、3、5、7、11、13、17、19”的固定集合完整枚举，不能错误把1、9、15等数字纳入质数集合，得到完全偏离要求的运算结果。 4、判定较大的两位数是否为质数时，要严格依托“排除2、5、3的倍数后，试除到除数的平方超过该数为止”的规则运算，不能错误只试除2、3、5就直接下结论，把91、77这类合数误判为质数。 5、反向核验判定结果的合理性时，将判定的质数反向枚举所有因数，确认因数个数恰好只有2个，判定的合数反向枚举所有因数，确认因数个数不少于3个，不能出现反向推导后因数个数和判定结果不匹配的逻辑矛盾。 6、解决“两个质数的和为奇数”类推理题时，要精准锁定“唯一的偶质数2”作为突破口，不能错误认为两个奇质数相加就能得到奇数，得到完全不符合奇偶逻辑的错误推理结果。 7、标注质数合数相关题目的最终结果时，要明确标注结果对应的属性（如“质数”“合数”“既不是质数也不是合数”），不能出现属性和数值错配的问题，避免出现结果指代完全失真的情况。 8、解决“质数和的拆分”类应用题时，要优先从最小的质数开始有序试算，不能无序零散拼凑数字，得到遗漏合法质数组合的不完整结果。 9、判定数字1的分类属性时，要严格依托“只有1个因数”的特征，确认1既不是质数也不是合数，不能错误把1归入质数或合数的集合，得到完全不符合定义的错误分类结果。 10、结合质数和合数解决“密码破译、数字推理”类实际场景问题时，要严格依托因数个数的核心定义筛选数字，不能脱离质数合数的定义直接硬凑数字，得到和实际场景完全不符的运算结论。 【题型精讲6】王阿姨的手机解屏密码是一个四位数，最高位上的数既是偶数又是质数，百位上的数是最小的合数，十位上的数是10以内最大的奇数，个位上的数是3的最小倍数。王阿姨的手机解屏密码是（    ）. A．2493 B．2496 C．2473 D．2693 【答案】A 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。分别确定四位数每个数位对应的数字，组合后得到密码。 【解答】最高位（千位）：既是偶数又是质数的数是2； 百位：最小的合数是4； 十位：10以内最大的奇数是9； 个位：一个数的最小倍数是它本身，3的最小倍数是3； 组合得到密码为2493。 【易错巩固1】根据下面提供的信息推测，这两个质数是（    ）。 A．2和8 B．3和7 C．2和19 D．8和13 【答案】B 【分析】根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。据此判断各选项的两个数是否是质数，且它们的和是10，乘积是21。 【解答】A．8的因数有：1、2、4、8，不是质数，不符合。 B．3和7都是质数，且3＋7＝10，，符合。 C．2和19都是质数，但2＋19＝21，，不符合。 D．8的因数有：1、2、4、8，不是质数，不符合。 【易错巩固2】在括号里填上合适的质数。 （ ）＋（ ）＝30。 【答案】11 19 【分析】因数只有1和本身的数是质数，据此先找出30以内的所有质数，再通过尝试找出其中相加能等于30的两个质数，即可填空。 【解答】30以内的所有质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，其中11＋19＝30，7＋23＝30，17＋13＝30。 答题空1可填7、11、13、17、19、23，对应答题空2依次填23、19、17、13、11、7，任选一组即可。（答案不唯一）。 【易错巩固3】实验小学科学兴趣小组的同学栽了几行月季，每行月季的棵数一样多，四个同学一起数月季的棵数，只有一人数对了，请你判断出（ ）数对了，理由是（ ）。 姓名 李周 张扬 管瑾 徐浩楠 棵树 43 47 45 41 【答案】管瑾 43、47、41都是质数，只能写成1和自身相乘，不符合“栽了几行”的条件，只有45是合数，可以写成两个大于1的整数的乘积，符合总棵数的要求。 【分析】因为月季分成几行种植，也就是月季栽了不止1行，且每行棵数相同，总棵数一定是合数（能分解出两个大于1的整数相乘，也就是行数×每行棵数）。 【解答】李周：43是质数，只有1和43两个因数，不能分成几行； 张扬：47是质数，只有1和47两个因数，不能分成几行； 管瑾：45是合数，可以写成3×15或5×9，能分成行数大于1的情况； 徐浩楠：41是质数，只有1和41两个因数，不能分成几行。 所以只有管瑾数对了，理由略。 【易错巩固4】用一根32cm长的铁丝围成一个长方形，要求长方形的长和宽都是整厘米数，且长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少？ 【答案】55平方厘米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，那么长＋宽＝周长÷2，据此求出长与宽的和，再根据质数的意义确定长、宽，然后根据长方形面积＝长×宽，把数据代入公式解答。 【解答】32÷2＝16（厘米） 16＝3＋13＝5＋11 13×3＝39（平方厘米） 11×5＝55（平方厘米） 55＞39 答：这个长方形的面积最大是55平方厘米。 【易错巩固5】大熊猫是我国一级保护动物，被誉为“活化石”和“中国国宝”。全国第四次大熊猫调查结果中显示的全国野生大熊猫种群数量就藏在下面的提示中。全国野生大熊猫种群数量有多少只？ ①它是一个四位数。②最高位上的数字既不是质数也不是合数。 ③百位上的数字比10以内最大的奇数少1。 ④十位上的数字是6的倍数。 ⑤个位上的数字既有因数2，又是4的倍数。⑥各个数位上的数不相同。 【答案】1864只 【分析】按照四位数的数位顺序，结合质数、合数、奇数、因数与倍数的小学知识点，依次推导每个数位的数字，再根据各数位数字不同的要求筛选，得到最终的四位数。 【解答】既不是质数也不是合数的数是1（0不能作为最高位），因此千位是1； 10以内最大的奇数是9，，因此百位是8； 一位数中6的倍数只有6，因此十位是6； 一位数中既有因数2、又是4的倍数的数有4和8；因为各个数位上的数不相同，8已在百位，因此个位是4； 所以这个四位数是1864。 答：全国野生大熊猫种群数量有只。 易错题型07 公因数和公倍数的认识及应用 1、同时满足「数论属性合规、判定逻辑完全匹配公因数公倍数定义」推导得到的结果，才是本单元认可的公因数和公倍数的认识及应用的合规结果，脱离“公共因数/公共倍数”核心前提、随意拼接数字得到的不符合数论逻辑的结果，不能作为有效运算依据。 2、找两个数的所有公因数时，要严格依托“先分别列出两个数的全部因数，再从中筛选出公共的部分”的规则运算，不能直接凭空拼凑数字，遗漏部分合法公因数得到不完整的结果。 3、找两个数指定范围内的所有公倍数时，要严格依托“先列出其中一个数的倍数，再从中筛选出能同时被另一个数整除的部分”的规则运算，不能错误把超出指定范围的数值也纳入公倍数集合，得到完全偏离范围要求的运算结果。 4、判定互质数时，要严格依托“两个数的公因数只有1”的规则运算，不能错误认为两个质数一定是互质数、合数之间一定不可能互质，得到完全偏离互质数定义的错误判定结果。 5、反向核验结果的合理性时，将筛选出的公因数反向代入，确认它能同时整除所有原始数，将筛选出的公倍数反向代入，确认它能同时被所有原始数整除，不能出现反向推导后数值和原始条件不匹配的逻辑矛盾。 6、解决“裁正方形无剩余、分小组人数相等”类应用题时，要精准判定场景本质是求对应几个数的公因数，不能错误套用公倍数的运算逻辑，得到“最大边长、最多分组数”数值虚高的错误结果。 7、标注公因数和公倍数的最终结果时，要明确标注结果对应的属性（如“最大公因数是6”“最小公倍数是24”），不能出现结果类型和数值错配的问题，避免出现结果指代完全失真的情况。 8、解决“多人周期同时去图书馆、多工序周期同步”类应用题时，要精准判定场景本质是求对应几个数的公倍数，不能错误套用公因数的运算逻辑，得到“下一次同时发生”的时间数值偏小的错误结果。 9、判定有倍数关系的两个数的公因数和公倍数集合时，要直接锁定小数的所有因数都是两个数的公因数，大数的所有倍数都是两个数的公倍数，不能硬套全量枚举做多余运算，得到运算过程冗余、容易出错的错误结果。 10、结合公因数和公倍数解决“丝带分段、彩旗重插”类实际场景问题时，要严格先匹配场景对应的“公共因数”或“公共倍数”逻辑再运算，不能脱离定义直接硬凑数值，得到和实际场景完全不符的运算结论。 【题型精讲7】若两个正整数、的最大公因数为10，它们的和为180，则满足条件的、有（ ）。 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】两个数的最大公因数是10，说明这两个数都有因数10，可将两个数写成10乘两个互质正整数的形式，根据两数和求出这两个互质数的和，再枚举符合条件的组合即可。 【解答】设，，其中、是正整数，，且和的最大公因数是1。 和为18、互质且的正整数对有：（17，1）、（13，5）、（11、7），共3组。 所以，满足条件的、有3组。 【易错巩固1】学校英语小组开展夏令营活动，若分成8人一组或12人一组都正好分完。如果英语小组的人数在50以内，那么英语小组最多有（    ）人。 A．48 B．40 C．36 D．32 【答案】A 【分析】先求出8和12的最小公倍数，再找50以内这两个数的最大公倍数即可。 【解答】 8和12的最小公倍数是 （人） ，，不符合要求。 【易错巩固2】某智能工厂用两种机械臂组装新能源电池：甲型机械臂每小时可装24块，乙型机械臂每小时可装36块。为了包装方便，要求每次打包的数量相同且没有剩余。那么每包最多可以装（ ）块电池。 【答案】12 【分析】每包电池数必须同时是24和36的因数，才能把两种机械臂组装的电池都正好分完；题目求“最多”，因此求24和36的最大公因数。即分别对24、36分解质因数，再提取两个数共有的全部公有质因数相乘，得到的结果就是两数的最大公因数，也就是每包最多可装的电池数。 【解答】36＝2×2×3×3 24＝2×2×2×3 24和36的公有质因数是2、2、3。 最大公因数：2×2×3＝12（块） 【易错巩固3】两根铁丝分别长78米和104米，用一根绳子分别测量它们，都恰好量完无剩余，那么这根绳子最长有____米。 【答案】26 【分析】根据已知，用一根绳子测量两根铁丝，都恰好量完无剩余，这根绳子最多有多长，也就是求78和104的最大公因数。 【解答】 因为2×13＝26（米），所以这根绳子最长有26米。 【易错巩固4】暑假期间，乐乐准备用一张长84厘米、宽60厘米的长方形彩色卡纸裁成同样大的正方形且没有剩余，想要剪出边长最大的正方形，一共能裁剪出多少个这样大的正方形？ 【答案】35个 【分析】如果要裁成同样大的正方形且无剩余、边长最大，那么正方形的边长应为长方形长和宽的最大公因数。先求出84和60的最大公因数，再分别计算长、宽上面裁剪正方形边长的数量，最后相乘得到裁剪正方形的总数量。 【解答】84＝2×2×3×7 60＝2×2×3×5 84和60的最大公因数是2×2×3＝12。 （84÷12）×（60÷12） ＝7×5 ＝35（个） 答：一共能裁剪出35个这样大的正方形。 【易错巩固5】跑步是最好的全身运动。每天早晨，爸爸、妈妈和乐乐都到操场跑步。 （1）爸爸和妈妈同时从起点出发，同向而行，他们几分后可以在起点第一次相遇？ （2）他们三人同时从起点出发，同向而行，几分后三人可以在起点第一次相遇？此时他们各跑了多少圈？ 【答案】（1）12分钟 （2）24分钟；爸爸8圈；妈妈6圈；乐乐3圈 【分析】（1）求爸爸和妈妈几分后可以在起点第一次相遇，即求他们两人跑一圈所需时间的最小公倍数。爸爸需要3分钟，妈妈需要4分钟，因此需要求3、4的最小公倍数。 （2）三人同时从起点出发，要在起点相遇，经过的时间必须分别是每个人跑一圈所需时间的倍数。要求第一次在起点相遇，即求三人跑一圈所需时间的最小公倍数。爸爸需要3分钟，妈妈需要4分钟，乐乐需要8分钟，因此需要求3、4、8的最小公倍数。就是三人第一次相遇的时间。再用相遇时间除以各自跑一圈需要的时间，就是各跑了几圈。 【解答】（1）求3、4的最小公倍数： 3的倍数：3、6、9、12、15… 4的倍数：4、8、12、16… 因此，3、4的最小公倍数是12。 答：他们12分后可以在起点第一次相遇。 （2）求3、4、8的最小公倍数： 3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24… 4的倍数：4、8、12、16、20、24… 8的倍数：8、16、24… 因此，3、4、8的最小公倍数是24。 24÷3＝8（圈） 24÷4＝6（圈） 24÷8＝3（圈） 答：24分钟后三人可以在起点第一次相遇，此时爸爸跑了8圈，妈妈跑了6圈，乐乐跑了3圈。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数与倍数易错专项讲义 易错题型01 分解质因数 易错题型02 求最大公因数和最小公倍数 易错题型03 因数和倍数的认识及应用 易错题型04 2、5、3的倍数的特征及应用 易错题型05 奇偶数及奇偶性 易错题型06 质数和合数的认识及应用 易错题型07 公因数和公倍数的认识及应用 易错题型01 分解质因数 1、同时满足「合数属性合规、拆分逻辑完全匹配质因数定义」推导得到的结果，才是本单元认可的分解质因数的合规结果，脱离“合数拆成质数连乘”核心前提、随意拼接数字得到的不符合质因数定义的结果，不能作为有效运算依据。 2、分解普通合数时，要严格依托“从最小质数开始试除，直到最终商为质数”的规则运算，不能直接把合数拆成含合数的连乘形式，混淆质因数必须是质数的核心逻辑，得到完全偏离正确值的结果。 3、用短除法分解质因数时，要严格依托“每次都用质数做除数，除到商是质数为止”的规则运算，不能错误用合数当除数，得到拆分过程不符合规范的错误结果。 4、分解质因数的最终连乘算式里，绝对不能混入数字1，要严格依托“所有乘数全为质数”的规则运算，不能错误把1也写进连乘式里，得到完全不符合分解质因数定义的结果。 5、反向核验分解结果的合理性时，将所有质因数反向连乘，得到的最终乘积必须和题目给定的原始合数完全匹配，不能出现反向推导后数值和原始合数不一致的逻辑矛盾。 6、判断一个数的质因数时，要先确认这个因数本身是质数，不能把合数因数也判定为质因数，得到把非质数因数误判为质因数的错误结果。 7、标注分解质因数的最终结果时，必须把合数写在等号左侧，所有质因数连乘的形式写在等号右侧，不能把质因数连乘的形式写在等号左侧，避免出现书写格式完全失真的问题。 8、分解特殊偶数合数时，要优先用最小的质数2做除数开始拆分，不能直接跳过2用更大的质数试除，得到拆分过程绕远、结果容易出错的错误结果。 9、用树枝图法分解质因数时，要每一步都把合数拆成两个因数，直到所有分支的末端数字全为质数为止，不能中途停止拆分，得到末端还残留合数的不完整分解结果。 10、结合分解质因数解决分组、乘积还原类实际场景问题时，要严格先把目标数全部分解成质因数，再按需组合质因数得到对应整数，不能脱离质因数拆分的前提直接硬凑数字，得到和实际场景完全不符的运算结论。 【题型精讲1】把下面各数分解质因数。 18           60           75 【易错巩固1】用短除法把下列各数分解质因数。 72            231 【易错巩固2】把下面各数分解质因数。 56    75    117 【易错巩固3】把下面几个数分解质因数。 88    135 【易错巩固4】把下面各数分解质因数。 32         55          87 【易错巩固5】把下面各数分解质因数。 78    33    58    46 易错题型02 求最大公因数和最小公倍数 1、同时满足「数论属性合规、运算逻辑完全匹配最大公因数/最小公倍数定义」推导得到的结果，才是本单元认可的求最大公因数和最小公倍数的合规结果，脱离“公因数/公倍数核心定义”前提、随意拼接数字得到的不符合数论逻辑的结果，不能作为有效运算依据。 2、用短除法求两个数的最大公因数时，要严格依托“所有左侧公共质因数连乘”的规则运算，不能错误把底部剩余的互质数也纳入连乘，混淆最大公因数的取值逻辑，得到完全偏离正确值的结果。 3、用短除法求两个数的最小公倍数时，要严格依托“所有左侧公共质因数和底部剩余互质数全部连乘”的规则运算，不能错误遗漏任意一个剩余互质数，得到完全偏离正确值的运算结果。 4、用分解质因数法求最大公因数时，要严格依托“取所有公共质因数的最低次幂相乘”的规则运算，不能错误取公共质因数的最高次幂，得到最大公因数数值偏大的错误结果。 5、反向核验计算结果的合理性时，将算出的最大公因数反向代入，确认它能同时整除所有原始数，算出的最小公倍数反向代入，确认它能同时被所有原始数整除，不能出现反向推导后数值和原始条件不匹配的逻辑矛盾。 6、标注最终运算结果时，要明确用规范符号（如( a,b )表示最大公因数、[ a,b ]表示最小公倍数）标注结果类型，不能出现结果类型和数值错配的问题，避免出现结果指代完全失真的情况。 8、计算有倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数时，要直接取小数为最大公因数、大数为最小公倍数，不能硬套短除法做多余运算，得到运算过程冗余、结果容易出错的错误结果。 【题型精讲2】求出下面每组数的最小公倍数和最大公因数，把过程写下来。 5和10    24和36 【易错巩固1】求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和11        36和54        16和48 【易错巩固2】用短除法求最小公倍数和最大公因数。 （1）36和48的最小公倍数        （2）24和78的最大公因数 【易错巩固3】用短除法求每组数的最大公因数和最小公倍数。 15和25        24和18        36和60 【易错巩固4】求每组数的最大公因数和最小公倍数。 ①30和18    ②11和13    ③36和12 【易错巩固5】求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 13和14    8和18    17和51 易错题型03 因数和倍数的认识及应用 1、同时满足「非0自然数属性合规、依存关系逻辑完全匹配因数倍数定义」推导得到的结果，才是本单元认可的因数和倍数认识及应用的合规结果，脱离“整数除法无余数”核心前提、随意拼接非整数数值得到的不符合数论逻辑的结果，不能作为有效运算依据。 2、判断两个数的因数倍数关系时，要严格依托“非0自然数a除以非0自然数b，商是整数且没有余数”的规则判定，不能直接把小数参与因数倍数判定，混淆因数倍数的整数限定逻辑，得到完全偏离正确定义的结果。 3、找一个数的所有因数时，要严格依托“从1开始一对一对有序枚举，直到两个乘数接近重合”的规则运算，不能无序零散罗列，得到遗漏或重复计数的错误因数结果。 4、找一个数指定范围内的所有倍数时，要严格依托“用这个数依次乘1、2、3……直到结果超出指定范围”的规则运算，不能错误把超出范围的数值也纳入倍数集合，得到完全偏离范围要求的运算结果。 5、反向核验判定结果的合理性时，将判定的因数反向代入除法算式，确认能整除原数且商为整数，将判定的倍数反向代入除法算式，确认能被原数整除，不能出现反向推导后数值和原始条件不匹配的逻辑矛盾。 6、解决“用小正方形拼长方形”类实际应用题时，要精准判定场景本质是找总面积的所有正整数因数对，不能错误把重复的长和宽组合重复计数，得到拼法数量虚高的错误结果。 7、标注因数和倍数的最终结果时，要明确体现“谁是谁的因数、谁是谁的倍数”的依存关系，不能单独说某一个数是因数或某一个数是倍数，避免出现概念指代完全失真的问题。 8、解决“平均分物品无剩余”类分组应用题时，要精准判定场景本质是找总数的所有符合条件的因数，不能错误硬套倍数的枚举逻辑，得到分组方案完全不符合实际要求的错误结果。 9、利用“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”的特性解题时，要直接锁定原数的数值，不能额外做多余的加减运算，得到原数数值完全错误的结果。 10、结合因数和倍数解决“完全数、周期计数”类拓展实际场景问题时，要严格先枚举全目标数的所有因数再按规则运算，不能脱离因数的完整集合直接硬凑数值，得到和实际场景完全不符的运算结论。 【题型精讲3】下面各数中，因数的个数最多的是（　）。 A．12 B．14 C．17 D．24 【易错巩固1】五（1）班有48人参加实践活动，老师想将学生分成人数相等的小组（每组至少2人，至少分为两组）。老师可以有（    ）种不同的分法。 A．7 B．8 C．9 D．10 【易错巩固2】把24颗糖果放到若干个盒子里，每个盒子里的糖果颗数相同，共有（ ）种分法。 【易错巩固3】看“赛龙舟”鼓点，找规律：龙舟队的鼓手每7秒击鼓一次，第1、2、3次时刻分别是第7秒、第14秒、第21秒……每个时刻都是（ ）的倍数，第12次击鼓是在第（ ）秒。 【易错巩固4】课间小朋友在玩“猜7”游戏，游戏规则是从1开始每人报一个数：1，2，3，4，……你要报的数不是7的倍数时，就大声说出这个数，是7的倍数时，就拍手。从50到90的报数过程中，有6个小朋友拍了手（期间没有小朋友重复拍手），你认为他们拍手的次数对吗？为什么？ 【易错巩固5】为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 易错题型04 2、5、3的倍数的特征及应用 1、同时满足「整数属性合规、判定逻辑完全匹配2、5、3的倍数特征定义」推导得到的结果，才是本单元认可的2、5、3的倍数的特征及应用的合规结果，脱离“非0整数”核心前提、随意拼接数字得到的不符合数论逻辑的结果，不能作为有效运算依据。 2、判定2的倍数时，要严格依托“个位数字是0、2、4、6、8”的规则运算，不能错误把个位为奇数的数判定为2的倍数，混淆偶数的判定逻辑，得到完全偏离正确值的结果。 3、判定5的倍数时，要严格依托“个位数字是0或5”的规则运算，不能错误把个位为其他数字的数判定为5的倍数，得到完全偏离正确值的运算结果。 4、判定3的倍数时，要严格依托“所有数位上的数字之和是3的倍数”的规则运算，不能错误只看个位数字做判定，得到完全偏离3的倍数特征逻辑的错误结果。 5、反向核验判定结果的合理性时，将判定为倍数的数反向除以2、5或3，得到的商必须是整数且没有余数，不能出现反向推导后数值和原始条件不匹配的逻辑矛盾。 6、解决“同时是2和5的倍数”类组数应用题时，要精准锁定个位必须是0的核心要求，不能错误保留个位为2、4、5等其他数字的组合，得到不符合双重特征的错误组数结果。 7、标注最终判定或组数的结果时，要明确标注对应数的属性（如偶数、是2和5的公倍数等），不能出现特征属性和数值错配的问题，避免出现结果指代完全失真的情况。 8、解决“同时是2、3、5的倍数”类应用题时，要先锁定个位为0满足2和5的要求，再验证数位和是3的倍数，不能跳过个位为0的前置条件直接验证数位和，得到完全不符合要求的错误结果。 9、结合特征做“填数字组数”类题目时，要按从小到大的顺序枚举所有符合条件的数字，不能无序零散填写，得到遗漏部分合法组合的不完整结果。 10、结合2、5、3的倍数特征解决“物品分装、周期筛选”类实际场景问题时，要严格先匹配对应倍数特征再筛选数字，不能脱离特征定义直接硬凑数值，得到和实际场景完全不符的运算结论。 【题型精讲4】某市图书馆开展名著阅读推广活动，《三国演义》某月被借阅的次数既是2的倍数，又是3的倍数，那么这个月该名著被借阅的次数可能是（    ）。 A．1915 B．3364 C．5796 D．4531 【易错巩固1】下面各数中，是3的倍数的是（　）。 A．16 B．25 C．37 D．42 【易错巩固2】一个数既是2的倍数又是5的倍数，它个位上的数字一定是（ ）；在12、16、24、32这四个数中，3的倍数是（ ）和（ ）。 【易错巩固3】有313块月饼，每5块装一盒，还剩（ ）块；每3块装一盒，至少添（ ）块才能正好装完。 【易错巩固4】有一个电话号码是ABCDEFG。已知：A是3的最小倍数；B是最小的自然数；C是5的最大因数；D是能同时被2和3整除的数字；E只有一个因数；F的所有因数是1、3、9；G的所有因数是1、2、3、6。这个电话号码是多少？ 【易错巩固5】甲、乙两人做抽卡片游戏，每人从卡片2、4、6、7中任意抽取一张。如果它们的和能被2整除，则甲获胜；如果它们的和能被3整除，则乙获胜。如果和既能被2整除又能被3整除，或者既不能被2整除又不能被3整除则重来。谁胜的可能性大？为什么？ 易错题型05 奇偶数及奇偶性 1、同时满足「自然数属性合规、运算逻辑完全匹配奇偶数定义与奇偶性规则」推导得到的结果，才是本单元认可的奇偶数及奇偶性运算的合规结果，脱离“自然数范围内、能被2整除为偶数”核心前提、随意拼接非整数参与运算得到的不符合数论逻辑的结果，不能作为有效运算依据。 2、判定一个自然数是奇数还是偶数时，要严格依托“能否被2整除”的规则运算，不能错误仅凭数字的个位之外的数位特征做判定，混淆奇偶数的核心判定逻辑，得到完全偏离正确值的结果。 3、计算两个数加减的和或差的奇偶性时，要严格依托“同类为偶、异类为奇”的规则运算，不能错误套用乘法的奇偶性规律，得到完全偏离正确值的运算结果。 4、计算多个数连加的和的奇偶性时，要严格依托“和的奇偶性仅由加数中奇数的个数决定”的规则运算，不能错误把所有偶数的数量纳入判定逻辑，得到完全偏离规律的错误结果。 5、反向核验判定结果的合理性时，将判定的奇偶性结果反向代入实际运算算出真实结果，得到的真实数值的奇偶性必须和推导结论完全匹配，不能出现反向推导后数值和原始条件不匹配的逻辑矛盾。 6、计算多个数连乘的积的奇偶性时，要严格依托“有偶为偶、无偶为奇”的规则运算，不能错误统计奇数的个数来判定积的奇偶性，得到积的奇偶性完全错误的结果。 7、标注奇偶数及奇偶性运算的最终结果时，要明确标注对应结论的属性（如和为奇数、积为偶数等），不能出现奇偶属性和运算结果错配的问题，避免出现结果指代完全失真的情况。 8、解决“开关翻转、灯的亮灭”类周期奇偶性应用题时，要精准锁定初始状态和操作次数的奇偶对应关系，不能错误把操作次数的奇偶性和最终状态的对应关系搞反，得到完全不符合场景逻辑的错误结果。 9、结合奇偶性规则做“多个数相加求和”类拓展题时，要优先统计算式里奇数的总个数来推导和的奇偶性，不用算出完整的求和结果，不能硬算全量数值做多余运算，得到运算过程冗余、容易出错的错误结果。 10、结合奇偶性解决“分组分配、物品交换”类实际场景问题时，要严格依托奇偶运算规律推导可行性，不能脱离奇偶性的核心规则直接凭主观判断可行性，得到和实际逻辑完全不符的运算结论。 【题型精讲5】一个是奇数的两位数，个位上的数与十位上的数的积是14，这个两位数是（ ）。 A．14 B．41 C．27 D．72 【易错巩固1】下面的结果一定是合数的是（    ）。 A．质数＋质数 B．质数质数 C．奇数＋1 D．偶数＋1 【易错巩固2】奇数与偶数的和是（ ），奇数与奇数的和是（ ）。 【易错巩固3】明明家的Wi－Fi密码是一个四位数：5□2□。已知这个四位数是2、3、5的倍数，且第二位是一个偶数，那么明明家的Wi－Fi密码可能是（ ），也可能是（ ）。 【易错巩固4】三个连续的偶数的和是78，这三个连续的偶数依次分别是多少？ 【易错巩固5】扬州是中国大运河的重要节点城市，拥有丰富的历史文化遗产。暑期研学活动中，49名小学生来到扬州古运河参观，导游将他们分成两队乘船观景，其中一队的人数是奇数。请问另一队的人数是奇数还是偶数？为什么？ 易错题型06 质数和合数的认识及应用 1、同时满足「非0自然数属性合规、判定逻辑完全匹配质数合数定义」推导得到的结果，才是本单元认可的质数和合数的认识及应用的合规结果，脱离“按因数个数分类”核心前提、随意拼接数字得到的不符合数论逻辑的结果，不能作为有效运算依据。 2、判定一个数是质数还是合数时，要严格依托“因数的总个数”做核心判定标准，不能错误仅凭数的奇偶性直接下结论，混淆质数合数和奇偶数的不同分类逻辑，得到完全偏离正确定义的结果。 3、找20以内的所有质数时，要严格依托“2、3、5、7、11、13、17、19”的固定集合完整枚举，不能错误把1、9、15等数字纳入质数集合，得到完全偏离要求的运算结果。 4、判定较大的两位数是否为质数时，要严格依托“排除2、5、3的倍数后，试除到除数的平方超过该数为止”的规则运算，不能错误只试除2、3、5就直接下结论，把91、77这类合数误判为质数。 5、反向核验判定结果的合理性时，将判定的质数反向枚举所有因数，确认因数个数恰好只有2个，判定的合数反向枚举所有因数，确认因数个数不少于3个，不能出现反向推导后因数个数和判定结果不匹配的逻辑矛盾。 6、解决“两个质数的和为奇数”类推理题时，要精准锁定“唯一的偶质数2”作为突破口，不能错误认为两个奇质数相加就能得到奇数，得到完全不符合奇偶逻辑的错误推理结果。 7、标注质数合数相关题目的最终结果时，要明确标注结果对应的属性（如“质数”“合数”“既不是质数也不是合数”），不能出现属性和数值错配的问题，避免出现结果指代完全失真的情况。 8、解决“质数和的拆分”类应用题时，要优先从最小的质数开始有序试算，不能无序零散拼凑数字，得到遗漏合法质数组合的不完整结果。 9、判定数字1的分类属性时，要严格依托“只有1个因数”的特征，确认1既不是质数也不是合数，不能错误把1归入质数或合数的集合，得到完全不符合定义的错误分类结果。 10、结合质数和合数解决“密码破译、数字推理”类实际场景问题时，要严格依托因数个数的核心定义筛选数字，不能脱离质数合数的定义直接硬凑数字，得到和实际场景完全不符的运算结论。 【题型精讲6】王阿姨的手机解屏密码是一个四位数，最高位上的数既是偶数又是质数，百位上的数是最小的合数，十位上的数是10以内最大的奇数，个位上的数是3的最小倍数。王阿姨的手机解屏密码是（    ）. A．2493 B．2496 C．2473 D．2693 【易错巩固1】根据下面提供的信息推测，这两个质数是（    ）。 A．2和8 B．3和7 C．2和19 D．8和13 【易错巩固2】在括号里填上合适的质数。 （ ）＋（ ）＝30。 【易错巩固3】实验小学科学兴趣小组的同学栽了几行月季，每行月季的棵数一样多，四个同学一起数月季的棵数，只有一人数对了，请你判断出（ ）数对了，理由是（ ）。 姓名 李周 张扬 管瑾 徐浩楠 棵树 43 47 45 41 【易错巩固4】用一根32cm长的铁丝围成一个长方形，要求长方形的长和宽都是整厘米数，且长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少？ 【易错巩固5】大熊猫是我国一级保护动物，被誉为“活化石”和“中国国宝”。全国第四次大熊猫调查结果中显示的全国野生大熊猫种群数量就藏在下面的提示中。全国野生大熊猫种群数量有多少只？ ①它是一个四位数。②最高位上的数字既不是质数也不是合数。 ③百位上的数字比10以内最大的奇数少1。 ④十位上的数字是6的倍数。 ⑤个位上的数字既有因数2，又是4的倍数。⑥各个数位上的数不相同。 易错题型07 公因数和公倍数的认识及应用 1、同时满足「数论属性合规、判定逻辑完全匹配公因数公倍数定义」推导得到的结果，才是本单元认可的公因数和公倍数的认识及应用的合规结果，脱离“公共因数/公共倍数”核心前提、随意拼接数字得到的不符合数论逻辑的结果，不能作为有效运算依据。 2、找两个数的所有公因数时，要严格依托“先分别列出两个数的全部因数，再从中筛选出公共的部分”的规则运算，不能直接凭空拼凑数字，遗漏部分合法公因数得到不完整的结果。 3、找两个数指定范围内的所有公倍数时，要严格依托“先列出其中一个数的倍数，再从中筛选出能同时被另一个数整除的部分”的规则运算，不能错误把超出指定范围的数值也纳入公倍数集合，得到完全偏离范围要求的运算结果。 4、判定互质数时，要严格依托“两个数的公因数只有1”的规则运算，不能错误认为两个质数一定是互质数、合数之间一定不可能互质，得到完全偏离互质数定义的错误判定结果。 5、反向核验结果的合理性时，将筛选出的公因数反向代入，确认它能同时整除所有原始数，将筛选出的公倍数反向代入，确认它能同时被所有原始数整除，不能出现反向推导后数值和原始条件不匹配的逻辑矛盾。 6、解决“裁正方形无剩余、分小组人数相等”类应用题时，要精准判定场景本质是求对应几个数的公因数，不能错误套用公倍数的运算逻辑，得到“最大边长、最多分组数”数值虚高的错误结果。 7、标注公因数和公倍数的最终结果时，要明确标注结果对应的属性（如“最大公因数是6”“最小公倍数是24”），不能出现结果类型和数值错配的问题，避免出现结果指代完全失真的情况。 8、解决“多人周期同时去图书馆、多工序周期同步”类应用题时，要精准判定场景本质是求对应几个数的公倍数，不能错误套用公因数的运算逻辑，得到“下一次同时发生”的时间数值偏小的错误结果。 9、判定有倍数关系的两个数的公因数和公倍数集合时，要直接锁定小数的所有因数都是两个数的公因数，大数的所有倍数都是两个数的公倍数，不能硬套全量枚举做多余运算，得到运算过程冗余、容易出错的错误结果。 10、结合公因数和公倍数解决“丝带分段、彩旗重插”类实际场景问题时，要严格先匹配场景对应的“公共因数”或“公共倍数”逻辑再运算，不能脱离定义直接硬凑数值，得到和实际场景完全不符的运算结论。 【题型精讲7】若两个正整数、的最大公因数为10，它们的和为180，则满足条件的、有（ ）。 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【易错巩固1】学校英语小组开展夏令营活动，若分成8人一组或12人一组都正好分完。如果英语小组的人数在50以内，那么英语小组最多有（    ）人。 A．48 B．40 C．36 D．32 【易错巩固2】某智能工厂用两种机械臂组装新能源电池：甲型机械臂每小时可装24块，乙型机械臂每小时可装36块。为了包装方便，要求每次打包的数量相同且没有剩余。那么每包最多可以装（ ）块电池。 【易错巩固3】两根铁丝分别长78米和104米，用一根绳子分别测量它们，都恰好量完无剩余，那么这根绳子最长有____米。 【易错巩固4】暑假期间，乐乐准备用一张长84厘米、宽60厘米的长方形彩色卡纸裁成同样大的正方形且没有剩余，想要剪出边长最大的正方形，一共能裁剪出多少个这样大的正方形？ 【易错巩固5】跑步是最好的全身运动。每天早晨，爸爸、妈妈和乐乐都到操场跑步。 （1）爸爸和妈妈同时从起点出发，同向而行，他们几分后可以在起点第一次相遇？ （2）他们三人同时从起点出发，同向而行，几分后三人可以在起点第一次相遇？此时他们各跑了多少圈？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $