河南省南阳市部分高中2026-2027学年高三上学期10月期中联考数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．若函数，则 A.y=f(x-1)+1为奇函数 B.y=f(x-1)+1为偶函数 C.y=f(x+1)-1为奇函数 D.y=f(x+1)+1为偶函数 3．现有200个圆锥形（每个圆锥的底面半径为2cm，高为1.5cm）金属零件，为了防止零件生锈，需要对每个零件的表面进行喷漆，则这200个零件需要喷漆的总面积为 A.1 600 B.1 700 C.1 800 4．若函数f(x)满足，则曲线y=xf(x)在点处的切线斜率为 A.17 B.19 C.20 D.21 5．如图，在△ABC中，点D在AC的延长线上，点E在线段BD上，若，则λ= A. B. C. D. 6．已知集合，B={cos1，sin2，cos3，tan 4}，则A∩B的元素个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 7．若数列的每一项均为复数，且，则的实部与虚部之积为 A. B. C.1 8．若，则a的取值范围是 A. B. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在ΔABC中，，且AC为整数，则m的值可以为 A.2 B C.4 D. 【高三数学 第1页（共4页）】 学科网（北京）股份有限公司 10．在高为的正四棱锥P-ABCD中，AB=4，底面ABCD的中心为O，且E为线段PO的中点，则 A. B．直线CE与平面PBD所成的角大于60° C.异面直线PC与BE所成角的余弦值为 D.正四棱锥P-ABCD的棱切球（与所有棱都相切的球）的体积为 11．设数列的前n项和为，若对于任意的正整数n，存在正整数m，使得，则称为“封闭数列”.下列结论正确的是 A.若，则为“封闭数列” B.若为“封闭数列”，则（Sn｝一定为“封闭数列” C.若，则不存在常数a，使得为“封闭数列” D.若和均为“封闭数列”，则一定为“封闭数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数f(x)=exlnx的最小值为 13．将曲线y=sinx(sinx+cosx)向左平移m(m>0)个单位长度后，所得曲线与曲线y=cos 2x的对称轴相同，则m的最小值为 14．已知函数若函数g(x)=f(f(x))-a恰有8个零点，则a 的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分） 已知函数，其中a>0且a≠1. （1）若f(2)=1，求a； （2）若不等式f(x)>2对x∈[2,+∞)恒成立，求a的取值范围. 【高三数学 第2页（共4页）】 学科网（北京）股份有限公司 16.(15分） 已知数列{n-1}的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式. （2）记，证明： （3）求数列的前2n(n≥2)项和 17.(15分） 在锐角ΔABC中，A<B<C，且tanC=tanA+tanB,tanA∈Z，tanB∈Z. （1）求A； （2）若D是AC的中点，证明：BC=BD 【高三数学 第3页（共4页）】 学科网（北京）股份有限公司 18.(17分）二 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形， （1）证明：BD⊥平面 （2）设直线BF与平面交于点G，且 （i）求四棱锥G-ABCD的体积； （ii）若H是棱上的动点，求平面与平面AHG夹角的余弦值的最大值. 19.(17分） 设a∈R，函数tanx在区间内有两个极值点，且 （1）求a的取值范围； （2）求的最小值； （3）证明：存在唯一的，使得成等比数列，且随a的增大而增大. 【高三数学 第4页（共4页）】 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学参考答案 1.C因为(1一√3i)2=一2一2√3i,所以(1一√3i)2在复平面内对应的点位于第三象限. 2.B因为f(x-1)十1=x4,(-x)4=x4,所以y=f(x一1)十1为偶函数 3.C设每个圆锥的母线长为lcm,则l=√2十1.5=2.5，所以每个圆锥的表面积为πr2+ πrl=4π+5π=9πcm2,故这200个零件需要喷漆的总面积为1800πcm2. 4.B因为f(x+)=(x+)》-2,所以xfx)=x(x2-2).设g(c)=z(x2-2),则 g'(x)=3x2-2,则g'(W7)=19,故曲线y=xf(x)在点(W7,W7f(W7)处的切线斜率为19. 5.A因为C市-心，所以A心-号A市.又范-A+AC,所以范-A+号Aò】 因为B,E,D三点共线，所以1=+号，解得X=号 6.DA=x4x2>1=(-o,-2)U(2,+): 因为1rad≈57.3°，2rad≈114.6°，3rad≈171.9°，4rad≈229.2°， 所以cos1>c0s60°=78n2>sin150°=号，60s3<cos120°=-2 tan4≈tan(180°+49.2)=tan49.2>tan45°=1， 所以A∩B={cos1,sin2,cos3,tan4},故A∩B的元素个数为4. 7.A因为zn=4之m-1+2m+(4-3m)i,所以之n十2-ni=4[之m-1十20-1-(n-1)i门. 又之1=2十i,所以之1+2一i=4,所以数列{之m+2”一i}是首项和公比均为4的等比数列， 则之n十2m一ni=4”,所以之n=4"-2十ni,则之100=41o0-210十100i,210=410-2100-100i, 故之1o0的实部与虚部之积为一100X(410一2100)=25×(2102一4101). 8.D由√e<a√x(x-lnx),得 Ver <a,易证x-lnx≥l,所以当x>0时， v (x-In x) Ver e ex—hx y-J(-Inx) >0,y2=, x(x-In x)2 (x-Inx)2(x-In x)2. 设ge)=号≥D,则g6)=e2》 t3, 当1≤t<2时，g'(t)<0,g(t)单调递减，当t>2时，g'(t)>0,g(t)单调递增， 所以g0m-g(2)-号则Gn的城小值为号，则≥ √x(x-lnx) 【体题也可以设4=兰x>0》g0)=品 【高三数学·参考答案第1页（共8页）】 9.BCD由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=(m-1)2+(m十1)2 十(m-1D0m+1）=3m2+1.当m=2时，AC=√EZ:当m-2g时，AC=3∈Z, 2√6 当m=4时，AC=7∈Z;当m=√5时，AC=4∈Z. 10.ABD连接AC,则AC∩BD=O.以O为坐标原点，OB,OC, OP所在直线分别为x,y,之轴，建立空间直角坐标系，如图所 示，则O(0,0,0),P(0,0,2√2)，E(0,0,W2),A(0,一2√2,0)， B(2V2,0,0),C(0,2√2,0)，则PA=(0,-2√2，-2√2)，PC= (0,2√2，-2√2)，BE=(-2√2,0W2), B 所以PA·P心=0，cos(P心，Bi=」 PC.BEI√可 PCIBE 10,A正确，C错误.易证C0L平面 PBD,则直线CE与平面PBD所成的角为∠CEO.因为tan∠CEO=CC OE =2>3,所以 ∠CEO>60°，B正确.设BC,PB的中点分别为F,G,连接OF,OG,则OF⊥BC,OG⊥PB, 且OF=0G=2,所以正四棱锥P-ABCD的棱切球的球心为O,半径为2，该球的体积为号 X公-，D正确， 1.AC对于A,由.=3，得5，-na,）_3n卫，易知2n为正数，取m 2 2 nn,tD,则S.=3m,则an=S,{a}为“封闭数列”，A正确. 2 对于B,取a。=,则(a,}为“封闭数列，且S。-na十a》_n(m十1)】 2 2, 则S1十S,=1十3-4，若{S,)为“封闭数列”，则存在正整数m,使得Sn=4,则m十1)- 2 4,即m(m+1)=8,显然该方程无正整数解，B错误 对于C,Sn=2十a十22十a十…十2”十a=2+1一2十na.若{an}为“封闭数列”，则存在正整 数m,使得2严十a=21一2十m,得4-2-2十2.由n的任意性，不妨取m=2和3，则 n-1 存在正整数m1和m使得222十22,21十2，整理得2+22+1由2羽 3-1 十2为偶数，得2”：-1+1为偶数，则m2-1=0,得m2=1,此时221+1=2，然而21+2> 2,则与21十2=2”-1+1矛盾，故不存在常数a,使得{an》为“封闭数列”，C正确. 对于D,设a.=3m,,=,n=1, 显然{an}和{bn}均为“封闭数列”， 0,n≥2， cn=an十bn= 3m,m≥2，当n=2时，S=61十6，=10. 4,n=1, 【高三数学·参考答案第2页（共8页）】 由于c1=4,则c1≠S2,对任意大于1的正整数m,cm=3m为3的倍数，则cm≠S2, 即当n=2时，不存在正整数m,使得cm=Sn,则{cn}不是“封闭数列”，D错误， 12.-1令f)=enx+1D=0,得x=令fx)0,得0<<。，令f'e)>0,得x> 是，所以fx)-f()=-1 3.sin r(rin os r)sin in in( 2 于).设f(x)=sin(2x-),则f(z十m)=sin(2x+2m-牙).依题意可得sin(2x+2m -牙）=-cos2x或sim(2x+2m-平)=cos2x, 则2m至-受+长xk∈Z,即m-否+经∈Z刀.因为m>0,所以m的最小值为 14.(-1,3)设t=f(x),令g(x)=f(f(x)-a=0,则a= f(t).在同一平面直角坐标系内作出y=a,y=f(t)的大致 图象，如图所示. 当-1<a<3时，直线y=a与y=f(t)的图象有三个交点， 设交点的横坐标为t1,t2,t3(不妨设t1<t2<t3),则t1<一1， -1<t2<1,1<t3<3,方程f(x)=t1有2个解，方程f(x) =t2有3个解，方程f(x)=t3有3个解，此时g(x)有8个零点. 当a=-1时，直线y=Q与y=寸e)的图象的交点的横坐标为-1-是，一1,3，方程f(x) =-1-是有2个解，方程f(x)=-1有3个解，方程f(x)=3有2个解，此时g(x)有7个 零点 当a≥3或a<一1时，直线y=a与y=f(t)的图象的公共点的个数不超过2，由图可知，对 于每个实数t,方程f(x)=t最多有3个解，所以g(x)的零点不超过6个. 综上所述，a的取值范围是（一1,3）， 15.解：1f2=1og号+1og4-1og.(×4）=lg6, 2分 因为f(2)=1,所以a=6.… …3分 (2fx)=log[(x-)(x+)]-log.(x2-美+3). …5分 设gx)=x2-2十3(x≥2)，则g(x)为增函数， 6分 所以g(x)≥g(2)=6.… 7分 当0<a<1时，y=logau(u≥6)为减函数，…. 8分 所以logaus≤log.6<log1=0,不符合题意. 9分 【高三数学·参考答案第3页（共8页）】 当a>1时，y=l0g。u(u≥6)为增函数，…10分 所以(logu)mm=log。6,则log。6>2=loga2,…11分 则a2<6,又a>1,所以1<a<6.… 12分 综上所述，a的取值范围为(1，W6).… …13分 16.(1)解：因为数列{m-1)的前n项和为1-1十n-1)n_n(n-1) 2 2 …2分 所以n(n二 2 2=(m-1Dan,当n≥2时，an= 2, 3分 1,n=1, 所以an= …4分 2n≥2. (2)证明：当n≥2时a,=分，b,=2 …6分 1 又b1= =1,…7分 aiaz …8分 =3- +2下3. 4 …10分 (3)解：当n≥3且n为奇数时，(-1)a十(-1)+1a1=a+1一a=m+1)2-元 4 2m+1 00………0…g12分 4 所以T=-a+a+2X3+1+2X5+1+…+2X(2m-1)+1 4 4 4 …13分 =-12+12+2(3+5+…+2n-1)+n-1=3+2m-1Dn-1D+”-1-2m2+m-3 4 4 4 4 (或2n+3)n-1D) …15分 4 17.(1)解：因为A+B十C=π，所以tanC=tan[r-(A十B)]=-tan(A+B)= tan A+tan B 1-tan Atan B' …2分 又tanC=tanA十tanB,且△ABC是锐角三角形，所以tanA十tanB>0,…3分 则1-tan Atan B=-l,即tan Atan B=2.…4分 因为tanA∈Z,tanB∈Z,且A<B,所以tanA=l,tanB=2,…5分 则A=至 6分 (2)证明：设A,B,C所对的边分别为a,b,c,由(1)可得tanB=2,tanC=3, 则cosB= 5,sin C=3v10 10 …8分 【高三数学·参考答案第4页（共8页）】 因为D是AC的中点，所以Bd=2(BA+BC, 10分 则Bd2=(Bi+2Bi.BC+BC)=}(a2+e2+2 accosB).… 11分 由c得只合号，发 c sin C=3,则c=35 a,……13分 则BD2=(a2十c2+2acc0sB)=a2, 14分 则IBD|=a,即BC=BD. 15分 18.(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD.…1分 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD,因为BDC平面ABCD. 所以AA1⊥BD.…2分 又AA1∩AC=A,所以BD⊥平面ACC1A1.…3分 (2)解：(1)设AC与BD交于点O,以O为坐标原点，OC F 所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，Oz∥AA1,建立如图 所示的空间直角坐标系，则A(一2,0,0)，B(0,一4,0)，B C(2,00),B1(0,-4,3),E(2,-3,3),F(-1,2,3), D1(0,4,3),则CD,=(-2,4,3),EDi=(-7,7,0). …5分 设平面CD1E的法向量为n=(x,y,之)， 则n.CD=-2红十4y十3g=0,n…ED=号x+7y=0,…6分 令y=1,得n=(14,1,8).…7分 设G(xy,z),BC=λB京，则(xy十4，x)=入(-1,6,3)，得x=-入，y=6以-4，之=3，则 G(-入，6入-4,3入).… …8分 因为点G在平面CD1E内，CG=(-入-2,61-4,3)， 所以C元·n=14×(-入-2)十6以-4+8X3入=0，得1=2，所以G(-2,8,6).…9分 因为菱形ABCD的面积S=2AC·BD=2X4X8=16, 且点G到底面ABCD的距离h=6, 所以四棱维G-ABCD的体积V-}S弘=号×16X6=32。 …10分 (i)H是棱BB1上的动点，设H(0,-4,t)(0≤t≤3)，则AG=(0,8,6),Ai=(2,一4，t). .…11分 设平面AHG的法向量为m=(x,y,之)， 则m·AG=8y十6之=0，m·Ai=2.x-4y十t2=0,…12分 【高三数学·参考答案第5页（共8页）】 令之=4，得m=（-2t-6,-3,4). 13分 设平面CD1E与平面AHG的夹角为0， 则cos0=cos<n,m>=nm n·m 114×(-2t-6)-3+32 √14+1+82×W(2t+6)2+(-3)+49 28t+55 t00。ee0小小小e。 14分 3√29×√4(t+3)2+25 14(2t+6)-29 (方法一)cos0= (0≤t≤3). 3√/29X√(2t+6)2+25 令5=2t+6(6≤s≤12)，则c0s0= 14s-29 (6≤s≤12). 3/29X√s2+25 令fs)-14s-29(6≤≤12，则=350+29s √W52+25 (2+25)0 0,… 15分 所以f(s)在[6,12]上单调递增，则f(s)mx=f12)=14X12-29_139 √122+25 =13,…16分 则(cos0)m-3√/2 1 1×139_139√/29 f(s)mg/2X81131 故平面CD,E与平面AHG夹角的余弦值的最大值为923. …17分 (方法=)令281+55=k∈[55,139]，则-，55 28 所以cos0 3√29× 3-5 28 5+3)°+25 14 令cos0=f(k),则f(k)= 3√29× 574+58+1 …15分 139√29 因为∈[55,139]，所以f(k)为增函数，则f(k)mx=f(139)= 1131.…16分 39√29 故平面CD,E与平面AHG夹角的余弦值的最大值为 1131 …17分 19.(1)解：f'(x)=er(atan x+ cos2x …1分 因为V:(-吾0），z>0,所以了的符号由1+号n2:决定 …2分 当x∈(-罗，0）时，2x∈(-元，0)，sin2x∈[-1,0). 【高三数学·参考答案第6页（共8页）】 当a≤0时，%sin2x>≥0，f'(x)>0,当0<a≤2时，号sin2x∈[-1,0)，f'(x)≥0，所以当 a≤2时，f(x)在(-受，0)上单调递增，f(x)在(-，0)上无极值点； …3分 当>2时，由fx)=0,得sim2x=-名，因为名∈(-1,0)，且y=sin2x在(-受， 2 一）上单调递减，在(-，0)上单调递增，所以f'(x)有两个异号零点x1,x2,则f(x)有 两个极值点 综上，a的取值范围为(2，十∞). …5分 (2)解：由(1)知，-令<红<-音<x:<0,且sin2x1=sin2z:= 2 a 6分 由正弦曲线的对称性，得2x1十2x:=一受×2，即x1十x=一 , …7分 则x2一x1=-牙-2x1,所以x2-x1- -+(-2+2 5x1 5x1 2 2-2x1·-410-5 8分 -5x1 10 当且仅当2x1= 红<0.即1-西E(-,)时，等号成立，故所求最小值为 x1 4w10-5 10 …9分 (3)证明：由(2)知x1十z:=-受，则cosx1十x,)=0,即004=sinx4sinx: 因为cosx1cosx2>0,所以tanx1tanx2=l,则f(x1)f(x2)=e+'tanx1tanx2= z…10s分 f)<0对x∈(-乏，0)恒成立，若f(x1),f(x),f(x)成等比数列，则[f(g)]= f06x)f(x,),则f(x,)=一e7=-e号.…1分 由(1)知f(x)在(-不，x)上单调递减，在(x2,0)上单调递增，…12分 所以f(x)<f(-不)=一e<f(0)=0.由函数零点存在定理知，存在唯一的x∈(x2, 0),使得f(xg)=一e号，即f(x1),f(x3）,f(x2)成等比数列。…13分 由e兰am=-e兰，得e3)(-amx)=1,则a=-h(-m2 …14分 【高三数学·参考答案第7页（共8页）】 2(x+F) 设gx)=血-an2,xE(-至，o）,则g'x）= In(-tan x)- sin 2x x+ (+)》 2(x+F) sin2zz∈(-军，0），则'(x)= 4()cos 2x 令h(x)=ln(-tanx) sin22x .…15分 当x∈(-，0)时，x+开∈(0，F),cos2x>0,则n'(x)>0,所以h(x)在(-于，0)上单 调递增，则h(x)>h(-不)=0，从而g'(x)>0,因此，g(x)在(-不，0)上单调递增.… …16分 又a=g(x),且x∈(-牙，0)，所以随a的增大而增大. 综上，存在唯一的x3∈(x2,0),使得f(x1),f(x3),f(x2)成等比数列，且x3随a的增大而 增大.…17分 【高三数学·参考答案第8页（共8页）】