精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高三上学期11月迎期中拉练数学试题

2025秋期高三年级迎期中拉练试题 数学学科 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若，则=（ ） A. B. 5 C. D. 3. 已知命题：，，命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知是R上的减函数，，是其图象上的两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是延长线上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根，则下列说法正确的是（ ） A. B. 把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 C. D. 11. 已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 13. 如图，在中，，，、是边上的两点，且，则______． 14. 已知是上的偶函数，为的导函数，.若，，则实数的取值范围为__________. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的最小正周期为，且的最大值为2. （1）求和a的值； （2）若函数在区间内有且仅有两个零点，，求m的取值范围及的值. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 17. 已知数列满足，. （1）求证：为等比数列； （2）求数列的前项和. 18. 在中，角所对的边分别为. （1）求角； （2）若为锐角三角形，求的最大值； （3）利用两角和与差的正弦余弦公式可以推得公式：，这些公式在三角式的化简中有重要作用.若等于边上的高，求的值. 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）已知函数； ①若没有零点，求实数a的取值范围； ②若有两个不同的零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025秋期高三年级迎期中拉练试题 数学学科 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数乘法运算，结合复数的几何意义判断即得. 【详解】依题意，， 所以在复平面内，对应的点位于第三象限. 故选：C 2. 若，则=（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用齐次式法列式求出. 【详解】由，得，所以. 故选：B 3. 已知命题：，，命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】先判断命题的真假，再根据选项逐一判断即得. 【详解】因对于命题：，，若取，则，故命题是假命题； 对于命题q：，，因函数在区间上为增函数，且值域为, 故必有解，即命题为真命题. 故A项错误；B项正确；C项错误；D项错误. 故选：B. 4. 已知是R上的减函数，，是其图象上的两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数单调性求解不等式. 【详解】依题意，，不等式化为：， 而函数是R上的减函数，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 5. 已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得结果. 【详解】成等差数列，，又， ，整理可得：， ，解得：（舍）或. 故选：C. 6. 如图，在中，是延长线上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理求解即可. 【详解】. 故选：B. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则和对数函数、指数函数的单调性，进行合理的放缩分别比较和即得. 【详解】因， 故，即； 又， 故，即. 故有即. 故选：A. 8. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的定义域、值域化简集合，再结合集合的运算判断ABC；利用元素特征判断D. 【详解】函数中，，则， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，集合的元素是数，集合的元素是有序实数对，因此，D正确. 故选：BCD. 10. 函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根，则下列说法正确的是（ ） A. B. 把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，求出解析式并结合图象变换判断AB；由给定实根计算判断CD. 【详解】依题意，函数， 由的最小正周期为，得，解得， 对于A，，A错误； 对于B，把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 则，B正确； 对于C，当时，，而正弦函数在上的图象关于直线对称， 依题意，，解得，C正确； 对于D，由，得，解得， 由选项C知，，因此，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由得到，再结合，确定，进而通过的对称性、周期性逐项判断即可. 【详解】①， ②， 由②可得：③， ①③联立可得：④， 所以的图象关于点对称，A错； 由④，又为偶函数，所以， 所以，两式相减可得：， 又，，结合 所以，B对， ，由，可知：， 所以，所以，C错； 由，可得，结合， 得：， 所以， 又，所以 即，，， 所以， 所以，D正确. 故选：BD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出不等式的解集，再利用充分不必要条件的定义求出范围. 【详解】不等式，解得， 依题意，，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为： 13. 如图，在中，，，、是边上的两点，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，用余弦定理求出，分析可知，，可得出，利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，，则， 不妨设，则， 因为，则， 所以，，同理可得， 因为，则， 故， 由二倍角的余弦公式可得，可得， 所以，. 故答案为：. 14. 已知是上的偶函数，为的导函数，.若，，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，结合题意易得在上单调递增，转化为，可得在上恒成立，令，，进而利用导数分析函数的单调性，进而求解. 【详解】令，则， 因为对，所以， 所以在上单调递增， 又为上的偶函数，所以， 所以为上的奇函数，所以在上单调递增. 由， 可化为，即， 所以在上恒成立，所以， 令，，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数，结合题意得到在上单调递增，再将问题转化为在上恒成立，进而求解即可. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的最小正周期为，且的最大值为2. （1）求和a的值； （2）若函数在区间内有且仅有两个零点，，求m的取值范围及的值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的周期及最值求解即可； （2）根据正弦函数的图象及性质求解即可. 【小问1详解】 由 ， 则，即， 又，即. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 令，即， 当时，， 因为函数在区间内有且仅有两个零点，， 结合正弦函数的图象可知，， 解得，即m的取值范围为. 又，即， 则. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类探讨单调区间即可. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是，递减区间是. 17. 已知数列满足，. （1）求证：为等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到即可； （2）在（1）的前提下得到，再利用分组求和和错位相减法得到答案； 【小问1详解】 因为，所以， 又， 所以为等比数列，首项为1，公比为2. 【小问2详解】 由（1）知，故， 所以， 故 ， 令，① 则， 其中，② 得 ， 故， 所以. 18. 在中，角所对的边分别为. （1）求角； （2）若为锐角三角形，求的最大值； （3）利用两角和与差的正弦余弦公式可以推得公式：，这些公式在三角式的化简中有重要作用.若等于边上的高，求的值. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和正弦公式化简得出结合角的范围即可求角； （2）结合角的值及两角和差公式化简得，再应用角的范围应用正弦的值域即可得出最值； （3）应用面积公式结合正弦定理，结合两角和差的正弦化简求值即可. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 因为，所以，所以， 化简，得，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以 所以， 所以， 所以当，即时，取得最大值，且最大值为2. 【小问3详解】 由（1）知，则， 又，所以， 由正弦定理，得，即， 又， ， 所以，解得或（舍）， 所以. 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）已知函数； ①若没有零点，求实数a的取值范围； ②若有两个不同的零点，证明：. 【答案】（1）极大值，无极小值 （2）① ②证明：若有两个不同的零点，则． 不妨设，则． 因为，所以． 因为在上单调递减，，所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数研究在其定义域为上的单调性，即可求出其极值； （2）①先求出的解析式，并求导，令，利用的导数来研究的单调性，再结合没有零点，得到的取值范围，即可求出a的取值范围；②首先分析得，再利用基本不等式即可证明. 【小问1详解】 函数的定义域为. . 令，即， 因为，所以，解得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 所以在处取得极大值，且，无极小值； 【小问2详解】 ①因为，所以， 所以，其定义域为. 所以. 令， 则. 当时，， 所以． 当时，， 所以. 当时，， 所以． 综上，当时，，即， 所以在上单调递减． 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，. 因为没有零点，所以，解得，所以的取值范围为． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $