精品解析：山东烟台市招远市2026-2027学年高二上学期期中月考检测数学试题

2026～2027学年度第一学期高二期中月考检测 数学试题 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上． 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知点，，则直线的斜率等于（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【详解】已知点，， 则直线的斜率为． 2. 直线的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率为求出倾斜角，再根据直线的倾斜角是它的二倍，求解即可. 【详解】，故，解得，所以直线的倾斜角为，的斜率. 3. 空间任意四个点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加减运算法则得到答案. 【详解】. 故选：D 4. 已知正方体中，，若，则（ ） A. ， B. ，y=1 C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量的运算法则化简得到，即可求解. 【详解】由空间向量的运算法则，可得， 因为，所以. 故选：D. 5. 已知向量，，若，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，即，解得. 6. 已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两点关于直线对称时，根据是线段的垂直平分线计算即可. 【详解】因为，， 所以由中点坐标公式得中点坐标为. 所以， 根据互相垂直的两条直线斜率乘积为，可得直线的斜率. 由点斜式得的方程：， 即. 7. 三角形的边在平面内，点在平面外，和分别与面成和的角，且平面与平面成的二面角，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干画出示意图，通过垂线将空间角转为平面角，再通过构建直角三角形，利用三边关系建立代数式进行求解. 【详解】 过C作，垂足为O；过O点分别作交AB于D，交AC于E，交BC于F；连接AO，BO. 由题，，故为AC与平面所成角，，同理，为等腰直角三角形； 又由且，有，故为平面ABC与平面所成角，. 设， 在中，， 在中，，， 在中，， 在中，， 在中，， 由题意二面角定义可知点D在线段AB上，， 在中，， ，故. 8. 平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面平行的性质可得线线平行，据此可得所成角为所成的角，即可得解. 【详解】如图， 设平面平面，平面平面， 因为平面，所以，则所成的角等于所成的角. 延长，设平面，连接，则，且为， 延长，设平面，同理为， 而，则所成的角即为所成的角，即为， 故所成角的正弦值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，直线，，的倾斜角和斜率分别是，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率之间的关系即可求解. 【详解】由图象可知，直线，的斜率大于，的斜率小于， 且的倾斜角大于的倾斜角，再由的倾斜角为钝角， 故，故，. 10. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为．若，则（ ） A. B. 与平面所成的角为 C. 与平面所成的角为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【详解】如图所示， 设， 根据长方体的几何性质可知面，所以， 则， ， 同理，，所以，所以选项A正确； 连接，则，根据长方体性质可知为与平面所成的角， 所以，即，所以B正确； 因为平面平面，所以与平面所成的角为，所以C错误； 可知，所以， 因为，可知， 设点到平面的距离为，可得，解得，所以D正确. 11. 如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且为棱的中点，点是线段上的动点，则（ ） A. 无论点在线段上如何移动，都有 B. 四面体的体积为24 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 直线与平面所成最大角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据面判断A；利用“等积变换”求出体积判断B；求出直线与所成角的余弦值判断C；根据当点移动到的中点时最大可判断D. 【详解】在正方体中，易证面又平面所以则A正确； 则B正确；在棱上取点使，连结如图则易知为直线与所成角或其补角，可得则则直线与所成角的余弦值为则C错误； 由题意知三棱锥为棱长为的正四面体，作平面为垂足，则为正的中心，且为直线与平面所成角，所以当点移动到的中点时最短，如图，此时最小，最大，此时则D正确. 故选：ABD 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查空间线面垂直证明线线垂直、异面直线成的角、直线与平面成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，为空间两两夹角都是的三个单位向量，则________． 【答案】 【解析】 【详解】已知，，为空间两两夹角都是的三个单位向量， 则，，，， ， 代入数值可得， 所以 13. 已知点，．若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别取得直线的斜率和直线的斜率,进而求得直线的斜率的范围. 【详解】已知点，．若过点的直线与线段相交， 则直线的斜率为，直线的斜率为，如图所示， 故直线的斜率的取值范围是. 14. 已知正方形与正方形构成一个大小为的二面角，将绕旋转一周，则在旋转过程中，直线与平面所成角的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】设所在的平面为，绕旋转一周形成一个圆锥， 显然圆锥的中轴线与平面成角，而， 在旋转过程中，如图，当点离平面最近时直线与平面所成的角最小， 即最小角为， 当点离平面最远时直线与平面所成的角最大， 即最大角为， 所以与平面所成角的范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边BC的垂直平分线的方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程； （2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程； （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，写出垂直平分线的方程； 【详解】（1）BC的中点坐标为 则边BC上的中线所在直线的方程为； （2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边BC上的高所在直线的方程为； （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为， 则边BC的垂直平分线的方程为. 16. 在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． （1）求点B到直线AC1的距离； （2）求直线FC到平面AEC1的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，用向量法求解即可； （2）用向量法求解即可 【小问1详解】 以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系， 则，，，，，， ∴，，，，，， 取，， ， 则点B到直线AC1的距离为； 【小问2详解】 ∵， ∴， 而平面，平面， ∴平面， ∴点到平面的距离即为直线到平面的距离， 设平面的法向量为，则， ∴， ∴，取，则，， ∴， 又， ∴点到平面的距离为. 【点睛】 17. 如图所示，在直三棱柱中，，，，点是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，根据异面直线所成角的向量求法，即可求得答案； （2）求出平面与平面的一个法向量，根据空间角的向量求法，即可求解. 【小问1详解】 由题意平面，平面， 所以，又， 如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建系． 由题意容易写出以下点的坐标：，，，，． 所以， 所以， 因为异面直线所成角的范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 ，，设面的一个法向量为 由，得，令，得， 则． 又平面的一个法向量是， 设平面与平面夹角的大小为， 所以 所以，所以平面与平面夹角的正弦值为． 18. 如图，在菱形中，已知，为的中点，现将四边形沿折起至（其中点为折叠后点的位置）． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）原图中四边形为菱形，且，所以为正三角形， 因为为的中点，所以，，折叠后垂直关系仍然成立， 可知，平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠过程的性质，以及线面垂直的判定定理，说明线面垂直即可； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，进而求出平面法向量，根据面面角的向量方法，求出结果即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以点为坐标原点，分别以线段，所在直线为轴，轴， 再以过点且垂直于平面且向上的直线为轴，建立空间直角坐标系． 因为平面，所以为二面角的平面角，所以， 设，则点，，，， 由得点，所以，， 设平面的一个法向量为， 则，整理得， 令，则， 又易得平面的一个法向量， 所以设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 19. 如图，在三棱锥中，，，，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求异面直线和所成角的余弦值； （3）在线段上有一点，，，求的值，使得平面和平面所成的角的大小为． 【答案】（1）在平面中作于点， 因为平面平面，平面平面 所以平面． 过点作的平行线，交于点，则平面，则， 由于，故， 如图，以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 设．因为，所以，． 因为，，所以． 所以，，，，， 则，， 所以，所以， 又，平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量数量积证明，再结合线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）利用异面直线所成角的向量求法，即可求解； （3）根据，可得，从而求出平面的法向量，利用向量夹角公式结合平面和平面所成的角的大小为可列出关于的方程，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以， 结合异面直线所成角的范围为， 所以直线与所成角的余弦值为． 【小问3详解】 因为，所以，， 所以， 设平面的一个法向量，则， 所以，令，则， 则 平面的一个法向量为， 所以， 整理得，解得或，又因为点在线段上，， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期高二期中月考检测 数学试题 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上． 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知点，，则直线的斜率等于（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 直线的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 空间任意四个点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正方体中，，若，则（ ） A. ， B. ，y=1 C. ， D. ， 5. 已知向量，，若，则实数等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 三角形的边在平面内，点在平面外，和分别与面成和的角，且平面与平面成的二面角，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，直线，，的倾斜角和斜率分别是，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为．若，则（ ） A. B. 与平面所成的角为 C. 与平面所成的角为 D. 点到平面的距离为 11. 如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且为棱的中点，点是线段上的动点，则（ ） A. 无论点在线段上如何移动，都有 B. 四面体的体积为24 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 直线与平面所成最大角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，为空间两两夹角都是的三个单位向量，则________． 13. 已知点，．若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是________． 14. 已知正方形与正方形构成一个大小为的二面角，将绕旋转一周，则在旋转过程中，直线与平面所成角的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边BC的垂直平分线的方程． 16. 在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． （1）求点B到直线AC1的距离； （2）求直线FC到平面AEC1的距离． 17. 如图所示，在直三棱柱中，，，，点是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 18. 如图，在菱形中，已知，为的中点，现将四边形沿折起至（其中点为折叠后点的位置）． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求平面与平面所成角的余弦值． 19. 如图，在三棱锥中，，，，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求异面直线和所成角的余弦值； （3）在线段上有一点，，，求的值，使得平面和平面所成的角的大小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $