精品解析：广东佛山市南海区南海中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

广东省佛山市南海中学2026-2027学年高一（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先判断原命题类型，再根据特称量词命题的否定规则，将存在量词改为全称量词，并否定结论. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，得命题“，”的否定是“，”. 故选：B 2. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得，，， 所以． 3. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据的取值情况判断各个选项的对错即可得到答案. 【详解】选项A，若，则结论错误，故选项A错误； 选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误； 选项C，当时，，故选项C错误； 选项D，可知，，故选项D正确. 故选：D 4. 使“”成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式，根据不等式的解集以及必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】不等式可化为，解得， 根据题意成立，反之不成立， 所以是成立的必要不充分条件. 故选：C 5. 已知、，且满足，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为知、，且满足， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 6. 学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有（ ）人. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设同时参加球类比赛和田径比赛的有人，利用文氏图辅助解答. 【详解】不妨设同时参加球类比赛和田径比赛的有人， 结合已知条件可知，只参加游泳比赛的有10人，只参加球类比赛的有人， 只参加田径比赛的有人， 故，解得， 从而只参加球类一项比赛的有8人. 故选：B 7. 已知命题，不等式恒成立，命题，不等式．若和有且仅有一个正确，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出全称命题、存在命题为真时的范围，再根据“有且仅有一个正确”确定参数范围． 【详解】命题为真，当且仅当对任意，都有，由于在上的最小值为， 故，即，解得． 命题为真，当且仅当存在，使，因，两边同除以得，又， 且属于，所以在上的最小值为且能取到，故为真当且仅当． 两命题为真时对应的参数范围与互不相交，因此和有且仅有一个正确时，． 8. 集合，集合，，则以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由及确定的左、右端点，,,再利用一元二次方程根与系数的关系得到，. 【详解】， 由及，所以必须包含，且右端点为2（开区间）， 设，其中． 由根与系数关系，，， 所以，故A正确. ．故 BC正确. 因此选项D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列表述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于A：因为是元素，是集合，所以，故A正确； 对于B：因为集合具有无序性，且是的子集，所以，故B正确； 对于C：因为空集是任何集合的子集，所以故C正确， 对于D：因为‌‌空集是指不含任何元素的集合‌.中含有元素0，所以，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列命题中真命题有（ ） A. 已知，，则“”是“”的充要条件 B. 满足的集合的个数为7 C. 已知，则的最小值是3 D. 集合，若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】分别核对命题的逻辑关系、集合计数及元素归属；对C利用与基本不等式给出下界，并核实等号能否取到． 【详解】对于A，由及得，从而； 但取，有而，因此“”不是“”的充分条件，A错误； 对于B，解方程得或，所以必有； 集合共有个，不是7个，B错误； 对于C，令，则，由基本不等式得，所以； 当，即时等号成立，故最小值为3，C正确； 对于D，因，由知或，解得或， 时,,违反集合的互异性，舍去； 时，满足，符合题意，D正确． 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为，或 D. 若为常数，且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若实数满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】计算出，进而求出. 【详解】因为，所以，故， 即. 故答案为： 13. 已知集合有且仅有两个子集，则实数__________. 【答案】1或 【解析】 【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可. 【详解】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解， ①当时，，满足题意； ②当时，，所以， 综上所述，或. 故答案为：1或. 14. 若对任意，不等式恒成立，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】对参数的取值范围分类讨论，再由不等式恒成立得出相应方程即可求得实数的值. 【详解】当时，对任意可知， 若不等式恒成立，则对任意恒成立； 易知函数的图象以为对称轴，所以在上单调递增， 又因为，即与轴有两个交点，易知， 所以对任意不恒成立，不合题意； 当时， 易知时，,当时，； 令可得，又， 结合已有分析可知当时，，当时，； 若对任意，不等式恒成立，可知才能满足题意； 解得或(舍). 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合，集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求的补集，再与求交集； （2）按是否为空集分类． 【小问1详解】 ，得， 所以或． 因为， 所以. 【小问2详解】 当时，，即，满足． 当时，，需且，得． 综上，实数的取值范围是． 16. （1）已知，都是正实数，且，试比较与的大小； （2）已知，，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用作差法，结合因式分解即可比较大小； （2）先设，利用基本不等式得到，再令，从而结合一元二次不等式的解法得到，进而即可得到的最小值． 【小问1详解】 由， 又，且，所以，故． 【小问2详解】 由，得， 设，则， 令，得，即，所以，即． 当，即，时取等号， 所以最小值为． 17. 某水产养殖户投资万元建一个龙虾养殖基地，已知年内付出的各种维护费用之和满足二次函数，且第一年付出的各种维护费用为万元，第二年付出的各种维护费用为万元．假定龙虾养殖基地使用年后，每年平均费用为万元（包括投资和维护费用，且维护费用累计到当年年底）． （1）求年内付出的各种维护费用之和与的函数关系式； （2）使用多少年后，每年平均费用最低？最低费用是多少万元？ 【答案】（1） （2）使用年后，每年平均费用最低，最低费用是万元 【解析】 【分析】（1）由第一年、第二年的维护费用列方程组，进而求解即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求解． 【小问1详解】 记，则 第一年维护费用为， 第二年维护费用为， 所以，， 所以年内付出的各种维护费用之和与的函数关系式为． 【小问2详解】 年平均费用为， 当且仅当，即时取等号． 所以使用年后平均费用最低，最低为万元． 18. 设函数． （1）解关于的不等式：； （2）当时，函数图像都在函数的下方，求的取值范围； （3）当时，已知，，若，求的取值范围． 【答案】（1）当时,解集为; 当时,解集为; 当时,解集为; 当时,解集为; 当时,解集为. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）将不等式化为并因式分解为,再按、、分类,比较两根与的大小写出解集. （2）把看作主元,将对任意恒成立转化为关于的一次函数恒小于,由单调性只需端点处,再解关于的不等式. （3）由转化为在上恒成立,因开口向下,最小值在区间端点取得,令且求的范围. 【小问1详解】 由得,即. 因为,所以原不等式等价于. 当时,不等式化为,解得. 当时,不等式可化为.由于,解得. 当时,两边同除以得,相应方程的两根为和. 若,则,解得或. 若,则不等式为,解得. 若,则,解得或. 【小问2详解】 由题意,对任意,都有,即. 因为,所以随的增大而增大. 于是只需,即,化简得. 解得;反之,当时,从而对任意都有. 所以的取值范围是. 【小问3详解】 当时,,记. 由知,对任意,恒成立. 因为,所以的图象开口向下,它在上的最小值为与中较小的一个. 又,. 于是且,即且,解得. 结合得,即的取值范围是. 19. 已知有限集，若则称为“完全集”． （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2； （3）若为“完全集”，且，试探索集合中最多有几个元素？ 【答案】（1）集合是否为“完全集”，理由为： 对于集合，由“完全集”的定义，因， 而，故集合是“完全集”； （2） 证明：若是两个不同的正数，且为“完全集”，不妨设， 根据根和系数的关系知，可看成方程的两个根， 由，解得或（舍去），故， 又因，假设都不大于2，则，这与产生矛盾，故中至少有一个大于2，得证. （3）3 【解析】 【分析】（1）由“完全集”的定义判断即可； （2）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设，得到，分类讨论求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设，则，故. 当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完全集”； 当时，，故只能由可求得， 于是“完全集”只有一个，为； 当时，由因,故有， 而，可得, 又故 这与产生矛盾，故当时，不存在“完全集”. 综上，“完全集”中最多有3个元素. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省佛山市南海中学2026-2027学年高一（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 使“”成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知、，且满足，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有（ ）人. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知命题，不等式恒成立，命题，不等式．若和有且仅有一个正确，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 集合，集合，，则以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列表述正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中真命题有（ ） A. 已知，，则“”是“”的充要条件 B. 满足的集合的个数为7 C. 已知，则的最小值是3 D. 集合，若，则 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为，或 D. 若为常数，且，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若实数满足，则的取值范围是__________. 13. 已知集合有且仅有两个子集，则实数__________. 14. 若对任意，不等式恒成立，则实数___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合，集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）已知，都是正实数，且，试比较与的大小； （2）已知，，，求的最小值． 17. 某水产养殖户投资万元建一个龙虾养殖基地，已知年内付出的各种维护费用之和满足二次函数，且第一年付出的各种维护费用为万元，第二年付出的各种维护费用为万元．假定龙虾养殖基地使用年后，每年平均费用为万元（包括投资和维护费用，且维护费用累计到当年年底）． （1）求年内付出的各种维护费用之和与的函数关系式； （2）使用多少年后，每年平均费用最低？最低费用是多少万元？ 18. 设函数． （1）解关于的不等式：； （2）当时，函数图像都在函数的下方，求的取值范围； （3）当时，已知，，若，求的取值范围． 19. 已知有限集，若则称为“完全集”． （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2； （3）若为“完全集”，且，试探索集合中最多有几个元素？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $