精品解析：广东深圳实验学校高中部2026-2027学年度第一学期第一阶段考试高一数学试题

深圳实验学校高中部2026-2027学年度第一学期第一阶段考试 高一数学 （时间：120分钟 满分：150分） 第一卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果. 【详解】命题，的否定是，. 2. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明或举出反例即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误. 对于B，由可得，故，所以，所以，故B正确. 对于C，因为，所以，所以，故C错误. 对于D，取，，此时，，，但，故D错误. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抽象函数的定义域求法计算即可. 【详解】因为的定义域为，则，即, 所以的定义域为， 又，所以函数的定义域为. 故选：B 4. 已知正数，满足，则的最小值是（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先凑配，再利用基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时，取得最小值， 故取得最小值. 5. 设集合，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由且集合中的元素互不相同，是两集合的公共元素，故有． 分两种情况： ①且． 因，得； 代入，得． ②且． 则，从而，与矛盾． 所以，从而． 6. 一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得、为方程的两根且，利用韦达定理得到、，则不等式化为，解得即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以、为方程的两根且， 所以，所以、， 所以不等式，即为，即， 即，解得， 即不等式的解集为. 7. 已知命题，；命题，，若命题，有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出为真命题时的范围，由命题，有且仅有一个为真命题可得一真一假，列不等式组并求其解即可． 【详解】由，； 得，； 函数在上单调递减，上单调递增， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 又，，， 所以函数，的值域为， 所以命题为真命题等价于， 命题，则，即， 所以命题为真命题等价于， 由命题，有且仅有一个为真命题可得 命题为真命题且命题为假命题或命题为假命题且命题为真命题 若命题为真命题且命题为假命题，则，故， 若命题为假命题且命题为真命题，则，故， 综上所述，若命题，有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为. 8. 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，可得函数在上单调递减，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为对于任意的、，且，都有成立， 即都有成立， 在不等式两边同时除以可得， 移项有，构造函数， 则，所以函数在上单调递减， 当时，在上单调递增，不符合题意； 当时，若使得函数在上单调递减， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集为U，C是非空集合，在下列选项中，是的充要条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用韦恩图解决集合运算判断ABC，举反例排除D，从而得解. 【详解】因为全集为U，C是非空集合， 对于A，由韦恩图可知，当时，，故A错误； 对于B，由韦恩图可知，等价于，故B正确； 对于C，由韦恩图可知，等价于，故C正确； 对于D，当时，取， 此时，满足条件，但不成立，故D错误. 故选：BC. 10. 以下命题正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 若一次函数满足，则 C. 函数的值域为 D. 若函数，则对，，不等式恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：换元法，并通过对勾函数的单调性求最值； 选项B：利用待定系数法求出函数解析式，然后求； 选项C：利用换元法转化为二次函数求值域问题； 选项D：利用作差法比较大小即可. 【详解】选项A：令，则，可化为， 由对勾函数的单调性可知：函数在上单调递增， 当时，，即原式的最小值为，选项A错误； 选项B：设一次函数， 则， 故，解得：，故， ，选项B正确； 选项C：令，则，. 原函数变形为， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 当时，， 当时，， 故函数的值域为，选项C正确； 选项D：对，，， ， ， 故不等式恒成立，选项D正确. 11. 若，，且满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值是 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式，换元法和二次函数的最值计算得到结果； 【详解】对于A，基本不等式，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，最小值不是，B错误； 对于C，， 因为，所以， 令，由A知，， 二次函数，开口向上，对称轴， 所以最小值为，检验：， 方程，存在正数，C正确； 对于D，因为， 所以， 令， 所以 对勾函数，当且仅当取等号，的最小值为， 则，D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的非空真子集的个数是________ 【答案】14 【解析】 【分析】根据题意，逐一列举可得集合的元素个数，再由非空真子集个数的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】若，，则为的正约数， 则满足条件的取值为， 所以集合， 因为个元素，包含个子集，去掉空集和本身，则非空真子集个数为， 则集合的非空真子集的个数是. 13. 若函数的最大值为，最小值为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，通过平方去根号将函数转化为含二次式的形式，结合的取值范围求得的取值范围，进而得到的最值，最后计算比值. 【详解】要使函数有意义，需满足，解得. 平方去根号化简： 显然，对两边平方得： 由得，因此， 故，代入得。 结合，得，即，因此最大值，最小值， 故： . 14. 已知关于的不等式的解集中的整数解恰好有4个，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先整理不等式，分类讨论二次项系数界的答案； 【详解】不等式， 当，即时，抛物线开口向下，不等式解集是两根之外， 有无数个整数解，不符合题意，舍去； 当，即时，不等式，解集，有无数个整数解，不符合题意，舍去； 当，即时，不等式要有解，， 解得，所以，开口向上，不等式的解集在两根之间， 求方程的两根为， 不等式的解集为， 因为，所以，也就是说解集的正数从开始， 结合不等式解集中的整数解恰好有4个，所以，解得， 所以实数的取值范围是 第二卷 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若是的真子集，求实数的取值范围． 【答案】（1） . . （2） . 【解析】 【分析】(1)根据交并补的定义计算方法可得； (2)分空集和非空讨论即可. 【小问1详解】 对不等式移项通分得，等价于且，解得. 已知，故. ，因此. 【小问2详解】 分两类讨论集合：当时，需满足，即，空集为非空集合的真子集，符合要求. 当时，需满足即，结合是的真子集，需满足且，解得且.结合得. 由于不存在实数使得（需同时满足与，无公共解），故该区间内所有值均满足真子集要求. 综合两类情况，实数的取值范围是. 16. 若函数满足，． （1）求函数的表达式； （2）用定义法讨论函数在上的单调性； （3）设，，满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组，求解即可得解析式； （2）根据单调性定义判断并证明； （3）利用函数的单调性解不等式. 【小问1详解】 由题可知，解得， 所以； 【小问2详解】 任取，且， 则 ， 因为，所以， 即，所以函数在上单调递减； 【小问3详解】 因为，且在上单调递减， 所以在上单调递减， 则等价于，解得， 所以的取值范围为 17. 居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设AD长为. （1）现沿着休闲场所边界铺设灯带，总长度为64m，求花岗岩地坪面积z的最大值； （2）若十字形地域面积为，设总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式，当x为何值时S最小，并求出这个最小值. 【答案】（1） （2）,，（元） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式即可求解， （2）根据题意列出造价的表达式，即可利用基本不等式求解最值得解. 【小问1详解】 设，灯带长度即 花岗岩地坪面积 ，，， ，, 当且仅当时取等, 综上，面积最大值为 【小问2详解】 两个相同的矩形构成的面积为，，, 且（） ，矩形面积为，正方形面积为 ； ， 当且仅当，即时，（元） 故当，即时，总造价最小 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于的不等式； （3），使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可； （3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可. 【小问1详解】 不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不为； 当时，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 【小问2详解】 由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. 【小问3详解】 由题意整理得，使得不等式有解， 当时，解得，故使得不等式有解， 当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可， 因为的对称轴为，此时对称轴， 所以当，即时，， 整理得，结合可得此时； 当，即时，，结合可得此时； 当时，是开口向下的抛物线， 当时,所以当时，，使得不等式有解， 综上的取值范围为. 19. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倒域区间”．设函数，若，且函数的值域为． （1）求的解析式； （2）求在内的“倒域区间”； （3）将函数在内所有“倒域区间”上的图象作为函数的图象，是否存在实数，使集合恰有2个元素？若存在，求出的取值范围或值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意列出方程组，从而求解； （3）分析题意得出，从而只需考虑或两种情况；再根据（2）的结论求出，从而根据方程思想求的值． 【小问1详解】 由题可知，解得， 所以，所以； 【小问2详解】 设，在上单调递减， 所以，整理得， 即为方程在上的两个根，且， 所以， 所以在内的“倒域区间”为； 【小问3详解】 因为在时，函数值的取值区间恰为，其中， 所以，即同号，所以只需考虑，或， 当时，根据的性质知，的最大值为，， 所以，由（2）知在内的“倒域区间”为； 当，的最小值为，， 所以，同理知在内的“倒域区间”为， 所以， 依题意，抛物线与函数的图像有两个交点，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限， 因此，应当使方程在内恰有一个实数根， 并且使方程在内恰有一个实数根， 由方程在内恰有一根知； 由方程在内恰有一个根知， 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中部2026-2027学年度第一学期第一阶段考试 高一数学 （时间：120分钟 满分：150分） 第一卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，，则 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正数，满足，则的最小值是（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 5. 设集合，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 6. 一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 7. 已知命题，；命题，，若命题，有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集为U，C是非空集合，在下列选项中，是的充要条件的有（ ） A. B. C. D. 10. 以下命题正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 若一次函数满足，则 C. 函数的值域为 D. 若函数，则对，，不等式恒成立 11. 若，，且满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值是 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的非空真子集的个数是________ 13. 若函数的最大值为，最小值为，则的值为________． 14. 已知关于的不等式的解集中的整数解恰好有4个，则实数的取值范围是________． 第二卷 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若是的真子集，求实数的取值范围． 16. 若函数满足，． （1）求函数的表达式； （2）用定义法讨论函数在上的单调性； （3）设，，满足，求的取值范围． 17. 居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设AD长为. （1）现沿着休闲场所边界铺设灯带，总长度为64m，求花岗岩地坪面积z的最大值； （2）若十字形地域面积为，设总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式，当x为何值时S最小，并求出这个最小值. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于的不等式； （3），使得不等式有解，求实数的取值范围. 19. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倒域区间”．设函数，若，且函数的值域为． （1）求的解析式； （2）求在内的“倒域区间”； （3）将函数在内所有“倒域区间”上的图象作为函数的图象，是否存在实数，使集合恰有2个元素？若存在，求出的取值范围或值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $