周周练02 6.3～6.5 确定二次函数的表达式、二次函数与一元二次方程（数学新教材苏科版九年级下册）

2026-2027学年九年级下学期数学周周测02 6.3～6.5 确定二次函数的表达式、二次函数与一元二次方程 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．已知抛物线y1顶点坐标为（﹣1，2），且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线y1的解析式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+2 2．已知二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列说法正确的是（　　） A．图象经过原点 B．图象的顶点坐标为（﹣1，3） C．图象与x轴无公共点 D．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3） 3．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 4．将二次函数y＝2x2﹣4x+6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝2（x+1）2+8 B．y＝2（x+1）2+4 C．y＝2（x﹣1）2+8 D．y＝2（x﹣1）2+4 5．下表记录了二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值， x … ﹣5 ﹣1 3 … y … m m … 根据表中信息，当﹣5＜x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．﹣5＜k≤3 D．﹣5＜k＜3 6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 7．在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象判断，下列结论中正确的是（　　） A．当x≤3000时，y随x的增大而增大 B．当x＝1000时，y有最小值 C．当1000≤x≤3000时，y≤0.6 D．当x＝2000时，y有最大值 8．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论，其中正确的有（　　） ①b＜0； ②4ac﹣b2＜4a； ③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．将二次函数y＝x2﹣4x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为 _______________ ． 10．已知某二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线y＝2x2﹣x+5相同，且其顶点坐标是（﹣1，3），则该二次函数的表达式是 ________________ ． 11．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣2025﹣m）（2026+m﹣x）﹣5的图象向上平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝_____ ． 12．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，若该抛物线与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，方程ax2+bx+c＝0的解是_______________ ． 13．若抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+2m﹣1的图象的最低点的纵坐标为零，则m＝____________________ ． 14．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 _____ 米． 15．下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值，估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是_______________ ． x … 0.25 0.5 0.75 1 … y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 … 16．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 _____ s． 17．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度AB为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为_______ 米． 18．如图，抛物线y＝mx2+bx+4经过点A（﹣3，0），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO，则此抛物线的解析式是 ____________________ ． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）． （1）求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点； （2）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝1，求它与x轴的交点坐标． 20．（8分）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（﹣1，﹣4）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为____________ ； （3）将该抛物线向上平移________ 个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 21．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 22．（8分）平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（4，0）和B（﹣1，0），交y轴于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）将点C向右平移n个单位，再次落在二次函数图象上，求n的值； （3）对于这个二次函数，若自变量x的值增加4时，对应的函数值y增大，求满足题意的自变量x的取值范围． 23．（8分）如图，抛物线与直线y2＝x+b的交点为点A（﹣1，a）和点B． （1）求a、b的值及点B的坐标； （2）连接OA、OB，求△AOB的面积是多少？ （3）直接写出x为何值时，y1＞y2． 24．（8分）已知二次函数经过点A（﹣1，0），B（3，0），点C（0，3），横坐标分别为m﹣1，m，m+1的三点D、E、F在这条抛物线图象上，连接点D和点F的抛物线“片段”始终经过点C． （1）该二次函数解析式为 _______________ ； （2）求m的范围，并求线段DF的最小值； （3）求△DEF的面积． 25．（8分）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元． （1）降价后每件T恤衫的利润为___________ 元，平均每天可多售出_______ 件（用含x的代数式表示）； （2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ （3）每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 26．（8分）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度y（m）与距投掷点的水平距离x（m）之间的函数表达式为y＝ax2x+2（a＜0）． （1）当投掷的距离为8m时，求a的值； （2）当5＜x＜6时，铅球处于下落状态，求a的取值范围； （3）当2≤x≤4时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为0.4m，求a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下学期数学周周测02 6.3～6.5 确定二次函数的表达式、二次函数与一元二次方程 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．已知抛物线y1顶点坐标为（﹣1，2），且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线y1的解析式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+2 【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式． 【解答】解：设抛物线y1为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可得：a＝1， ∴将（﹣1，2）代入可得y＝（x+1）2+2． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 2．已知二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列说法正确的是（　　） A．图象经过原点 B．图象的顶点坐标为（﹣1，3） C．图象与x轴无公共点 D．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3） 【分析】根据二次函数的解析式，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3， ∴该函数图象过（0，﹣5），故选项A错误，不符合题意； 该函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3），故选项B错误，不符合题意； 当y＝0时，0＝﹣2（x+1）2﹣3，该方程无解，即该函数图象与x轴无公共点，故选项C正确，符合题意； 当x＝0时，y＝﹣5，即该函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣5），故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润． 【解答】解：根据题意可得：y＝（40+x﹣35）（200﹣5x）＝（x+5）（200﹣5x）， 故选：C． 【点评】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个”． 4．将二次函数y＝2x2﹣4x+6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝2（x+1）2+8 B．y＝2（x+1）2+4 C．y＝2（x﹣1）2+8 D．y＝2（x﹣1）2+4 【分析】利用配方法整理即可得解． 【解答】解：y＝2x2﹣4x+6 ＝2（x2﹣2x+1）+4 ＝2（x﹣1）2+4， 即y＝2（x﹣1）2+4． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化，主要利用了配方法． 5．下表记录了二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值， x … ﹣5 ﹣1 3 … y … m m … 根据表中信息，当﹣5＜x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．﹣5＜k≤3 D．﹣5＜k＜3 【分析】先由表格中x＝﹣5和x＝3时y值相等，可知对称轴为x＝﹣1，结合对称轴公式得出b＝2a，再结合x＝﹣1时，可求出二次函数解析式，根据二次函数的解析式可得其顶点及与y轴的交点，从而得到答案． 【解答】解：∵点（﹣5，m）和（3，m）关于对称轴对称， ∴对称轴， ∴， ∴b＝2a， ∴y＝ax2+bx+3化简为y＝ax2+2ax+3． 当x＝﹣1时，，抛物线经过点， 得：， ， ∴，， ∴， ∵， ∴二次函数开口向上， 当﹣5＜x＜0时， 当x＝0时，y＝3， 当x＝﹣5时，y＝8， 当x＝﹣1时，有最小值， ∵直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：B． 【点评】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 【分析】结合图象可得答案． 【解答】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．解：∵对于二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），令x＝0，则y＝c， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与y轴的交点为（0，c）， ∵对于一次函数y＝mx+n，令x＝0，则y＝n， ∴一次函数y＝mx+n的图象与y轴的交点为（0，n）， ∵两个图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上， c＝n． 则不等式ax2+bx﹣mx≤0可变形为ax2+bx+c﹣mx≤c，即ax2+bx+c≤mx+n， ∴由图象可得，它的解集是﹣3≤x≤0． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．将二次函数y＝x2﹣4x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为 y＝（x﹣2）2﹣2　 ． 【分析】直接利用配方法确定答案即可． 【解答】解：y＝x2﹣4x+2＝x2﹣4x+4﹣4+2＝（x﹣2）2﹣2， 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2． 【点评】本题考查了二次函数的解析式之一般式化为顶点式，利用配方法整理求解即可．解题的关键在于利用配方法先提出二次项的系数，凑成完全平方式． 8．已知某二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线y＝2x2﹣x+5相同，且其顶点坐标是（﹣1，3），则该二次函数的表达式是 y＝2（x+1）2+3　 ． 【分析】先设顶点式为y＝a（x+1）2+3，然后根据二次函数的性质确定a＝2，从而得到所求抛物线解析式． 【解答】解：∵抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）， ∴抛物线解析式可设为y＝a（x+1）2+3， ∵抛物线y＝a（x+1）2+3的形状、开口方向与抛物线y＝2x2﹣x+5相同， ∴a＝2， ∴所求抛物线解析式为y＝2（x+1）2+3． 故答案为：y＝2（x+1）2+3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 9．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣2025﹣m）（2026+m﹣x）﹣5的图象向上平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝　1　 ． 【分析】将二次函数y＝（x﹣2025﹣m）（2026+m﹣x）﹣5的图象向上平移5个单位长度，所得的抛物线为y＝（x﹣2025﹣m）（2026+m﹣x），进而可得点P，Q的坐标，从而可得答案． 【解答】解：将二次函数y＝（x﹣2025﹣m）（2026+m﹣x）﹣5的图象向上平移5个单位长度，所得的抛物线为y＝（x﹣2025﹣m）（2026+m﹣x）， 令（x﹣2025﹣m）（2026+m﹣x）＝0， 得x1＝2025+m，x2＝2026+m， ∴PQ＝2026+m﹣（2025+m）＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，若该抛物线与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝5　 ． 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0的解求解即可． 【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，该抛物线与x轴的一个交点为（5，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴由图象可知，方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝5， 故答案为：x1＝﹣1，x2＝5． 【点评】本题主要考查了，二次函数的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 11．若抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+2m﹣1的图象的最低点的纵坐标为零，则m＝　　 ． 【分析】依题意，令抛物线顶点的纵坐标是0，根据顶点纵坐标公式列出方程，从而解出m值． 【解答】解：根据题意，根据函数的顶点的坐标公式得， 0， 解得m， 又抛物线有最低点，图象开口向上， ∴m﹣1＞0，即m＞1， ∴m． 【点评】本题考查求顶点纵坐标的公式和抛物线的形状与二次函数系数的关系． 12．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 　9　 米． 【分析】取y＝0，求得x的值，取正值，即为小明将铅球推出的距离． 【解答】解：当y＝0时， （x﹣3）2+4＝0， （x﹣3）2＝36， x﹣3＝6或x﹣3＝﹣6， ∴x1＝9，x2＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故答案为：9． 【点评】本题考查二次函数的应用．理解小明将铅球推出的距离为函数值为0时x的合适的取值是解决本题的关键． 13．下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值，估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是　0.5＜x＜0.75　 ． x … 0.25 0.5 0.75 1 … y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 … 【分析】通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【解答】解：方程ax2+bx+c＝0的解即为函数y＝ax2+bx+c的零点． 由表格数据可知，当x＝0.75时，y＝1.31＞0，当x＝0.5时，y＝﹣0.25＜0， 由于函数连续，故在x＝0.5与x＝0.75之间必然存在一点使y＝0， 因此0.5＜x＜0.75． 故答案为：0.5＜x＜0.75． 【点评】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 14．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 　4　 s． 【分析】先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的对称性可得出结论． 【解答】解：对称轴方程为：， ∵抛物线与x轴的一个交点横坐标为0， ∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为2×2＝4， ∴足球从踢出到落地所需的时间是4s． 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 【分析】（1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值． （2）根据图象即可求出y的取值范围． （3）设P（x，y），△PAB的高为|y|，AB＝4，由S△PAB＝10列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3 ∴顶点坐标为：（1，4） （2）由于抛物线的对称轴为：x＝1， ∴0＜x＜3时， ∴0＜y≤4 （3）设P（x，y） ∴△PAB的高为|y|， ∵A（﹣1，0）、B（3，0） ∴AB＝4 ∵S△PAB＝10， ∴4×|y|＝10 ∴y＝±5， 当y＝5时， ∴5＝﹣x2+2x+3 此时方程无解， 当y＝﹣5时， ∴﹣5＝﹣x2+2x+3， 解得：x＝4或x＝﹣2， ∴P（4，﹣5）或（﹣2，﹣5） 【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，解方程等知识，属于中等题型． 16．（10分）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元． （1）降价后每件T恤衫的利润为　（30﹣x）　 元，平均每天可多售出　4x 件（用含x的代数式表示）； （2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ （3）每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可； （3）设利润为w元，根据总利润等于单件利润乘以销量建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元．则： 由题意，降价后的每件T恤衫的利润为（30﹣x）元，平均每天可多售出4x件； 故答案为：（30﹣x），4x； （2）由题意，得：（30﹣x）（40+4x）＝1500， 解得：x＝5或x＝15， ∵为了尽快减少库存、增加盈利， ∴x＝15； 答：每件T恤衫应降价15元． （3）设利润为w元，由题意得： w＝（30﹣x）（40+4x）＝﹣4x2+80x+1200＝﹣4（x﹣10）2+1600， ∵﹣4＜0， ∴当x＝10时，使每天获得的利润最大， ∴每件应降价10元． 【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，找准等量关系，正确地列出方程或函数表达式是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下学期数学周周测02 6.3～6.5 确定二次函数的表达式、二次函数与一元二次方程 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．已知抛物线y1顶点坐标为（﹣1，2），且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线y1的解析式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+2 2．已知二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列说法正确的是（　　） A．图象经过原点 B．图象的顶点坐标为（﹣1，3） C．图象与x轴无公共点 D．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3） 3．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 4．将二次函数y＝2x2﹣4x+6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝2（x+1）2+8 B．y＝2（x+1）2+4 C．y＝2（x﹣1）2+8 D．y＝2（x﹣1）2+4 5．下表记录了二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值， x … ﹣5 ﹣1 3 … y … m m … 根据表中信息，当﹣5＜x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．﹣5＜k≤3 D．﹣5＜k＜3 6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．将二次函数y＝x2﹣4x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为 _______________ ． 8．已知某二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线y＝2x2﹣x+5相同，且其顶点坐标是（﹣1，3），则该二次函数的表达式是 ________________ ． 9．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣2025﹣m）（2026+m﹣x）﹣5的图象向上平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝_____ ． 10．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，若该抛物线与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，方程ax2+bx+c＝0的解是_______________ ． 11．若抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+2m﹣1的图象的最低点的纵坐标为零，则m＝____________________ ． 12．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 _____ 米． 13．下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值，估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是_______________ ． x … 0.25 0.5 0.75 1 … y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 … 14．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 _____ s． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 16．（10分）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元． （1）降价后每件T恤衫的利润为___________ 元，平均每天可多售出_______ 件（用含x的代数式表示）； （2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ （3）每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下学期数学周周测02 6.3～6.5 确定二次函数的表达式、二次函数与一元二次方程 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．已知抛物线y1顶点坐标为（﹣1，2），且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线y1的解析式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+2 【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式． 【解答】解：设抛物线y1为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可得：a＝1， ∴将（﹣1，2）代入可得y＝（x+1）2+2． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 2．已知二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列说法正确的是（　　） A．图象经过原点 B．图象的顶点坐标为（﹣1，3） C．图象与x轴无公共点 D．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3） 【分析】根据二次函数的解析式，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3， ∴该函数图象过（0，﹣5），故选项A错误，不符合题意； 该函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3），故选项B错误，不符合题意； 当y＝0时，0＝﹣2（x+1）2﹣3，该方程无解，即该函数图象与x轴无公共点，故选项C正确，符合题意； 当x＝0时，y＝﹣5，即该函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣5），故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润． 【解答】解：根据题意可得：y＝（40+x﹣35）（200﹣5x）＝（x+5）（200﹣5x）， 故选：C． 【点评】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个”． 4．将二次函数y＝2x2﹣4x+6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝2（x+1）2+8 B．y＝2（x+1）2+4 C．y＝2（x﹣1）2+8 D．y＝2（x﹣1）2+4 【分析】利用配方法整理即可得解． 【解答】解：y＝2x2﹣4x+6 ＝2（x2﹣2x+1）+4 ＝2（x﹣1）2+4， 即y＝2（x﹣1）2+4． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化，主要利用了配方法． 5．下表记录了二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值， x … ﹣5 ﹣1 3 … y … m m … 根据表中信息，当﹣5＜x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．﹣5＜k≤3 D．﹣5＜k＜3 【分析】先由表格中x＝﹣5和x＝3时y值相等，可知对称轴为x＝﹣1，结合对称轴公式得出b＝2a，再结合x＝﹣1时，可求出二次函数解析式，根据二次函数的解析式可得其顶点及与y轴的交点，从而得到答案． 【解答】解：∵点（﹣5，m）和（3，m）关于对称轴对称， ∴对称轴， ∴， ∴b＝2a， ∴y＝ax2+bx+3化简为y＝ax2+2ax+3． 当x＝﹣1时，，抛物线经过点， 得：， ， ∴，， ∴， ∵， ∴二次函数开口向上， 当﹣5＜x＜0时， 当x＝0时，y＝3， 当x＝﹣5时，y＝8， 当x＝﹣1时，有最小值， ∵直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：B． 【点评】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 【分析】结合图象可得答案． 【解答】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．解：∵对于二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），令x＝0，则y＝c， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与y轴的交点为（0，c）， ∵对于一次函数y＝mx+n，令x＝0，则y＝n， ∴一次函数y＝mx+n的图象与y轴的交点为（0，n）， ∵两个图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上， c＝n． 则不等式ax2+bx﹣mx≤0可变形为ax2+bx+c﹣mx≤c，即ax2+bx+c≤mx+n， ∴由图象可得，它的解集是﹣3≤x≤0． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7．在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象判断，下列结论中正确的是（　　） A．当x≤3000时，y随x的增大而增大 B．当x＝1000时，y有最小值 C．当1000≤x≤3000时，y≤0.6 D．当x＝2000时，y有最大值 【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得解． 【解答】解：由函数的图象可得，抛物线的对称轴是直线x2000， 又∵抛物线的开口向下， ∴当x＜2000时，y随x的增大而增大；当x＞2000时，y随x的增大而减小；当x＝2000时，y取最大值，故A、B错误，D正确． 又根据函数图象可得，当1000≤x≤3000时，y≥0.6，故C错误． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 8．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论，其中正确的有（　　） ①b＜0； ②4ac﹣b2＜4a； ③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据图象经过（1，1），c＜0，且抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，判断出抛物线的开口向下，即a＜0，再把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即可判断①错误；②先得出抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，得出1，根据4a＜0，利用不等式的性质即可得出4ac﹣b2＜4a，即可判断②正确；③先得出抛物线对称轴在直线 x＝1.5 的右侧，得出（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，根据a＜0，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，求出a＝c，根据根与系数的关系得出 mn1，即 n，根据 n≥3，得出 3 求出m的取值范围，即可判断④正确． 【解答】解：①图象经过（1，1），c＜0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点 都在（1，0）的左侧， ∵（n，0）中n≥3， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧， ∴抛物线的开口一定向下，即a＜0， 把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得：a+b+c＝1， 即b＝1﹣a﹣c， ∵a＜0，c＜0， ∴b＞0， 故①错误； ②∵a＜0，b＞0，c＜0，0， ∴方程ax2+bx+c＝0的两个根的积大于0， 即mn＞0， ∵n≥3， ∴m＞0， ∴1.5， 即抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧， ∴抛物线的顶点在点（1，1）的上方或者右上方， ∴1， ∵4a＜0， ∴4ac﹣b2＜4a， 故②正确； ③∵m＞0， ∴当 n＝3 时，1.5， ∴抛物线对称轴在直线x＝1.5的右侧， ∴（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离， ∵a＜0，抛物线开口向下， ∴距离抛物线越近的函数值越大， ∴t＞1， 故③正确； ④方程ax2+bx+c＝x可变为ax2+（b﹣1）x+c＝0， ∵方程有两个相等的实数解， ∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0． ∵把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c， ∴（a+c）2﹣4ac＝0， 即a2+2ac+c2﹣4ac＝0， ∴（a﹣c）2＝0， ∴a﹣c＝0， 即a＝c， ∵（m，0），（n，0）在抛物线上， ∴m，n为方程 ax2+bx+c＝0 的两个根， ∴mn1， ∴n， ∵n≥3， ∴， ∴0． 故④正确． 综上，正确的结论有：②③④． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合法，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．将二次函数y＝x2﹣4x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为 y＝（x﹣2）2﹣2　 ． 【分析】直接利用配方法确定答案即可． 【解答】解：y＝x2﹣4x+2＝x2﹣4x+4﹣4+2＝（x﹣2）2﹣2， 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2． 【点评】本题考查了二次函数的解析式之一般式化为顶点式，利用配方法整理求解即可．解题的关键在于利用配方法先提出二次项的系数，凑成完全平方式． 10．已知某二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线y＝2x2﹣x+5相同，且其顶点坐标是（﹣1，3），则该二次函数的表达式是 y＝2（x+1）2+3　 ． 【分析】先设顶点式为y＝a（x+1）2+3，然后根据二次函数的性质确定a＝2，从而得到所求抛物线解析式． 【解答】解：∵抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）， ∴抛物线解析式可设为y＝a（x+1）2+3， ∵抛物线y＝a（x+1）2+3的形状、开口方向与抛物线y＝2x2﹣x+5相同， ∴a＝2， ∴所求抛物线解析式为y＝2（x+1）2+3． 故答案为：y＝2（x+1）2+3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 11．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣2025﹣m）（2026+m﹣x）﹣5的图象向上平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝　1　 ． 【分析】将二次函数y＝（x﹣2025﹣m）（2026+m﹣x）﹣5的图象向上平移5个单位长度，所得的抛物线为y＝（x﹣2025﹣m）（2026+m﹣x），进而可得点P，Q的坐标，从而可得答案． 【解答】解：将二次函数y＝（x﹣2025﹣m）（2026+m﹣x）﹣5的图象向上平移5个单位长度，所得的抛物线为y＝（x﹣2025﹣m）（2026+m﹣x）， 令（x﹣2025﹣m）（2026+m﹣x）＝0， 得x1＝2025+m，x2＝2026+m， ∴PQ＝2026+m﹣（2025+m）＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，若该抛物线与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝5　 ． 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0的解求解即可． 【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，该抛物线与x轴的一个交点为（5，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴由图象可知，方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝5， 故答案为：x1＝﹣1，x2＝5． 【点评】本题主要考查了，二次函数的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 13．若抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+2m﹣1的图象的最低点的纵坐标为零，则m＝　　 ． 【分析】依题意，令抛物线顶点的纵坐标是0，根据顶点纵坐标公式列出方程，从而解出m值． 【解答】解：根据题意，根据函数的顶点的坐标公式得， 0， 解得m， 又抛物线有最低点，图象开口向上， ∴m﹣1＞0，即m＞1， ∴m． 【点评】本题考查求顶点纵坐标的公式和抛物线的形状与二次函数系数的关系． 14．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 　9　 米． 【分析】取y＝0，求得x的值，取正值，即为小明将铅球推出的距离． 【解答】解：当y＝0时， （x﹣3）2+4＝0， （x﹣3）2＝36， x﹣3＝6或x﹣3＝﹣6， ∴x1＝9，x2＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故答案为：9． 【点评】本题考查二次函数的应用．理解小明将铅球推出的距离为函数值为0时x的合适的取值是解决本题的关键． 15．下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值，估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是　0.5＜x＜0.75　 ． x … 0.25 0.5 0.75 1 … y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 … 【分析】通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【解答】解：方程ax2+bx+c＝0的解即为函数y＝ax2+bx+c的零点． 由表格数据可知，当x＝0.75时，y＝1.31＞0，当x＝0.5时，y＝﹣0.25＜0， 由于函数连续，故在x＝0.5与x＝0.75之间必然存在一点使y＝0， 因此0.5＜x＜0.75． 故答案为：0.5＜x＜0.75． 【点评】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 16．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 　4　 s． 【分析】先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的对称性可得出结论． 【解答】解：对称轴方程为：， ∵抛物线与x轴的一个交点横坐标为0， ∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为2×2＝4， ∴足球从踢出到落地所需的时间是4s． 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 17．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度AB为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为　40　 米． 【分析】先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点A（﹣40，0）在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将y＝150代入求出x的值，即可得CD的长． 【解答】解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ∴A（﹣40，0），E（0，200）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+200， 将A（﹣40，0）代入y＝ax2+200， 得0＝a×（﹣40）2+200， 解得， ∴抛物线的解析式为， 将y＝150代入得：， 解得：x＝±20， ∴C（﹣20，150），D（20，150）， ∴CD＝20﹣（﹣20）＝40（米）， 故答案为：40． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键． 18．如图，抛物线y＝mx2+bx+4经过点A（﹣3，0），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO，则此抛物线的解析式是 　　 ． 【分析】由平行、平分条件及勾股定理，可得BC＝AC＝5，再由二次函数的性质得点B的坐标，由待定系数法即可求解． 【解答】解：在y＝mx2+bx+4中，令x＝0，得y＝4， ∴C（0，4），即OC＝4； ∵A（﹣3，0）， ∴OA＝3， 由勾股定理得：； ∵CB∥x轴， ∴∠CBA＝∠BAO； ∵AB平分∠CAO， ∴∠CAB＝∠BAO， ∴∠CAB＝∠CBA， ∴BC＝AC＝5； ∵CB∥x轴， ∴B（5，4）； 把A、B两点坐标代入y＝mx2+bx+4中， 得，解得：， ∴； 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，涉及到勾股定理，等腰三角形的判定，熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）． （1）求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点； （2）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝1，求它与x轴的交点坐标． 【分析】（1）先整理Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×[﹣（2k+1）]＝4（k+1）2，结合无论k为何值时，（k+1）2≥0，即可证明无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点； （2）整理得y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）的对称轴为直线，结合对称轴为直线x＝1，得出k＝1，再代入y＝x2﹣2kx﹣（2k+1），得y＝x2﹣2x﹣3，然后令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，最后解得x1＝3，x2＝﹣1，即可作答． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）， ∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×[﹣（2k+1）] ＝4k2+8k+4 ＝4（k2+2k+1） ＝4（k+1）2， ∴Δ＝4（k+1）2≥0， 即无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点． （2）∵y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）图象的对称轴为直线x＝1， ∴k＝1， 即y＝x2﹣2×1×x﹣（2×1+1）＝x2﹣2x﹣3， 依题意，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x﹣3）（x+1）＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴它与x轴的交点坐标分别为（3，0），（﹣1，0）． 【点评】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 20．（8分）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（﹣1，﹣4）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为　﹣4≤y＜12　 ； （3）将该抛物线向上平移　3或4　 个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 【分析】（1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可； （2）抛物线开口向上，有最小值，在﹣5＜x＜0范围内，有最小值是﹣4，求出当x＝﹣5时，y＝12，结合函数图象可得y的取值范围； （3）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可． 【解答】解：（1）根据题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2﹣4． 将（1，0）代入y＝a（x+1）2﹣4，得，a×（1+1）2﹣4＝0， 解得a＝1， ∴y＝（x+1）2﹣4． （2）当x＝﹣5时，y＝12， ∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）， ∴y的最小值为﹣4， ∴当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜12 故答案为：﹣4≤y＜12； （3）当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得y＝（x+1）2， ∴与x轴只有一个交点即（﹣1，0）， 当x＝0时，y＝1， ∴与y轴有一个交点即（0，1）， 符合题意； 当与原点相交时，y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3，向上平移3个单位长度， 函数解析式为：y＝x2+2x， 当y＝0时，x2+2x＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝0， 所得交点为（﹣2，0），（0，0），符合题意； ∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 故答案为：3或4． 【点评】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数图象的平移，解题的关键是正确地求得解析式． 21．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 【分析】（1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值． （2）根据图象即可求出y的取值范围． （3）设P（x，y），△PAB的高为|y|，AB＝4，由S△PAB＝10列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3 ∴顶点坐标为：（1，4） （2）由于抛物线的对称轴为：x＝1， ∴0＜x＜3时， ∴0＜y≤4 （3）设P（x，y） ∴△PAB的高为|y|， ∵A（﹣1，0）、B（3，0） ∴AB＝4 ∵S△PAB＝10， ∴4×|y|＝10 ∴y＝±5， 当y＝5时， ∴5＝﹣x2+2x+3 此时方程无解， 当y＝﹣5时， ∴﹣5＝﹣x2+2x+3， 解得：x＝4或x＝﹣2， ∴P（4，﹣5）或（﹣2，﹣5） 【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，解方程等知识，属于中等题型． 22．（8分）平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（4，0）和B（﹣1，0），交y轴于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）将点C向右平移n个单位，再次落在二次函数图象上，求n的值； （3）对于这个二次函数，若自变量x的值增加4时，对应的函数值y增大，求满足题意的自变量x的取值范围． 【分析】（1）根据交点式得y＝（x+4）（x﹣1），展开即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线的对称性即可求得； （3）分三种情况讨论，即可求得满足题意的自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（4，0）和B（﹣1，0）， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x+1）， 即y＝x2﹣3x﹣4； （2）由y＝x2﹣3x﹣4可知C（0，﹣4），对称轴为直线x， 设点C向右平移n个单位，所得的点为D， ∵点D落在二次函数图象上， ∴点C、D关于对称轴对称， ∴D（3，﹣4）， ∴n＝3； （3）依题意，当自变量取x+4时的函数值，大于自变量取x时的函数值， ①当x＜x+4时，函数值y随x的增大而减小，与题意不符； ②xx+4时，需x＜x+4，方可满足题意， 解得x； ③x＜x+4时，函数值y随x的增大而增大，符合题意，此时x， 综上，自变量x的取值范围是x． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，坐标与图形的变换﹣平移，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键． 23．（8分）如图，抛物线与直线y2＝x+b的交点为点A（﹣1，a）和点B． （1）求a、b的值及点B的坐标； （2）连接OA、OB，求△AOB的面积是多少？ （3）直接写出x为何值时，y1＞y2． 【分析】（1）将A（﹣1，a）代入即可得出a的值，从而得出A（﹣1，1），再将A（﹣1，1）代入y2＝x+b即可得出b的值，联立，即可得出点B的坐标； （2）令直线AB交y轴于C，先求出点C的坐标，从而得出OC的长，再根据计算即可得解； （3）由（1）可得A（﹣1，1），B（2，4），再结合函数图象即可得解． 【解答】解：（1）由题意，将A（﹣1，a）代入， ∴a＝（﹣1）2＝1． ∴A（﹣1，1）． 将A（﹣1，1）代入y2＝x+b， ∴﹣1+b＝1． ∴b＝2． ∴直线AB的解析式为：y2＝x+2． 又联立方程组， ∴或． ∴B（2，4）． （2）如图：令直线AB交y轴于C， 在y2＝x+2中，令x＝0，则y＝2， ∴C（0，2）． ∴OC＝2． ∴； （3）由（1）可得：A（﹣1，1），B（2，4）， 又∵y1＞y2． ∴满足题意的自变量x的取值范围是二次函数图象在一次函数图象下方对应的部分． ∴结合图象可得：当x＜﹣1或x＞2时，y1＞y2． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、三角形面积公式，熟练掌握二次函数与一次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 24．（8分）已知二次函数经过点A（﹣1，0），B（3，0），点C（0，3），横坐标分别为m﹣1，m，m+1的三点D、E、F在这条抛物线图象上，连接点D和点F的抛物线“片段”始终经过点C． （1）该二次函数解析式为 y＝﹣x2+2x+3　 ； （2）求m的范围，并求线段DF的最小值； （3）求△DEF的面积． 【分析】（1）依据题意，由待定系数法计算可以得解； （2）依据题意，由抛物线为y＝﹣x2+2x+3，则对称轴为直线x＝1，结合C（0，3）在抛物线上，且连接D，F的抛物线片段经过点C，从而点C的横坐标0介于点D和点F的横坐标之间，又xP＝m﹣1，xF＝m+1，从而m﹣1＜0＜m+1，则﹣1＜m＜1，又D（m﹣1，﹣m2+4m），F（m+1，﹣m2+4），故根据两点间距离公式得：DF，进而当m无限趋近于1时，DF取得最小值，最小值为2，即可得解； （3）依据题意，设直线DF的解析式为 y＝kx+b，又将D（m﹣1，﹣m2+4m），F（m+1，﹣m2+4）代入得：，可得k＝2﹣2m，b＝m2+2，故直线DF的解析式为y＝（2﹣2m）x+m2+2，从而当x＝m时，直线DF上对应点G的纵坐标为：，又点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），故铅垂高h＝yE﹣yG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m2+2m+2），可得 1，即可得解． 【解答】解：（1）由题意，设y＝ax2+bx+c， ∵二次函数经过点A（﹣1，0），B（3，0），点C（0，3）， ∴． ∴a＝﹣1，b＝2，c＝3． ∴y＝﹣x2+2x+3． 故答案为：y＝﹣x2+2x+3； （2）由题意，∵抛物线为y＝﹣x2+2x+3， ∴对称轴为直线x＝1． 点C（0，3）在抛物线上，且连接D，F的抛物线片段经过点C， ∴点C的横坐标0介于点D和点F的横坐标之间． ∵xP＝m﹣1，xF＝m+1， ∴m﹣1＜0＜m+1，则﹣1＜m＜1． 由D（m﹣1，﹣m2+4m），F（m+1，﹣m2+4）， ∴根据两点间距离公式得：DF， ∴当m无限趋近于1时，DF取得最小值，最小值为2． ∴﹣1＜m＜1，线段DF的最小值为2； （3）由题意，设直线DF的解析式为 y＝kx+b． 将D（m﹣1，﹣m2+4m），F（m+1，﹣m2+4）代入得：， ∴k＝2﹣2m，b＝m2+2． ∴直线DF的解析式为y＝（2﹣2m）x+m2+2． 当x＝m时，直线DF上对应点G的纵坐标为：． ∵点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， ∴铅垂高h＝yE﹣yG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m2+2m+2）， ∴ 1． 答：△DEF的面积为1． 25．（8分）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元． （1）降价后每件T恤衫的利润为　（30﹣x）　 元，平均每天可多售出　4x 件（用含x的代数式表示）； （2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ （3）每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可； （3）设利润为w元，根据总利润等于单件利润乘以销量建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元．则： 由题意，降价后的每件T恤衫的利润为（30﹣x）元，平均每天可多售出4x件； 故答案为：（30﹣x），4x； （2）由题意，得：（30﹣x）（40+4x）＝1500， 解得：x＝5或x＝15， ∵为了尽快减少库存、增加盈利， ∴x＝15； 答：每件T恤衫应降价15元． （3）设利润为w元，由题意得： w＝（30﹣x）（40+4x）＝﹣4x2+80x+1200＝﹣4（x﹣10）2+1600， ∵﹣4＜0， ∴当x＝10时，使每天获得的利润最大， ∴每件应降价10元． 【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，找准等量关系，正确地列出方程或函数表达式是解题的关键． 26．（8分）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度y（m）与距投掷点的水平距离x（m）之间的函数表达式为y＝ax2x+2（a＜0）． （1）当投掷的距离为8m时，求a的值； （2）当5＜x＜6时，铅球处于下落状态，求a的取值范围； （3）当2≤x≤4时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为0.4m，求a的值． 【分析】（1）根据题意可知当投掷的距离为8m时，铅球落地，即x＝8时，y＝0，然后将点（8，0）代入二次函数解析式即可求出a的值； （2）由题意可知抛物线对称轴直线在x＝5的左侧，且当x＝6时，，然后列出不等式组求解即可； （3）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意可知，当投掷的距离为8m时，铅球落地，即x＝8时，y＝0， 将点（8，0）代入，得： ， 解得． （2）∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∵当5＜x＜6时，铅球处于下落状态， ∴抛物线的对称轴直线，且当x＝6时，， 解得：． （3）， ∴抛物线的对称轴为直线， 分三种情况： 当对称轴时，即，在2≤x≤4时，y随着x的增大而减小， 此时即当x＝2时，， 当x＝4时，， 根据题意可知：4a+3.6﹣（16a+5.2）＝0.4， 解得，（舍去）， 当对称轴时，即，当2≤x≤4时，y随着x的增大而增大， 即当x＝2时，， 当x＝4时，， 根据题意可知：16a+5.2﹣（4a+3.6）＝0.4， 解得， 当时，即， 当x＝4时离对称轴直线较x＝2时离对称轴直线远时， 则当x＝4时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得（舍去）或． 当x＝4时离对称轴直线较x＝2时离对称轴直线近时， 则当x＝2时， 当时，， 根据题意可知：， 解得（舍去）或（舍去）， 综上：或． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $