6.4 用二次函数解决问题（第1课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级下册

年级

九年级

学科

数学

课型

新授课

教材

苏科版九年级下册

教学目标

1.能根据实际问题中的数量关系列出二次函数表达式并确定自变量的取值范围，解决实际问题中的最值问题。

2.会用配方法或顶点公式求二次函数的最大（小）值。

教学重点

根据实际数量关系列二次函数表达式，确定自变量取值范围，并用配方法或顶点公式求最值。

教学难点

从实际情境中抽象数量关系并正确列式，尤其是几何变式中边长表示与范围确定；

检验顶点横坐标是否在实际范围内，并将数学结果还原为实际问题的答案。

教材分析

本节教学内容源于苏科版九年级下册第六章《二次函数》第四节《用二次函数解决问题》（第1课时）。本课以小球匀变速直线运动情境引入，由表格确定 并求 时的距离；通过篱笆围矩形花园及一面靠墙变式，学习列二次函数解决几何面积最值问题；归纳“设变量—列函数—定范围—求顶点—检验—作答”的步骤；通过比萨斜塔自由落体和铁丝围两个正方形等练习巩固代入求值与最值应用。

本课是二次函数应用的第一课时，核心是从实际问题中抽象数量关系，建立二次函数模型，并用配方法或顶点公式求最值。小球问题体现由数据归纳函数关系、代入求值的应用逻辑；篱笆围园问题体现几何面积最值建模，变式通过“四面围”到“一面靠墙”的变化，突出自变量取值范围及顶点横坐标是否在范围内的检验。知识价值在于沟通函数、方程、几何与实际情境，发展建模意识和运算能力。教学重点是：根据数量关系列二次函数表达式，确定自变量实际取值范围，用配方法或顶点公式求最大（小）值，并回归实际作答；其中“列式”和“范围检验”是落实应用意识的关键。

学情分析

学生已具备用字母表示数、整式运算、一元一次方程建模等基础，并初步学习二次函数的图象与性质，对配方法和顶点公式已有一定认识。由表格观察小球距离与时间的关系、代入求值相对容易，概念归纳难度不大；但在几何面积问题中，学生易出现设元后邻边表示错误、忽略自变量实际范围、求出顶点后不检验等问题。尤其是“一面靠墙”变式中三边关系的变化，需要借助图形和问题链对比辨析。因此，本课应强化“设变量—列函数—定范围—求顶点—检验—作答”的完整流程，通过变式训练突破建模与范围检验难点。

教学过程

教学内容

设计意图

课堂导入

【创设情景，引入新课】

教师演示小球从光滑斜坡上由静止向下滚动的实验，出示数据表：

提问： 时，小球和起点的距离是多少？能否仅凭表格预测？若已知小球做匀变速直线运动，位移与时间满足 ，如何求 ？如何求任意时刻的距离？

学生观察数据，发现 随 增大且呈二次增长，尝试用待定系数法求表达式。

教师由此引出课题：用二次函数解决问题（1）。

用运动情境激发兴趣，由“预测未知时刻距离”明确学习方向：由实际数量关系列二次函数、确定范围并求值或最值；为后续建模与配方求最值作铺垫。

探究点1 由实际数据列二次函数并代入求值

【问题引入】

教师出示问题情境：如图，小球从光滑的斜坡上由静止向下滚动，各时刻的位置与起点的距离如下表所示。 时，小球和起点的距离是多少？

教师阶梯提问：

①小球做匀变速直线运动，位移与时间的关系式是什么？

②把 ， 代入能否求出 ？

③求出表达式后，如何求 时的距离？

学生读表、代入、计算，教师引导归纳“现实数据→函数模型→待定系数→代入求值”。

【师生活动】

教师演示代入消元过程，提问“先求什么？再求什么？”

学生分组用表中其他数据验证 ，如 时 ，体会模型与数据匹配。教师强调自变量实际意义：。

通过运动实例突破“由实际数量关系列二次函数并代入求值”的难点，培养数学建模和运算能力；用表格数据验证模型，增强函数模型意识。

【详细过程】

小球是做匀变速直线运动，根据匀变速直线运动中物体位移和时间的关系，小球和起点的距离 关于运动时间 的函数表达式为 。

根据上表，把 ， 代入，得 ， 解得 。

所以 。

把 代入 ，得 。

所以 时，小球和起点的距离是 。

【例题巩固】

比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔。据说物理学家伽利略曾在塔顶做过著名的自由落体实验。在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同，物体的下落距离 关于下落时间 的函数表达式为 （ 取 ）。已知比萨斜塔的高度为 ，试计算实验物大约经过多长时间落到地面（结果精确到 ）。

关键思路：先确定函数模型，再代入已知量求正时间。

解：把 ， 代入 ，得 ，

即 ，， 解得 （取 ）。

答：大约经过 落到地面。