精品解析：广东省东莞市松山湖北区学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期第一阶段自查检测 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷共1张4页．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答解答题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 考试结束后，只上交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将原方程根据乘法分配律计算，再移项可得一般形式． 【详解】解：将方程， 展开为， 移项化为一般形式：． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得， ∴原方程有两个不相等的实数根． 3. 若点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】直接把两点的坐标代入到二次函数的关系式中，解出与的值，比较即可． 【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为． 当时， 当时， 因为，所以． 4. 一元二次方程配方后可变形为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法；把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 5. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程中解答即可． 【详解】解：一元二次方程， ∴． 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的对称轴为直线，据此求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线． 7. 抛物线与x轴的交点坐标是（ ） A. B. 和 C. 和 D. 没有交点 【答案】C 【解析】 【分析】令，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 解得，， 所以抛物线与x轴的交点坐标为和． 8. 如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】比较两个函数值的大小，可先求出两图象交点的横坐标，以交点为分界点，判断抛物线在直线上方还是下方；由抛物线开口向上，可知其解集在两根之间． 【详解】解：联立两函数： ， 移项得， 即， 解得或． 当时，；当时，． 故两图象交于点和． 根据函数图象，可得，则的取值范围是． 9. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的高为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像下部高米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设雕像的下部高为x m，则上部长为（2﹣x）m，然后根据题意列出方程即可． 【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2﹣x）m， 由题意得：， 即， 整理得： 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出方程． 10. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④当时，y随x增大而减小；⑤；其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的顶点为得抛物线的对称轴为，即可判断①；由抛物线与x轴有两个交点，即可判断②；由抛物线与x轴的另一个交点在和之间，且抛物线开口向下，即可判断③；由抛物线开口向下，抛物线的对称轴为，即可判断④；由，，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为，即， ∴． ∴①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间， 又∵抛物线的对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴②错误； ∵抛物线与x轴的另一个交点在和之间，且抛物线开口向下， ∴当时，，即， ∴③正确； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为， ∴当时，y随x增大而减小， ∴④正确； ∵当时，， 又∵， ∴， ∴⑤错误； 综上：正确的结论有①③④，共3个． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的根是__________． 【答案】， 【解析】 【详解】解：方程， 整理得， 因式分解得， 则或， 解得，． 12. 将抛物线的图象向左平移3个单位后得到新的图象函数解析式是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将抛物线的图象向左平移3个单位后得到新的图象函数解析式是． 13. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，在中，对称轴为，顶点坐标为．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 14. 某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，若设增加了x行，则可列方程为 ___． 【答案】（6+x）（8+x）-6×8=51 【解析】 【分析】设增加了x行，则增加的列数为x，用增加后的总人数-原队伍的总人数=51列出方程即可． 【详解】解：设增加了x行，则增加的列数为x， 根据题意，得：（6+x）（8+x）-6×8=51， 故答案为：（6+x）（8+x）-6×8=51， 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 15. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．由抛物线图象可得，对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为，则抛物线与x轴的另一个交点是，根据二次函数的图象写出当时，x的取值范围即可． 【详解】解：由题意可得：对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点是， 当时，或． 故答案为：或． 三、解答题（一）(本大题3小题，16题两小题共10分，17、18题各7分，共24分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：整理得， ∴， ∴或， ∴，． 17. 已知二次函数，用配方法把该函数化为的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】，函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【详解】解：， 二次函数化为顶点式为， 则函数图象的对称轴为直线 顶点坐标为． 18. 已知关于x的方程的一个根为，求k的值及另一个根． 【答案】k的值为1，另一个根为−1 【解析】 【详解】解：已知方程的一个根为，代入方程： 得， 解得 将代入原方程得： 因式分解： 解得， ∴的值为，另一个根为． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3） （1）求抛物线的表达式； （2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2，求△AOD的面积． 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）． 【解析】 【分析】（1）把A，B，C三点坐标代入解析式求出a，b，c的值，即可求出函数解析式； （2）把x=﹣2代入抛物线解析式求出y的值，确定出D坐标，由OA为底，D纵坐标绝对值为高，求出三角形AOD面积即可． 【详解】（1）把A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c得： ， 解得：， 则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3； （2）把x=﹣2代入抛物线解析式得：y=5，即D（﹣2，5）， ∵A（3，0），即OA=3， ∴S△AOD=×3×5=． 20. 从甲地到乙地的火车原来的平均速度是100千米每小时，经过两次提速后平均速度为121千米每小时，这两次提速的百分率相同． （1）求该火车每次提速的百分率； （2）若甲乙两地铁路长220千米，求第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用了多少小时． 【答案】（1）10%；（2）0.2. 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据：原来速度×（1+增长率）2＝现在的速度，列出方程求解可得； （2）先求得第一次提速后的速度，然后分别求得原时间和现时间，二者相减即可求得少用时间． 【详解】解：（1）设该火车每次提速的百分率为x，根据题意得： 100（1+x）2＝121， 解得：x＝0.1＝10%或x＝﹣2.1（舍去） 答：该火车每次提速的百分比为10%； （2）∵第一次提速后火车的平均速度为100（1+10%）＝110千米/小时， ∴第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用的时间为：＝2.2﹣2＝0.2（小时）． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 21. 按要求完成下列各题： （1）已知，为方程的两根，求的值． （2）阅读材料：已知，，且．求的值． 解：由可知，∴．∴． 又，且，即， ∴m，是方程的两根．∴________．∴________． （3）根据阅读材料所提供的方法及（2）的方法完成下题的解答． 已知，且，求的值． 【答案】（1）6 （2）1，1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系得到，，进而根据完全平方公式变形求值即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到；对代数式变形即可； （3）同（2）可得，是方程的两个根，则，，结合完全平方公式的变形可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根之和为1，因此； 对代数式变形可得； 【小问3详解】 解：∵，且， ∴，，，， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 【数学活动】某中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图1，图2中，，），要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为． （1）小松同学很快完成了自己的设计（如图1），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽． （2）看了小松同学的设计，你能想出不同的设计方案吗？请利用图2大致画出草图，并求出你裁出的长方形卡片的长和宽． （3）如图1的方案中，当x取多长时，裁出的长方形卡片的面积最大？最大值是多少？ 【答案】（1）长方形卡片的长和宽分别为和或和 （2）根据题意画图如下： 长方形卡片的长和宽分别为和． （3）当 cm 时，面积最大，最大值为 ． 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理和等边对等角得到，，再由矩形的性质得到，则可证明和是等腰直角三角形，得到，设长为，则长为，再根据矩形面积公式列出方程求解即可； （2）先根据题意作图，设长方形的长为，则宽为，再根据矩形面积公式列出方程求解即可； （3）根据，利用二次函数的最值求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∵如图，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴， 设长为，则长为， 由题意，得， 整理，得， 解得，， ∴，， ∴长方形卡片的长和宽分别为和或和； 【小问2详解】 解：根据题意画图如下： 设长方形的长为，则宽为， 由题意，得， 整理得， 解得，． 经检验，，都符合题意． 当时，， 当时，， ∴长方形卡片的长和宽分别为和． 【小问3详解】 解：设长方形面积为 S， 则，是二次函数且开口向下， 对称轴为 将 代入得 答：当 cm 时，面积最大，最大值为 ． 23. 已知二次函数． （1）若二次函数图象的对称轴为直线，且函数有最小值，求b和c的值以及该函数的解析式； （2）若， ①求证：二次函数的图象和x轴有两个交点； ②若，点在该二次函数图象上，当时，的最小值是，求的值． 【答案】（1），， （2）① 证明：由得， ∴判别式， ∵， ∴， ∴二次函数的图象和轴有两个交点． ②的值为2 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式计算得出，根据函数的最小值为计算得出，从而得解； （2）①令得到一元二次方程，利用判别式来证明二次函数的图象和x轴有两个交点即可； ②根据和，将代入，得到关于的二次函数，求出对称轴和顶点坐标，根据二次函数的增减性进行计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的对称轴为： 即， 解得， ∵函数有最小值，即顶点纵坐标为 3： ∴当时，， 解得， ∴函数解析式为； 【小问2详解】 解：① 略； ②由于点在该二次函数图象上， 则， 由于，， 则，即， 所以， 当时，n的最小值是， 函数，开口向上，对称轴为， ∴第一种情况：当时，即， 当时，取最小值， 即， 整理得， 解得或（舍去）， 第二种情况：当，即时，当时，n随着m的增大而增大， 则当时，取最小值， 则， 解得，不符合题意，舍去 综上所述，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一阶段自查检测 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷共1张4页．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答解答题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 考试结束后，只上交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 3. 若点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 一元二次方程配方后可变形为( ) A. B. C. D. 5. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7. 抛物线与x轴的交点坐标是（ ） A. B. 和 C. 和 D. 没有交点 8. 如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的高为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像下部高米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④当时，y随x增大而减小；⑤；其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的根是__________． 12. 将抛物线的图象向左平移3个单位后得到新的图象函数解析式是____________． 13. 抛物线的顶点坐标是______． 14. 某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，若设增加了x行，则可列方程为 ___． 15. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 三、解答题（一）(本大题3小题，16题两小题共10分，17、18题各7分，共24分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数，用配方法把该函数化为的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标． 18. 已知关于x的方程的一个根为，求k的值及另一个根． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3） （1）求抛物线的表达式； （2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2，求△AOD的面积． 20. 从甲地到乙地的火车原来的平均速度是100千米每小时，经过两次提速后平均速度为121千米每小时，这两次提速的百分率相同． （1）求该火车每次提速的百分率； （2）若甲乙两地铁路长220千米，求第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用了多少小时． 21. 按要求完成下列各题： （1）已知，为方程的两根，求的值． （2）阅读材料：已知，，且．求的值． 解：由可知，∴．∴． 又，且，即， ∴m，是方程的两根．∴________．∴________． （3）根据阅读材料所提供的方法及（2）的方法完成下题的解答． 已知，且，求的值． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 【数学活动】某中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图1，图2中，，），要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为． （1）小松同学很快完成了自己的设计（如图1），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽． （2）看了小松同学的设计，你能想出不同的设计方案吗？请利用图2大致画出草图，并求出你裁出的长方形卡片的长和宽． （3）如图1的方案中，当x取多长时，裁出的长方形卡片的面积最大？最大值是多少？ 23. 已知二次函数． （1）若二次函数图象的对称轴为直线，且函数有最小值，求b和c的值以及该函数的解析式； （2）若， ①求证：二次函数的图象和x轴有两个交点； ②若，点在该二次函数图象上，当时，的最小值是，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $