精品解析：广东东莞市松山湖实验中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期第一次教学质量自查试卷 （九年级数学） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。 1. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 4、、1 B. 4、2、 C. 4、、 D. 4、2、1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；因此此题可根据“一元二次方程，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项”进行求解即可． 【详解】解：由方程可知：二次项系数、一次项系数、常数项分别为4、、1； 故选A． 2. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）. A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式. 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键. 4. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：利用配方法如下： ． 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键． 5. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的情况，掌握根的判别式，利用判断根的情况是解题的关键； 当，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当，方程无实数根，计算得出即可． 【详解】解：，，， ， ∴原方程无实数根． 故选：C． 6. 第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，深圳承办了青年组足球比赛．若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 7. 关于的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，随增大而增大 D. 与轴交于点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．由抛物线解析式可求得其顶点坐标、对称轴、开口方向，进一步可求得其最值及增减性． 【详解】解：， 抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为，当时，， A、B、D不正确； 对称轴为，且开口向上， 当时随的增大而增大， 故选：C． 8. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把，，代入二次函数中，比较，，即可． 【详解】∵点，，经过 ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握点在函数图象上的点． 9. 一次函数（）与二次函数（）的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．观察图象得∶当时，一次函数图象位于二次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 即， 观察图象得∶当时，一次函数图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式的解集为． 故选：C． 10. 如图，点E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的几何应用，熟练掌握二次函数的图象是解答的关键．设正方形的边数为m，然后割补法求面积得到y、x与m的关系，然后根据二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为m，则， ∵，则，， ∴， ∴y与x的函数图象开口向上，顶点坐标为， 故y与x的函数图象可能为选项B中图象， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 即． 12. 若抛物线y=kx2－2x＋l与x轴有两个交点，则k的取值范围是____． 【答案】k＜1，且k≠0 【解析】 【详解】解：∵y=kx2﹣2x+1为二次函数，∴k≠0． ∵抛物线y=kx2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，∴△＞0，即（﹣2）2－4k＞0． 解得：k＜1，∴k的取值范围是k＜1且k≠0． 故答案为k＜1且k≠0． 13. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，利用根与系数的关系得到，将所求代数式拆分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得， ∴． 14. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，先根据表格中值相等的点求出对称轴，再得到对应对称点的函数值即可得到结果． 【详解】解：由表格可得，当时，，当时，， ∵二次函数上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵关于直线的对称点为， 由表格可知时，， ∴当时，． 15. 已知线段，点在线段上（如图）．点为线段的一个黄金分割点，满足；同时点为线段的另一个黄金分割点，满足，当线段时，线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据黄金分割点形成线段的数量关系，列方程并解方程即可得到的长，以及和的长，继而根据线段的和差关系得到的长． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴，解得：，（舍）， ∴，， 同理可得， ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴，． 17. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【小问1详解】 解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 18. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）求该二次函数的对称轴和顶点坐标； 【答案】（1） （2）对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法代入已知点的坐标，即可得到该抛物线的表达式； （2）将该二次函数的表达式转化为顶点式，即可得到对称轴和顶点坐标． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：， ∴该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，y的取值范围为________； （3）将该抛物线向上平移________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 【答案】（1） （2） （3）3或4 【解析】 【分析】（1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可； （2）抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，求出当时，，结合函数图象可得y的取值范围； （3）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵二次函数的表达式为． ∴当时，， 当时， ∵抛物线的顶点坐标为 ∴y的最小值为， ∴当时，y的取值范围为； 【小问3详解】 解：当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得， ∴与x轴只有一个交点，即， 当时，， ∴与y轴有一个交点，即，符合题意； 当经过原点时，向上平移3个单位长度，得到函数解析式为：， 当时，， 解得：， 所得交点为，符合题意； ∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 20. 某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【答案】（1）1600； （2）每个A商品的售价为37元 （3）解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【解析】 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【小问1详解】 解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元()，每月能售出个A商品； 【小问2详解】 解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； 【小问3详解】 略 21. 如图，点P是抛物线在第四象限内的一点，点A的坐标是，设点P的坐标是． （1）求的面积S关于变量x的关系式； （2）当时，求的面积； （3）当的面积为2时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）首先用x表示出点P的纵坐标，然后利用三角形的面积计算方法确定的面积S与x的关系式即可； （2）根据得P点横坐标x，代入（1）中函数关系式计算可得； （3）将代入计算即可得到x，进而即可得到点P的坐标． 【小问1详解】 解：， ， 在第四象限且在抛物线上， ∴点P为， 到x轴距离为， ∴； 【小问2详解】 解：当时，此时点P在垂直平分线上， ∴中点横坐标为1， ∴当时，， ∴面积为1； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ， ∴， ∴， ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第2行有2个点……第行有个点……． 【发现问题】在探究的过程中，容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】前多少行的点数和是120？ 【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思想．下表分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法．例如：求前10行的点数和， ①， 由①式倒序：②． ①+②，得： 所以，即前10行的点数和为55个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】 （1）请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方法，求出前行的点数和． （2）前 行的点数和是120． 【拓展应用】 （3）如果把图1中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，，，，你能探究出前行的点数之和的规律吗？请说明理由． 【答案】（1）前行的点数和为； （2）15； （3）前行的点数之和的规律为，理由： 根据题意，前面的解答，得， 故 . 前行的点数之和的规律为． 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料提供的解题方法，解答即可． （2）根据题意，构造一元二次方程解答即可． （3）根据结论，提取公因式后解答即可． 本题考查了有理数的加法，解方程，提取公因式，数形结合思想，熟练掌握解方程，数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：设①， 由①式倒序：②. ①+②，得： . ， 前行的点数和为． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 解得（舍去） 故答案为：15． （3）略 23. 【综合与实践】 数形结合是一种重要的数学学习方法，在学习一元二次方程的过程中有很多几何图形问题根据其等量关系均可列得一元二次方程加以求解，爱做数学探究的小文发现有这样一个具有一元二次方程关系的几何模型：如图1，在四边形中，，，是和边长，小文运用勾股定理推可得，这时小文就把关于x的形如的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题： 【模型感知】 （1）请你写出一个“弦系一元二次方程”：________； 【初步探究】 （2）求证：关于x的“弦系一元二次方程”必有实数根； （3）如图1，若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积． 【模型拓展】 （4）如图2，的三边分别为a，b，c，，且．求证：关于x的一元二次方程必有实数根． 【答案】（1） （2）证明：由题意可知：， ∴ ， ∴关于的“弦系一元二次方程”必有实数根； （3）1 （4）证明：过B作于D，如图， ，， ，， ， ， ， ， ， ∵， ， ∴关于x的一元二次方程必有实数根． 【解析】 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，再根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积； （4）过B作于D，由，，可得，，D在线段上，利用勾股定理可得，由，再证明即可． 【小问1详解】 解：， “弦系一元二次方程”略； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：把代入中得， ， ∵四边形的周长， ， ， 解得， ， ， ， ∴， ， ∴， ； 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次教学质量自查试卷 （九年级数学） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。 1. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 4、、1 B. 4、2、 C. 4、、 D. 4、2、1 2. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）. A. ； B. ； C. ； D. . 4. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6. 第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，深圳承办了青年组足球比赛．若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，随增大而增大 D. 与轴交于点 8. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数（）与二次函数（）的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，点E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 方程的解为__________． 12. 若抛物线y=kx2－2x＋l与x轴有两个交点，则k的取值范围是____． 13. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___________． 14. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 15. 已知线段，点在线段上（如图）．点为线段的一个黄金分割点，满足；同时点为线段的另一个黄金分割点，满足，当线段时，线段的长为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 18. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）求该二次函数的对称轴和顶点坐标； 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，y的取值范围为________； （3）将该抛物线向上平移________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 20. 某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 21. 如图，点P是抛物线在第四象限内的一点，点A的坐标是，设点P的坐标是． （1）求的面积S关于变量x的关系式； （2）当时，求的面积； （3）当的面积为2时，求点P的坐标． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第2行有2个点……第行有个点……． 【发现问题】在探究的过程中，容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】前多少行的点数和是120？ 【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思想．下表分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法．例如：求前10行的点数和， ①， 由①式倒序：②． ①+②，得： 所以，即前10行的点数和为55个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】 （1）请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方法，求出前行的点数和． （2）前 行的点数和是120． 【拓展应用】 （3）如果把图1中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，，，，你能探究出前行的点数之和的规律吗？请说明理由． 23. 【综合与实践】 数形结合是一种重要的数学学习方法，在学习一元二次方程的过程中有很多几何图形问题根据其等量关系均可列得一元二次方程加以求解，爱做数学探究的小文发现有这样一个具有一元二次方程关系的几何模型：如图1，在四边形中，，，是和边长，小文运用勾股定理推可得，这时小文就把关于x的形如的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题： 【模型感知】 （1）请你写出一个“弦系一元二次方程”：________； 【初步探究】 （2）求证：关于x的“弦系一元二次方程”必有实数根； （3）如图1，若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积． 【模型拓展】 （4）如图2，的三边分别为a，b，c，，且．求证：关于x的一元二次方程必有实数根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $