甘肃兰州西北中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

兰州西北中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设椭圆的两个焦点为，，且P点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（    ） A． B． C．7 D． 3．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 4．圆和的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 5．已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 7．数列的前n项和，则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 8．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 10．下列选项正确的是（    ） A．过点且和直线平行的直线方程是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．若直线与平行，则与的距离为 D．直线过定点 11．对于直线与圆，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线与圆不可能相切 C．直线被圆截得的弦长的最小值为6 D．圆上一点到点的最大距离为8 三、填空题 12．在数列{an}中， ，若 的前n项和为，则项数n＝________. 13．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______． 14．已知动点在圆上，则的取值范围是_______；的取值范围是___________. 四、解答题 15．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍； (2)经过点，离心率为，焦点在x轴上； (3)经过两点，. 16．已知为等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)若各项均为正数的等比数列满足，，求的前项和． 17．已知直线 （1）证明直线l过定点并求此点的坐标； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 18．已知数列的首项，且满足． (1)设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 19．已知圆，直线l过点. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； (2)设线段AB的端点B在圆C上运动， （i）求线段AB的中点M的轨迹方程； （ii）已知点，直线l与M的轨迹图形相交于P、Q两点，当的面积取得最大值时，求直线l的斜率. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $《兰州西北中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 B C B B ACD ACD 题号 11 答案 BD 1.D 【分析】首先判断出点P在椭圆上，然后利用椭圆的定义即可求解. 【详解】把P点的坐标三，5)代入椭圆方程，满足椭圆方程，即P点在椭圆上， 22 2+y=1,则a=V5, PR+IPE |=2a=2v2, 故选：D 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，需熟记椭圆的定义，属于基础题 2.B 【分析】根据数列前的几项归纳出a=√2，n∈N*,即可求出结果， 【详解】由题知a,=V21,neN*,所以a5=√2x25=5V2, 故选：B 3.C 【分析】分别由两个椭圆方程求出对应的α，b,c,由此得到长轴长、短轴长、焦距和离心率的值，然后得 到结果。 【详解】椭圆+=1中=25,6=16，即a=5,b=4,“c=-石=3 2516 即长轴长2a=10,短轴长2b=8,焦距2c=6,离心率e=C=3 a 5 椭圆、己 3y2 25-+16-k1k<)中G=25-k,公=16-k,即4=V25-k,4=6-k,∴G=VG-F=3, 即长轴长24=2√25-飞，短轴长2=216-k,焦距2G=6,离心率日=9=、 3 42W25-k’ ∴.两个椭圆中只有焦距相等 故选：C 4.C 【详解】圆x2+y2-2x=0的标准方程为(x-1)+=1,其圆心为C(1,0),半径R=1, 圆x2+y2+4y=0的标准方程为x2+(y+2)=4,其圆心为C2(0,-2),半径R=2, 故CC=V1+4=V5,故R-R=1<V5<3=R+R, 答案第1页（共10页） 故两圆相交， 5.B 【分析】分别求出直线PA,PB的斜率，数形结合即可求直线I的斜率的范围. 【详解】如图所示： 图忽，6≤k或k之k即k≤或 3 故直线1的斜率的取值范围为 故选：B. 6.C 【分析】当直线斜率不存在时不合题意，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离相等求 解即可. 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为x=1,A(2,3),B(4,-5)到它的距离分别为1,3，不合题意： 当直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x-1),即x-y-k+1=0,由A(2,3),B(4,-5)到它的距离相 等 得2-3+_k+5+刊解得：1或-4，即直线方程为+y-2=0或4x+y-5=0 Vk2+1 k2+1 故选：C 7.C 【分析】先由题设结合a=Sn-S,1求出数列{a}的通项公式，再结合数列{a}各项正负情况即可求解. 【详解】因为S,=-n2+81, 所以当n=1时，4=S=-12+8×1=7, 当n≥2时，a.=S-S1=(-t+8m）-(n-1+8(n-1)]=-2n+9, 经检验，4=7满足上式， 答案第2页（共10页） 所以a=-21+9n∈N),令4=-21+9≥0→n≤4，a.=-21+9≤0→n≥5， 设数列{a}的前n项和为Tn, 则数列{4}的前4项和为T4=S4=-42+8×4=16 数列{a}的前12项和为 Ti2=4+a2++l42=4+a+4+a4-4-a6--42 =2S4-S2=2×16-（-122+8×12)=80 故选：C 8.B 【分析】先求出圆心E(0,-2)到直线y=√3x+2的距离，然后结合图象，即可得出结论 【详解】由题意， 在圆x2+(y+2)=r2(r>0)中，圆心E(0,-2),半径为， 到直线y=√3x+2的距离为1的点有且仅有2个， :圆心E(0,-2)到直线y=√3x+2的距离为：d= x5-2×1+1-2, V3+( 故由图可知， 当r=1时， 圆x2+(y+2)=r2(r>0)上有且仅有一个点(A点)到直线y=√3x+2的距离等于1： 当r=3时， 圆x2+(y+2)=r2(r>0)上有且仅有三个点(B,C,D点)到直线y=√3x+2的距离等于1： 当则r的取值范围为(1,3)时， 圆x2+(y+2)=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线y=√3x+2的距离等于1. 答案第3页（共10页） 故选：B. 9.ACD 【分析】先根据等差数列已知的首项和项的关系求出公差，再依次验证通项公式、前项和公式、新数列 的公比即可 【详解】选项A:设等差数列{an}的公差为d,由4=2，a+a4=8可得： (4+)+(4+3)=2a+4d=8,代入4=2得4+4d=8,解得d=1,故A正确. 选项B:等差数列通项公式为a=4+-1)d=2+-1)×1=n+1≠21，故B错误. 选项C:前n项和S=m+0,-少d=21+0-少x1=n+3,故C正确. 2 2 2 逃顶D:令久=”，则会-器--之=2，所以致列}是公比为2的5比数列，放D正确 10.ACD 【分析】A选项：根据平行设直线方程为3x+2y+=0,然后将点(-1,2)代入求出m即可： B选项：根据直线㎡x-y+1=0与直线x-y-2=0垂直得到a=0或-1，然后判断充分性和必要性即可； C选项：根据平行列方程得到a,然后求平行线间的距离即可； x-y+2=0 D选项：将直线2整理为(x-y+2)+2x-y+5=0,然后列方程 2x-y+5=0' 解方程即可. 【详解】A选项：设和直线3x+2y-7=0平行的直线为3x+2y+m=0,将点(-1,2)代入得-3+4+m=0, 解得m=-1,所以直线为3x+2y-1=0,故A正确： B选项：当直线ax-y+1=0与直线x-w-2=0垂直时，d+a=0,解得a=0或-1，所以当a=-1时， 直线adx-y+1=0与直线x-y-2=0垂直，当直线x-y+1=0与直线x-y-2=0垂直时，a不一定等 于1，故B错： C选项：当两直线平行时，a=-4,则：2x-4y-2=0,即x-2y-1=0,所以{与的距离为 4核e正瑞： V1+22 「x-y+2=0 x=-3 D选项：直线的方程可整理为：m(-y+2+2x-v+5=0,令2x-y叶5=0解得 =-1’所以直线 过定点(-3-1)，故D正确. 故选：ACD 答案第4页（共10页） 11.BD 【分析】根据含参直线方程求定点坐标判断A;判断直线过的定点在圆内判断B;当1与点(2,3)和圆心(3,2) 的连线垂直时，1被C截得的弦长最小，计算可求弦长的最小值判断C;根据圆上一点到点P的最大距离 为CP+r可判断D 【详解】对于A:(m-2)x+y-2+1=0可变形为(x-2)m-2x+y+1=0, 「x-2=0 x=2 -2x+y+1=0’得 由 =3所以直线过定点(23)，故A不正确： 对于B:圆C:x2+y2-6.x-4y+4=0的标准方程为c-3)+0y-2)2=9,半径为3， 由(2-3)2+3-2)？=2<9，所以点(2,3)在圆C的内部，所以1与C相交，不会相切，故B正确： 对于C:当1与点(2,3)和圆心(3,2)的连线垂直时，1被C截得的弦长最小 此时圆心(3,2)到直线1的距离d=V(2-3)+(3-2)-√2， 所以弦长的弦长最小值为2√9-(2)=2万，故C不正确： 对于D:圆上一点到点P(0,-2)的最大距离为CP+r=√(0-3)2+(-2-2)2+3=8，故D正确 23) C(3,2) P0,-2) 故选：BD 12.2022 【分析】利用裂项求和法求得{a}的前项和的表达式，由题意列出方程，求得答案 【详解】由思意得a=1、11 n+1)nn+1 “S=1-1+11, ,11 223 nn+l =1-1=n-=2022 n+1 n+12023 .n=2022, 故答案为：2022 13.27 答案第5页（共10页） 【分析】由于x2+2-6x-7=0是圆，可得m=1,通过圆心和半径计算a,b,c,即得解 【详解】由于x2+2-6x-7=0是圆，.m=1 即：圆x2+y2-6x-7=0 其中圆心为(3,0)，半径为4 那么椭圆的长轴长为8，即c=3,a=4,b=√a2-c2=√万， 那么短轴长为2√7 故答案为：2√7 14. [-5,√5] 房网 【分析】由于P(x,y)是圆上的动点， 设2x+y=t,然后由直线与圆有公共点可得t的范围， 设y-2=k,整理为直线方程：-y-k+2=0,由圆与直线有公共点可得k的范围。 x-1 【详解】P(x,y)是圆x2+y2=1上的点，设2x+y=t,即2x+y-t=0,直线2x+y-t=0与圆x2+y2=1有 公共点， 则d一 ≤1，所以-√5≤t≤V5, √22+12 设”-2-k,即：-y-+2=0,由思意此直线与圆有公共点， x-1 所以上+s1,解得k≥ Vk2+1 41 故答案为：【5,5：[+m). 15.是+-1 16+4 +-1 2010 6)+”=1 43 【分析】(1)根据椭圆的几何性质列出方程组，求解即可： (2)根据椭圆的几何性质列出方程组，求解即可； (3)若椭圆过两点坐标，可把标准方程设为x+=1(>0,n>0,m≠n)的形式，再把两点坐标代入求解 即可. 答案第6页（共10页） 【详解)】1)根据题意可设椭圆的标准方程为：+=1（α>b>0): a=b2+c2 a=4 所以由题设有： c=2W3 ,解得b=2, a=2b c=2W3 故椭圆的标准方程为： 164 (2)根据题意可设椭圆的标准方程为： a+6=1(a>b>0): [a2=b2+c2 c2 所以由题设有： e= ,解得 d2=20 a 2 b2=101 4 8 + =I 1a2 故椭圆的标准方程为： x2,y2 =1 2010 (3)根据题意可设椭圆的标准方程为：x+=1(m>0,n>0,m≠m), 9 1 u+-n=1 l=- 4 所以由题设有： 4 41=1 ,解得 19 N= 3 故椭圆的标准方程为： 431. 16.(1)4n=2-1,n∈N (2)3(2”-1)+n 【分析】(1)利用公式d=-4以及a,=4,+(-2)d计算即可： 6-2 (2)先根据条件得出等比数列bn}的公比，再分别计算等比数列和等差数列的前项和，最后按照分组求 和即可求得. 【详解】(1)设等差数列a,}的公差为d,则由愿意可得d=40-11-3-2, 6-24 则a.=4+(n-2)d=3+2(n-2)=2n-1, 则数列{a}的通项公式为a=2n-1,n∈N; (2)设等比数列bn}的公比为9， 由4=4+4=5+7=12,6=3，则q=6=3=4, 答案第7页（共10页） 因等比数列b}各项均为正数，则q=2, 则数列孤}的前”项和为4）.30-2）-32- 1-q1-2 又因数列a}的前n项和为色+a)严-+”-1业-忙， 2 2 则数列{a.+bn}的前n项和为3(2”-1)+ 17.(1)由已知得k(x+2)+(1-y)=0, ∴.无论k取何值，直线过定点(-2,1)： (2)AOB的面积的最小值为4，此时直线1的方程为x-2y+4=0. 【分析】(1)变形可得k(x+2)+(1-y)=0,进而可得定点： (2)求出直线1与x轴，y轴的交点坐标，表示出AOB的面积，利用基本不等式求最值即可. 【详解】(1)略 1 (2)令y=0得A点坐标为-2： 令x=0得B点坐标为(0,2k+1), 1 由(20得>0， <0 2k+1>0 22+2+2)+培44-=4 当且仅当4k= 即k=时取等号。 1 即A0B的面积的最小值为4，此时直线I的方程为-+1+1=0. 即x-2y+4=0, 【点睛】求最值的常用方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值： (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值： (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等的条件后用基本不等式求出最值： (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (⑤)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 18.(1)由题可知b,=1, 因为所以4片，回 1-1=4, 4+H4 答案第8页（共10页） .b+1-b.=4 所以数列b}是以1为首项，4为公差的等差数列. 1 a.=4n-3 (2)Sn=(4n-7)）2++14 【分析】(1)利用等差数列的定义进行证明，再求数列{a}的通项公式： (2)利用错位相减法进行求和. 【详解】(1)证明略 因为数列bn}是以1为首项，4为公差的等差数列， 1 所以b=4n-3,又b.= 所以a.= 1 4n-31 (2)因为b.=4n-3,cn=(4n-3)2”, 所以Sn=2+5×22+9×2++(4n-3)2”, 2Sn=22+5x23+9x24++(41-3)21, 所以-5=2+4×(22+23++2"）41-3)2+=2+4× 22(1-2) -32"t 1-2 =2+2+3-16-(4n-3）·2+1=-14-(4n-7）-2+, 故Sn=(4n-7)）2+14, 19.(1)x=-2或3x-4y+10=0. @0-1:6a2兰6 2 【分析】(1)分直线斜率是否存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式列方程求出斜率，然后可得切 线的方程： (2)(i)设点M(xy),B(6,),可得 x=2x+2 %=2y-1,利用点B在圆C上运动，可求点M的轨迹方程(i 由题意N到直线1的距离d= + 2, 利用S=√d1-d),结合基本不等式可求得最大值，根据取等条 Vk2+1 件构造方程求得k. 答案第9页（共10页） 【详解】(1)已知圆C的圆心是O(0,0),半径是2， 当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=-2,符合题意： 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y-1=k(x+2), 即-y+2k+1=0, 则图心0到直线/的距离为资是之解得- 2k+1 故直线1的方程为3x-4y+10=0. 综上，直线1的方程为x=-2或3x-4y+10=0. [x=6-2 (2)(i)设点M(x,),B(6,%),则由点M是线段AB的中点得 2 y=%+1 2 =2x+2 所以 ①， y0=2y-1 因为点B在圆C上运动，所以x+=4②，将①代入②得(2x+2)+(2y-1)=4, 化简得点M的抗迹方程是(x++~)1 知N-1号)为圆M的圆心，所以N到直线1的距离d +1 (i)由(i) 2 V2+1 NPO的面积S= d-2i-d--0-西s d2+-d2) 当且仅当d=5时等号成立， 此时V反 k+ 两边同时平方得2k2+4k-1=0, 2Vk2+1 解得k=-2±V6 2 答案第10页（共10页）