精品解析：甘肃省兰州市西北中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 出题人：马晓娟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（ ）项 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 2. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列中，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 一条光线从点射出，经过轴反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 7. 《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（ ） A. 7尺 B. 14尺 C. 21尺 D. 19尺 8. 直线分别与x轴，y轴交于两点，点P在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选不得分.） 9. 以下四个命题表述正确的有（ ） A. 直线l过点，且在轴上截距相等，则直线l的方程为 B. 直线恒过定点 C. ，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 10. 下列说法正确的有（ ） A. 在等差数列中，，，则前9项和 B. 在等差数列中，，，则 C. 数列为等比数列，，，则 D. 数列的前n项和为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若方程表示圆，则 B. 过两圆和交点的直线方程为 C. 直线的一个方向向量为 D. 圆内一点过点M的最短弦所在直线方程 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为__________. 13. 已知数列的前项和为，且满足，则__________. 14. 已知椭圆的一个焦点是，那么__________. 四、解答题（共77分） 15. 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）离心率是，长轴长是12； （2）过点和； （3）焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 16. 的顶点的坐标分别为. （1）过点A与直线平行的直线方程； （2）的外接圆方程； （3）已知过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6，求直线l的方程. 17. 在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段为垂足，当点P在圆上运动时，记线段的中点M的轨迹为C. （1）求C的方程. （2）直线与C交于两点（点不重合）. ①求m的取值范围； ②若，求. 18. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 19. 若数列满足，则称是“紧密数列”．已知数列的前项和为，且． （1）试判断是否为“紧密数列”，并说明理由． （2）若数列是“紧密数列”，已知（为常数），且，求的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 出题人：马晓娟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（ ）项 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】观察法求出数列的通项公式，令，解方程求出结果即可. 【详解】由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为，令，解得，故A正确. 故选：A 2. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质和等比中项的性质即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由等比数列的性质可得，， 所以，，所以. 故选：C. 3. 已知数列中，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推公式计算数列的前几项找到周期性并进行计算即可. 【详解】由且， 得， 所以数列是以为周期的周期数列， 则. 故选：D. 4. 一条光线从点射出，经过轴反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据光线反射的性质，结合圆的性质、直线的两点式方程进行求解即可. 【详解】由，因此该圆的圆心坐标为， 因为光线从点射出，经过轴反射后恰好平分圆的周长， 所以反射光线经过圆心， 点关于轴对称的点， 根据光反射的性质可知点必在反射光线所在的直线上， 由直线的两点式，可知反射光线所在的直线的方程为：， 令，得，即经过轴上点反射， 由直线的两点式，可知入射光线所在的直线的方程为：， 故选：D 5. 平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两点，的距离之和为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，， 所以点P的轨迹方程为. 故选：B 6. 若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】求得等比数列的前项，进而求得，从而求得正确答案. 【详解】等比数列的前n项和为， 则， ， 所以，则， 即， 所以. 故选：B 7. 《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（ ） A. 7尺 B. 14尺 C. 21尺 D. 19尺 【答案】D 【解析】 【分析】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，由等差数列前项和公式计算可得公差的值，由此能求出第30天织布数量． 【详解】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，设公差为， 则， 解得， 所以第30天织布（尺）． 故选：D． 8. 直线分别与x轴，y轴交于两点，点P在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把圆上的动点问题转化为圆心到直线的距离，再利用圆的性质即可得距离的范围，从而问题即可得解. 【详解】 由题意可得：，即， 再由圆心到直线的距离公式可得， 因为圆的半径为， 所以圆上点P到直线的距离的取值范围为， 由面积是. 故选：C 二、多选题（每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选不得分.） 9. 以下四个命题表述正确的有（ ） A. 直线l过点，且在轴上截距相等，则直线l的方程为 B. 直线恒过定点 C. ，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，注意到过原点直线满足在轴上截距相等，据此可判断选项正误； 对于B，将直线化为：，据此可得直线所过定点； 对于C，由直线垂直与直线一般式关系可判断选项正误； 对于D，由平行直线距离公式结合题意可得答案. 【详解】对于A，注意到当直线过原点且过点时，方程为： ，满足在轴上截距相等，则A选项错误； 对于B，将直线化为：，令，则直线过定点，故B正确； 对于C，直线与垂直需满足：，得或. 由可得两直线垂直，由或得不到，则是直线与直线垂直的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因与平行，则， 则与距离，即为与的距离，为，故D错误. 故选：BC 10. 下列说法正确的有（ ） A. 在等差数列中，，，则前9项和 B. 在等差数列中，，，则 C. 数列为等比数列，，，则 D. 数列的前n项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式，可判断A的真假；利用等差数列的前项和的性质判断B的真假；根据等比数列的通项公式可判断C的真假；利用裂项求和法求和，可判断D的真假. 【详解】对A：因为，故A正确； 对B：因为为等差数列，所以为等差数列， 所以.故B错误； 对C：因为数列为等比数列，所以， 所以.故C正确； 对D：因为，所以， 所以数列的前n项和为： .故D正确. 故选：ACD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若方程表示圆，则 B. 过两圆和交点的直线方程为 C. 直线的一个方向向量为 D. 圆内一点过点M的最短弦所在直线方程 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A：根据圆的一般方程表示圆的条件是，即可得的范围；选项B： 联立方程组，两式相减即可得直线方程；选项C：直线的斜率，方向向量可表示为，从而可判断；选项D：由于过圆内点的最短弦与垂直，利用直线垂直的斜率关系即可求解. 【详解】选项A：圆的一般方程表示圆的条件是， 对于方程，则： ， 即 解得或，故A正确； 选项B： 联立方程组，两式相减得：， 即为过两圆的交点的直线方程，故B正确； 选项C：直线的斜率，方向向量可表示为即，或其倍数，对应的斜率为，与直线斜率不符，故C错误； 选项D：圆化为标准式：，圆心， 过圆内点的最短弦与垂直，，则最短弦所在直线的斜率， 由点斜式得所求的直线方程为：，即，故D错误. 故答案为：AB 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，列出等式，求出a，b，c的值，即可得答案. 【详解】设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c， 由题意得，解得， 所以椭圆方程为. 故答案为： 13. 已知数列的前项和为，且满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，由，可得的值，当时，由，代入化简，综合即可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 综上，. 故答案为： 14. 已知椭圆的一个焦点是，那么__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆焦点，结合椭圆方程可得，根据建立等式计算可解. 【详解】椭圆可化为， 因为一个焦点是，所以， 而，即，解得. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）离心率是，长轴长是12； （2）过点和； （3）焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质分焦点在x轴上和在y轴上可求； （2）设椭圆的标准方程，代入点坐标可得； （3）设椭圆方程为，由可解. 【小问1详解】 由题意可得，又，则， 当焦点在x轴上时，椭圆方程为， 当焦点在y轴上时，椭圆方程为. 【小问2详解】 设椭圆的标准方程， 由于椭圆过点和， 代入可得，解得， 所以椭圆的方程为：. 【小问3详解】 设椭圆方程为， 则，，解得， 所以椭圆方程为. 16. 的顶点的坐标分别为. （1）过点A与直线平行的直线方程； （2）的外接圆方程； （3）已知过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出的斜率，再由点斜式求出其方程，然后设所求直线方程为，代入点可得； （2）设出圆的一般方程，由待定系数法可得； （3）求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与否可得. 【小问1详解】 由题意得， 所以的方程为，即：， 因为所求直线过点A与直线平行，所以设其为， 代入点可得， 所以直线的方程： 【小问2详解】 设所求圆的方程为， 因点在圆上，则有，解得：， 故的外接圆的方程是 【小问3详解】 圆的方程为，圆心，半径为5， 因为过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6， 则圆心到直线的距离为， 所以当直线的斜率不存在时，可得直线l的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时设为，则直线l的方程为， 所以，解得， 所以直线l的方程为， 综上直线l的方程或. 17. 在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段为垂足，当点P在圆上运动时，记线段的中点M的轨迹为C. （1）求C的方程. （2）直线与C交于两点（点不重合）. ①求m的取值范围； ②若，求. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设，则，代入圆的方程，化简整理即可得到所求方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，消去，运用判别式大于0，即可求解m的范围，代入，求解方程两根，即可根据弦长公式求解. 【小问1详解】 设，则， 将代入，可得，即 即点M的轨迹C的方程为; 【小问2详解】 ①由，消去整理得：， 由，即，化简得， 故， ②当时，得，由韦达定理得 根据弦长公式得： 18. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）利用错位相减法来求和即可. 【小问1详解】 由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知：，故； 【小问3详解】 ， ， 两式相减，得 ， ， 故. 19. 若数列满足，则称是“紧密数列”．已知数列的前项和为，且． （1）试判断是否为“紧密数列”，并说明理由． （2）若数列是“紧密数列”，已知（为常数），且，求的前项和． 【答案】（1）是“紧密数列”．理由如下： 因为， 当时，， 所以， 当时，，满足上述关系式， 所以，则， 又，所以是紧密数列． （2） 【解析】 【分析】(1)由得到通项公式，根据“紧密数列”定义可得到结果； (2)根据第一问结果，可得到数列的通项公式，根据它是“紧密数列”以及，可得到，进而得到，然后根据等比数列求和公式可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 因为数列是“紧密数列”，所以， 又因为，即，整理得， 解得（舍去）或，则，， 因此， 故数列的前项和为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $