精品解析：湖北省荆荆襄恩四地五校考试联盟2027届高三上学期10月小练习数学试卷

湖北省2027届“荆荆襄恩”高三10月小练习 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 2. 复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量不共线，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若，且．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 5. 已知随机变量，随机变量，若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.8 D. 0.9 6. 若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知有相同焦点，的椭圆与双曲线在第一象限的交点为A，若（O为坐标原点）是等边三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形（图2）中，测得，凹四边形的面积为，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，满足，则 B. 数据8，11，13，14，17，20，21，25的75%分位数为20.5 C. 在经验回归方程中，若样本相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% 10. 如图，正三棱柱的所有棱长均为4，点在棱上运动，点在四边形内（包括边界）运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 若为的中点，则到平面的距离为 C. 的周长的最小值为 D. 若，则点的轨迹的长度为 11. 设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的二项展开式中，的系数为________（用数字作答） 13. 已知函数，是奇函数且在上单调递减，则__________. 14. 已知动直线与圆相切，并与圆相交于点，，点为抛物线上一动点，为坐标原点，则的最小值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件安静或嘈杂的影响． （1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为，求测试结果为语音识别成功的概率； （2）已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试次；方案二：先测试次，如果这次中成功次数小于等于次，则再测试次，否则不再测试，为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？ 16. 已知数列的前项和为，且 （1）求、、的值； （2）求数列的通项； （3）设数列的前项和为，证明：． 17. 如图（1），在四边形中，，且，为中点，连接，，将图（1）沿，折起使得平面平面，平面平面，连接，，如图（2）． （1）证明：图（2）中的，，，四点共面； （2）求图（2）中平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知抛物线：（），为上一点． （1）若点坐标为，则它到其焦点的距离为，求此时与的值； （2）若动直线：与相交于，两点，点满足（为坐标原点），且直线，的斜率之和为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）过点作的切线，若平行于，求的面积的最小值． 19. 函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. （1）请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； （2）若函数是“自导函数”，且满足，求证：； （3）若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省2027届“荆荆襄恩”高三10月小练习 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合，再根据交集定义列式计算即可. 【详解】集合，因此. 故选：C. 2. 复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，再得到共轭复数，最后得到点对应象限. 【详解】，则共轭复数为，对应的点，在第二象限. 故选：B. 3. 已知向量不共线，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，以为邻边作平行四边形，根据向量加减法的几何意义，结合投影向量的概念，即可求出结果. 【详解】令， 以为邻边作平行四边形， 则，即为，对角线相等， 所以平行四边形为矩形， 则在方向上的投影向量，即为在方向上的投影向量. 故选：. 4. 若，且．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，再结合基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】若，且，则得， 所以， 当且仅当即，时取等号，故A正确. 故选：A. 5. 已知随机变量，随机变量，若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.8 D. 0.9 【答案】A 【解析】 【分析】正态分布的正态曲线关于直线对称，相同说明两条正态曲线形状完全相同，仅对称轴位置不同，利用对称性和已知概率求解即可. 【详解】根据概率的基本性质可知，，即， 因为随机变量，所以正态分布曲线关于直线对称， 因为随机变量，所以正态分布曲线关于直线对称，与到对称轴的距离相等，所以， 又因为相同，随机变量与对应的正态分布曲线形状完全相同，且与分别到各自对称轴的距离相等，所以， 结合，得 6. 若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用复合函数的单调性结合对数函数的定义域列出不等式，解出的取值范围． 【详解】令，∵，∴在上单调递减， ∵函数（且）在区间内单调递增， ∴函数是减函数，且在上恒成立， ∴，∴. 7. 已知有相同焦点，的椭圆与双曲线在第一象限的交点为A，若（O为坐标原点）是等边三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知图形特征结合椭圆，双曲线中关系及公交点求解即可. 【详解】（O为坐标原点）是等边三角形，且，则， 且，则， ， 所以，即得， 所以 故选：A 8. 密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形（图2）中，测得，凹四边形的面积为，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在图2中连接，在和中，分别利用余弦定理可得，利用三角形的面积公式可得，两式平方相加，由两角差的余弦公式，即可求出的余弦值. 【详解】如图，连接， 因为， 在中，由余弦定理得， 则， 在中，由余弦定理得， 则， 所以， 即，① 因为， ， 所以，② 则①式和②式分别平方并相加得： ， 则，所以， 即的余弦值为. 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，满足，则 B. 数据8，11，13，14，17，20，21，25的75%分位数为20.5 C. 在经验回归方程中，若样本相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合选项依次判断即可． 【详解】若随机变量X，Y满足，则，A正确； 因为数据总个数为8，则，分位数为，B正确； 经验回归方程中，样本相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C错误； 由，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5%，D正确． 10. 如图，正三棱柱的所有棱长均为4，点在棱上运动，点在四边形内（包括边界）运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 若为的中点，则到平面的距离为 C. 的周长的最小值为 D. 若，则点的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等体积法求出体积及点到平面的距离判断AB；将侧面和侧面沿展开到一个平面内，求出长判断C；求出点的轨迹长度判断D. 【详解】正三棱柱的所有棱长均为4， 对于A，点到平面的距离即为正边上的高， 则，A正确； 对于B，在中，，由为的中点，得， 的面积为，由选项A得三棱锥的体积为， 设点到平面的距离为，则，解得，B错误； 对于C，将正三棱柱的侧面和侧面沿展开到一个平面内， 当且仅当三点共线时，取得最小值，， 又，因此的周长的最小值为，C正确； 对于D，取的中点，连接，由三棱柱是正三棱柱，得侧面， ，连接，由，得， 因此点的轨迹是以为圆心，2为半径的半圆弧，点的轨迹的长度为，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 11. 设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】采用构造函数法，设，，则原问题转化为存在唯一的整数，使得，对求导可判断函数在处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式组，即可求解. 【详解】设，， 由题设可知存在唯一的整数，使得， 因为，故当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，且，， 由图可知，即，解得，BC选项符合题意. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的二项展开式中，的系数为________（用数字作答） 【答案】-80 【解析】 【分析】由二项定理展开式的通项，即可确定的系数. 【详解】在的二项展开式中，由展开式通项可得， 令，解得， 所以系数为， 故答案为：. 【点睛】本题考查了二项定理展开通项式的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题. 13. 已知函数，是奇函数且在上单调递减，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数为奇函数得出或，然后对或进行分类讨论，分析可知，由可得，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得的值. 【详解】因为函数是奇函数，则， 因为，所以或. 因为，若，则为常值函数，不符合题意，所以， （1）若，则，当时，， 因为正弦函数在上单调递增， 故函数在上不可能单调递减，不符合题意； （2）若，则， 当时，， 因为函数在上单调递减，且函数在上单调递减， 则，所以，解得， 因为，所以，符合题意. 综上所述，. 14. 已知动直线与圆相切，并与圆相交于点，，点为抛物线上一动点，为坐标原点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，可得点在圆上，化简得到，设,求得，设，利用导数求得函数的单调性和最小值，进而得到答案. 【详解】如图所示，设线段的中点为，根据圆的对称性，可得点在圆上， 设，可得点在圆上，即， 可得其圆心，半径为， 由， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 设，可得， 设，可得， 令，可得， 所以为单调递增函数，因为， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，即最小值为， 所以，当且仅当时，等号成立，所以， 所以的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件安静或嘈杂的影响． （1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为，求测试结果为语音识别成功的概率； （2）已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试次；方案二：先测试次，如果这次中成功次数小于等于次，则再测试次，否则不再测试，为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？ 【答案】（1） （2）应选择方案二 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据相互独立事件的概率公式求解方案二的分布列，即可求解期望，比较期望大小即可求解. 【小问1详解】 记事件是“安静环境”，则  是“嘈杂环境”，记事件是“语音识别成功”． 所以； 【小问2详解】 设方案一和方案二测试次数分别为， 方案一：测试次，则； 方案二：可取， ， ， 随机变量的分布列如下表所示： 所以． 所以，即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值，所以应选择方案二． 16. 已知数列的前项和为，且 （1）求、、的值； （2）求数列的通项； （3）设数列的前项和为，证明：． 【答案】（1），，． （2）． （3） 由题可知，所以， 所以数列的前项和， 由，所以， 又因为单调递减，所以当时，， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用公式求解； （2）利用公式，分为奇数和偶数求解； （3）利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 由条件知， ，． 【小问2详解】 当为奇数且时，，也符合， 所以当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以数列． 【小问3详解】 略 17. 如图（1），在四边形中，，且，为中点，连接，，将图（1）沿，折起使得平面平面，平面平面，连接，，如图（2）． （1）证明：图（2）中的，，，四点共面； （2）求图（2）中平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）翻折前，,因为为的中点， 可得, 又平行于,故 平行于,则四边形为平行四边形， 可得,同理可得. 翻折后，取中点分别为，连接，如下图所示. 在中，由中位线可得平行于, 在等腰和等腰中 ，又因为平面平面， 平面平面,所以平面， 同理平面,所以平行于. 又因为，易得， 所以四边形为平行四边形， 所以平行于，平行于，所以平行于 所以翻折后四点共面. （2） 【解析】 【分析】（1）构造平面，通过证明平行于，平行于，得到平行于，所以四点共面； （2）建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，然后利用向量夹角公式得到平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，易知，由（1）得，故以为原点，所在的直线分别为轴， 轴 轴，建立如图空间直角坐标系. 则， 于是， 设平面的法向量， 由， 取其中一组解可得.又因为平面法向量为. 设平面与平面所成的锐二面角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知抛物线：（），为上一点． （1）若点坐标为，则它到其焦点的距离为，求此时与的值； （2）若动直线：与相交于，两点，点满足（为坐标原点），且直线，的斜率之和为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）过点作的切线，若平行于，求的面积的最小值． 【答案】（1）， （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义可知，再结合抛物线方程可得，于是求出，代入点坐标，可求得； （2）（ⅰ）利用可得，联立直线与抛物线方程，得到，又由直线，的斜率之和为，可得，代入韦达定理得到的结果并化简可得，于是，抛物线的方程为；（ⅱ）利用导数的几何意义得到的横坐标满足，于是结合（ⅰ）可知与轴平行，进而得到三角形面积为，再联立直线与抛物线方程，得到，代入三角形面积函数可得，于是. 【小问1详解】 如下图，由抛物线的性质可知，， 所以，解得.于是抛物线方程为， 当时，，解得. 【小问2详解】 （ⅰ）设， 因为，所以，即， 所以，直线与抛物线联立可得 ，由韦达定理. 又因为直线，的斜率之和为， 所以，通分可得 又因为， 所以，于是， 整理得，因式分解可得， 因为，且为任意实数，要使等式恒成立，则. 所以抛物线的方程为. （ⅱ）由上可知抛物线的方程为，设 由导数的几何意义，过点作的切线的斜率为， 因为平行于，所以，即，所以. 由上可知，则. 直线与抛物线联立可得， 所以， 所以，因为，所以， 综上所述，的面积的最小值为. 19. 函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. （1）请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； （2）若函数是“自导函数”，且满足，求证：； （3）若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 【答案】（1）当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”；理由： 对求导，根据复合函数求导公式， 令，则. 若是“自导函数”，则，即， 因为，所以. 故当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”. （2） 因为函数是“自导函数”，所以，同时， 记，求导得， 由题干条件可知，（实数为常数），又， 所以，故，于是. （3） 设， 由复合函数求导公式可得， 因为函数与是“共轭互导函数”，所以且， 于是，故（实数为常数）， 而，所以. 下证且： 首先容易验证和是一对满足条件的“共轭互导函数”， 接着证明满足条件的函数只有和，采用反证法， 假设除了和外，还存在满足条件的一对“共轭互导函数”和， 即且，同时满足， 令， 则， 于是（实数为常数），又，所以，即①， 同理可令，则， 于是于是（实数为常数），又，所以，即②， 由①②可得，由此，满足条件的“共轭互导函数”只有一对， 所以且. 【解析】 【分析】（1）根据复合函数求导后利用函数新定义分析即可； （2）利用自导函数的定义构造函数，再求导即可推理得证. （3）由共轭互导函数的定义对进行求导运算可证明，并确定的一个解，再证明唯一性即可.. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $