精品解析：湖北省潜江市六校2026-2027学年上学期联考九年级数学试卷

2026-2027湖北省潜江市六校联考九年级上册数学试卷 一、选择题 1. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列关系式中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若两个数的和为，积为，则以这两个数为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边上．若 ，则旋转角的度数为 （     ） A. B. C. D. 6. 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A. B. C. D. 7. 如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2025次后得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知开口向下的抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．其中错误的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______． 12. 用公式法解一元二次方程，得：，则该一元二次方程是_______． 13. 已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__________． 14. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 15. 如图1，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间（单位：秒）之间的函数关系图象如图2所示（点为曲线部分的最低点）． 则：（1）______； （2）点的纵坐标的值为______． 三、解答题 16. 解下列方程． （1） （2） 17. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，求的度数． 18. 已知：一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的两个不相等的实数根，且满足．求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 20. 新定义：若关于的一元二次方程，其中，，满足，我们就称这个一元二次方程为“美妙方程”． （1）判断方程是否为“美妙方程”，并说明理由； （2）已知关于的“美妙方程”的一个根是，求这个“美妙方程”． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）求的面积； （3）结合完整的函数图象，请直接写出不等式的解集． 22. 综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 （1）直接写出外边缘抛物线的函数解析式 ，此时喷出水的最大射程为 ； （2）请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 23. 问题解决 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边内的一点，，，．你能求出的度数和等边的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 如图①将绕点B逆时针旋转，得到，连接，可得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而使问题得到解决． （1）结合小明的思路完成填空： ， ， （2）类比探究 ①如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的度数 ②如图③，若点P是正方形外一点，，，，求的度数． 24. 如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． （1）求抛物线的解析式和点D的坐标． （2）点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027湖北省潜江市六校联考九年级上册数学试卷 一、选择题 1. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意． 2. 下列关系式中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义进行解答即可． 【详解】符合二次函数的定义，故A符合题意； 中含自变量的代数式不是整式，不符合二次函数的定义，故B不符合题意； 是一次函数，故C不符合题意； 中含自变量的代数式不是整式，不符合二次函数的定义，故D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 3. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据“配方时，方程两边加上一次项系数一半的平方”进行求解即可． 【详解】解：配方法解方程时，配方后有； 故选A． 4. 若两个数的和为，积为，则以这两个数为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是以，为根的一元二次方程的形式为：，代入公式，即可． 【详解】A、中，，，不符合题意； B、中，，，不符合题意； C、中，，，符合题意； D、中，，，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边上．若 ，则旋转角的度数为 （     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定及三角形内角和定理．根据旋转得，，根据等边对等角，得出等腰三角形，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【详解】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 7. 如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】设与y轴交于点，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 轴， ， ∵点在上，点在上， ，， ． 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口朝上确定的符号；抛物线与y轴的正半轴有一个交点可确定的符号；再根据抛物线的对称轴处在y轴的右侧，结合的符号，可以确定的符号，问题随之得解． 【详解】解：∵抛物线开口朝上， ∴， ∵抛物线与y轴的正半轴有一个交点， ∴， 根据抛物线的图象可知，抛物线的对称轴处在y轴的右侧， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵，，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，即D选项符合题意． 9. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2025次后得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法．根据图形可知：点B在以O为圆心，以为半径的圆上运动，由图可知；将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点O逆时针旋转，可得对应B点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案． 【详解】由题可知：，， 将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点O逆时针旋转，可得对应B点的坐标，然后发现规律是8次一循环， 点的坐标等于点得坐标 即 故选：D 10. 已知开口向下的抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．其中错误的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系等．用含a的式子表示出b，c是解题的关键． 由抛物线开口向下知，对称轴得，与x轴交于得另一交点为，从而，据此逐一判断各结论． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴，故②正确． ∵与x轴交于，对称轴， ∴另一交点为， 设， ∴，． ①， ∵， ∴， 故，①错误． ③当时，， ∵， ∴，为最大值，故③正确． ④方程化为， 判别式． ∵无实数根， ∴，即，， ∵， ∴，则， ∴， 又， ∴，故④正确． 综上，只有①错误，错误的结论有1个． 故选：A． 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标都互为相反数，即可求出m、n的值，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 用公式法解一元二次方程，得：，则该一元二次方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据求根公式确定出方程即可． 【详解】解：根据题意得：，，， 则该一元二次方程是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是利用公式法额一元二次方程方程，掌握求根公式：是解本题的关键． 13. 已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__________． 【答案】y2˂ y1˂y3（y3>y1>y2 也可） 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小． 【详解】二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图像开口方向向上，对称轴是x=-2， A(-4，y1) 距对称轴的距离是2，B(-1，y2)距对称轴的距离是1， C(2，y3) 距对称轴的距离是4 所以y2˂ y1˂y3 故答案为：y2˂ y1˂y3 【点睛】此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键． 14. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 【答案】或6 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，；当时，在，，即可求解答案． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，离对称轴越远，函数值越小， 在，，， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：的值为6或． 故答案为：6或． 15. 如图1，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间（单位：秒）之间的函数关系图象如图2所示（点为曲线部分的最低点）． 则：（1）______； （2）点的纵坐标的值为______． 【答案】 ①. 6 ②. 4 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再由点为的中点，即可求得； （2）由图象可知，当运动时间时，最小，即最小，此时，可得，则，在中，即可求解． 【详解】解：（1）∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为，根据图象可知，当时，， ∴， ∵点为的中点， ∴． （2）由图象可知，当运动时间时，最小，即最小， ∴此时， ∴如图所示，此时点P运动的路程为， 由（1）可知，， ∴， 在中，，即． 三、解答题 16. 解下列方程． （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， 或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，. 17. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和性质；解题的关键是掌握旋转的性质．根据旋转的性质证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：∵绕点A顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 18. 已知：一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的两个不相等的实数根，且满足．求的值． 【答案】（1）k＜2且k≠1；（2）k的值为． 【解析】 【分析】(1)根据“一元二次方程有两个不相等的实数根”，得到△>0，根据判别式公式，得到关于k的不等式，解之即可， (2)根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2和x1x2关于k的等式，代入，得到关于k的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：(1)∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△=(-2k)2−4(k-1)(k-2)=-4k+8>0且k-1≠0， 解得：k＜2且k≠1， 即k的取值范围为：k＜2且k≠1； (2)方程的两个实数根分别为x1，x2， =4+2(x1+x2)+x1x2 x1+x2=，x1x2=， 则4++=4， 解得：k=， 即k的值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：正确掌握根的判别式公式，和根与系数的关系公式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】（1）解： 如图所示； （2） 如图所示，点坐标为． 【解析】 【分析】（1）关于原点对称的两点横纵坐标分别互为相反数，分别求出点，，的坐标依次描点连线即可； （2）根据网格结构找出点、、分别绕点旋转后的对应点，，的位置，顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出的坐标． 【小问1详解】 坐标关于原点对称 ，，，在坐标系中依次找到，连接，，； 【小问2详解】 略． 20. 新定义：若关于的一元二次方程，其中，，满足，我们就称这个一元二次方程为“美妙方程”． （1）判断方程是否为“美妙方程”，并说明理由； （2）已知关于的“美妙方程”的一个根是，求这个“美妙方程”． 【答案】（1）是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2） 【解析】 【分析】（1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）求的面积； （3）结合完整的函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入求出反比例函数关系式，进而将代入得到，将、代入求解即可； （2）求出点的坐标，根据割补法计算即可； （3）根据题意画出函数图象，进而作答即可． 【小问1详解】 解：将代入得：，即， ∴， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时， 解得， 即， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：即， 作及的图象如下： 可知不等式的解集为或． 22. 综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 （1）直接写出外边缘抛物线的函数解析式 ，此时喷出水的最大射程为 ； （2）请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）点B的坐标为； （3） 【解析】 【分析】（1）易得的顶点A的坐标，用顶点式表示出的分析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取，可得的长度； （2）设出平移后的分析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取，求得相应的x的值可得抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在上，分别求得对应的的长，可得的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：由左右平移得到， 设， 经过点， ， 解得：，（舍去）， ， 把代入，得：， 解得：，（舍去）， 点B的坐标为； 【小问3详解】 解：要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 点D与点B重合或点F在上， 当点D与点B重合时，， 当点F在上时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ， ， 的取值范围是． 23. 问题解决 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边内的一点，，，．你能求出的度数和等边的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 如图①将绕点B逆时针旋转，得到，连接，可得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而使问题得到解决． （1）结合小明的思路完成填空： ， ， （2）类比探究 ①如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的度数 ②如图③，若点P是正方形外一点，，，，求的度数． 【答案】（1）4，，； （2）①②； 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，可证是等边三角形，可得，，由勾股定理逆定理可得，进而可求； （2）①将绕点B逆时针旋转，使与重合，得到，则∠PBP′＝90°，，，，根据勾股定理逆定理得，，可求，即可求； ②将绕点B逆时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，由勾股定理的逆定理得，可求，进而即可求∠． 【小问1详解】 解：∵将绕点B逆时针旋转，得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4，，； 【小问2详解】 ①如图，将绕点B逆时针旋转，使与重合，得到， 则，，，， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②将绕点B逆时针旋转，得到，连接， ∴， ∴，，， 在中，， ∴，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，添加恰当辅助线构造直角三角形是解本题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． （1）求抛物线的解析式和点D的坐标． （2）点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 【答案】（1）抛物线解析式为，顶点D的坐标为 （2）线段的长为，当时，四边形为平行四边形 （3）的面积最大值为，此时点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质求出顶点D的坐标． （2）先求出点的坐标，抛物线的对称轴，再求出直线的函数关系式，表示出点、点、点的坐标，再由平行四边形的判定定理得，即可得的值． （3）过点作轴，交线段于点，设，则， 表示出，则，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过、， ∴， 解得：，， ∴抛物线解析式为 ， ∴顶点D的坐标为； 【小问2详解】 解：在中，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设直线的函数关系式为， ， ， 解得， ， ∴直线的函数关系式为， ， 在中，当时，， ， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【小问3详解】 解：过点作轴，交线段于点， 设，则， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴二次函数的开口向下， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点的坐标为：， 故的面积最大值为，此时点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $