学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（福建专用，新教材人教版九上第25～28章：一元二次方程+二次函数+反比例函数+旋转）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章。 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线与轴交于、两点，顶点为，则下列说法错误的是（     ） A．对称轴是直线 B．当或时， C．顶点的坐标为 D．当时，随的增大而减小 4．抛物线向右平移2个单位长度后，与y轴相交于点，则（     ） A． B． C． D． 5．对于反比例函数（a为常数），在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知，点，点，都在反比例函数的图象上，则的关系是（     ） A． B． C． D． 7．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 8．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如果全组有名同学，则根据题意列出方程是（     ） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 10．如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①② C．①④ D．②④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 12．若关于的方程是一元二次方程，则______． 13．如图，将绕点A逆时针旋转得到（点B、C、D的对应点分别为点E、F、G），连接，点E恰好在线段上，则的度数为___________． 14．已知方程的两个根是和，则代数式的值是_________． 15．已知点，，都是抛物线 （为常数）上的点，则的大小关系，用“<”连接为______． 16．在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点坐标为．反比例函数经过的中点，与交于点．点是反比例函数图象上一点，且点在矩形内部，轴，垂足为，连接，若的面积为2，则点的横坐标为_______． 三、解答题：本题共9小题，共86分。其中：17-21每题8分，22-23每题10分，24题12分，25题14分。 17．用适当的方法解方程． (1)； (2) 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)作绕原点逆时针旋转得到的（点、、的对应点分别为点、、）； (2)作关于原点成中心对称的（点、、的对应点分别为点、、）． 19．已知二次函数． x … 0 1 2 3 … y … 0 3 3 … (1)补全表格，并在图中用描点法画出该二次函数的图象； (2)根据二次函数的图象回答下列问题： ①当时，y的取值范围是 ； ②当时，的取值范围是 ． 20．2023年11月，第一届全国学生(青年)运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月份数量持续增高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个． (1)求 10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率． (2)若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在11月销量的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在 12月份可获利4200元？ 21．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于、两点，连结、． (1)求、的值和反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当时，关于的不等式的解集为____________． 22．综合与实践： 【生活情境】某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 23．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值． 例题：求的最小值． 解： ． ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为5． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：__________． (2)求的最小值． (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，则__________，__________，比较和的大小，并说明理由． 24．【问题背景】 如图1，在和中，点E在边上，，，且，，把点E在边上时，的位置作为起始位置（此时点B和点D位于的左、右两侧），将绕点A顺时针方向旋转，设旋转角为α，连接，点P是线段的中点，连接，． (1)如图2，当时，点D恰好落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．为了引发同学的思考，数学刘老师给出了此题的部分解法作为提示： 解：与的数量关系和位置关系分别是：，，理由如下： 如图2，过点B作，交的延长线于点F，连接、， ， ∵点P是的中点，， 在和中，，，， ， ，， … 请你将上述过程补充完整； 【问题拓展】 (2)如图3，当时，若，，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 25．如图①，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，设点P的横坐标为t． ①过点P作轴于点H，与交于点M，连接．当为直角三角形时，直接写出满足条件的t值； ②如图②，连接，过点P作交于点N，连接，．设的面积为，的面积为，求的最大值． / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、 单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A C A C B C & 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11,（3-2) 12.5 13.110 9 14.-2021 15.y3<y<2 16.2 三、解答题：本题共9小题，共86分。其中：17-21每题8分，22-23每题10分，24题12分，25题14分。 17.【详解】(1)-3)-9=0 (x-3)=9 x-3=3, :方=6为=0 ；(4分) (2)x2+4x-1=0. x2+4x=1 (x+2)}=5 x+2=±V5 x=-2+V5x2=-2-V5 8分) 18.【详解】(1)△ABC绕原点逆时针旋转90°得到的△4B,C如图所示：(4分) 1/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5 4 3 2 5-4-30412345x B 2 3 B 5 (2△ABC △AB,C 关于原点成中心对称的 如图所示：(8分) 5 4 3 C2 2 B2 5-4-32 10412345x 3 19.【详解】(1)4,0；作图如下：(4分) 2/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：由图可得，当0≤x≤4时，y的取值范围是-5≤y≤4：(6分) 当0≤y≤4时，x的取值范围是-1≤x≤3.(8分) 20.【详解】(1)解：设10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为x, 由题意得， 256(1+x)/=400 解得x=0.25=25%或x=-2.25(舍去)， 答：10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为25%： (4分) (2)解：设毛绒玩具每个降价元， 由题意得， (40-25-m)(400+4m)=4200 整理得m2+85m-450=0, 解得m=5或m=-90(舍去)， 答：当毛绒玩具每个降价5元时，12月份可获利4200元.(8分) 21.【详解1(4)解：把P-10)代入=-+1，得=-()+1=2 则点P的坐标为12) 把6-代入)=-x1,得-1=b+1,解得b=2, 则点的坐标为 (2,-1) 3/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 点P在反比例函数图象上， .k=y=-1×2=-2. ·反比例函数解析式为少= x·(3分) (2)解：如图，设直线y=-x+1交y轴于点M, YA 3 M -4-3-2-10234 -2 -3 -4 当x=0时，y=1, 则M的坐标为 1）,即0M=1 据(4)可知点P的坐标为-12)，点的坐标为2-) 版5w=5m+5w-xlx1+k2=号 2 =2.(6分) >-x+1,即反比例函数图象在一次函数图象上方，且点Q的坐标为(2，-)， (3)解：x 题当x>0时，>x+口的解集为x>2·(8分) 2。【详解】(1)解：由题意，设抛物线的解折式为)=a 15,-10) 由题意得，抛物线过 152a=-10 4/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得as、2 45, 解折武为=后：(4分 (2)解：正常水位时水面在y=-10处. 小孔顶点距水面7m,所以小孔顶点在y=-10+7=-3处 水位上涨到距小孔顶点1m时（水面在顶点下方），警戒水位在y=-3-1=一4处. 将y4f代入y=后r得，希2=4 解 x=±3V10 此时大孔的水面宽度为30-(30)=610(m) 6W10m 答：大孔的水面宽度 (10分) 23.【详解】(1)解：，一次项系数为-12， -12)2 =36 ∴.常数项为2 :-12x+36=(6-6,3分) (2)解：x2-6x-6 =x2-2x3+32-32-6 =(x-3)}2-15 :无论取何值，(-3)总是非负数，即x-3≥0， (x-3)-15≥-15 ∴当x=3时，x-6x-6有最小值，最小值为15.(6分) 5/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)解： S1=6a2+19a+15S2=5a2+15aS1>S2 理由如下： S,=(2a+3)(3a+5)=6a2+10a+9a+15=6a2+19a+15 由题意得， S2=5a(a+3)=5a+15a :.-S,=6a2+19a+15-(5a2+15a)） =6a2+19a+15-5a2-15a =a2+4a+15 =a2+2a.2+22-22+15 =(a+2+11,(8分) 无论a取何值， (a+2总是非负数，即a+2≥0， (a+2)2+11≥11 S-S2≥11>0 :9>g (10分) 24.【详解】(1)解：补充完整如下： DE=AE, ..BF =AE, :当a=90°时，∠EAC=90°，又∠ACB=∠AED=90°， .∠ACB+∠EAC=180°，∠AED+∠EAC=180°， ∴.ED∥AC,EA∥BC .FB‖AC, ∴.∠FBC=∠ACB=90°， .∠CBF=∠CAE, 6/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在△FBC和△EAC中， BF=AE ∠CBF=∠CAE BC=AC '△FBC≌△EAC(SAS) 3分) ∴.CF=CE,∠FCB=∠ECA :∠ACB=90°， .∠FCE=90°， ∴△FCE是等腰直角三角形， ..EP=FP, ∴.PC⊥PE,PC=PE ；(5分) (2)解：如下图，作BF∥DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过点E作EH⊥AC交CA延长线于 H, B ∴.∠BFP=∠DEP 点P是BD的中点， ..PB=PD, 在△FBP和△EDP中， ∠BFP=∠DEP,∠BPF=∠DPE,PB=PD, ∴.△FBP≌△EDP(AAS) ∴BF=DE,PE=PF=EF, 2 DE=AE, 7/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 BF=AE,(7分) ,当a=150°时，由旋转可知，∠CAE=150°，∠EAH=180°-150°=30°，∠AEH=60°， .∠AED=90°， .∠HED=90°+60°=150°， .EDI BF,EH BC .BF与BC所成夹角的钝角为150°， .∠FBC=∠EAC=a=150°， 在△FBC和△EAC中， BF=AE ∠CBF=∠CAE BC=AC ∴△FBC≌△EAC(SAS) ∴.CF=CE,∠FCB=∠ECA ∠ACB=90°， .∠FCE=90° ∴△FCE是等腰直角三角形， CLEP,CP=EP=PF=EF=C,（10分 2 2 在Rt△AHE中，∠EAH=180°-150°=30°，AE=DE=1, c号4板-分4=a--9 2, 又AC=BC=3, CH=3+5 2 :EC2=CH2+HE2=10+3V5 8/13 ©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2.(12分) 25。【详解】(1)解：：抛物线与x轴交于1(-10）、B(3,0 ,且二次项系数为1， 一设函数表达式为y=-(x+)x-3) =-(x2-3x+x-3 =-(x2-2x-3 =-x2+2x+3 ·二次函数的表达式为"=-r+2x+3 (3分) (2)解：①由(1)得，当x=0时，y=3, 点C03) 设直线BC的解析式为y=c+b, B3.0).C(0,3)代入直线中， [3k+b=0 得b=3, [k=-1 解得b=3, ∴.直线BC的解析式为y=-x+3, ,点P的横坐标为t,PH⊥x轴，M在BC上， :P飞-+2+3)，M-1+300<1<3),5分 当∠CPM=90°时，，PM⊥x轴，且∠CPM=90°， .CP⊥PM,即CP为水平方向， 9/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴点P与点C纵坐标相等，均为3， :-+21+3=3 -2+2t=0 t(-t+2)=0 =0 解得 (舍去)， 5=2 当∠CMP=90°时，则CM2+PM2=Cp2, Cp2=(0-+[3-(2+2+3=2+-2 CM2=(0-t}2+[3-(-1+3)]=22. PM2=[-+21+3-(-1+3]=(+3」 2r2+(-+3）=2+(e-2月 2t2+t4-6t3+9t2=t2+4-4t3+4t2 -213+6t2=0 -22(t-3)=0 .-22=0或t-3=0, =0 解得 （舍去)，53 (舍去)：(7分) 当∠PCM=90°时，则CP2+CM2=PM2, 2+(-2+22+2r2=(-2+30)月 3t2+t4-4r3+4t2=t4-6f3+9t2 2t3-212=0 22(t-1)=0 22=0或t-1=0, 10113 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =0 43=1 解得 (舍去)， 综上，满足条件的t值为t=1或t=2.(8分) AB=3-（-1)=4 ②由题意得， ,△PAB和△NAB的底均为AB, 高分别为点P、点N的纵坐标， 1 S=7XABXy,S.=7xABXYN. 3-580,） s-5-x4,-】 s-S,=2(m-w）,(9分) 设直线4C的解析式为'=x+,代入1(-，0)、C(0,3), [-k+b=0 得b=3, ∫k=3 解得b=3, ∴直线AC的解析式为y=3x+3, .PN∥AC, ∴.直线PN可由直线AC平移个单位得来， ∴设直线PN为y=3x+3+m,P(,-+21+3) 将点P代入直线PN中，-t2+2t+3=3t+3+m 解得m=-t2-t, ∴直线PW的解析式为)=3r-f-1+3, 11/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 联立直线PN与BC的解析式，得3x-t2-t+3=-x+3 4x=12+1 解得x=+1 4, 将x代入y=+3,得w+32分 -(+24 =-42+21+3++1-3 4 -4t2+8t+t2+t 4 =-32+9r 4, ·S-9,=2x-32+9r 4 9 3 -21 0 是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值， 9 ∴.顶点横坐标为 2a 2x3 2￥ 2 3 将=2代入得， 39.27 244 受 12/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 27 . (14分) 13/13■11■ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5m黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 正确填涂■ 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 错误填涂)【1【/] 4.保特卡面清洁，不要折桑、不要弄破 日 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.[A1[B1[C1ID1 5.[AlIBIICIIDI 9.AIIBIICIID] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[AJ[B][C][D] 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题.本题共9小题，共86分。共中：17-21每题8分，2223每题16分，24题12分，25题14 分。 17.(8分)(1)(x-3)2-9=0: (2)x2+4x-1=0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 5 4 + 3 2 -5 -4-3 2 1 234 5 B 2 3 4 5 19.(8分) (1)x -1 0 1 2 3 y 0 3 0 (2) 请精在等题致城附等，超辄限现致锋森效！ 20.(8分) 21(8分) 3 429 234 -2 22.(10分) 10m /m -10 30m 图1 图2 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 24.(12分) y E P : B 图1 图2 图3 ■ 请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题自的答题区域内作答 出翼伍行形历框限定区域的答案无效！ 25.(14分) M B B 0 图① 图② ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.MA][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][BJ[C][D] 二、填空题：本题共6小题， 每小题4分，共24分。 11 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本题共9小题，共86分。其中：17-21每题8分，22-23每题10分，24题12分，25题 14分。 17.(8分)(1)(x-3)2-9=0: (2)x2+4x-1=0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 4 3 2 -5 -4-3210 12345元 B -2 4 5 19.(8分) (1)x 0 1 2 3 … 0 3 0 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21(8分) y 3 2 4-3-2-1024x 2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 22.（10分) -15 15 10m ------ 10 图1 图2 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) E D A D E P P B B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) B B H 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章。 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】判断二次函数需满足：表达式为整式、自变量最高次为2、二次项系数不为0，据此逐一分析选项． 【详解】解：A．中的最高次数为1，不符合要求； B．展开得，化简为，的最高次数为1，不符合要求； C．展开得，满足二次函数的所有条件，符合要求； D．表达式中含，不是整式，不符合要求． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【详解】解：A选项、它是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项、它既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C选项、它不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D选项、它是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 3．抛物线与轴交于、两点，顶点为，则下列说法错误的是（     ） A．对称轴是直线 B．当或时， C．顶点的坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【知识点】根据交点确定不等式的解集、把y=ax²+bx+c化成顶点式、抛物线与x轴的交点问题、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先将抛物线一般式配方为顶点式，再结合开口方向、与轴交点判断各选项正误． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，顶点的坐标为，故A、C正确． ∵，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 令，得， 因式分解得， 解得，． 结合开口方向，可知当或时，，故B正确． 4．抛物线向右平移2个单位长度后，与y轴相交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、二次函数图象的平移 【分析】先将抛物线用配方法配为顶点式，然后确定抛物线向右平移个单位后的函数表达式，再令，即可求出值． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向右平移2个单位后，解析式为， 令，得，即． 5．对于反比例函数（a为常数），在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】根据反比例函数的性质，即可解答． 【详解】解：∵反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 解得． 6．已知，点，点，都在反比例函数的图象上，则的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【详解】解：反比例函数，， 时，y随x增大而增大． ，点，点， ， ∴． 7．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】需按二次项系数是否为0分类讨论，结合方程有实数根的条件求解． 【详解】解：当时，原方程为，有实数根； 当时，原方程为一元二次方程， 方程有实数根， ，即，解得， 即且， 综上，的取值范围是． 8．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如果全组有名同学，则根据题意列出方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】先分析每名同学的赠送数量，再分析全组的总赠送数量，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：全组有名同学，每名同学需向除自己外的其他成员赠送标本， 每人赠送件． 全组总赠送数为件． 由全组共互赠件，得． 9．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】观察选项可知二次函数可以从开口方向以及与轴的交点考虑，一次函数可以从直线所经过的象限考虑；如选项， 当，时，的开口向上，对称轴为轴，经过第一、三象限，此选项不符合；同理再分析其他情况即可． 【详解】解：当的开口向上，对称轴为轴时， ， ，经过第一、三象限，A选项不符合； 当的开口向上，对称轴在y轴左侧时，，，经过第一、二、三象限，B选项不符合； 当的开口向上，对称轴在轴右侧时，，，经过第一、三、四象限，C选项符合； 当的开口向上，对称轴在轴左侧时，，，经过第一、二、三象限，D选项不符合． 10．如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①② C．①④ D．②④ 【答案】B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据二次函数图像的开口方向、对称轴、增减性、与坐标轴的交点以及图像所经过的点逐项判断即可； 【详解】解：∵该二次函数图像开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴； ∴，，， ∴；①正确； ∵该二次函数图像经过点，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∴ 解得：；②正确， ∵， ∴， 由图像可知：， ∴， 即：；③错误； ∵对于的任意值都有， ∴该抛物线与轴负半轴的交点的临界点为，此时抛物线开口最小，最大； ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴，即：， ∵二次函数图像经过点， ∴， ∴该二次函数的表达式可化为：， 将代入得： 解得：，此时最大， ∴；④错误； ∵当变大时，抛物线的开口变小， ∴线段变短；⑤错误， 综上，正确的有①②． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】已知点的坐标，结合平面直角坐标系内关于原点对称的点的坐标变化规律计算对应对称点的坐标. 【详解】解：平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点的横、纵坐标都分别互为相反数. ∵点的坐标为 ∴ 对称点的横坐标为的相反数，纵坐标为的相反数 ∴ 所求对称点的坐标为． 12．若关于的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】根据一元二次方程的定义列出关于的方程和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴， 由得，此时，符合条件， ∴． 13．如图，将绕点A逆时针旋转得到（点B、C、D的对应点分别为点E、F、G），连接，点E恰好在线段上，则的度数为___________． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：由旋转的性质知，，， ∴， ∴． 14．已知方程的两个根是和，则代数式的值是_________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】先根据方程的解的定义得到，再由根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的根． ∴，即． 由根与系数的关系，方程的两根、满足． 对所求代数式拆分变形：． ∴原式． 15．已知点，，都是抛物线 （为常数）上的点，则的大小关系，用“<”连接为______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向下时，点到对称轴的水平距离越远，函数值越小的规律，计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小， 分别计算三个点到对称轴的水平距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵距离大小关系为， ∴对应的函数值大小关系为． 16．在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点坐标为．反比例函数经过的中点，与交于点．点是反比例函数图象上一点，且点在矩形内部，轴，垂足为，连接，若的面积为2，则点的横坐标为_______． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】由矩形顶点坐标确定各顶点位置，代入中点坐标求出反比例函数解析式；设的横坐标为，用表示坐标，再以为底、点到的距离为高，利用面积公式列方程求解． 【详解】解：∵矩形的边在轴上，在轴上，点坐标为， ∴，，． 的中点的坐标为． ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为． 当时，，故点的坐标为． 设的横坐标为，则点的坐标为，垂足的坐标为（其中）． ∵轴， ∴的长为，点到直线的距离为． 由，得． 整理得，即， 解得． ∴点的横坐标为． 三、解答题：本题共9小题，共86分。其中：17-21每题8分，22-23每题10分，24题12分，25题14分。 17．用适当的方法解方程． (1)； (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【知识点】解一元二次方程——配方法、解一元二次方程——直接开平方法 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ， 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)作绕原点逆时针旋转得到的（点、、的对应点分别为点、、）； (2)作关于原点成中心对称的（点、、的对应点分别为点、、）． 【答案】(1)绕原点逆时针旋转得到的如图所示： (2)关于原点成中心对称的如图所示： 【知识点】画旋转图形、求关于原点对称的点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】（1）根据旋转规律：点绕原点逆时针旋转后的坐标为，写出点、、的对应点分别为点、、的坐标，再描点后顺次连接、和即可得到； （2）根据中心对称规律：点关于原点对称的点坐标为，写出点、、的应点分别为点、、的坐标，再描点后顺次连接、和，得到． 【详解】（1）绕原点逆时针旋转后，点、、的对应点、、的坐标分别为： 、、， 作图略． （2）关于原点成中心对称，点、、的对应点、、的坐标分别为： 、、， 作图略． 19．已知二次函数． x … 0 1 2 3 … y … 0 3 3 … (1)补全表格，并在图中用描点法画出该二次函数的图象； (2)根据二次函数的图象回答下列问题： ①当时，y的取值范围是 ； ②当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)4，0；作图如下： (2)①；② 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、从函数的图象获取信息、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】（1）将和代入求解，进而描点画出函数图象即可； （2）由函数图象求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，； 当时，； （2）解：由图可得，当时，y的取值范围是； 当时，的取值范围是． 20．2023年11月，第一届全国学生(青年)运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月份数量持续增高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个． (1)求 10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率． (2)若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在11月销量的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在 12月份可获利4200元？ 【答案】(1)10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为 (2)当毛绒玩具每个降价5元时，12月份可获利4200元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据9月销量乘的平方等于11月销量列方程求解； （2）设降价m元，以11月销量为基础表示12月销量，结合单个利润与总利润的关系列一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为； （2）解：设毛绒玩具每个降价m元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：当毛绒玩具每个降价5元时，12月份可获利4200元． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于、两点，连结、． (1)求、的值和反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当时，关于的不等式的解集为____________． 【答案】(1)，， (2) (3) 【知识点】求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）把、两点代入一次函数求出坐标，再代入求反比例解析式； （2）求出直线与轴交点，将转化成求面积； （3）根据函数图象，在部分找反比例在一次函数上方对应的范围． 【详解】（1）解：把代入，得， 则点的坐标为， 把代入，得，解得， 则点的坐标为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：如图，设直线交轴于点， 当时，， 则的坐标为，即， 据（1）可知点的坐标为，点的坐标为， 故． （3）解：，即反比例函数图象在一次函数图象上方，且点的坐标为， 故当时，的解集为． 22．综合与实践： 【生活情境】某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)大孔的水面宽度 【知识点】求x轴与抛物线的截线长、拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由题意，设抛物线的解析式为，抛物线过，代入即可求得解析式； （2）求出水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），警戒水位的位置，再代入函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为， 由题意得，抛物线过， ∴ 解得， ∴解析式为； （2）解：正常水位时水面在处． 小孔顶点距水面，所以小孔顶点在处． 水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），警戒水位在处． 将代入可得， 解得 此时大孔的水面宽度为， 答：大孔的水面宽度． 23．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值． 例题：求的最小值． 解： ． ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为5． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：__________． (2)求的最小值． (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，则__________，__________，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)36；6 (2) (3)解：，，，理由如下： 由题意得，， ， ∴ ， ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴， ∴． 【知识点】配方法的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式对原式进行整理，根据完全平方公式的非负性求值即可； （3）根据长方形的面积公式表示出，再求出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次项系数为， ∴常数项为， ∴； （2）解： ， ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为． （3）略 24．【问题背景】 如图1，在和中，点E在边上，，，且，，把点E在边上时，的位置作为起始位置（此时点B和点D位于的左、右两侧），将绕点A顺时针方向旋转，设旋转角为α，连接，点P是线段的中点，连接，． (1)如图2，当时，点D恰好落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．为了引发同学的思考，数学刘老师给出了此题的部分解法作为提示： 解：与的数量关系和位置关系分别是：，，理由如下： 如图2，过点B作，交的延长线于点F，连接、， ， ∵点P是的中点，， 在和中，，，， ， ，， … 请你将上述过程补充完整； 【问题拓展】 (2)如图3，当时，若，，求的值． 【答案】(1)解：补充完整如下： ， ， ∵当时，，又， ∴， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∵， ； (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、二次根式的混合运算 【分析】（1）作，交延长线于点，连接，根据证，再根据证，然后得出是等腰直角三角形即可得出结论； （2）作，交延长线于点，连接，过点作交延长线于，同（1）得出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，根据得出的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：如下图，作，交延长线于点，连接，过点作交延长线于， ， ∵点P是的中点， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ∵当时，由旋转可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴与所成夹角的钝角为， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ， 又， ， ， ∴． 25．如图①，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，设点P的横坐标为t． ①过点P作轴于点H，与交于点M，连接．当为直角三角形时，直接写出满足条件的t值； ②如图②，连接，过点P作交于点N，连接，．设的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)①或；② 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、已知两点坐标求两点距离、因式分解法解一元二次方程、y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数与几何综合 【分析】（1）已知抛物线与x轴交于、，且二次项系数为，设解析式为，展开化简后得到； （2）①先求得与直线，设、，分三种直角情况，结合坐标几何性质与勾股定理列方程，舍去超出第一象限范围的解，得到符合条件的t值；②与同底，则计算得，将面积差转化为纵坐标之差；利用设平移直线解析式，联立求N点坐标，构建关于t的二次函数，通过顶点公式求最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、，且二次项系数为， ∴设函数表达式为 ， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①由（1）得，当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 将、代入直线中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为t，轴，M在上， ∴，， 当时，∵轴，且， ∴，即为水平方向， ∴点P与点C纵坐标相等，均为3， ∴ 解得（舍去），， 当时，则， ∵； ； ， ∴ ∴或， 解得（舍去），（舍去）； 当时，则， ∴ ∴或， 解得（舍去），； 综上，满足条件的t值为或． ②由题意得，， ∵和的底均为， ∴高分别为点P、点N的纵坐标， ∴，， ∴ ， 设直线的解析式为，代入、： 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线可由直线平移m个单位得来， ∴设直线为，， 将点P代入直线中， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与的解析式，得 解得， 将x代入，得， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值， ∴顶点横坐标为， 将代入得， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章。 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线与轴交于、两点，顶点为，则下列说法错误的是（     ） A．对称轴是直线 B．当或时， C．顶点的坐标为 D．当时，随的增大而减小 4．抛物线向右平移2个单位长度后，与y轴相交于点，则（     ） A． B． C． D． 5．对于反比例函数（a为常数），在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知，点，点，都在反比例函数的图象上，则的关系是（     ） A． B． C． D． 7．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 8．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如果全组有名同学，则根据题意列出方程是（     ） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 10．如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①② C．①④ D．②④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 12．若关于的方程是一元二次方程，则______． 13．如图，将绕点A逆时针旋转得到（点B、C、D的对应点分别为点E、F、G），连接，点E恰好在线段上，则的度数为___________． 14．已知方程的两个根是和，则代数式的值是_________． 15．已知点，，都是抛物线 （为常数）上的点，则的大小关系，用“<”连接为______． 16．在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点坐标为．反比例函数经过的中点，与交于点．点是反比例函数图象上一点，且点在矩形内部，轴，垂足为，连接，若的面积为2，则点的横坐标为_______． 三、解答题：本题共9小题，共86分。其中：17-21每题8分，22-23每题10分，24题12分，25题14分。 17．用适当的方法解方程． (1)； (2) 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)作绕原点逆时针旋转得到的（点、、的对应点分别为点、、）； (2)作关于原点成中心对称的（点、、的对应点分别为点、、）． 19．已知二次函数． x … 0 1 2 3 … y … 0 3 3 … (1)补全表格，并在图中用描点法画出该二次函数的图象； (2)根据二次函数的图象回答下列问题： ①当时，y的取值范围是 ； ②当时，的取值范围是 ． 20．2023年11月，第一届全国学生(青年)运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月份数量持续增高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个． (1)求 10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率． (2)若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在11月销量的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在 12月份可获利4200元？ 21．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于、两点，连结、． (1)求、的值和反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当时，关于的不等式的解集为____________． 22．综合与实践： 【生活情境】某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 23．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值． 例题：求的最小值． 解： ． ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为5． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：__________． (2)求的最小值． (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，则__________，__________，比较和的大小，并说明理由． 24．【问题背景】 如图1，在和中，点E在边上，，，且，，把点E在边上时，的位置作为起始位置（此时点B和点D位于的左、右两侧），将绕点A顺时针方向旋转，设旋转角为α，连接，点P是线段的中点，连接，． (1)如图2，当时，点D恰好落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．为了引发同学的思考，数学刘老师给出了此题的部分解法作为提示： 解：与的数量关系和位置关系分别是：，，理由如下： 如图2，过点B作，交的延长线于点F，连接、， ， ∵点P是的中点，， 在和中，，，， ， ，， … 请你将上述过程补充完整； 【问题拓展】 (2) 如图3，当时，若，，求的值． 25．如图①，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，设点P的横坐标为t． ①过点P作轴于点H，与交于点M，连接．当为直角三角形时，直接写出满足条件的t值； ②如图②，连接，过点P作交于点N，连接，．设的面积为，的面积为，求的最大值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $