精品解析：河南省信阳市商城县丰集高级中学、观庙高级中学2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题

2025-2026学年商城县丰集高中观庙高中两校月考联考 高二数学试题 考生注意: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间斜率公式求解即可； 【详解】解析：，又因为 所以， 故选：B. 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 3. 已知直线和互相平行，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 2或4 【答案】C 【解析】 【分析】根据两线平行有斜率相等列方程，求参数即可. 【详解】因为直线的斜率存在，当时，直线的斜率也一定存在， 所以，解得，经验证满足题设. 故选：C 4. 山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，得，在中，得，在中得，代入数值即可求得的值. 【详解】， 在中，， 在中，， 则， 由正弦定理，得，所以， 在中，. 故选：D. 5. 一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱（下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上），则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得圆锥的高，，设圆柱的高为，底面半径，则，从而可得，然后表示圆柱的侧面积，结合二次函数的性质可求． 【详解】解：由题意可得，， 故圆锥的高，， 设圆柱的高为，底面半径，则， 故， 所以， 圆柱侧面积， 当且仅当即时取得最大值． 故选：． 【点睛】本题主要考查圆柱的表面积的计算以及二次函数的性质的应用，属于中档题． 6. 已知直线的方程为，若直线与圆相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径，再由圆心到直线的距离小于半径可得； 【详解】圆的标准方程是， 圆心， 由题得， 解得． 故选：D. 7. 如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立的函数关系求解即可. 【详解】三棱锥中，过作平面，由，知， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图， 由平面，得，则， 令，则，设， 于是， 当且仅当时取等号，所以线段的最小值为. 故选：B 8. 已知正方体中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】平移直线，判断平移后的直线：在平面上，则平面，与平面交于一点则不平行，即可得解． 【详解】①中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行； ②中，由于，而平面，平面，故平面； ③中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行； 故选：B． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 设，为两个随机事件，且，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则，相互独立 B. 若和相互独立，则和一定不互斥 C. 若和互斥，则和一定相互独立 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由相互独立事件的定义可判断A；由相互独立事件和互斥事件的概念可判断B，C；举反例判断D，进而可得正确选项. 【详解】，为两个随机事件，且，， 对于A：由两个事件相互独立的定义知：若，则，相互独立，故选项A正确； 对于B：若和相互独立，则的发生对的发生的概率没有影响，所以和一定不互斥，故选项B正确； 对于C：若和互斥，则，若，相互独立则， 若和互斥，则和不相互独立，故选项C不正确； 对于D：设，则，， 则，，可得， 而，故选项D不正确. 故选：AB. 10. 如图，正方体的棱长为a，线段上有两个动点E，F，且.则下列结论正确的是（ ） A. 当E与重合时，异面直线与所成的角为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 在平面内的射影长为 D. 当E向运动时，二面角的平面角保持不变 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：当E与重合，BD中点为O并连接，可得，即为异面直线与所成角的平面角，应用余弦定理求余弦值，即可确定大小；B：由及A到面、B到直线的距离为定值即可判断；C：在平面内的射影在上，即可求射影长；D：由二面角为二面角即可判断. 【详解】A：当E与重合时，因为，此时F为的中点，记BD中点为O，连接，由正方体性质可知，，所以四边形为平行四边形，所以，又，，，所以，错误； B：，易知点A到平面的距离和点B到直线的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，正确； C：易知，在平面内的射影在上，所以射影长为，正确； D：二面角，即为二面角，显然其平面角不变，正确. 故选：BCD 11. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】A.将圆的一般方程转化为标准方程求解；B.利用点与圆的位置关系判断；C.根据点在圆C上，求得m，从而得到点P的坐标，再利用斜率公式求解；D．由的取值范围为求解； 【详解】圆C：的标准方程为 所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误； ，，因为M是圆C上任一点， 所以的取值范围为，即，故D正确； 故选：BD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的不得分.已知某道数学多选题正确答案为B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出所有的涂法，再求出小明得分的涂法即可求出答案. 【详解】小明随机地填涂了至少一个选项，共有=15种涂法，得分的涂法由3种， 所以他能得分的概率为 故答案为： 13. 若一组样本数据，，…，的，则样本数据，，…，的方差为_____. 【答案】8 【解析】 【分析】根据方差的性质计算可得. 【详解】由题意的一组样本数据，，…，的， 则样本数据，，…，的方差为. 故答案为：8 14. 在中，，， 分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________. 【答案】9 【解析】 【分析】取的中点为，把用表示，根据平面向量数量积的定义表示出，再根据投影向量的定义及平面向量数量积的几何意义即可求出的值，也就是的最小值. 【详解】 如图所示：取的中点为，则， 所以， 所以 ， 所以，当且仅当，共线同向时取等号（此时为直角）. 故答案为：9 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 从高三年级所有女生中，随机抽取个，其体重（单位：公斤）的频率分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 10 50 x 15 已知从个女生中随机抽取一个，抽到体重在的女生的概率为. （1）求出的值； （2）用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个，再从这5个女生中任取2个，求体重在和的的女生中各有1个的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意列方程组求解即可； （2）确定两组里抽取的人数，利用列举法求解古典概型的概率，即可得答案. 【小问1详解】 依题意可得，， 解得； 【小问2详解】 若采用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个， 则体重在的个数为，记为， 在的个数为，记为， 从抽出的5个女生中，任取2个共有： 共10种情况. 其中符合体重在和的女生中各有1个的情况共有： 种. 设事件表示“从这5个女生中任取2个，体重在和的女生中各有1个”， 则. 从这5个女生中任取2个，体重在和的女生中各有1个的概率为. 16. 已知 ，，其中，，设函数，且，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的数量积运算得到，根据，求得，再由函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，求得即可； （2）由，得到，再根据函数在区间上单调递减，由求解. 【小问1详解】 因为向量，， 所以， 因为，所以， 因为，所以，又函数图象的两条相邻对称轴间的距离为. 所以，则， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 又因为函数在区间上单调递减， 所以，则， 解得， 所以实数的最大值. 17. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）证明：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） 因为，由正弦定理得， 所以， 所以， 而，则或， 即或（舍去），故． （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和差的正弦公式化简得，进一步即可证明； （2）由题意首先求得的取值范围，进一步将目标式子转换为只含有的式子即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以的取值范围是， 由正弦定理可得：，则， 所以，所以， 因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是． 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． （1）求证：CD⊥平面PAD； （2）若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． （3）设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）直线在平面内，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由⊥平面可得，结合利用线面垂直判定定理可证； （2）由代入坐标建立方程组，由方程组有解可得直线在平面内； （3）由点G是线段PB上的一点．设，进而得坐标，求平面的一个法向量，由向量方法表示出，再利用换元法求函数值域可得. 【小问1详解】 因为⊥平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系. 则，，，， 、、、. ，，， 若平面，则且，使得， 则有，解得，故. 所以直线平面. 【小问3详解】 由（2）可知，. 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而，， 故. 19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）先探索面面垂直的必要条件，再证明充分性即可. （2）由（1）得面面垂直、线面垂直关系，建立空间直角坐标系，用向量方法表示线面角的正弦值，建立关于的方程求解即可 （3）借助体积公式可得当平面时，三棱锥的体积最大，借助等体积法计算可得内切球半径. 【小问1详解】 连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以. 下面证明当时，平面平面. 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，，则平面平面. 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则. 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得或（舍去）， 故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 【点睛】方法点睛：空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出或找到截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径；三是建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用有关半径等的等量关系解方程组可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年商城县丰集高中观庙高中两校月考联考 高二数学试题 考生注意: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线和互相平行，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 2或4 4. 山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ） A. B. C. D. 5. 一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱（下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上），则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 6. 已知直线的方程为，若直线与圆相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 设，为两个随机事件，且，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则，相互独立 B. 若和相互独立，则和一定不互斥 C. 若和互斥，则和一定相互独立 D. 10. 如图，正方体的棱长为a，线段上有两个动点E，F，且.则下列结论正确的是（ ） A. 当E与重合时，异面直线与所成的角为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 在平面内的射影长为 D. 当E向运动时，二面角的平面角保持不变 11. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的不得分.已知某道数学多选题正确答案为B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为___________. 13. 若一组样本数据，，…，的，则样本数据，，…，的方差为_____. 14. 在中，，， 分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 从高三年级所有女生中，随机抽取个，其体重（单位：公斤）的频率分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 10 50 x 15 已知从个女生中随机抽取一个，抽到体重在的女生的概率为. （1）求出的值； （2）用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个，再从这5个女生中任取2个，求体重在和的的女生中各有1个的概率. 16. 已知 ，，其中，，设函数，且，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值. 17. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）证明：； （2）若，求的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． （1）求证：CD⊥平面PAD； （2）若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． （3）设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $