精品解析：河南信阳市罗山县周党高级中学2026-2027学年度上学期高二第一次月考数学试卷

周党高中2026-2027学年度上期高二第一次月考数学试卷 审核：高二数学组 时间：2026年10月12日 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第十章+选择性必修一第一章 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间不在所在平面内的点P，都有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 4. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是（ ） A. 0.26 B. 0.08 C. 0.18 D. 0.72 5. 如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 9 6. 甲乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 已知是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C. “存在实数，使”是“与，共面”的充分不必要条件 D. 已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 10. 高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则（ ） A. 恰有一名参赛学生是男生的概率为 B. 至少有一名参赛学生是男生的概率为 C. 至多有一名参赛学生是男生的概率为 D. 两名参赛学生都是男生的概率为 11. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面ABCD C. 异面直线AE，BF所成的角为定值 D. 三棱锥的体积为定值 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则在上的投影向量为________． 13. 在空间直角坐标系中，已知，则点到平面的距离是__________. 14. 已知，则函数在区间(1，+∞)上为增函数的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. （1）设，试用向量表示； （2）求线段的长度. 16. 已知向量. （1）求向量的坐标； （2）求与夹角的正弦值. 17. 为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 18. 如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，． （1）求直线BF与平面ABCD所成的角； （2）求点A到平面FBD的距离． 19. 如图，在长方体中，，为CD的中点. （1）求证：； （2）在棱上是否存在一点P，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由； （3）若平面与平面夹角的大小为30°，求AB的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周党高中2026-2027学年度上期高二第一次月考数学试卷 审核：高二数学组 时间：2026年10月12日 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第十章+选择性必修一第一章 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案． 【详解】若，则或，故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件． 3. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间不在所在平面内的点P，都有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由条件可知，，，，四点共面， 又因为， 所以，解得. 4. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是（ ） A. 0.26 B. 0.08 C. 0.18 D. 0.72 【答案】A 【解析】 【分析】利用独立事件乘法公式、互斥事件加法公式，求各取一粒恰有一粒种子能发芽的概率. 【详解】由题设，甲、乙两批种子不发芽率分别为0.2和0.1， ∴两批种子中各取一粒恰有一粒种子能发芽的概率. 故选：A 5. 如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 6. 甲乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据甲队获胜的可能情况直接计算即可. 【详解】由已知得甲对获胜可能以下分为两种情况： ①第一局甲队获胜，此时的概率为； ②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此时的概率为， 综上所述，甲队获胜的概率为， 故选：D. 7. 四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接建立空间直角坐标系，再由共面，进而可得共面，由平面向量基本定理可得. 【详解】因为底面，底面为正方形，设，以为原点，分别为轴， 得各点坐标： ，是中点，得. 由，所以，，. 设，由，所以，， 所以. 因为平面，所以共面，因此共面，且不共线， 由平面向量基本定理，设，则， 所以，解得. 8. 在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将的最小值问题转化为求的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解. 【详解】 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标: ，因点在线段上，设，其中， ，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即， 又，， 则， 由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大， 当时，，此时取得最大值， 代入得：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 已知是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C. “存在实数，使”是“与，共面”的充分不必要条件 D. 已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设，再判断是否有实数解即可；对于B，根据向量的夹角公式计算；对于C，根据命题条件的判定，结合向量的性质判断即可；对于D，由重心的向量表示即可判断． 【详解】对于A选项，设， 因为是空间的一组基底， 所以，无实数解，故不共面， 所以也是空间的一组基底，A正确； 对于B：因为，， 所以向量与的夹角余弦值为，B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与，共面”， “与，共面”不一定能推出“存在实数，，使”， 因为当，共线但与，不共线时，与，共面成立， 但不存在实数，，使，C正确； 对于D：因为，所以， 即，即， 所以，，共面且有公共点，所以点在平面内， 取中点，则有， 同理取中点，则有， 所以为的重心，D正确． 10. 高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则（ ） A. 恰有一名参赛学生是男生的概率为 B. 至少有一名参赛学生是男生的概率为 C. 至多有一名参赛学生是男生的概率为 D. 两名参赛学生都是男生的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果， 对于A，恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3=9(种)结果，从而可求出概率；对于B，先求其对立事件“两名参赛学生都是女生”的概率，再求所求概率；对于D，从3名男生中任选2人有3种结果，从而可求出概率；对于C，“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以用1减去D项的概率即可 【详解】从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果.恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3=9(种)结果，所以恰有一名参赛学生是男生的概率为，A对； “至少有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，从3名女生中任选2人有3种结果，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为，B错； “两名参赛学生都是男生”，从3名男生中任选2人有3种结果，其概率为，D错； “至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为，C对. 故选：AC 11. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面ABCD C. 异面直线AE，BF所成的角为定值 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过线面的垂直关系可判A项真假；根据线面平行可判B项真假；根据列举特殊情况可判C项真假;根据三棱锥的体积计算的公式可判D项真假； 【详解】因为， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以，故A项正确； 易知，所以， 又因为平面，平面，所以平面，故B项正确； 当点E在点处，F为的中点时，由，可得异面直线AE，BF所成的角是， 此时,, 当E为上底面中心时，F在的位置，此时异面直线AE，BF所成的角是， 此时 , ,所以， 所以异面直线AE，BF所成的角不是定值，所以C错误； 如图，连接交于点. 因为平面，平面， 所以，所以 因为平面， 所以A到平面的距离为， 所以为定值，故D项正确； 故选：ABD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则在上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【详解】，， 在上的投影向量为. 13. 在空间直角坐标系中，已知，则点到平面的距离是__________. 【答案】## 【解析】 【详解】因为， 所以， 设平面EFG的一个法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离. 14. 已知，则函数在区间(1，+∞)上为增函数的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】由于，所以基本事件总数，然后分和讨论函数区间(1，+∞)上为增函数的情况，从而可求得其概率 【详解】解：∵， ∴基本事件总数.用(a，b)表示a，b的取值. 若函数在区间(1，+∞)上为增函数，则①当时，， 符合条件的只有，即； ②当时，需满足，符合条件的有，共4种. ∴函数在区间(1，+∞)上为增函数的概率 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. （1）设，试用向量表示； （2）求线段的长度. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）根据即可求解； （2）由题意可得，根据空间向量的数量积运算即可求解. 【小问1详解】 因为为的中点，为线段上靠近的三等分点， 所以,， 所以 . 【小问2详解】 因为底面边长和侧棱长都等于2， 所以， 所以 . 16. 已知向量. （1）求向量的坐标； （2）求与夹角的正弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【小问1详解】 因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 17. 为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 【答案】（1）派甲参赛获胜的概率更大 （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率分别计算甲、乙比赛胜出的概率比较即可得解； （2）考虑问题的对立面，计算两人都没有赢得比赛的概率，根据对立事件的概率之和为1即可得解. 【小问1详解】 设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， ，，， ， 同理 因为， 所以，派甲参赛获胜的概率更大. 【小问2详解】 由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， ，； 于是“两人中至少有一人赢得比赛”. . 18. 如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，． （1）求直线BF与平面ABCD所成的角； （2）求点A到平面FBD的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 以O为原点，OD，OA，ON所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. （1）求出平面ABCD的法向量，通过空间向量的数量积求解直线BF与平面ABCD的夹角，(2)求出平面FBD的法向量，利用空间向量的数量积求解点A到平面FBD的距离. 【详解】 解：设，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易得平面ABCD：作.以O为原点，OD，OA，ON所在直线分别为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系. （1）由已知得，，，，， 因为z轴垂直于平面ABCD，因此可令平面ABCD的一个法向量为， 设直线BF与平面ABCD所成的角为， 又， 则有， 即， 所以直线BF与平面ABCD所成的角为． （2）因为，， 设平面FBD的法向量为， ， 令，得， 又， 所以点A到平面FBD的距离． 19. 如图，在长方体中，，为CD的中点. （1）求证：； （2）在棱上是否存在一点P，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由； （3）若平面与平面夹角的大小为30°，求AB的长. 【答案】（1） 如图连接，由题易得，则四点共面. 因，且几何体为长方体，可得，平面， 又平面，则. 因平面，，则平面，又平面，则； （2）存在，； （3）2 【解析】 【分析】（1）如图连接，先证明四点共面，再证平面，据此可完成证明； （2）如图建立空间直角坐标系，设，其中，，分别求出和平面法向量坐标，利用空间向量知识可得答案； （3）由（2），求出平面法向量坐标，由平面与平面夹角的大小为30°，可得关于的方程，据此可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，设，其中，. 则，，， .设平面法向量为，则， 令，则，则取. 因平面，则，即存在点满足题意，此时； 【小问3详解】 由（2），，，. 设平面法向量为，则，则取.因平面与平面夹角的大小为30°， 则， 化简得，则AB的长为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $