第21章 二次函数与反比例函数 学情监测（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

九年级数学HK（上册）学情监测（一） 一、选择题 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数定义，依次判断每个选项是否满足整式且二次项系数不为的条件． 【详解】解：选项A、B中的表达式均未说明二次项系数，不符合二次函数要求； 选项C中符合二次函数的要求； 选项D中含分式，不是整式，不符合要求． 【2题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数顶点式可直接得到对称轴的特点，先判断A、B选项，再验证C、D选项． 【详解】解：A.的对称轴为直线，符合题意； B.的对称轴为直线，不符合题意； C.的一次项系数为，对称轴为直线，不符合题意； D.的一次项系数为，对称轴为直线，不符合题意． 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先代入点坐标求出的值，再把点坐标代入反比例函数求出，最后判断选项． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． ∵点在该反比例函数的图象上， ∴． 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】将交点坐标代入抛物线解析式，得到的值，再整体代入代数式计算． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为， ∴， ∴， ∴． 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象平移规律：左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：由题意得：平移后得到的二次函数的关系式为：． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟知图象平移规律是解答的关键． 【7题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可. 【详解】观察函数图象可发现：或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使成立的取值范围是或， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键. 【8题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得的值，设球出手时，他跳离地面的高度为，则可得，然后解方程即可． 【详解】解：∵当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 由图知图象过以下点：， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 设球出手时，他跳离地面的高度为， ∵， 则球出手时，球的高度为， ∴， ∴． 故选：A． （2026·安徽模拟） 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：观察二次函数图象可知：， ∴一次函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限,反比例函数的图象在第二、四象限. 故选C. （2025·泸州） 【10题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线与轴没有公共点，可得，求得，求出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，再结合已知当时，随的增大而减小，可得，据此即可求得答案. 【详解】， 抛物线与轴没有公共点， ，解得， 抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上， 而当时，随的增大而减小， ， 实数的取值范围是， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 二、填空题 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义、性质与运用，根据平均每天的用天然气数使用的天数总天然气量列式，整理即可求出与的函数关系式． 【详解】 是钱数． 故答案为：． 【12题答案】 【答案】a1＞a2＞a3 【解析】 【分析】根据二次函数图像的性质，结合上图，即可得到答案． 【详解】∵三个二次函数的图象开口都向上 ∴a1，a2，a3都为正数 ∵在y＝ax2中，a的绝对值越大，抛物线开口越小 ∴a1＞a2＞a3 故答案为：a1＞a2＞a3． 【点睛】本题考查了二次函数图像的知识；求解的关键是熟练掌握二次函数图像的性质． 【13题答案】 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，求阴影部分的面积，先根据点的坐标求出矩形的面积，再根据k的几何意义求出和，最后根据得出答案． 【详解】∵点， ∴，， ∴． ∵反比例函数， ∴， ∴． 故答案为：6． 【14题答案】 【答案】 ①. 0 ②. 2 【解析】 【分析】（1）直接将点代入计算即可 （2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值 【详解】解：（1）将代入得： 故答案为：0 （2）根据题意可得新的函数解析式为： 由抛物线顶点坐标 得新抛物线顶点的纵坐标为： ∵ ∴当a=1时，有最大值为8， ∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 故答案为：2 【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法 三、 【15题答案】 【答案】抛物线的顶点坐标为． 【解析】 【分析】利用对称轴公式求出的值，代入已知点求出，再化成顶点式得到顶点坐标． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ，即． 解得． ． 将代入，得， 解得． 抛物线的表达式为． 抛物线的顶点坐标为． （2025·湖北） 【16题答案】 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意得出AE=6，结合平行四边形的面积得出AD=BC=4，继而知点D坐标，从而得出反比例函数解析式； 【详解】解：顶点的坐标是，顶点的纵坐标是， ， 又的面积是， ， 则 ， 反比例函数解析式为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式及待定系数法求反比例函数的能力． 四、 【17题答案】 【答案】8 【解析】 【分析】由抛物线解析式求得之间的距离，然后利用二次函数图象的性质来求面积最值． 【详解】解：令，则， 解得，． ． 为抛物线上一动点，且面积最大， 为抛物线顶点． ， 点的坐标为． ． 【18题答案】 【答案】（1）顶点坐标为，开口向下 （2）③ 【解析】 【分析】（1）观察表格中函数值随自变量的变化规律，找到函数最大值对应的x和y，即可得到顶点坐标，进而判断开口方向． （2）根据二次函数与一元二次方程的关系，方程的根是二次函数中对应的x值，根据y的正负变化确定根所在区间，即可选出正确选项． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，随的增大先增大后减小，当时，取得最大值， 因此二次函数的顶点坐标为． 因为二次函数有最大值，所以二次函数图象开口向下． 【小问2详解】 解：一元二次方程的根对应二次函数中时的取值． 由表格可知，当时， ， 当时，， 因此一个根满足 ． 当时，，当时， ， 因此另一个根满足．符合该范围的是选项③． 五、 （合肥期中） 【19题答案】 【答案】（1）；（2）不能投中 【解析】 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点，设函数的顶点式，再将（0，2）代入，求得二次项系数，从而可得抛物线的解析式； （2）判断当x＝7时，函数值是否等于3.19即可． 【详解】（1）依题意得抛物线顶点为（4，4）， 则设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4 依题意得抛物线经过点（0，2） ∴a（0﹣4）2+4＝2 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）当x＝7时，= ∴这个球员不能投中． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法以及实际应用，关键是求得函数的解析式，借助二次函数解决实际问题. 【20题答案】 【答案】（1）． （2）点坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）连接，与对称轴的交点即为所求之点．为求点坐标，求出直线的解析式，然后令求得，即可求出点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：， ∴对称轴为． 【小问2详解】 解：令，则，解得，． ． 连接，与对称轴的交点即为所求点，由于，两点关于对称轴对称，则此时最小． 设直线的函数表达式为． ，在该直线上， 解得 直线的函数表达式为． 当时，， 点坐标为． 六、 【21题答案】 【答案】（1）点的坐标是． （2）9 【解析】 【分析】（1）代入点求反比例函数解析式，利用平行四边形性质得到点坐标，求出直线解析式，联立方程求点坐标， （2）用平行四边形面积减去三角形面积求四边形面积． 【小问1详解】 解：点的坐标是， 反比例函数的表达式是． 由已知得，四边形是平行四边形． ，， ． 设直线的函数表达式为． 把，代入，得 解得 直线的函数表达式为． 联立 解得 点在第一象限， 点的坐标是 【小问2详解】 解：． 七、 （2025·重庆） 【22题答案】 【答案】（1）；（2）每千克60元，最大获利为1950元 【解析】 【分析】（1）设一次函数关系式为，根据图像中的两点坐标即可求解； （2）由获利，再根据二次函数的性质即可求解. 【详解】解： （1）设一次函数关系式为 由图象可得，当时，；时， ∴，解得 ∴与之间的关系式为． （2）设该公司日获利为元，由题意得 ∵； ∴抛物线开口向下； ∵对称轴； ∴当时，随着的增大而增大； ∵， ∴时，有最大值； ． 即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元． 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与二次函数的性质. 八、 【23题答案】 【答案】（1）或． （2）①1 ②点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据，点在轴负半轴上，进而确定、两点坐标，代入解答即可； （2）①作，垂足为，设点，结合对称性确定点坐标，进而用含的代数式表示出、、； 再根据与的面积相等列式求得的值即可； ②分当点在直线左、右侧时，在中利用勾股定理列式进而解答即可． 【小问1详解】 解：∵，点在轴的负半轴上， ∴点，． 将，代入中， 得 解得 ∴或． 【小问2详解】 解：①作，垂足为，设点坐标为． ，点和点关于直线对称， ． ，，． ， ． ． 点到直线的距离是1． ②当点在直线的左侧时，，，． 在中，． 当时，取最小值1．此时点的坐标为． 当点在直线的右侧时，，，． 同理，． 当时，取最小值1． 此时点的坐标为． 综上可知，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学HK（上册）学情监测（一） 一、选择题 1. 下列函数表达式中，关于的二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列二次函数中，其图象的对称轴是直线的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点，都在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. -3 B. 3 C. -6 D. 6 4. 已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2019 5. 为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ） A. B. C. D. 6. 将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的函数关系式是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数和反比例函数的图象相交于，两点，则使成立的取值范围是(　　) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 一位运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手球出手时，他跳离地面的高度是（ ） A. B. C. D. （2026·安徽模拟） 9. 已知二次函数y=（x+m）2–n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（ ） A. B. C. D. （2025·泸州） 10. 已知二次函数(其中是自变量)的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、填空题 11. 小艳家购买了一张面值为元的天然气使用卡，这些天然气能使用的天数与小艳家平均每天使用天然气的钱数之间的函数关系式为___________． 12. 如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝a1x2，②y＝a2x2，③y＝a3x2的图象，比较a1，a2，a3的大小是________． 13. 如图，过点作轴，垂足为C，轴，垂足为D．，分别交反比例函数 （）的图象于点A，B，则阴影部分的面积是________． 14. 设抛物线，其中a为实数． （1）若抛物线经过点，则______； （2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______． 三、 15. 已知抛物线经过点，对称轴是直线，求抛物线顶点的坐标． （2025·湖北） 16. 如图，中，顶点的坐标是，轴，交轴于点，顶点的纵坐标是，的面积是．反比例函数的图象经过点和，求反比例函数的表达式． 四、 17. 已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线上一动点，求的最大面积． 18. 二次函数（，，，是常数）中，自变量与函数的对应值如下表： 1 1 1 （1）写出二次函数图象的顶点坐标 ．开口方向 ． （2）一元二次方程（是常数）的两个根的取值范围是下列选项中的哪一个 ． ① ；② ③；④ 五、 （合肥期中） 19. 在一场篮球比赛中，一名球员在关键时刻投出一球，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，已知篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3.19米． （1）以地面为x轴，篮球出手时垂直地面所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线轨迹的解析式； （2）通过计算，判断这个球员能否投中？ 20. 如图，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）写出抛物线的对称轴． （2）在抛物线的对称轴上找一点，使得点到点，的距离之和最小，并求出点的坐标． 六、 21. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点的坐标是，连接，过点作的平行线，过点作轴的平行线，交于点，与反比例函数的图象交于点，连接．求： （1）点的坐标． （2）四边形的面积． 七、 （2025·重庆） 22. 我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？ 八、 23. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，． （1）求二次函数的表达式． （2）动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点． ①点在抛物线上，与的面积相等，求点到直线的距离； ②在满足①的条件下，当线段的长度最小时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $