第21章 二次函数与反比例函数 单元测试卷 2026-2027学年沪科版数学 九年级上册

第21章 二次函数与反比例函数 单元测试卷 2026-2027学年沪科版数学 九年级第一学期 一、单选题 1．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，BC的长y米，菜园的面积为S(单位：平方米) ．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（       ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（        ） A．（1，3） B．（0，1） C．（0，—3） D．（2，1） 3．已知函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠0 D．且k≠0 4．抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（       ） A． B． C． D．5 5．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．对于反比例函数，下列说法错误的是（       ） A．它的图像在第一、三象限 B．它的函数值y随x的增大而减小 C．点P为图像上的任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A．△POA的面积是 D．若点A（-1，）和点B(,）在这个函数图像上，则＜ 7．反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数的图象大致是（       ） A． B． C． D． 8．关于的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 二、填空题 9．将二次函数化成一般形式，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 10．抛物线的顶点在x轴上，那么 ． 11．如图有一抛物线形的拱桥，拱高10米，跨度为40米，则该抛物线的表达式为 . 12．如图，边长为4的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和是 ． 13．如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段上一点，将沿翻折，O点恰好落在对角线上的点P处，反比例函数经过点B．二次函数的图象经过、G、A三点，则该二次函数的解析式为 ．（填一般式） 15．如图,点O是正方形ABCD的对称中心,射线OM,ON分别交正方形的边AD,CD于E,F两点,连接EF,已知AD=2,∠EOF=90°. (1)以点E,O,F,D为顶点的图形的面积为　　　　; (2)求线段EF的最小值. 三、解答题 16．已知反比例函数的图像经过直线上的点，求m和k的值 17．如图，抛物线与直线分别相交于、两点，其中点在轴上，且此抛物线与轴的一个交点为． （1）求抛物线的解析式 （2）在抛物线对称轴上找一点，使的周长最小，请求出这个周长的最小值． 18．某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形的边米，面积为平方米． （1）求活动区面积与之间的关系式，并指出的取值范围； （2）当为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数由函数平移得到，且与函数的图象交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．当时，直接写出的取值范围． 20．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这一函数的解析式． (2)当气体的体积为时，气压是多少? (3)当气球内的气压大于时，气球会将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少? 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1．【答案】A 【分析】 根据题意求得y和S与x的函数关系式，然后由函数关系式可直接进行判别即可． 【详解】 解：由题意可知：， ，则，即，y与x满足一次函数关系 菜园的面积：，S与x满足二次函数的关系 故选A 【点睛】 本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键． 2．【答案】D 【分析】 根据抛物线与轴的两个交点坐标确定对称轴后即可确定顶点坐标． 【详解】 解：观察图象发现图象与轴交于点和， 对称轴为， 顶点坐标为， 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据交点坐标确定对称轴，难度不大． 3．【答案】B 【分析】 对分情况进行讨论，时，为一次函数，符合题意；时，二次函数，求解即可． 【详解】 解：当时，函数为，为一次函数，与x轴有交点，符合题意； 当，函数为，为二次函数， 因为图像与x轴有交点 所以，，解得且 综上， 故选B 【点睛】 此题考查了二次函数与x轴有交点的条件，解题的关键是对分情况进行讨论，易错点是容易忽略的情况． 4．【答案】A 【分析】 先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可． 【详解】 解：∵抛物线经过点、，且与y轴交于点， ∴， 解方程组得， ∴抛物线解析式为， 当时，． 故选择A． 【点睛】 本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键． 5．【答案】A 【分析】由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D可能正确，B,C不符合舍去，然后对A,D选项，根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【详解】解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D符合，B,C不符合舍去， A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确； D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误． 故选A． 6．【答案】B 【分析】 根据反比例函数图象与系数的关系解答． 【详解】 解：A、反比例函数中的>0，则该函数图象分布在第一、三象限，故本选项说法正确． B、反比例函数中的>0，则该函数图象在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项说法错误． C、点P为图像上的任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A．，∴△POA的面积=，故本选项正确． D、∵反比例函数，点A（-1，）和点B(,）在这个函数图像上，则y1<y2，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】 本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大；还考查了k的几何意义． 7．【答案】D 【分析】 根据题意可得，进而根据一次函数图像的性质可得的图象的大致情况． 【详解】 反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三、四象限． 观察选项只有D选项符合． 故选D 【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，一次函数图像的性质，根据已知求得是解题的关键． 8．【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和、两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可． 【详解】解：由方程有两个不相等的实根，， 可得，，， ∵，可得，，即， 化简得， 则， 故最大值为， 故选D. 【知识归纳】一元二次方程都可化为，它的解是，根与系数的关系为，. 9．【答案】-2；8； 【分析】 通过去括号，移项，可以把方程化成二次函数的一般形式，然后确定二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】 y=﹣2（x﹣2）2变形为：y=﹣2x2+8x﹣8，所以二次项系数为﹣2；一次项系数为8；常数项为﹣8． 故答案为﹣2，8，﹣8． 【点睛】 本题考查的是二次函数的一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，确定二次项系数，一次项系数，常数项的值． 10．【答案】 【分析】 抛物线的顶点在轴上，则顶点的纵坐标为0，根据顶点纵坐标公式，列方程求解． 【详解】 解：抛物线的顶点纵坐标为， ∵顶点在轴上， ∴， 解得，经检验符合题意 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点在轴上，则顶点坐标的纵坐标为0． 11．【答案】 【分析】 由题意抛物线过点（40，0），顶点坐标为（20,10），设抛物线的解析式为，从而求出a的值，然后确定抛物线的解析式． 【详解】 解:依题意得此函数解析式顶点为, ∴设解析式为, 又函数图象经过, , , . 故答案为 . 【点睛】 本题主要考查用待定系数法确定二次函数的解析式,解题时应根据情况设抛物线的解析式从而使解题简单,此题设为顶点式比较简单. 12．【答案】8 【分析】 根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，且AB∥x轴，BC∥y轴，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】 解：根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转90°，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合，所以阴影的面积是图中正方形面积的一半， 且AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数与的图象均与正方形ABCD的边相交， 而边长为4的正方形面积为16， 所以图中的阴影部分的面积是8． 故答案为：8． 【点睛】 本题主要考查反比例函数图象和性质的应用，关键是要分析出其图象特点，再结合性质作答． 13．【答案】 【分析】 根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为，进而得到A点坐标为，B点坐标为，利用待定系数法即可求得函数解析式． 【详解】 ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴CD=AB=4 ∴C点坐标为 ∴A点坐标为，B点坐标为 设函数解析式为，代入C点坐标有 解得 ∴函数解析式为，即 故答案为． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，和待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是求出A点或B点的坐标． 14．【答案】 【分析】 先由题意得到，再设设，由勾股定理得到，解得x的值，最后将点C、G、A坐标代入二次函数表达式，即可得到答案. 【详解】 解：点，反比例函数经过点B，则点， 则，， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， 解得：，故点， 将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故答案为． 【点睛】 本题考查求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法. 15．【答案】(1)1　【解析】连接AO，DO.∵四边形ABCD为正方形，∴AO＝OD，∠AOD＝90°，∠OAD＝∠ODF＝45°.∵∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠DOF，∴△AEO≌△DFO(ASA)，∴S△AEO＝S△DFO，∴S四边形EOFD＝S△ADO.∵AD＝2，∴S△ADO＝×2×2＝1，∴S四边形EOFD＝1. (2)【解】设AE＝x，则ED＝2－x.∵△AEO≌△DFO，∴DF＝AE＝x.在Rt△EDF中，EF2＝x2＋(2－x)2＝2x2－4x＋4＝2(x－1)2＋2，∴当x＝1时，EF2有最小值，为2，即EF的最小值为. 16．【答案】． 【分析】 先将P点坐标代入直线解析式可求出m值，进而可得P点坐标，再将P点坐标代入反比例函数解析式即可得k的值． 【详解】 把，代入的左右两边解得； 把，代入的左右两边解得． 【点睛】 本题主要考查了正比例函数和反比例函数的解析式，根据解析式求出点的坐标是解题的关键． 17．【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）利用的解析式求解的坐标，把，代入，利用待定系数法列方程组，解方程组可得答案； （2）联立两个函数解析式，求解的坐标，线段的长度， 如图，要使的周长最小，则最小，设二次函数与轴的另一交点为，抛物线的对称轴为： 点，连接 交对称轴于 ，此时，最小，再利用勾股定理求解，从而可得答案． 【详解】 .解：（1）抛物线与直线交于轴上一点， 令 则 点 把，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式是； （2）将直线与二次函数联立得方程组： 解得：或， ， 如图，要使的周长最小，则最小， 设二次函数与轴的另一交点为， 抛物线的对称轴为： 点， 连接 交对称轴于 ， 此时，最小， 此时：， 的周长最小值为． 【点睛】 本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，掌握以上知识是解题的关键． 18．【答案】（1）；（2）当为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米 【分析】 (1)由总长度-垂直于墙的两边的长度=平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出x的取值范围； (2)由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可. 【详解】 解：（1）四边形是矩形，米， 米， 墙长为22米， ， ， ， 即； （2）设矩形的面积为 ， 由（1）知，， 当时，有最大值200， 即当为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米． 【点睛】 此题考查了二次函数的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解. 19．【答案】（1）一次函数的表达式为：；（2）． 【分析】 （1）由点在函数图像上，可求，可得点，由一次函数由函数平移得到，可得，由一次函数过点A，可得即可； （2）当时，点位于点的下方．即反比例函数的图像在一次函数图像的上方，符合条件的点在点A的左侧，y轴右侧，即即可 【详解】 解：（1）∵点在函数图像上， ∴， ∴点， 又∵一次函数由函数平移得到， ∴， ∵一次函数过点A， ∴， ∴一次函数的表达式为：； （2）当时，点位于点的下方．即反比例函数的图像在一次函数图像的上方，符合条件的点在点A的左侧，即 【点睛】 本题考查平行线的性质，一次函数解析式，反比例函数的性质，利用函数图像求的条件是解题关键． 20．【答案】（1） ；（2）60KPa；（3） 【分析】 （1）设，A（0.5,120）在反比例函数上，即可求得反比例函数解析式； （2）把V=1代入（1）中的函数关系式求P即可； （3）依题意P≤150，即，解不等式即可． 【详解】 （1）设， ∵A（0.5,120）在反比例函数上 ∴ ∴k＝60 ∴； 故答案为： （2）当V＝1m3时，=60（KPa）； 故答案为：60KPa （3）当P＞150KPa时，气球将爆炸， ∴P≤150， ∴， 解得V0.4（m3）． 故答案为：为了安全起见，气体的体积应不小于0.4（m3）． 【点睛】 本题考查了反比例函数的应用，将实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $