学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（安徽专用，新教材沪科版，范围：九年级上册第21章二次函数与反比例函数）

**基本信息** 本卷聚焦二次函数与反比例函数核心内容，通过开封虹桥、足球射门等真实情境设计问题，梯度覆盖概念理解、性质应用及建模能力，有效检测九年级学生开学初知识掌握情况。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次函数定义、反比例函数性质、抛物线交点|结合函数图像辨析，考查抽象能力与几何直观| |填空题|4/20|函数平移、图像性质、新定义“二倍点”|引入“二倍点”概念，发展创新意识与推理能力| |解答题|9/90|抛物线表达式、实际应用（大蒜储存、足球射门）|以大蒜储存问题构建二次函数模型，培养数据观念与应用意识；足球射门问题结合运动轨迹，提升空间观念与数学表达|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）下列函数是二次函数的是（   ） A． B．（为常数） C． D． 2．（4分）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象在第二、四象限 C．当时， D．当时，y随着x的增大而增大 3．（4分）抛物线与坐标轴有3个交点，则（   ） A． B．且 C． D．且 4．（4分）在函数（为常数）的图象上有三点，，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 6．（4分）二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（    ） A． B． C． D． 7．（4分）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（   ） A． B． C． D． 8．（4分）已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 9．（4分）已知二次函数在时有最小值，则（   ） A． B．或 C．或 D．或 10．（4分）如图，二次函数与x轴交于点、，与y轴交于点C，其中．则下列结论：；②方程没有实数根；③；．其中所有正确结论序号是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（5分）已知二次函数，将该二次函数的图象向下平移3个单位，所得新的函数表达式为_____． 12．（5分）若反比例函数的图象过点，，且，则______． 13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点， 轴于点，的面积为6，则的值为______． 14．（5分）对于一个函数，自变量x取m时，函数值y等于2m，则称点是这个函数的“二倍点”，已知二次函数． （1）若点是此函数的“二倍点”，则此函数另一个“二倍点”B的坐标是_______， （2）若此函数有两个相异的“二倍点”、，且，则k的取值范围_______． 三、解答题：本题共9小题，共90分。 15．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)求该抛物线与直线的交点坐标． 16．（8分）已知二次函数． (1)将写成的形式为 ； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； ___ ___ ____ ____ ___ ___ ___ ____ ____ ___ (3)当时，结合图象直接写出自变量的取值范围 ． 17．（8分）已知二次函数． (1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； (2)若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 18．（8分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点与点关于轴对称，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 19．（10分）如图，抛物线（b，c是常数）与y轴交于点A，已知点B和点C分别是抛物线和x轴上的点，四边形是正方形且边长为2． (1)求b，c的值； (2)若将该抛物线向下平移个单位长度，使其顶点落在正方形内（不包括边上），求m的取值范围． 20．（10分）大蒜是我国重要蔬菜品种，尤其山东种植大蒜历史悠久，种植大蒜无疑是脱贫致富的好途径，大蒜刚上市时，张经理按市场价格6元/千克在生产基地收购了2000千克大蒜存放入冷库储存，据预测，大蒜的市场价格每天每千克将上涨0.2元，但冷库存放这批蒜时每天需要支出各种费用合计170元，而且大蒜在冷库中最多保存90天，同时，平均每天有5千克的大蒜损坏不能出售． (1)若存放天后，将这批大蒜一次性出售，设这批大蒜的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式； (2)张经理想获得利润元，需将这批大蒜存放多少天后出售？ (3)张经理将这批大蒜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 21．（12分）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 22．（12分）足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的 水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．     (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点，的坐标分别为，，对称轴交轴于点，点为顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方一点，且，求直线的解析式； (3)点是抛物线上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）下列函数是二次函数的是（   ） A． B．（为常数） C． D． 2．（4分）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象在第二、四象限 C．当时， D．当时，y随着x的增大而增大 3．（4分）抛物线与坐标轴有3个交点，则（   ） A． B．且 C． D．且 4．（4分）在函数（为常数）的图象上有三点，，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 6．（4分）二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（    ） A． B． C． D． 7．（4分）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（   ） A． B． C． D． 8．（4分）已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 9．（4分）已知二次函数在时有最小值，则（   ） A． B．或 C．或 D．或 10．（4分）如图，二次函数与x轴交于点、，与y轴交于点C，其中．则下列结论：；②方程没有实数根；③；．其中所有正确结论序号是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（5分）已知二次函数，将该二次函数的图象向下平移3个单位，所得新的函数表达式为_____． 12．（5分）若反比例函数的图象过点，，且，则______． 13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点， 轴于点，的面积为6，则的值为______． 14．（5分）对于一个函数，自变量x取m时，函数值y等于2m，则称点是这个函数的“二倍点”，已知二次函数． （1）若点是此函数的“二倍点”，则此函数另一个“二倍点”B的坐标是_______， （2）若此函数有两个相异的“二倍点”、，且，则k的取值范围_______． 三、解答题：本题共9小题，共90分。 15．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)求该抛物线与直线的交点坐标． 16．（8分）已知二次函数． (1)将写成的形式为 ； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； ___ ___ ____ ____ ___ ___ ___ ____ ____ ___ (3)当时，结合图象直接写出自变量的取值范围 ． 17．（8分）已知二次函数． (1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； (2)若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 18．（8分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点与点关于轴对称，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 19．（10分）如图，抛物线（b，c是常数）与y轴交于点A，已知点B和点C分别是抛物线和x轴上的点，四边形是正方形且边长为2． (1)求b，c的值； (2)若将该抛物线向下平移个单位长度，使其顶点落在正方形内（不包括边上），求m的取值范围． 20．（10分）大蒜是我国重要蔬菜品种，尤其山东种植大蒜历史悠久，种植大蒜无疑是脱贫致富的好途径，大蒜刚上市时，张经理按市场价格6元/千克在生产基地收购了2000千克大蒜存放入冷库储存，据预测，大蒜的市场价格每天每千克将上涨0.2元，但冷库存放这批蒜时每天需要支出各种费用合计170元，而且大蒜在冷库中最多保存90天，同时，平均每天有5千克的大蒜损坏不能出售． (1)若存放天后，将这批大蒜一次性出售，设这批大蒜的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式； (2)张经理想获得利润元，需将这批大蒜存放多少天后出售？ (3)张经理将这批大蒜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 21．（12分）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 22．（12分）足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的 水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．     (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点，的坐标分别为，，对称轴交轴于点，点为顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方一点，且，求直线的解析式； (3)点是抛物线上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）下列函数是二次函数的是（   ） A． B．（为常数） C． D． 【答案】A 【分析】主要考查了二次函数的定义，深刻理解并熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，故选项符合题意； B、（为常数），当时，函数为一次函数，故选项不符合题意； C、，解析式中有分式，它不是二次函数，故选项不符合题意； D、，解析式中有分式，它不是二次函数，故选项不符合题意； 故选：． 2．（4分）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象在第二、四象限 C．当时， D．当时，y随着x的增大而增大 【答案】C 【分析】主要考查反比例函数的图象及相关性质，掌握相关知识是解题的关键． 把代入解析式看左边是否等于右边即可；根据反比例函数的选择性当，图象在第二、四象限；只有在第二象限时，当时，；当，且k，y随x的增大而增大． 【详解】解：A、把代入解析式得：左边＝右边，故本选项正确，不符合题意； B、因为，图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意； C、在第二象限时，当时，，故本选项错误，符合题意； D、当，且，y随x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 3．（4分）抛物线与坐标轴有3个交点，则（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点情况，由已知条件可知抛物线与x轴有两个交点，只需即可． 【详解】解：∵抛物线的图象与坐标轴有3个交点，且抛物线与y轴必有一个交点， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴，即， 解得：， ∵当时，抛物线过原点，此时抛物线与坐标轴只有两个交点， ∴， ∴k的取值范围为：且， 故选：B． 4．（4分）在函数（为常数）的图象上有三点，，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查反比例函数的性质与图象，掌握相关知识是解决问题的关键．因为， 所以图象过一、三象限，画出函数图象，利用图象数形结合的解决问题． 【详解】解：， ∴图象过一、三象限，如图， 由图象可知， 故选：C． 5．（4分）下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 【答案】C 【分析】主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，即可求解． 【详解】解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线，故A错误； ∵，当时，， ∴当时，，故B错误； ∵数据从到1对应的y值不断增大， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； ∴函数有最大值4，故D错误． 故选：C． 6．（4分）二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， ∴当时，；时，， ∴当时，，只有选项符合， 故选：． 7．（4分）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故选：C． 8．（4分）已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，从而函数的图象开口向下，对称轴为直线，从而排除A、D，C，故可得解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则， ∴函数的图象开口向下，对称轴为直线． ∴综上，可得B正确． 故选：B． 9．（4分）已知二次函数在时有最小值，则（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先求出对称轴为，分，两种情况讨论解答即可求得的值． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， ①，抛物线开口向上， 时，有最小值， 解得：； ②，抛物线开口向下， 对称轴为直线，在时有最小值， 时，有最小值， 解得： ； 综上所述，或． 故选：D． 10．（4分）如图，二次函数与x轴交于点、，与y轴交于点C，其中．则下列结论：；②方程没有实数根；③；．其中所有正确结论序号是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键．根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与x轴交于点、，，图象开口向上， ∴对称轴直线为，． ，当时，． ，即． ． ，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值在x轴的下方． ∴抛物线与直线有两个不同的交点． ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与y轴交于点，其中， ∴当，． ． ，， ， 解得，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ． ，故④正确； 综上所述，正确的有 故选：C． 二、填空题（共20分） 11．（5分）已知二次函数，将该二次函数的图象向下平移3个单位，所得新的函数表达式为_____． 【答案】 【分析】考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位，所得新的函数表达式为， 故答案为：． 12．（5分）若反比例函数的图象过点，，且，则______． 【答案】8 【分析】将点，代入反比例函数得，再代入，得到，的值，即可解答． 【详解】∵反比例函数的图象过点，， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 故答案为：8． 13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为______． 【答案】 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图像特征，可知两点关于原点对称，从而得到的面积等于的面积，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，即可求出的值． 【详解】解：∵经过原点的直线与反比例函数相交于两点， ∴两点关于原点对称， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 又∵是反比例函数图像上的点，且轴于点， ∴，解得， ∵该反比例函数图像在二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（5分）对于一个函数，自变量x取m时，函数值y等于2m，则称点是这个函数的“二倍点”，已知二次函数． （1）若点是此函数的“二倍点”，则此函数另一个“二倍点”B的坐标是_______， （2）若此函数有两个相异的“二倍点”、，且，则k的取值范围_______． 【答案】 【分析】主要考查了一元二次方程与二次函数结合，解题的关键是理解同值点的定义，并根据定义列方程求解． （1）根据题意将点A代入确定，再由 “二倍点”的定义得出方程求解即可； （2）根据题意得出，，然后利用一元二次方程的解及根与系数的关系求解不等式即可． 【详解】解：（1）把点代入中得， 解得， ∴， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， ∴， 故答案为： （2）∵二次函数图象上有两个相异的“二倍点”、， ∴二次函数与直线有两个交点、， 联立得， 解得，， ∵， ∴； ∵， ∴，， 解得， 综上所述， 故答案为：． 三、解答题（共90分） 15．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)求该抛物线与直线的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟记二次函数的性质和熟练解一元二次方程． （1）将代入，即可求解； （2）将代入解析式，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题，抛物线的表达式为．           将代入，得， 解得．           ∴该抛物线的表达为． （2）由（1）可知， 当时，， 解得，． ∴该抛物线与直线的交点坐标分别为，． 16．（8分）已知二次函数． (1)将写成的形式为 ； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； ___ ___ ____ ____ ___ ___ ___ ____ ____ ___ (3)当时，结合图象直接写出自变量的取值范围 ． 【答案】(1) (2) 解：列表如下： x …… 0 1 2 3 …… y …… 0 0 …… 如图， (3)或 【分析】主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答的关键． （1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：． （2）略 （3）解：由图象知：当时，或. 故答案为：或. 17．（8分）已知二次函数． (1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； (2)若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ， ∵无论k为何值时，， ∴， 即无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点． (2) 【分析】考查了二次函数的图像性质，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，结合无论k为何值时，，即可证明无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点； （2）整理得的对称轴为直线，结合对称轴为直线，得出，再代入，得，然后令则，最后解得，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数图像的对称轴为直线， ∴， 即， 依题意，令则， ∴， 解得， ∴它与x轴的交点坐标分别为． 18．（8分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点与点关于轴对称，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)3 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）分别求出C，D的坐标，再求出点到的距离，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）反比例函敕的图象经过点， ， 点在上， ， ． 把，坐标代入，则， 解得， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）由（1）知直线， 直线交轴于， ， ，关于轴对称， ， ， 轴，． 点到的距离为． ． （3）根据图象得：不等式的解集为或． 19．（10分）如图，抛物线（b，c是常数）与y轴交于点A，已知点B和点C分别是抛物线和x轴上的点，四边形是正方形且边长为2． (1)求b，c的值； (2)若将该抛物线向下平移个单位长度，使其顶点落在正方形内（不包括边上），求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键； （1）由题意易得点，，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由（1）可知抛物线为，则有抛物线的顶点为，然后根据题意可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为2，即． ∴点，． 把点A，B的坐标代入，得： ， 解得． （2）解：由（1）可知抛物线为． ∵， ∴抛物线的顶点为． 又∵正方形的边长为2，且将该抛物线向下平移个单位长度，使其顶点落在正方形内（不包括边上）， ∴． ∴m的取值范围是． 20．（10分）大蒜是我国重要蔬菜品种，尤其山东种植大蒜历史悠久，种植大蒜无疑是脱贫致富的好途径，大蒜刚上市时，张经理按市场价格6元/千克在生产基地收购了2000千克大蒜存放入冷库储存，据预测，大蒜的市场价格每天每千克将上涨0.2元，但冷库存放这批蒜时每天需要支出各种费用合计170元，而且大蒜在冷库中最多保存90天，同时，平均每天有5千克的大蒜损坏不能出售． (1)若存放天后，将这批大蒜一次性出售，设这批大蒜的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式； (2)张经理想获得利润元，需将这批大蒜存放多少天后出售？ (3)张经理将这批大蒜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)30天 (3)存放90天后出售可获得最大利润，最大利润是9900元 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值求法，一元二次方程的应用，根据函数关系式以及最值公式求出是解题关键． （1）根据等量关系“销售总金额（市场价格存放天数）（原购入量存放天数）”列出函数关系式； （2）根据等量关系“利润销售总金额收购成本各种费用”列出方程求出即可； （3）根据等量关系“利润销售总金额收购成本各种费用”列出函数关系式，根据二次函数的性质求最大值． 【详解】（1）解：由题意y与x之间的函数关系式为： （，且x为整数）； （2）解：根据题意可得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：张经理想获得利润5100元，需将这批大蒜存放30天后出售； （3）解：设利润为w， 由题意得 ， ∵， ∴抛物线开口方向向下， 当时，随的增大而增大， ∵大蒜在冷库中最多保存90天， ∴时，元． 答：存放90天后出售可获得最大利润，最大利润是9900元． 21．（12分）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)正比例函数的表达式为  反比例函数的表达式为， (2)至少需要经过分钟后，学生才能回到教室 (3) 此次消毒有效，理由如下： 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 解得：， ， 此次消毒有效． 【分析】考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入，即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入，求出的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 将代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为， 把代入，得， 解得：， ， 将点代入，得， 解得：， 正比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， 解得：， 由图可知，当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而增加， 当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而减少， 至少需要经过分钟后，学生才能回到教室； （3）略 22．（12分）足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．       (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 【答案】(1) (2)球不能射进球门，理由： 依题意，当时，， 球不能射进球门． (3) 【分析】考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律： （1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）依题意，当时，，即可作答． （3）依题意，设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）略 （3）解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点，的坐标分别为，，对称轴交轴于点，点为顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方一点，且，求直线的解析式； (3)点是抛物线上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)直线解析式为； (3)点的坐标为． 【分析】考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数应用——面积问题，二次函数与平行四边形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把点，代入解析式即可求解； （）先求出直线解析式为，顶点，根据点是直线上方一点，且，则有点在过点且平行的平行线上，即，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出，然后分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线解析式为且过点，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 由， ∴顶点， 如图， ∵点是直线上方一点，且， ∴点在过点且平行的平行线上，即， 设直线解析式为且过， ∴，解得， ∴直线解析式为； （3）解：如图，设， 由， ∴， ∵，的坐标分别为，， ∴当为对角线时， ∴，， 解得：，， ∴，在抛物线上，符合题意； 当为对角线时， ∴，， 解得：，， ∴，不在抛物线上，不符合题意； 当为对角线时， ∴，， 解得：，， ∴，不在抛物线上，不符合题意； ∴当以为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为． / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 11 ) 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、填空题 （ 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． ） 1 1 . ________________ 1 3 . ________________ 1 2 . ________________ 1 4 . _______ _______ 三 、解答题 （ 本题共 9 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 5 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16 ．（ 8 分） ___ ___ ____ ____ ___ ___ ___ ____ ____ ___ 17 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 8 分） 19 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ．（ 10 分） 2 1 ．（ 12 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（ 12 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（1 4 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C B C C D C B D C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11． 12．8 13． 14． 三、解答题：本题共9小题，共90分。 15．（8分） 【详解】（1）解：根据题，抛物线的表达式为．           将代入，得， 解得．           ∴该抛物线的表达为．（4分） （2）由（1）可知， 当时，， 解得，． ∴该抛物线与直线的交点坐标分别为，．（8分） 16．（8分） 【详解】（1）解： ； 故答案为：．（2分） （2）解：列表如下： x …… 0 1 2 3 …… y …… 0 0 …… 如图， （6分） （3）解：由图象知：当时，或. 故答案为：或.（8分） 17．（8分） 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ∵无论k为何值时，， ∴， 即无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点．（4分） （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数图像的对称轴为直线， ∴， 即， 依题意，令则， ∴， 解得， ∴它与x轴的交点坐标分别为．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）反比例函敕的图象经过点， ， 点在上， ， ． 把，坐标代入，则， 解得， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（3分） （2）由（1）知直线， 直线交轴于， ， ，关于轴对称， ， ， 轴，． 点到的距离为． ．（6分） （3）根据图象得：不等式的解集为或．（8分） 19．（10分） 【详解】（1）解：∵正方形的边长为2，即． ∴点，． 把点A，B的坐标代入，得： ， 解得．（4分） （2）解：由（1）可知抛物线为． ∵， ∴抛物线的顶点为． 又∵正方形的边长为2，且将该抛物线向下平移个单位长度，使其顶点落在正方形内（不包括边上）， ∴． ∴m的取值范围是．（10分） 20．（10分） 【详解】（1）解：由题意y与x之间的函数关系式为： （，且x为整数）；（3分） （2）解：根据题意可得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：张经理想获得利润5100元，需将这批大蒜存放30天后出售；（6分） （3）解：设利润为w， 由题意得 ， ∵， ∴抛物线开口方向向下， 当时，随的增大而增大， ∵大蒜在冷库中最多保存90天， ∴时，元． 答：存放90天后出售可获得最大利润，最大利润是9900元．（10分） 21．（12分） 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 将代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为， 把代入，得， 解得：， ， 将点代入，得， 解得：， 正比例函数的表达式为；（4分） （2）解：将代入，得， 解得：， 由图可知，当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而增加， 当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而减少， 至少需要经过分钟后，学生才能回到教室；（8分） （3）此次消毒有效，理由如下： 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 解得：， ， 此次消毒有效．（12分） 22．（12分） 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为；（4分） （2）球不能射进球门，理由： 依题意，当时，， 球不能射进球门．（8分） （3）解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即．（12分） 23．（14分） 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为；（3分） （2）解：设直线解析式为且过点，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 由， ∴顶点， 如图， ∵点是直线上方一点，且， ∴点在过点且平行的平行线上，即， 设直线解析式为且过， ∴，解得， ∴直线解析式为；（8分） （3）解：如图，设， 由， ∴， ∵，的坐标分别为，， ∴当为对角线时， ∴，， 解得：，， ∴，在抛物线上，符合题意； 当为对角线时， ∴，， 解得：，， ∴，不在抛物线上，不符合题意； 当为对角线时， ∴，， 解得：，， ∴，不在抛物线上，不符合题意； ∴当以为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为．（14分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 =。===。=●一一==-===-====。一=-。=。= 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、单项选择题（本题共10小题， 每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。) 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 11 12 13 14 三、解答题（本题共9小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16. (8分) y 6 5 4 3 2 65-4-3-2-10123456x 2 3 5 6 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(10分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 21.(12分) Ay(mg) 12 0 24 x(min) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) y(m) 3 B 6 x(m) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！