23.2 第4课时 坡度与解直角三角形（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

第4课时 坡度与解直角三角形 01基础达标 知识点 与坡度、坡角有关的实际问题 1. 拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的坡比是，坝高，则坡面的长度是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ） A. 5米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 如图，拦水坝的横断面为梯形，已知，，，的坡度为，则坡底的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一束光线照在坡度为的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角是______度． （2025·内蒙古） 5. 如图，一个人由山底的A点爬到山顶的C点，需先从山底的A点爬坡角为的山坡300米到达B点，再从B点爬坡角为的山坡200米到达山顶的C点（点B，C和直线AM在同一铅垂平面上），已知． （1）求点B到直线AM的距离； （2）求这座山的高度． 02能力提升 6. 如图所示，AB为斜坡，D是斜坡AB上一点，斜坡AB的坡度为i，坡角为α，AC⊥BM于C，下列式子：①i＝AC∶AB；②i＝(AC－DE)∶EC；③i＝tanα＝；④AC＝i·BC.其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （2025·重庆） 7. 如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为，坡顶D到BC的垂直距离米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：；；） A. 69.2米 B. 73.1米 C. 80.0米 D. 85.7米 8. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为___． 9. 如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i=：3．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除．（参考数据：≈1.414，≈1.732） ​ 03思维拓展 （2025·泸州） 10. 如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4课时 坡度与解直角三角形 01基础达标 知识点 与坡度、坡角有关的实际问题 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵迎水坡的坡比是，坝高， ∴， 解得：， 则． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可． 【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E， ∵BE平行于地面， ∴∠ABE＝∠α， ∵BE＝5米， ∴AB＝＝． 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题．解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形． 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先由的坡度为，，求出，过作于，再根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】解：的坡度为， ，即， 解得, 过作于， 则四边形是矩形， ，，， 在中，， . 【4题答案】 【答案】30 【解析】 【分析】理解坡角的概念，应用解直角三角形求出坡角，从而求出． 【详解】解：坡度，所以坡角为． 平面镜反射成与地面平行的光线，所以． 故答案为：30． 【点睛】考查坡度、坡角的定义及其关系．注意光线入射夹角等于反射夹角． 考点：解直角三角形的应用—坡度坡角问题． （2025·内蒙古） 【5题答案】 【答案】（1）点B到直线AM的距离为米 （2）这座山的高度为米 【解析】 【分析】（1）过点B作BD⊥AM于一点D，根据，设BD=x，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可； （2）过点C作CE⊥BE于点E，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出CE的长，利用CE与BD的和得出山的高度即可． 【小问1详解】 解：过点B作BD⊥AM于一点D， ， ， ∴设BD=x，则， 米， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点B到直线AM的距离为米． 【小问2详解】 过点C作CE⊥BE于点E， ， ，米， 米， 这座山的高度米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义，作出辅助线是解题的关键． 02能力提升 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据坡度的定义i=tanα==解答即可． 【详解】AC⊥BM于点C，DE⊥BC于E， ∴i=tanα=== ∴AC=iBC，DE=iBE， ∴AC−DE=iBC−iBE=CEi， ∴i= ∴②③④正确， 故选C. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度的定义是解题的关键. （2025·重庆） 【7题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】作DF⊥AB于F点，得到四边形DEBF为矩形，首先根据坡度的定义以及DE的长度，求出CE，BE的长度，从而得到DF=BE，再在Rt△ADF中利用三角函数求解即可得出结论． 【详解】如图所示，作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形， ∴, ∵斜坡CD的坡度（或坡比）为， ∴在Rt△CED中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在Rt△ADF中，∠ADF=50°， ∴， 将代入解得：， ∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米， 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键． 【8题答案】 【答案】6+ 【解析】 【分析】延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可． 【详解】延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E． 在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，∴CE=2，EF=2． 在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2，CE：DE=1：2，∴DE=4，∴BD=BF+EF+ED=12+2． 在Rt△ABD中，ABBD（12+2）=6+． 故答案为（6+）米． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长． 【9题答案】 【答案】需要拆除． 【解析】 【分析】由题意得到△ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在Rt△BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC=30°，得到DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB﹣AB求出AD的长，再比较AD+3与10的大小即可． 【详解】解：需要拆除，理由为： ∵CB⊥AB，∠CAB=45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=BC=10米， 在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i=：3，即∠CDB=30°， ∴DC=2BC=20米，BD==米， ∴AD=BD﹣AB=（）米≈7.32米， ∵3+7.32=10.32＞10， ∴需要拆除． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题；属于应用题． 视频 03思维拓展 （2025·泸州） 【10题答案】 【答案】古树的高度为 【解析】 【分析】延长，交于点G，过点B作于点F，根据斜面的坡度为，设，则，根据勾股定理得出，求出，证明四边形为矩形，得出，根据三角函数求出，，最后求出结果即可． 【详解】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示： 则， ∵斜面的坡度为， ∴设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， 即， ∵为水平方向，为竖直方向， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 答：古树的高度为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角函数的定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $