23.2 解直角三角形及其应用（分层作业练题型）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到思维拔高再到中考衔接，覆盖解直角三角形全题型，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|解直角三角形计算、构造直角三角形等基础题型|以选择、填空为主，如仰角俯角问题，夯实概念与运算能力| |B组能力进阶|综合应用与中档解答题|含多知识点结合题，如非直角三角形求解，培养推理与转化思维| |C组思维拔高|复杂情境与实际问题|如坡度坡比综合题，需多步建模，发展创新意识与空间观念| |拓展链接中考|中考真题与模拟题|对接测评要求，如实物图问题，强化应用意识与数学语言表达|

分层作业 23.2 解直角三角形及其应用 参考答案 ( 题型0 1 )解直角三角形的相关计算 1．B 【分析】根据等腰三角形的性质，得到，利用正切函数的定义，求解即可． 【详解】解：，，得， ， ， 中，， 点D为中点， 故． 2．D 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，再利用勾股定理求出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 3． 【分析】延长到，使，连接．证明，得到，，设，则，根据三角函数求出，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：延长到，使，连接． ∵是中点， ∴． 又∵， ∴， ∴，． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． ( 题型0 2 )构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 4．A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 5． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 构造直角三角形，过点作于点，利用特殊角的三角函数值求出、的长，进而求出的长，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ． 故答案为：． 6． 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． ( 题型0 3 )解非直角三角形 7．D 【分析】过点A作的垂线构造直角三角形，先利用三角形内角和定理求出的度数，再结合锐角三角函数求出点A到的距离． 【详解】解：过点A作，垂足为D，则即为点A到的距离， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴点A到的距离为． 8．/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． ( 题型0 4 )仰角俯角问题 10．A 【分析】根据锐角的正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，千米， ∴． 11． 【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，在中，根据三角函数即可求得气球A离地面的高度． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得． 即：气球A离地面的高度约为． 12．米 【分析】分别在和中，利用三角函数求出，的长即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，米，，， 米， （米）． 在中，，， 米， 在中，，， ， （米） （米） 答：宝顶的高度约为米． ( 题型0 5 )方位角问题 13．A 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 14．68.3 【分析】过点D作垂直于H，因为D处在A处南偏西、在B处南偏东，所以和都是等腰直角三角形，得，因为海警船速度为25海里/时，航行1小时从B到C，所以海里，那么．因为D处在C处南偏东，所以，在中，结合正切函数的定义，建立与的关系式，求解， 由即可得解． 【详解】过点D作于H，则， 由题意可知A、B、C三点在同一条东西向直线上． 在A处望见D在南偏西， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在B处望见D在南偏东， 同理，也是等腰直角三角形，． ∴， ∴． 已知海警船速度为25海里/时，从B航行1小时到C， ∴海里． ∵在C处望见D在南偏东， ∴， 在中，， 即． 又∵， ∴ ， 整理得， 解得． ， 代入， 得（海里）． 15．该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里 【分析】过点作于点，在中，利用三角函数求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后根据即可求解． 【详解】解：由题意，得海里，，， 过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 海里， ， 解得海里． 答：该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里． ( 题型0 6 )坡度坡比问题 16．A 【分析】根据坡度的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：，坡度i为， ， ， ． 17． 【分析】利用坡角的度数结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，， 在中，， ， ， ， 即坡面的长度是． 18． 【分析】过作于，过作于，根据斜坡的坡度，得出，设，，由勾股定理可求得，值即可求解，从而得到的长；由题意得，在中，即可求解的长，再根据三个角是直角的四边形是矩形，得到四边形为矩形，从而有，由此可以得到的长． 【详解】解：如图，过作，垂足为,延长交于点． 斜坡的坡度， ． 设，， ， 又， ， ． 由题意得，， ，解得． ，， ， ， , 又， ， 四边形为矩形， , ． 建筑物顶部到的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角、矩形的判定及性质，解题的关键在于根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． ( 题型0 7 )实物图问题 19．D 【分析】如图：过C作于G，解直角三角形可得，再根据线段的和差以及点到直线的距离求解即可． 【详解】解：如图：过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵机器人上半身垂直于地面水平线，手臂， ∴该机器人拳头（点）到地面的高度为． 20．70 【分析】过点E作于点F，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点E作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∵直线l，车轮半径约为， ∴， ∴单车车座E到地面的高度为． 21．(1) (2) 【分析】（1）在中，根据求解即可； （2）延长交于点M，则，，求解，在中，根据求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为． （2）解：延长交于点M，则，， ， ， 在中，，， ， ． 故桌面到地面的距离约为． 一、单选题 1． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，斜边，， ∴， ∴， 故选：B． 2． 【答案】B 【分析】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据矩形的性质得到，，，，，由此判定是等边三角形，则，从而得到，然后代入求解即可，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：． 3． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题是解决本题的关键． 通过解直角得到与、间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求的值． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ． 故选：A． 4． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切的定义，设，，勾股定理得到，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵在中， ，， ∴， ∴设，， ∴， ∴； 故选：B． 5． 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 二、填空题 6． 【答案】， 【详解】解：在中，，， ，即，解得， ． 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的知识，正确的理解锐角三角函数是解题的关键． 7． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过点作交的延长线于．解直角三角形求出，，即可解答，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于． ， ． ， ，， ， ， ， 故答案为：． 8． 【答案】 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，解直角三角形求出，，设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ， ， 由作图可知垂直平分线段， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， 故答案为：． 9． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形、含30度角的直角三角形、勾股定理，熟练掌握正弦以及余弦的定义是解此题的关键。 【小题1】， ， ． 故答案为：． 【小题2】 ， ， . 故答案为：. 10． 【答案】 【分析】本题考查正切函数的定义． 根据正切函数的定义，结合点的坐标来求解的值． 【详解】解：已知点在第一象限，过点作轴于点， 则在中，， 所以，， 在中，， 将，代入可得：． 故答案为：． 三、解答题 11． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）由，，得出，再结合勾股定理及即可求解； （2）过点作于点，利用中线得，设，则，利用，列式求解，再求，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵是斜边上的中线， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴， ∴． 12． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角函数的定义． （1）通过的正弦值求出的度数，以及的长，再通过直角三角形两个锐角互余求出，通过勾股定理求出线段的长； （2）通过的正切值求出的度数，再通过直角三角形两个锐角互余求出，再通过的正切值设未知数结合勾股定理求出线段和的长度． 【详解】（1）解：在Rt中， ， ． （2）解： ∴， ， ， ∴可设，则， 在Rt中，有， 即，解得（负值已舍去）， ． 13． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用含有度的直角三角形的性质求出和的长； （2）先利用线段差求出，再求． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 14． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证，则可得，由，可得； （2）过D点作于E点．由得．设，则，，，，． 根据列式可得，再根据勾股定理可得，进而可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵中，，， ∴． （2）解：如图，过D点作于E点， 由得， ， 设，则，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 15． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确添垂线是解题的关键． （1）过点作于点，运用勾股定理以及解即可求解； （2）由于，而，故，； 【详解】（1）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∴，； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义解题的关键．先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：米，点是的中点， ， 在中，， （米）， 故选：A． 2．B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的性质与定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理和角平分线的定义可得，再解直角三角形求出，据此由角平分线的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴在中，， ∵平分，， ∴， ∴点D到的距离为， 故选：B．    3．A 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点A作于点D，利用和分别求出、长，再利用勾股定理求出长，从而求解的长． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ， 在中，， ， 解得：， ， 在中，， ， 解得：， ． 4．D 【分析】分别过B、C作于点E，于点F，证明四边形为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理求得，再利用坡比概念求得，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． ∴四边形为矩形，则， ∵斜坡的坡比， ∴设，则， 在中，根据勾股定理，得， ，解得或（不合题意，舍去）， 则， 又∵背水坡的坡比， ， ，则． 5．C 【分析】在中，，在中，，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴米． 6． 【分析】作的菱形，作于点，在中，使用三角函数计算出高的长即可． 【详解】解：如图，在菱形中，，作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， 在中，， ∴菱形的高为． 7．3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系和勾股定理．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先根据锐角三角函数的边角间关系，可求出的长，再用勾股定理求出的长． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 8． 【分析】由题意可得，， ，，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 9．7.2 【详解】解：过点作于点，如图， ∵．， ∴ 即点C到托板的距离约． 10．9 【分析】根据，得到，根据和正切的概念列出算式，解出算式得到答案 【详解】解：，， ，即． ． ， ，即． 解得． 11．(1)； (2)； 【分析】利用特殊角三角函数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ，； （2）解：在中，，， ，． 12．的铅直高度约为 【分析】根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，，． ， ． 故坡的铅直高度约为． 13．(1)15 (2) 【分析】（1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可得，从而求出的正切值即求出了的值． 【详解】（1）解：是边上的高， 和是直角三角形， 在中，，， ， ． 又， ； （2）解：在中，为斜边的中点， ， ， ． 14．(1) (2)解：送货员按既定路线进行运送能按时送达，理由如下： 根据题意，得， ， ， 故需要时间为， 小于16分钟， 故送货员按既定路线进行运送能按时送达； 【分析】（1）根据，计算即可； （2）根据时间，计算比较解答即可，注意单位的统一； 【详解】（1）解：根据题意，得，，，，，四点共线，，垂足分别为点F，点E， ， 根据平行线间的距离处处相等，得， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2）略 15．(1)长为 (2)约为米 【分析】（1）延长交的延长线于点，设米，可得，，由可得关于的方程，解方程求出的值根据即可求出结果； （2）过点作，交于点，根据求出的长度，根据求出的长度，再根据求出结果． 【详解】（1）解：如下图所示，延长交的延长线于点，设米， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：的长为； （2）解：过点作，交于点， ，， ， 点到楼的水平距离为，即， 在中，，， ， ， 答：楼与之间的距离的长约为米． 1．A 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出 ，在 中，利用正弦函数的定义 即可求出的长，最后代入近似值计算即可． 【详解】解：由题意可知，水平视线与地面平行， 在 中，，， ， ． 2．米 【分析】利用正切函数定义即可解答． 【详解】解：由题意可知，为直角三角形，且，，米， 在中，， （米）， 即智能车无法采样的距离为 2 米． 3． 【分析】勾股定理求得，设，延长至使得，则，进而求得，取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，三线合一，得出，可得点在的角平分线上，时，最小，此时最小，进而解求得的最小值，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 设， 如图，延长至使得，则， ∴，， ∴， 如图，取的中点，连接， ∴， 又∵， ∴垂直平分，是的角平分线， ∴点在的角平分线上，时，最小，此时最小， ∴此时， ∴. 4．744米 【分析】由已知条件在和中可求出长度，相加即可解决问题． 【详解】解：在中，（米）， 在中，（米）， 由题意可知，四边形为矩形， ∴米， ∴（米） 答：山高为744米． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 23.2 解直角三角形及其应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 解直角三角形的相关计算 题型02 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型03 解非直角三角形 题型04 仰角俯角问题 题型05 方位角问题 题型06 坡度坡比问题 题型07 实物图问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )解直角三角形的相关计算 1．（2026·安徽芜湖·三模）如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，得到，利用正切函数的定义，求解即可． 【详解】解：，，得， ， ， 中，， 点D为中点， 故． 2．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，再利用勾股定理求出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级下·四川自贡·期中）如图所示，在中，点D为的中点，且，则________． 【答案】 【分析】延长到，使，连接．证明，得到，，设，则，根据三角函数求出，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：延长到，使，连接． ∵是中点， ∴． 又∵， ∴， ∴，． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． ( 题型0 2 )构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 4．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 构造直角三角形，过点作于点，利用特殊角的三角函数值求出、的长，进而求出的长，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ． 故答案为：． 6．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，则的长为________，的面积为________． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． ( 题型0 3 )解非直角三角形 7．（25-26九年级上·广西来宾·期末）在中，，，，则点A到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作的垂线构造直角三角形，先利用三角形内角和定理求出的度数，再结合锐角三角函数求出点A到的距离． 【详解】解：过点A作，垂足为D，则即为点A到的距离， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴点A到的距离为． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 9．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． ( 题型0 4 )仰角俯角问题 10．（26-27九年级上·全国·单元复习）“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】根据锐角的正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，千米， ∴． 11．（2026·浙江·模拟预测）如图，在广场上空有一个气球A．地面上点B，C，D在一条直线上，．在点B，C分别测得气球A的仰角，．则气球A点离地面的高度为______．（用三角函数值表示即可） 【答案】 【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，在中，根据三角函数即可求得气球A离地面的高度． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得． 即：气球A离地面的高度约为． 12．（2022·宁夏吴忠·模拟预测）康济寺塔始建于西夏，坐落在大罗山东麓的宁夏同心县韦州镇，它是一座平地而起的八角形密檐式十三层空心砖塔，由塔身、塔座、相轮宝顶三部分组成．某同学为了测量相轮宝顶的高度，如图，在地面的D处测得宝顶下端B的仰角为，同时测得米，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的C处，又测得塔的顶端A的仰角为，于点E，E、C、D在一条直线上，求宝顶的高度？（结果精确到，） 【答案】米 【分析】分别在和中，利用三角函数求出，的长即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，米，，， 米， （米）． 在中，，， 米， 在中，，， ， （米） （米） 答：宝顶的高度约为米． ( 题型0 5 )方位角问题 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 14．（26-27九年级下·全国·期中）如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 【答案】68.3 【分析】过点D作垂直于H，因为D处在A处南偏西、在B处南偏东，所以和都是等腰直角三角形，得，因为海警船速度为25海里/时，航行1小时从B到C，所以海里，那么．因为D处在C处南偏东，所以，在中，结合正切函数的定义，建立与的关系式，求解， 由即可得解． 【详解】过点D作于H，则， 由题意可知A、B、C三点在同一条东西向直线上． 在A处望见D在南偏西， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在B处望见D在南偏东， 同理，也是等腰直角三角形，． ∴， ∴． 已知海警船速度为25海里/时，从B航行1小时到C， ∴海里． ∵在C处望见D在南偏东， ∴， 在中，， 即． 又∵， ∴ ， 整理得， 解得． ， 代入， 得（海里）． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 【答案】该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里 【分析】过点作于点，在中，利用三角函数求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后根据即可求解． 【详解】解：由题意，得海里，，， 过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 海里， ， 解得海里． 答：该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里． ( 题型0 6 )坡度坡比问题 16．（26-27九年级下·全国·期末）水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坡度的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：，坡度i为， ， ， ． 17．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 【答案】 【分析】利用坡角的度数结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，， 在中，， ， ， ， 即坡面的长度是． 18．（25-26九年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过作于，过作于，根据斜坡的坡度，得出，设，，由勾股定理可求得，值即可求解，从而得到的长；由题意得，在中，即可求解的长，再根据三个角是直角的四边形是矩形，得到四边形为矩形，从而有，由此可以得到的长． 【详解】解：如图，过作，垂足为,延长交于点． 斜坡的坡度， ． 设，， ， 又， ， ． 由题意得，， ，解得． ，， ， ， , 又， ， 四边形为矩形， , ． 建筑物顶部到的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角、矩形的判定及性质，解题的关键在于根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． ( 题型0 7 )实物图问题 19．（2026·吉林·模拟预测）图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图：过C作于G，解直角三角形可得，再根据线段的和差以及点到直线的距离求解即可． 【详解】解：如图：过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵机器人上半身垂直于地面水平线，手臂， ∴该机器人拳头（点）到地面的高度为． 20．（2022·山东济宁·模拟预测）2017年，温州市积极推进共享单车服务（如图①），努力构建绿色环保出行城市，图②是某品牌26寸单车的车架示意图（车轮半径约为），其中直线l，，，则单车车座E到地面的高度为______．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】70 【分析】过点E作于点F，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点E作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∵直线l，车轮半径约为， ∴， ∴单车车座E到地面的高度为． 21．（2026·山东枣庄·三模）2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为．（参考数据：取，取） (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”α为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，根据求解即可； （2）延长交于点M，则，，求解，在中，根据求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为． （2）解：延长交于点M，则，， ， ， 在中，，， ， ． 故桌面到地面的距离约为． 一、单选题 1．（20-21九年级下·四川成都·自主招生）如图，中，，斜边，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，斜边，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线 与 交于点 O．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据矩形的性质得到，，，，，由此判定是等边三角形，则，从而得到，然后代入求解即可，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，点D是延长线上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题是解决本题的关键． 通过解直角得到与、间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求的值． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ． 故选：A． 4．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中， ，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切的定义，设，，勾股定理得到，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵在中， ，， ∴， ∴设，， ∴， ∴； 故选：B． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 二、填空题 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，，则的长为 ，的长为 ． 【答案】， 【详解】解：在中，，， ，即，解得， ． 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的知识，正确的理解锐角三角函数是解题的关键． 7．（2025·江苏南通·三模）如图所示，，，，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过点作交的延长线于．解直角三角形求出，，即可解答，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于． ， ． ， ，， ， ， ， 故答案为：． 8．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交，于点D，E．若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，解直角三角形求出，，设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ， ， 由作图可知垂直平分线段， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， 故答案为：． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）已知在中，，a，b，c分别为所对的边． （1）已知，则 ． （2）已知，则 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形、含30度角的直角三角形、勾股定理，熟练掌握正弦以及余弦的定义是解此题的关键。 【小题1】， ， ． 故答案为：． 【小题2】 ， ， . 故答案为：. 10．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查正切函数的定义． 根据正切函数的定义，结合点的坐标来求解的值． 【详解】解：已知点在第一象限，过点作轴于点， 则在中，， 所以，， 在中，， 将，代入可得：． 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，若，． (1)求的长． (2)若是斜边上的中线，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）由，，得出，再结合勾股定理及即可求解； （2）过点作于点，利用中线得，设，则，利用，列式求解，再求，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵是斜边上的中线， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形（角度精确到）． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角函数的定义． （1）通过的正弦值求出的度数，以及的长，再通过直角三角形两个锐角互余求出，通过勾股定理求出线段的长； （2）通过的正切值求出的度数，再通过直角三角形两个锐角互余求出，再通过的正切值设未知数结合勾股定理求出线段和的长度． 【详解】（1）解：在Rt中， ， ． （2）解： ∴， ， ， ∴可设，则， 在Rt中，有， 即，解得（负值已舍去）， ． 13．（25-26九年级上·山东淄博·开学考试）如图，在中，，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用含有度的直角三角形的性质求出和的长； （2）先利用线段差求出，再求． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 14．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，且， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证，则可得，由，可得； （2）过D点作于E点．由得．设，则，，，，． 根据列式可得，再根据勾股定理可得，进而可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵中，，， ∴． （2）解：如图，过D点作于E点， 由得， ， 设，则，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中， (1)求的长 (2)延长至点D，使，连接，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确添垂线是解题的关键． （1）过点作于点，运用勾股定理以及解即可求解； （2）由于，而，故，； 【详解】（1）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∴，； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．（2025·广西南宁·一模）如图是厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架结构，已知米，，则中柱（D为底边中点）的长是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义解题的关键．先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：米，点是的中点， ， 在中，， （米）， 故选：A． 2．（2025·山东菏泽·二模）如图，在中，，平分，交于点D，则点D到的距离为（　　）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的性质与定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理和角平分线的定义可得，再解直角三角形求出，据此由角平分线的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴在中，， ∵平分，， ∴， ∴点D到的距离为， 故选：B．    3．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点A作于点D，利用和分别求出、长，再利用勾股定理求出长，从而求解的长． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ， 在中，， ， 解得：， ， 在中，， ， 解得：， ． 4．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过B、C作于点E，于点F，证明四边形为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理求得，再利用坡比概念求得，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． ∴四边形为矩形，则， ∵斜坡的坡比， ∴设，则， 在中，根据勾股定理，得， ，解得或（不合题意，舍去）， 则， 又∵背水坡的坡比， ， ，则． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】在中，，在中，，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴米． 二、填空题 6．（2026·广东佛山·一模）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______． 【答案】 【分析】作的菱形，作于点，在中，使用三角函数计算出高的长即可． 【详解】解：如图，在菱形中，，作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， 在中，， ∴菱形的高为． 7．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系和勾股定理．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先根据锐角三角函数的边角间关系，可求出的长，再用勾股定理求出的长． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 8．（25-26九年级下·辽宁抚顺·阶段检测）如图，某小区监控摄像头安装在竖直墙面的支架上，镜头中心A到墙面底部的竖直距离为．观测地面上点B时，镜头俯角为；观测点B右侧的点C时，镜头俯角为，则地面上的B，C两点之间的距离约为__________．（精确到．参考数据：） 【答案】 【分析】由题意可得，， ，，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 9．（2026·辽宁本溪·一模）如图，是订书机的底座，是订书机的托板，．连接杆的D点固定在压柄上，点E在上，托板与压柄夹角．已知，则点C到托板的距离约_____．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】7.2 【详解】解：过点作于点，如图， ∵．， ∴ 即点C到托板的距离约． 10．（2026·辽宁铁岭·三模）如图，在处看建筑物的顶端的仰角为，向前行进3米到达处，从处看的仰角为（图中各点均在同一平面内，三点在同一条直线上，），则建筑物的高度约为___________米（结果精确到．参考数据：． 【答案】9 【分析】根据，得到，根据和正切的概念列出算式，解出算式得到答案 【详解】解：，， ，即． ． ， ，即． 解得． 三、解答题 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知在中，，a，b，c分别是，，对应的边． (1)若，，求a，c的长； (2)若，，求a，b的长． 【答案】(1)； (2)； 【分析】利用特殊角三角函数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ，； （2）解：在中，，， ，． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段．已知坡的长为，坡角约为，求坡的铅直高度．（参考数据：，，） 【答案】的铅直高度约为 【分析】根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，，． ， ． 故坡的铅直高度约为． 13．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． (1)求线段的长； (2)计算的值． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可得，从而求出的正切值即求出了的值． 【详解】（1）解：是边上的高， 和是直角三角形， 在中，，， ， ． 又， ； （2）解：在中，为斜边的中点， ， ， ． 14．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，） (1)求线段的长度；（结果精确到） (2)已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 【答案】(1) (2)解：送货员按既定路线进行运送能按时送达，理由如下： 根据题意，得， ， ， 故需要时间为， 小于16分钟， 故送货员按既定路线进行运送能按时送达； 【分析】（1）根据，计算即可； （2）根据时间，计算比较解答即可，注意单位的统一； 【详解】（1）解：根据题意，得，，，，，四点共线，，垂足分别为点F，点E， ， 根据平行线间的距离处处相等，得， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2）略 15．（25-26八年级下·山东济南·期末）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内． (1)求的长； (2)求楼与之间的距离的长．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】(1)长为 (2)约为米 【分析】（1）延长交的延长线于点，设米，可得，，由可得关于的方程，解方程求出的值根据即可求出结果； （2）过点作，交于点，根据求出的长度，根据求出的长度，再根据求出结果． 【详解】（1）解：如下图所示，延长交的延长线于点，设米， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：的长为； （2）解：过点作，交于点， ，， ， 点到楼的水平距离为，即， 在中，，， ， ， 答：楼与之间的距离的长约为米． 1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出 ，在 中，利用正弦函数的定义 即可求出的长，最后代入近似值计算即可． 【详解】解：由题意可知，水平视线与地面平行， 在 中，，， ， ． 2．（2026·浙江·中考真题）如图，一辆高为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离为___________．（注：，，） 【答案】米 【分析】利用正切函数定义即可解答． 【详解】解：由题意可知，为直角三角形，且，，米， 在中，， （米）， 即智能车无法采样的距离为 2 米． 3．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，，，，点，，分别在，，边上，连接，，，若，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】勾股定理求得，设，延长至使得，则，进而求得，取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，三线合一，得出，可得点在的角平分线上，时，最小，此时最小，进而解求得的最小值，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 设， 如图，延长至使得，则， ∴，， ∴， 如图，取的中点，连接， ∴， 又∵， ∴垂直平分，是的角平分线， ∴点在的角平分线上，时，最小，此时最小， ∴此时， ∴. 4．（2026·四川甘孜·中考真题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．） 【答案】744米 【分析】由已知条件在和中可求出长度，相加即可解决问题． 【详解】解：在中，（米）， 在中，（米）， 由题意可知，四边形为矩形， ∴米， ∴（米） 答：山高为744米． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 23.2 解直角三角形及其应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 解直角三角形的相关计算 题型02 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型03 解非直角三角形 题型04 仰角俯角问题 题型05 方位角问题 题型06 坡度坡比问题 题型07 实物图问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )解直角三角形的相关计算 1．（2026·安徽芜湖·三模）如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 2．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 3．（25-26九年级下·四川自贡·期中）如图所示，在中，点D为的中点，且，则________． ( 题型0 2 )构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 4．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，，，则_____． 6．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，则的长为________，的面积为________． ( 题型0 3 )解非直角三角形 7．（25-26九年级上·广西来宾·期末）在中，，，，则点A到的距离是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为___________． 9．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为________． ( 题型0 4 )仰角俯角问题 10．（26-27九年级上·全国·单元复习）“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 11．（2026·浙江·模拟预测）如图，在广场上空有一个气球A．地面上点B，C，D在一条直线上，．在点B，C分别测得气球A的仰角，．则气球A点离地面的高度为______．（用三角函数值表示即可） 12．（2022·宁夏吴忠·模拟预测）康济寺塔始建于西夏，坐落在大罗山东麓的宁夏同心县韦州镇，它是一座平地而起的八角形密檐式十三层空心砖塔，由塔身、塔座、相轮宝顶三部分组成．某同学为了测量相轮宝顶的高度，如图，在地面的D处测得宝顶下端B的仰角为，同时测得米，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的C处，又测得塔的顶端A的仰角为，于点E，E、C、D在一条直线上，求宝顶的高度？（结果精确到，） ( 题型0 5 )方位角问题 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 14．（26-27九年级下·全国·期中）如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） ( 题型0 6 )坡度坡比问题 16．（26-27九年级下·全国·期末）水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 17．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 18．（25-26九年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） ( 题型0 7 )实物图问题 19．（2026·吉林·模拟预测）图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（     ） A． B． C． D． 20．（2022·山东济宁·模拟预测）2017年，温州市积极推进共享单车服务（如图①），努力构建绿色环保出行城市，图②是某品牌26寸单车的车架示意图（车轮半径约为），其中直线l，，，则单车车座E到地面的高度为______．（结果精确到，参考数据：，，） 21．（2026·山东枣庄·三模）2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为．（参考数据：取，取） (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”α为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 一、单选题 1．（20-21九年级下·四川成都·自主招生）如图，中，，斜边，则的长度是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线 与 交于点 O．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，点D是延长线上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中， ，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，，则的长为 ，的长为 ． 7．（2025·江苏南通·三模）如图所示，，，，则为 ． 8．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交，于点D，E．若，，则线段的长为 ． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）已知在中，，a，b，c分别为所对的边． （1）已知，则 ． （2）已知，则 10．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，则的值是 ． 三、解答题 11．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，若，． (1)求的长． (2)若是斜边上的中线，求的值． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形（角度精确到）． 13．（25-26九年级上·山东淄博·开学考试）如图，在中，，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 14．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，且， (1)求的值； (2)求的值． 15．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中， (1)求的长 (2)延长至点D，使，连接，求的度数． 一、单选题 1．（2025·广西南宁·一模）如图是厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架结构，已知米，，则中柱（D为底边中点）的长是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2025·山东菏泽·二模）如图，在中，，平分，交于点D，则点D到的距离为（　　）    A． B． C． D．2 3．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 6．（2026·广东佛山·一模）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______． 7．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为_____． 8．（25-26九年级下·辽宁抚顺·阶段检测）如图，某小区监控摄像头安装在竖直墙面的支架上，镜头中心A到墙面底部的竖直距离为．观测地面上点B时，镜头俯角为；观测点B右侧的点C时，镜头俯角为，则地面上的B，C两点之间的距离约为__________．（精确到．参考数据：） 9．（2026·辽宁本溪·一模）如图，是订书机的底座，是订书机的托板，．连接杆的D点固定在压柄上，点E在上，托板与压柄夹角．已知，则点C到托板的距离约_____．（结果精确到．参考数据：，，） 10．（2026·辽宁铁岭·三模）如图，在处看建筑物的顶端的仰角为，向前行进3米到达处，从处看的仰角为（图中各点均在同一平面内，三点在同一条直线上，），则建筑物的高度约为___________米（结果精确到．参考数据：． 三、解答题 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知在中，，a，b，c分别是，，对应的边． (1)若，，求a，c的长； (2)若，，求a，b的长． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段．已知坡的长为，坡角约为，求坡的铅直高度．（参考数据：，，） 13．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． (1)求线段的长； (2)计算的值． 14．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，） (1)求线段的长度；（结果精确到） (2)已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 15．（25-26八年级下·山东济南·期末）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内． (1)求的长； (2)求楼与之间的距离的长．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·中考真题）如图，一辆高为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离为___________．（注：，，） 3．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，，，，点，，分别在，，边上，连接，，，若，，则的最小值为__________． 4．（2026·四川甘孜·中考真题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $